向量的概念及表示
向量的概念及运算
b
)
MD
1 2
(b
a
)
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a) a
分配律
可见 1a a
1a a ;
(a b) a b
则有单位向量 ea
“ ” 已知 b＝ a , 则
b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD2 MBbM源自MA1 2(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小,
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
向量的概念及表示
向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。
【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】 向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 。
（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量 和 相等，则记作 = 。
2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。
平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。
（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。
例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？ 解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量 ，故构成的图形为一单位圆。
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
例： 向量 、 平行，记作// 。
向量 、 、 平行，记作// // 。
（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量。
记为- ， 与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。
例： 在平行四边形ABCD 中，向量 和向量 方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。
向量 和向量 长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。
3、向量的表示 几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如 用| |表示长度。
例： 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量 相等的向量； ②用有向线段表示与向量 共线的向量；解：①与 相等的向量是 、 、 。
向量的概念及表示
√ (5)若a = b ，b = c，则a = c ; √ 若 则 √
变式1:非零向量 变式 非零向量a、b、c ,若a // b ，b // c，则a // c 非零向量 若 变式2: 变式 若a // b ，b // c，则a // c 反例： 反例：b = 0
x
如图， 为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出 的中心， 例2.如图，已知 为正六边形 如图 已知O为正六边形 的中心 向量中： 向量中： 共线的向量； （1）试找出与 共线的向量； ）试找出与FE共线的向量 相等的向量； （2）确定与 相等的向量； ）确定与FE相等的向量 相等吗？ （3）OA与BC相等吗？ ） 与 相等吗 共线的向量有BC和 解：（1）与FE共线的向量有 和OA; ：（ ） 共线的向量有
BF DE、CO、BF 、 、
. .
的模相等的向量有________ （3）与AO的模相等的向量有________个. 的模相等的向量有________个 7 （4）向量AO与CO是否相等？答 向量 与 是否相等？ 是否相等
不是
.
E
A
B
F O D C
3.如图是中国象棋的半个棋盘，“相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘， 相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘 是象棋中相的走法.如相可以从A飞到 飞到A 是象棋中相的走法.如相可以从 飞到 1,也可 以飞到A 问相在棋盘中何处飞法最多？ 以飞到 2，问相在棋盘中何处飞法最多？试 在图中用向量表示. 在图中用向量表示.
E
D
F
O
C
A
B
长度相等且方向相同， （2）与FE长度相等且方向相同，故BC=FE ; ） 长度相等且方向相同 但方向相反， （3）虽然 ）虽然OA//BC, 且 OA = BC ,但方向相反， 但方向相反 故这两个向量不相等. 故这两个向量不相等
向量的概念与运算
向量的概念与运算向量是数学中一种重要的数学对象，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
本文将介绍向量的概念和基本运算方法，以及在实际问题中的应用。
一、向量的定义在数学中，向量是指具有大小和方向的量。
向量通常用有序数对或有序数组表示，如(a, b)或[a, b]。
二、向量表示与性质1. 行向量与列向量向量可以表示为一行或一列数据，分别称为行向量和列向量。
行向量通常写作[a, b, c]，列向量通常写作(a, b, c)。
2. 向量的模向量的模表示向量的长度或大小，通常用|v|表示，计算公式为：|v| = √(a^2 + b^2 + c^2)，其中a、b、c为向量的坐标。
