投入产出模型共45页文档
合集下载
4-4 投入产出数学模型
xj
zj 1 aij
i 1 n
( j 1,2,..., n)
18 上一页 下一页 返 回
第四节 投入产出数学模型
1、投入产出模型
2、直接消耗系数 3、投入产出分析
1 上一页 下一页 返 回
一、投入产出模型
设一个经济系统可以分为n个生产部门，各部门 分别用1,2,…,n 表示，部门 i 只生产一种产品 i，
并且没有联合生产，即产品 i 仅由部门 i 生产．
每一生产部门的活动可以分为两个方面：一方面， 作为消耗部门，为了完成其经济活动，需要供给它 所需要的物质，叫做投入；
y z
i 1 i j 1
n
n
j
即整个经济系统的最终产品价值等于该系统新创 造的价值，但
x
j 1
n
kj
xik (k 1,2,..., n)
i 1
n
即
yk zk (k 1,2,..., n).
10 上一页 下一页 返 回
二、直接消耗系数
为了确定经济系统各部门间在生产消耗上的数量 依存关系，我们引入直接消耗系数的概念. 定义4.1 第 j 部门生产单位价值产品直接消耗第 i
j 1
上一页 下一页
7 返 回
称为分配平衡方程组． 表4-1中左上角、左下角部分的每一列也有一个等 式，即每一个消耗部门对各部门的生产消耗加上该 部门新创造的价值等于它的总产品价值，可用方程
组
x1 x11 x21 xn1 z1 , x x x x z , 2 12 22 n2 2 xn x1n x2 n xnn zn
x1 x11 x12 x1n y1 , x x x x y , 2 21 22 2n 2 xn xn1 xn 2 xnn yn
投入产出表或投入产出数学模型PPT文档共45页
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
投入产出表或投入产出数学 模型
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！ห้องสมุดไป่ตู้
45
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
投入产出表或投入产出数学 模型
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！ห้องสมุดไป่ตู้
45
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
投入产出数学模型
x n1
x12 x22
. . .
... ...
...
x1 n x2 n
x nn
y1 y2
. . . yn
x1 x2
. . .
社会纯收入 m1 , … ,mn 合计
z1 , … , zn
x1 , … , xn
服务业
n
xn 2
xn
总产值
xij ：第i个部门的产品流入 (投入 到第 个部门的数量 (价值量 投入) 价值量) 第 个部门的产品流入 投入 到第j个部门的数量 价值量
因为 A
1
i)
= max
j 1
∑
∞
n
i =1
a ij = max
j k
∑
n
i =1
a ij < 1 i, j
所以 ( I A )
=
∑
k =1
A = ( b ij ) n × n b ij ≥ 0
所以 y ≥ 0 有 又因为
x = ( I A ) 1 y ≥ 0 I O 为可行的
T
V ≥ 0由 V
∑a P
i =1
n
ij i
(V = P AT P )
四 模型的可行和有利问题
定义： 1 定义：
①若在I-O模型中 y ≥ 0 x ≥ 0 则称模型为可行的 ( 价值型 ) 若在 模型中 ②若对 V ≥ 0 P ≥ 0 则称模型为有利的 ( 实物型 )
判别准则： 2 判别准则：
①矩阵范数： 矩阵范数：
1.3459 0.2504 0.3443 ( I A) 1 = 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167
x = ( I A) 1 y y = ( I A) x
x12 x22
. . .
... ...
...
x1 n x2 n
x nn
y1 y2
. . . yn
x1 x2
. . .
社会纯收入 m1 , … ,mn 合计
z1 , … , zn
x1 , … , xn
服务业
n
xn 2
xn
总产值
xij ：第i个部门的产品流入 (投入 到第 个部门的数量 (价值量 投入) 价值量) 第 个部门的产品流入 投入 到第j个部门的数量 价值量
因为 A
1
i)
= max
j 1
∑
∞
n
i =1
a ij = max
j k
∑
n
i =1
a ij < 1 i, j
所以 ( I A )
=
∑
k =1
A = ( b ij ) n × n b ij ≥ 0
所以 y ≥ 0 有 又因为
x = ( I A ) 1 y ≥ 0 I O 为可行的
T
V ≥ 0由 V
∑a P
i =1
n
ij i
(V = P AT P )
四 模型的可行和有利问题
定义： 1 定义：
①若在I-O模型中 y ≥ 0 x ≥ 0 则称模型为可行的 ( 价值型 ) 若在 模型中 ②若对 V ≥ 0 P ≥ 0 则称模型为有利的 ( 实物型 )
判别准则： 2 判别准则：
①矩阵范数： 矩阵范数：
1.3459 0.2504 0.3443 ( I A) 1 = 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167
x = ( I A) 1 y y = ( I A) x
4投入产出模型
例. 某经济系统有农产品、制造业、服务业组成，其投入产出 矩阵为
⎛ 0.15 0.1 0.2 ⎞ ⎜ ⎟ T = ⎜ 0.3 0.05 0.3 ⎟ ⎜ 0.2 0.3 0.0 ⎟ ⎝ ⎠
(1) 若最终需求向量 d = (100,200,300)T ，求总产出。 ( 2) 若农产品的社会需求产 值增加为 300，则总产出如何变化？
Tx + d = x
或 记
(I − T )x = d
A = I − T , 则有
Ax = d
（1）
T （*）式称为实物型开放的投入产出模型， = ( t ij ) 称为投入矩阵。
模型应用： 当直接消耗系数保持不变，社会最终需求确定，确定各部门 的总产出。或者社会的最终需求改变，相应的总产出应如何 改变？ 给定 d ， 从方程 Ax = d 中解出 x 。 定义1. 如果对任意的外部需求 d ，投入产出模型（1）都有 非负解 x ， 则称此经济系统是 可行的 。
x11 x 21
x n1
x12 x 22
xn 2
... ...