3. 向量的方向角向量的方向角表示向量与某一坐标轴之间的夹角。
一般用α、β、γ分别表示向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角。
4. 向量的相等向量相等表示两个向量在大小和方向上完全相同。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量对应坐标分别相加得到一个新的向量。
即：v + w = (a + x, b + y, c + z)。
2. 向量的减法向量的减法表示将两个向量对应坐标分别相减得到一个新的向量。
即：v - w = (a - x, b - y, c - z)。
3. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量的每个坐标乘以一个常数得到一个新的向量。
即：k * v = (ka, kb, kc)。
4. 向量的点乘向量的点乘也称为内积，表示将两个向量对应坐标分别相乘后相加得到一个数值。
即：v · w = a * x + b * y + c * z。
5. 向量的叉乘向量的叉乘也称为外积，表示将两个向量进行叉乘得到一个新的向量。
即：v × w = (b * z - c * y, c * x - a * z, a * y - b * x)。
四、向量的应用向量广泛应用于各个领域，如以下几个示例：1. 物理学中的力学在物理学中，向量常用于描述力的大小和方向。
向量基础知识点总结
向量基础知识点总结一、向量的概念与表示方法向量是指有大小和方向的物理量，可以用箭头表示。
向量用a 或者AB来表示，其中a表示单个向量，而AB表示由点A指向点B的向量。
二、向量的加法与减法向量的加法可以用三角形法则或者平行四边形法则进行计算。
具体地，对于三角形法则，我们在向量A的末端画出向量B的起点，在连接向量A的起点和向量B的末端，得到向量C。
而平行四边形法则则是在向量A和B所在的平面内，以向量A和向量B 为邻边，连接两条对角线求出向量C。
向量的减法可以通过加上相反向量的方式进行计算。
即A-B=A+(-B)。
三、向量的数量积与点积向量的数量积（也称为内积）是指两个向量的数量乘积再乘以它们夹角的余弦值。
具体地，设向量A和向量B的夹角为θ，则A·B=|A||B|cosθ。
这个值可以表示向量A在向量B方向上的投影长度。
如果两个向量垂直，则它们的数量积为0；如果两个向量平行，则它们的数量积为它们长度的积。
向量的点积（也称为外积）是指两个向量中一个向量在另一个向量的方向上的大小。
记向量A在向量B上的投影长度为|A|cosθ，则A×B=|A|×|B|×sinθ×n，其中n为单位向量，表示A、B的法向量方向。
具体而言，我们可以用右手法则来确定A、B乘积的方向。
四、向量的线性运算向量的线性运算包括向量的数乘、向量的加法以及向量的减法。
具体而言，向量的数乘是指对向量的每个分量进行相同的数乘，即kA=(ka1,ka2,ka3,...,kan)；向量的加法和减法则是对向量的对应分量进行加和或减和的运算。
五、向量的模长和单位向量向量的模长是指向量的大小，用|A|表示。
如果一个向量的模长为1，则它是一个单位向量。
具体而言，我们可以使用向量的数量积来计算向量的模长。
设向量A的数量积为A·A，则|A|=sqrt(A·A)。
六、向量的投影和分解向量的投影是指向量在另一个向量方向上的长度。
向量的基本概念及运算
向量的基本概念及运算向量是数学中常用的表示量的工具，它具有大小和方向两个属性。
在物理学、几何学、工程学等学科中广泛应用。
本文将介绍向量的基本概念以及常见的运算方法。
一、向量的基本概念向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
一般用大写字母加上箭头来表示向量，如A、B等。
向量的起点可以是任意的，终点也可以是任意的，只要保持方向和大小一致即可。
二、向量的表示方法1. 平面向量的表示平面向量由两个有序实数构成，可以表示为A = (x, y)，其中x和y 分别表示向量沿x轴和y轴的分量。
2. 空间向量的表示空间向量由三个有序实数构成，可以表示为A = (x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量沿x轴、y轴和z轴的分量。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相接，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量。
A +B = (x1 + x2, y1 + y2)A +B +C = A + (B + C) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)2. 向量的减法向量的减法表示为A - B，即A + (-B)，其中-B表示B的反向量。
向量的减法可以转换为向量的加法进行计算。
A -B = (x1 - x2, y1 - y2)3. 向量的数乘向量的数乘指将向量的每个分量都乘以同一个实数。
数乘后的向量与原向量方向相同（当实数大于0时），或反向（当实数小于0时），大小为原向量大小的绝对值与实数的乘积。
kA = (kx, ky)四、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的大小，表示为|A|。
计算公式为：|A| = √(x^2 + y^2) （平面向量）|A| = √(x^2 + y^2 + z^2) （空间向量）2. 零向量零向量是指模为零的向量，用0表示。
零向量的方向可以是任意的，但是定义上无法确定。
3. 单位向量单位向量是指模为1的向量，可以通过将向量除以模得到。
向量及其坐标表示法
3 2 a y a cos 6 4 , 3 2 az a cos 6 4. 3
例6 已知作用于一质点的三 个力为F1 i 2k , F2 2i 3 j 4k , F3 j k , 求其合力F的大小及方向角。
单位向量：模为1的向量.