. . .
x1 n d 1 x2 n d 2
x nnห้องสมุดไป่ตู้
dn
. . .
x1 x2
xn
. . .
...
其中： x i : 部门 i 的总产出； d i : 对部门 i 的最终需求；
x ij : 生产过程中部门 j 消耗部门 i 的产值；
投入产出关系：
∴T k → 0 ∴ ( I − T )∑ T k = I
k =0
∞
∴(I − T )
−1
= ∑ T k 且元素非负。
k =0
∞
定理 1 若投入产出模型的投入 系数矩阵 T = ( t ij ) 元素满足
投入产出模型-课件主讲
• 其中价格p为行向量， P(Pnk,Pk) ，按
照价格向量的分块方式，对系数矩阵A进行同样 的分块，构成如下分块矩阵
A
A11 A12 A A 投2入1 产出模型22-课件主讲
简要推导
P PA N
( Pnk
,
Pk
)
( Pn k
,
Pk
)
A11 A21
A12 A22
(
N
1,
N
2
)
( Pnk A11 Pk A21, Pnk A12 Pk A22 ) ( N 1 , N 2 )
A12 I A22
I
B21( I A11） B22 A21 0
B 2 1 B 2 2 A 2 1 (I A 1 1 ) 1
投入产出模型-课件主讲
• 利用上述结果可以转化价格影响模型，这样做的 好处是在已知列昂惕夫逆阵的情况下，可以比较 简便地计算
P n k P kA 2 1 (IA 1 1) 1
投入产出模型-课件主讲
1
a21
...
an1,1
an1
a12 1 ... an1,2 an2
... a1n y1
... a2n y2
...
...
...
0
... an1,n yn1
...
1
yn
Ay y
(AI)y0
投入产出模型-课件主讲
• 闭模型实际上未得到应用，其原因如下：.
– 我们一般计算使用的数据是价值型投入产出表，因此， 计算的结果并不是价格变动的绝对量，而只能是一种
相对量
– 如：某种商品价格1%的价格上涨，其他所有商品价格 将因此上涨%多少。
投入产出模型-课件主讲
照价格向量的分块方式，对系数矩阵A进行同样 的分块，构成如下分块矩阵
A
A11 A12 A A 投2入1 产出模型22-课件主讲
简要推导
P PA N
( Pnk
,
Pk
)
( Pn k
,
Pk
)
A11 A21
A12 A22
(
N
1,
N
2
)
( Pnk A11 Pk A21, Pnk A12 Pk A22 ) ( N 1 , N 2 )
A12 I A22
I
B21( I A11） B22 A21 0
B 2 1 B 2 2 A 2 1 (I A 1 1 ) 1
投入产出模型-课件主讲
• 利用上述结果可以转化价格影响模型，这样做的 好处是在已知列昂惕夫逆阵的情况下，可以比较 简便地计算
P n k P kA 2 1 (IA 1 1) 1
投入产出模型-课件主讲
1
a21
...
an1,1
an1
a12 1 ... an1,2 an2
... a1n y1
... a2n y2
...
...
...
0
... an1,n yn1
...
1
yn
Ay y
(AI)y0
投入产出模型-课件主讲
• 闭模型实际上未得到应用，其原因如下：.
– 我们一般计算使用的数据是价值型投入产出表，因此， 计算的结果并不是价格变动的绝对量，而只能是一种
相对量
– 如：某种商品价格1%的价格上涨，其他所有商品价格 将因此上涨%多少。
投入产出模型-课件主讲
区域之间的投入产出模型(PPT课件)
1
区域 生产
2
部门
n
合计
1
外地 输
2
入产 品
m
合计
新创 造
价值
劳动报酬 纯收入
合计
总产品
中间产品
1 2 n 合计
x 11 x 12 x 1 n
x 21 x 22 x 2 n
x n 1 x n 2 x nn
u11 u12 u1n
u 21 u 22 u 2n
u m1 u m 2 u mn
• 基于投入产出分析的资源利用模型 • 环境保护的投入产出分析
一、基于投入产出分析的资源利用模型
对资源利用问题的研究，通常忽视了资源利用过程中各个产业部门之间的相互联系。为了克 服这一缺点，应将资源利用的优化建模和投入产出分析结合起来。以下的讨论正是基于这种思想 展开的。
（一）资源利用的投入产出分析 首先对传统的投入产出模型进行改造，加入新的项目内容，即资源项目。改造以后的投入产
n xn1 xn2
x1n x2n
xnn
y1 y2
yn
x1 x2
xn
1
c11 c12
c1n
2 c21 c22 c2n
m cm1 cm2
c mn
二、环境保护的投入产出分析
投入产出分析则是联系经济活动与环境污染和保护问题的一种行之有效的研究方 法。在20世纪70年代初期，列昂捷夫曾运用投入产出模型，对环境污染与治理问题作 了研究。
二、投入产出模型
投入产出模型分类 静态投入产出模型 主要分析、研究某一个时期的再生产过程，按照不同的计量单位，可以分为实物型和价 值型 动态投入产出模型 分析、研究若干时期的再生产过程，并研究各个时期再生产过程的相互联系
《投入产出模型》课件
投入产出模型的发展趋势与展望
智能化与自动化
跨学科融合
定制化与个性化
随着大数据和人工智能技术的 发展，未来投入产出模型将更 加智能化和自动化。通过数据 挖掘和分析，能够更准确地评 估经济系统的结构和效率，为 政策制定提供科学依据。
未来投入产出模型将进一步融 合其他学科的理论和方法，如 地理信息系统、复杂网络等， 以更全面地揭示经济系统的内 在规律和动态变化。
特点
投入产出模型能够全面反映经济系统 的结构和运行规律，揭示各部门之间 的经济联系，为政策制定者提供决策 依据。
投入产出模型的基本假设
假设一
生产过程中消耗的中间产品与 最终产品之间存在固定的比例
关系。
假设二
生产技术系数在一定时期内保 持稳定。
假设三
生产过程中不存在外部经济和 内部经济的影响。
假设四
投入产出模型的起源
投入产出模型的起源可以追溯到 20世纪30年代，当时美国经济学 家瓦西里·列昂惕夫提出了投入产 出分析方法，用于研究经济系统 中各部门之间的投入与产出关系 。
投入产出模型的发展
随着时间的推移，投入产出模型 的应用范围不断扩大，逐渐成为 宏观经济分析和政策制定的有力 工具。在实践中，投入产出模型 不断得到完善和改进，以适应不 同国家和行业的需要。
动态投入产出模型考虑了时间因素对 经济系统的影响，能够更好地模拟经 济系统的动态变化和趋势。该模型在 政策制定和预测方面具有广阔的应用 前景。
03
全球投入产出模型
随着全球经济一体化的加速，全球投 入产出模型逐渐成为研究前沿之一。 该模型能够全面地反映全球范围内各 国家、各行业之间的经济联系和相互 影响。
02
投入产出模型的建立
第8章 地区间投入产出模型(最终版)
第八章 地区间投入产出模型地区间投入产出模型是利用地区间商品和劳务流动，将各地区投入产出模型联接而成的模型。
地区间投入产出模型系统、全面地反映了各个地区各个产业之间的经济联系，并对各个地区间商品和劳务流动进行了描述，是进行地区之间产业结构和技术差异比较、分析地区间产业相互联系与影响、资源在地区间的合理配置、地区经济发展对其它地区经济的带动作用和溢出、反馈效应等研究的重要基础工具。
根据编制方法与表式的不同，地区间投入产出模型可分为IRIO 与MRIO 两类。
IRIO 模型的英文为Interregional Input-Output Model ，由Isard （1951）首先提出，因此也称为Isard 模型。
该模型要求把所有产业按区域进行划分，不仅要编制各地区内的流量矩阵，还需要对各地区产品对其它地区的流向进行调查，即要编制分地区、分部门的地区间产品流量矩阵，是一个流入非竞争型模型，对基础数据的需求量非常大，编制比较困难。
MRIO 模型则相应对数据资料要求较少，英文为Multiregional Input-Output Model ，其编制原则中应用最广的是由Chenery （1953）和Moses （1955）先后独立提出的列系数方法，也称为Chenery-Moses 方法。
本章第一节和第二节将分别对IRIO 模型和MRIO 模型进行介绍，第三节将对地区间投入产出表的编制方法进行介绍。
第一节 地区间IRIO 模型一、两地区IRIO 模型实例我们首先以两地区IRIO 模型为例，对地区间IRIO 模型进行介绍。
以上标r 、s 分别表示地区，并假设r 地区有3个生产部门（1，2，3），s 地区有2个生产部门（1，2）。
由此，地区r 内部的中间投入矩阵可以表示为rrZ ，r 对s 地区的中间投入矩阵可以表示为rsZ 。
其中，rrZ 和rsZ 分别由9个、6个元素组成。
同理，对地区s 而言，同样存在地区内的中间投入矩阵ssZ 和地区s 对地区r 的中间投入流量矩阵srZ 。
投入产出数学模型
y(I A)x
其中：
x
x1
x
n
y
y1
yn
A ( a ij ) n n
第4页，本讲稿共14页
补充：
完全消耗系数
b ij 直接消耗系数
间接消耗系数
n
a ij b ik a kj k 1
B A BA 所以
B A ( I A ) 1 ( I ( I A ))( I A ) 1
PT y 可解释为国民经济产生 的收入
第12页，本讲稿共14页
四 模型的可行和有利问题
1 定义：
①若在I-O模型中 ②若对
则称模型为可行的
y0x0
(
价值型
)
则称模型为有利的 ( 实物型 )
V0 P0
2 判别准则：
①矩阵范数：
A
n
(aij)nn
A
1
max
j
a ij
i 1
(列的绝对值和 )
n
A
aij 投入系数or直接消耗系数
aij
xij xj
(i, j 1,..., n)
(A I)x y
A (aij )nn 投入矩阵
x
x1
产出向量
xn
y
y1
yn
第11页，本讲稿共14页
2 价格—价值系统
Pj 产品 j的价格 V j 单位产品 j增值
n
显然有 :V j Pj aij Pi i 1
j1
j1
xAxy
x(IA)1y y(IA)x
A(aij)nn
aij
xij xj
x:xT
n
n
2.
lkj lk 或 lkj Tk lk , 这里Tk 是第k种外购物料的损耗因平子衡。
投入产出表的数学模型
0.8947 = -0.1404 -0.0526 -0.0111 -0.1053 299.25 0.8889 -0.2632 1980 -0.0333 0.8246 638.4
178.54 = 1549.98 (亿元) 445.26
例：若把农业、工业、“其他”三个部门的最终使用由现在 的175亿元、1410亿元、395亿元分别增长4%、8%和10%，直接消 耗系数同上，试测算各部门的总产出。
175 × 104% = 182 Y 解：由题意知 = 1410 × 108% = 1522.8 395 × 110% = 434.5
(a11 a 21 a n1 ) X 1G1 X 1 (a a a ) X G X 12 22 n2 2 2 2 ...... (a1n a 2 n a nn ) X n Gn X n
第二列各直接消耗系 数之和，用C2表示； 第n列各直接消耗系 数之和，用Cn表示。 把该式变 形可得投 入产出表 的列模型 (见下页)
…
…
合
计
∑xi ∑xi … ∑xi d1 v1 T1 r1 G1 X1 d2 v2 T2 r2 G2 X2 dn vn Tn rn Gn Xn
… ∑Ei
∑Y ’i
∑Mi ∑X
最 初 投 入
固定资产折 旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余 合 计
…
∑dj ∑vj ∑Tj ∑rj ∑Gj ∑Xj
… …
总
0.8947 -0.1404 -0.0526
-0.0111 0.8889 -0.0333
-0.1053 -0.2632 0.8254
178.54 = 1549.98 (亿元) 445.26
例：若把农业、工业、“其他”三个部门的最终使用由现在 的175亿元、1410亿元、395亿元分别增长4%、8%和10%，直接消 耗系数同上，试测算各部门的总产出。
175 × 104% = 182 Y 解：由题意知 = 1410 × 108% = 1522.8 395 × 110% = 434.5
(a11 a 21 a n1 ) X 1G1 X 1 (a a a ) X G X 12 22 n2 2 2 2 ...... (a1n a 2 n a nn ) X n Gn X n
第二列各直接消耗系 数之和，用C2表示； 第n列各直接消耗系 数之和，用Cn表示。 把该式变 形可得投 入产出表 的列模型 (见下页)
…
…
合
计
∑xi ∑xi … ∑xi d1 v1 T1 r1 G1 X1 d2 v2 T2 r2 G2 X2 dn vn Tn rn Gn Xn
… ∑Ei
∑Y ’i
∑Mi ∑X
最 初 投 入
固定资产折 旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余 合 计
…
∑dj ∑vj ∑Tj ∑rj ∑Gj ∑Xj
… …
总
0.8947 -0.1404 -0.0526
-0.0111 0.8889 -0.0333
-0.1053 -0.2632 0.8254
4-4投入产出模型(I0)
0.2 0.4 0 A 0.1 0.1 0.2 0 0.1 0.1
0.326 0.604 0.134 B ( I A) 1 I 0.151 0.208 0.268 0.017 0.134 0.141
0.8 - 0.4 0 I A 0.1 0.9 0.2 - 0.1 0.9 0 1.326 0.604 0.134 ( I A) 1 0.151 1.208 0.268 0.017 0.134 1.141
总产 出 x1 x2
Ⅰ
Ⅱ
n xn1 xn2 合计 折旧
xnn
ynxn新创Fra bibliotek 的价值工资 利润等
合计
d1 d2 dn v1 v2 Ⅲ vn
m1 m2 mn
Ⅳ
投入产出模型（I/O）
1、投入产出表
投入产出表中的部门，既不是通常在经济管理中按隶属关系划分的行 政部门，也不是一般在计划统计中按同类生产企业组成的经济部门， 而是由所用材料相同、工艺技术相同、经济用途相同的同类产品组成 的生产部门，即产品部门，又叫“纯部门”。 部门划分的多少，须根据计划工作和经济分析工作的需要而定。 部门分的较少，将许多部门归并成一个部门，影响资料的准确性；如 果分得太细，则收集资料和编制表格的工作量很大，而且投入产出表 中等于零的xij机会就多，填满率会较低。美国曾经计算过填满率 根据国外经验，部门划分的数目一般在20~200之间为宜。 划分的部门（部门个数） 不等于零的格子数 填满率/% 17 31 85 188 279 804 3846 10245 96.5 83.6 53.5 28.9
投入产出模型（I/O）
3.1 投入产出模型
3.1.2 投入产出模型的产品分配方程
投入产出模型建立在两个基本假设之上：(1)同质 性假设。假定每个部门只生产一种产品，任何一 种产品只属于一个部门，不同部门之间的产品无 相互替代现象；(2)比例性假设。假定每个部门的 投入与每个部门的产品产量或产值成正比关系， 因此投入和产出之间的关系是线性函数关系。 投入产出表如下表3.1.1所示：
表3.1.1 投入产出表
yi 设 xij 表示第 i 部门为第 j部门提供的产品的使用量， 表示第 i部门提供给居民、政府、出口和社会储备等 xi 表示第i部 i 1, 2,, n, j 1, 2,, n ， 最终需求， 门提供的产品产量（或产值），因此投入产出表的 第 i行表示第 i部门的产出，它反映了n个部门对第 i 部门的中间需求与最终需求之和应等于第 i部门的总 产出，则有如下产品分配的平衡关系方程式：
T
预测各部门提供的中间产品价值
T ˆ X AX 80.03 62.56 131.31 0.94 14.02 19.04
若在本年度的基础上，计划下一年度最终产品产值
农业增长3%，轻工业增长8%，重工业增长5%，建
筑业增长8%，运邮业增长12%，商业增长10%，则
计划目标最终产品产值向量为：
n i 1 ij
n
cj
i 1
ij
为中间消耗比率矩阵。令固定资产折旧向量 T T D d1 , d 2 , , d n ,活劳动的报酬向量 V v1 , v2 , , v ， n T M m , m , , m 1 2 纯收入向量 n ，则（3.1.4）可写为 Ac X D V M X ： （3.1.5） 式（3.1.5）称为投入产出产值构成模型。 令 N V M ，则称 N 为n个部门的国民收入向量或 创新价值向量，则有： ( I Ac ) X D N （3.1.6） 式（3.1.6）表明第 j 部门的总产值中扣除中间消耗部 分是固定资产折旧与新创价值之和。
投入产出模型课件-人大-夏明-主讲
– 经济学家已从事线性经济学40余年而不自知，直到晚 近，一块被经济学家所废弃的顽石，忽成为支柱。新 的分析方法都靠利用经济问题的线性特性才得以开展。 此中最流行的方法就该推线性规划、投入产出分析和 对策论了。
– “在读完我们对三项技术的简要说明之后，会很奇怪 它们之间会有任何关系，而且从历史上看，直到三种 个别问题和它们的解答被熟知后，它们间的关系还是 很久没有被看出来”
– Nikaido，H (1968), Convex structures and Economic Theory, New York: Academic Press
– Wood, J.C. and McLure, M.(ed) (2001) Wassily Leontief: critical assessments of leading economists, Routledge, London,
– Journal: ESR
• 方法与据
– 联合国：Handbook of input-output table compilation and analysis, 1999
– OECD:
• ==〉STAN • Home / STAN Input-Output
– As an analytical tool, input-output data are conveniently integrated into macroeconomic models. It also serves a number of other analytical purposes or uses.
– Miller, R.E. and Blair, P.D. (1985) Input-output analysis : foundations and extensions, N.J. : Prentice-Hall , c ,
– “在读完我们对三项技术的简要说明之后，会很奇怪 它们之间会有任何关系，而且从历史上看，直到三种 个别问题和它们的解答被熟知后，它们间的关系还是 很久没有被看出来”
– Nikaido，H (1968), Convex structures and Economic Theory, New York: Academic Press
– Wood, J.C. and McLure, M.(ed) (2001) Wassily Leontief: critical assessments of leading economists, Routledge, London,
– Journal: ESR
• 方法与据
– 联合国：Handbook of input-output table compilation and analysis, 1999
– OECD:
• ==〉STAN • Home / STAN Input-Output
– As an analytical tool, input-output data are conveniently integrated into macroeconomic models. It also serves a number of other analytical purposes or uses.
– Miller, R.E. and Blair, P.D. (1985) Input-output analysis : foundations and extensions, N.J. : Prentice-Hall , c ,
投入产出系数和投入产出模型
9
二、完全消耗和完全消耗系数
⒈ 完全消耗的含义
任何产品在生产过程中，除了各种直接消耗关系外， 还有各种间接消耗关系。
完全消耗=直接消耗 + 全部间接消耗 =直接消耗 + 一次间接消耗 + 二次间接消耗 + 三次间接消耗 +…
2.完全消耗系数
完全消耗系数反映了部门间（产品间）的完全 消耗关系，用bij表示。
24
1.分配方程组和按行建立的模型
（1）分配方程组
对于投入产出表的每一行，不管是价值型还
是实物型，都存在如下平衡方程：
n
xij Y i X i
j 1
i 1,2,..., n
引入直接消耗系数，可以写成：
n
aij X j Y i X i
j 1
i 1,2,..., n
这就是分配方程组。它反映每个部门的总
其向量形式为
Av (av1, av2 ,, avn )
同样地，可计算完全劳动消耗系数向量：
Bv Av (I A)1
21
3、社会纯收入系数
amj M j / X j
Mj 表示j产品在生产过程中所形成的社会纯 收入（利税额），则amj表示单位j产品中的 社会纯收入。
其向量形式为
Am (am1, am2 ,, amn )
完全消耗 系数
0.03953 0.02801 6.01006 1.94831
完全消耗 系数/直接 消耗系数
1.05 1.61 1.00 1.02
0.04646
1.05
0.01874 1.81009 0.04586 0.85691
3.63 1.01 2.40 1.02 19
三、其他消耗系数 1、折旧系数
【数学建模】投入产出模型
§8.3 投入产出模型
投入产出
• 一. 投入产出表 • 1. 概念： • 产品：各生产部门生产的商品 • 中间产品：继续投入生产过程的产品 • 最终产品：推出生产过程的产品 • 投入：生产过程中各部门的投入 • 中间投入：中间产品的物质消耗 • 外购资源：非中间产品的物出
• 三. 模型的分析 • 1. 可行性 • 模型是可行的, 如果对任何非负的最终需求 y ≥ 0 模型总有非负解 x ≥0. • 定理 1. 模型对任何非负的需求 y ≥ 0 有非 1− a −a 1− a > 0, −a 负解 x ≥0, 当且仅当 1 − a > 0 , , | D |> 0
0.112 0.073 0.110 ⎤ ⎥ 0.289 0.013 0.017 ⎥ ⎥ 0.140 0.430 0.198 ⎥ 0.167 0.133 0.154 ⎦
A=
投入产出
• 20. 完全消耗系数 bij , bjkakj : 产品 j 通过产品 k
对产品 i 的需求量 , 则有
bij = aij + ∑ bik a kj , i , j = 1,
k =1
⎡0.047 ⎢0.009 B=⎢ ⎢0.067 ⎢ ⎣0.045
n
,n
• 令 B = (bij) 则有 B = A + BA, B ( I – A) = A • B = A ( I – A)-1 = ( I – A) – I = D-1– I. • B 从完全需求的角度反映出各部门深层次的相 互间的依赖关系 .
1193.1 113.4
298.2
538.4
1491.3 651.8
1004.5 774.2 3921.8 2956 1680 8400
投入产出
• 一. 投入产出表 • 1. 概念： • 产品：各生产部门生产的商品 • 中间产品：继续投入生产过程的产品 • 最终产品：推出生产过程的产品 • 投入：生产过程中各部门的投入 • 中间投入：中间产品的物质消耗 • 外购资源：非中间产品的物出
• 三. 模型的分析 • 1. 可行性 • 模型是可行的, 如果对任何非负的最终需求 y ≥ 0 模型总有非负解 x ≥0. • 定理 1. 模型对任何非负的需求 y ≥ 0 有非 1− a −a 1− a > 0, −a 负解 x ≥0, 当且仅当 1 − a > 0 , , | D |> 0
0.112 0.073 0.110 ⎤ ⎥ 0.289 0.013 0.017 ⎥ ⎥ 0.140 0.430 0.198 ⎥ 0.167 0.133 0.154 ⎦
A=
投入产出
• 20. 完全消耗系数 bij , bjkakj : 产品 j 通过产品 k
对产品 i 的需求量 , 则有
bij = aij + ∑ bik a kj , i , j = 1,
k =1
⎡0.047 ⎢0.009 B=⎢ ⎢0.067 ⎢ ⎣0.045
n
,n
• 令 B = (bij) 则有 B = A + BA, B ( I – A) = A • B = A ( I – A)-1 = ( I – A) – I = D-1– I. • B 从完全需求的角度反映出各部门深层次的相 互间的依赖关系 .
1193.1 113.4
298.2
538.4
1491.3 651.8
1004.5 774.2 3921.8 2956 1680 8400
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由b ij 构成的n阶方阵Bbij 称为各部门间的完全消耗
系数矩阵。
14
定理3 第j部门对第i部门的完全消耗系数, b ij 满足方程
n
bijaij bik akji,j1,2,
定理2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。 证明略
13
（三）完全消耗系数
直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，不能反映各部门间的间接 消耗，为此我们给出如下定义。
定义2 第j部门生产单位价值量直接和间接消耗的第i部门的价 值量总和，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作
b iji,j 1 ,2 , ,n 。
12
0.630.09 0.09
EA10.4145 0.517 0.59 0.095
0.1 0.0850.58
XEA1Y
0.63 0.09 0.09235 400 0.414505.17 0.59 0.095125300
0.1 0.0850.58210 350
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
j1
5
需求平衡方程组：
n
xi xijyii1,2,,n j1
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1
x12
x22
xn2
z2
x2
x1n x2n xnn zn xn
n
xijzj xjj1,2,,n
i 1
(5)
(6) (7)
6
由(3)和(6)，可得：
例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周期内各车间之间的直接消耗
系数及最终需求如表3，求各车间的总产值。
表3
车间
直耗系数 车间
ⅠⅡⅢ
最终需求
Ⅰ
0.25 0.1 0.1
235
Ⅱ
0.2 0.2 0.1
125
Ⅲ
0.1 0.1 0.2
210
0.75 0.1 0.1
解 EA0.2 0.8 0.1
0.1 0.1 0.8
2
（一）投入产出数学模型的概念
投入：从事一项经济活动的消耗； 产出：从事经济活动的结果； 投入产出数学模型：通过编制投入产出表，运用线性代数工具
建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之 间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。
按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。 首先，必须清楚投入产出表。见下：
由定义得
aij
xiji,
xj
j1,2,,n
(9)
把投入产出表中的各个中间需求x ij 换成相应的a ij 后得
到的数表称为直接消耗系数表，并称n阶矩阵Aaij 为直接
消耗系数矩阵。
8
例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如表2，试求直
接消耗系数矩阵。 表2
产出 投入
中间消耗 123
最终需求
一、投入产出数学模型（基础） 二、区域投入产出模型基础知识
1
一、投入产出数学模型（基础）
在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多 少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。
投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入” 与“产出”关系的数学模型.
该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫 （W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。
总产出
1
100 25 30
400
中间 2
80 50 30
250
投入 3
40 25 60
300
净产值 总投入
400 250 300
解：由直接消耗系数的定义 a ij
得直接消耗系数矩阵
x x
ij j
，
0.25 A0.20
0.10 0.20
0.10 0.10
0.10 0.10 0.20
直接消耗系数具有下面重要性质：
3
流量 投入
生产 部门
产出
表1：投入产出表
消耗部门
最终需求
1 2 n 消费 累计 出口
合计
1
x11 x12 x1n
y1
2
x 21 x 22 x 2 n
y2
n
xn1 xn2
x nn
yn
总 产出
x1 x2 xn
新创 工 资 价值 纯收入
合计
总投入
v1 v2 vn m1 m2 mn z1 z2 zn
x1 x2 xn
注：行表示某部门的产出；列表示某部门的投入。
第一行x1表示部门1的总产出水平，x11表示为本部门的使用量，
x 1 j (j=1,2,…,n)表示部门1提供给部门j 的使用量，y j (j=1,2,…,n) 表示供
给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等） 。 这几
个方面总和代表了这个时期的总产出水平。
z2
x2
(12)
a1nx1 a2nx2 annxn zn xn
写成矩阵形式为
X D Z 或 X E D X Z (13)
11
定理1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
如果各部门的最终需求 Y y 1 y 2 y n 已知，则由定 理1知，方程(11)存在惟一解 X x 1 x 2 x n 。
令 X x 1x 2 x n , Y y 1y 2 y n
，
(10)式可表示为 A Y X X ，或
E A XY
(11)
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
10
类似地把 xij aijxj 代入平衡方程(6)得到
a11x1 a21x2 an1xn z1 x1
a12x1
a22x2 an2xn
n
n
yi zj
(8)
i1
j1
这表明：就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、 积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净 产值的总和相等。
7
（二）直接消耗系数
定义1 第j部门生产单位价值所消耗第i部门的价值称为 第j部门对第i部门的直接消耗系数。记作：
a iji,j 1 ,2 , ,n
4
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出
(1)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
得：产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1
x21
x22
x2n
y2
x2
(3)
xn1 xn2 xnn yn xn
n
xijyi xii1,2,,n (4)
性质1
0 a ij 1 i,j 1 ,2 , ,n n
9
性质2
aij1j1,2,,n
i1
由直接消耗系数的定义得 xij aijxj ，代入(3)，得
a11x1 a12x2 a1nxn y1 x1
a21x1
a22x2 a2nxn
y2
x2
(10)
an1x1 an2x2 annxn yn xn
系数矩阵。
14
定理3 第j部门对第i部门的完全消耗系数, b ij 满足方程
n
bijaij bik akji,j1,2,
定理2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。 证明略
13
（三）完全消耗系数
直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，不能反映各部门间的间接 消耗，为此我们给出如下定义。
定义2 第j部门生产单位价值量直接和间接消耗的第i部门的价 值量总和，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作
b iji,j 1 ,2 , ,n 。
12
0.630.09 0.09
EA10.4145 0.517 0.59 0.095
0.1 0.0850.58
XEA1Y
0.63 0.09 0.09235 400 0.414505.17 0.59 0.095125300
0.1 0.0850.58210 350
即三个车间的总产值分别为400，300，350。
j1
5
需求平衡方程组：
n
xi xijyii1,2,,n j1
投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：
x11 x21 xn1 z1 x1
x12
x22
xn2
z2
x2
x1n x2n xnn zn xn
n
xijzj xjj1,2,,n
i 1
(5)
(6) (7)
6
由(3)和(6)，可得：
例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周期内各车间之间的直接消耗
系数及最终需求如表3，求各车间的总产值。
表3
车间
直耗系数 车间
ⅠⅡⅢ
最终需求
Ⅰ
0.25 0.1 0.1
235
Ⅱ
0.2 0.2 0.1
125
Ⅲ
0.1 0.1 0.2
210
0.75 0.1 0.1
解 EA0.2 0.8 0.1
0.1 0.1 0.8
2
（一）投入产出数学模型的概念
投入：从事一项经济活动的消耗； 产出：从事经济活动的结果； 投入产出数学模型：通过编制投入产出表，运用线性代数工具
建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之 间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。
按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。 首先，必须清楚投入产出表。见下：
由定义得
aij
xiji,
xj
j1,2,,n
(9)
把投入产出表中的各个中间需求x ij 换成相应的a ij 后得
到的数表称为直接消耗系数表，并称n阶矩阵Aaij 为直接
消耗系数矩阵。
8
例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如表2，试求直
接消耗系数矩阵。 表2
产出 投入
中间消耗 123
最终需求
一、投入产出数学模型（基础） 二、区域投入产出模型基础知识
1
一、投入产出数学模型（基础）
在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多 少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。
投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入” 与“产出”关系的数学模型.
该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫 （W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。
总产出
1
100 25 30
400
中间 2
80 50 30
250
投入 3
40 25 60
300
净产值 总投入
400 250 300
解：由直接消耗系数的定义 a ij
得直接消耗系数矩阵
x x
ij j
，
0.25 A0.20
0.10 0.20
0.10 0.10
0.10 0.10 0.20
直接消耗系数具有下面重要性质：
3
流量 投入
生产 部门
产出
表1：投入产出表
消耗部门
最终需求
1 2 n 消费 累计 出口
合计
1
x11 x12 x1n
y1
2
x 21 x 22 x 2 n
y2
n
xn1 xn2
x nn
yn
总 产出
x1 x2 xn
新创 工 资 价值 纯收入
合计
总投入
v1 v2 vn m1 m2 mn z1 z2 zn
x1 x2 xn
注：行表示某部门的产出；列表示某部门的投入。
第一行x1表示部门1的总产出水平，x11表示为本部门的使用量，
x 1 j (j=1,2,…,n)表示部门1提供给部门j 的使用量，y j (j=1,2,…,n) 表示供
给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等） 。 这几
个方面总和代表了这个时期的总产出水平。
z2
x2
(12)
a1nx1 a2nx2 annxn zn xn
写成矩阵形式为
X D Z 或 X E D X Z (13)
11
定理1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。
如果各部门的最终需求 Y y 1 y 2 y n 已知，则由定 理1知，方程(11)存在惟一解 X x 1 x 2 x n 。
令 X x 1x 2 x n , Y y 1y 2 y n
，
(10)式可表示为 A Y X X ，或
E A XY
(11)
称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
10
类似地把 xij aijxj 代入平衡方程(6)得到
a11x1 a21x2 an1xn z1 x1
a12x1
a22x2 an2xn
n
n
yi zj
(8)
i1
j1
这表明：就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、 积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净 产值的总和相等。
7
（二）直接消耗系数
定义1 第j部门生产单位价值所消耗第i部门的价值称为 第j部门对第i部门的直接消耗系数。记作：
a iji,j 1 ,2 , ,n
4
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出
(1)
从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入
(2)
得：产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1
x21
x22
x2n
y2
x2
(3)
xn1 xn2 xnn yn xn
n
xijyi xii1,2,,n (4)
性质1
0 a ij 1 i,j 1 ,2 , ,n n
9
性质2
aij1j1,2,,n
i1
由直接消耗系数的定义得 xij aijxj ，代入(3)，得
a11x1 a12x2 a1nxn y1 x1
a21x1
a22x2 a2nxn
y2
x2
(10)
an1x1 an2x2 annxn yn xn