0
0 2
1
不考虑起点位置的向量.即只考虑向量 自由向量： 的大小和方向，而不论它的起点在何处. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量.
a
:
： b
负向量： 大小相等但方向相反的向量. a
: a
a:
向量的加减法
[1] 加法： a b c
{a x bx , a y by , a z bz }; a ( a x )i ( a y ) j ( a z )k
a x , a y , az .
例3 已知a {3,5,1}, b {2,2,2}, c {4,1,3} 求(1)a b ( 2)2a 3b 2c
2 2
2
y
cos
az a x a cos 2 cos 2 cos 2 1
特殊地：单位向量可表示为
0 a a |a |
{cos , cos , cos }.
例4 已知M 1 1,2,3, M 2 4,2,1，求 M 1 M 2的模 及方向余弦。
a AB OB OA
3. 向量运算的坐标表达式 设 a {a x , a y , az }, b {bx , b y , bz },
则 a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
向量的基础知识及应用
向量的基础知识及应用向量是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的基础知识，包括向量的定义、向量的表示方法、向量的运算法则，以及向量在几何和物理中的应用。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
向量通常用字母加上一个箭头来表示，如a→。
向量的大小称为向量的模，用|a→|表示。
向量的方向可以用角度或者与坐标轴的夹角来表示。
二、向量的表示方法向量可以用坐标表示，也可以用分量表示。
在二维空间中，向量a→可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量a→可以表示为(a1, a2, a3)，其中a1、a2和a3分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
三、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量a→、b→和c→，有(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)和a→+b→=b→+a→。
2. 向量的数乘：向量的数乘满足结合律和分配律。
即对于向量a→和实数k，有k(a→+b→)=ka→+kb→和(k+m)a→=ka→+ma→。
3. 向量的减法：向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
即a→-b→=a→+(-b→)。
4. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示为a→·b→。
数量积的结果是一个实数，计算公式为a→·b→=|a→||b→|cosθ，其中θ为a→和b→之间的夹角。
5. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉积，表示为a→×b→。
向量积的结果是一个向量，计算公式为|a→×b→|=|a→||b→|sinθn→，其中θ为a→和b→之间的夹角，n→为垂直于a→和b→所在平面的单位向量。
四、向量在几何中的应用1. 向量的平移：向量可以表示平移的方向和距离。
如果有一个向量a→表示平移的方向和距离，那么点P经过平移后的位置为P'，P'的坐标可以表示为P' = P + a→。
向量的定义与运算
向量的定义与运算向量是数学中的一个重要概念，在许多学科中都有广泛应用。
本文将详细介绍向量的定义以及常见的向量运算。
一、向量的定义在数学中，向量是由若干个有序实数构成的有向线段。
通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，而箭头的长度和方向表示向量的大小和方向。
二、向量的表示方法1. 列向量表示法：向量可以用一个竖线列出，称为列向量。
例如，向量a可以表示为：a = [a₁, a₂, ..., an]ᵀ（其中ᵀ表示转置）2. 坐标表示法：向量可以用坐标表示。
例如，在二维空间中，向量a可以表示为：a = [a₁, a₂]（其中a₁和a₂分别表示向量在x轴和y轴上的分量）三、向量的运算向量之间可以进行多种运算，包括：1. 向量的相加：向量相加就是将对应位置的分量相加。
例如，向量a和向量b相加可以表示为：a +b = [a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., an + bn]ᵀ2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法就是将向量的每个分量乘以一个常数。
例如，向量a乘以常数c可以表示为：c * a = [c * a₁, c * a₂, ..., c * an]ᵀ3. 向量的点乘：向量的点乘也称为内积，表示对应位置的分量相乘后再相加。
例如，向量a和向量b的点乘可以表示为：a ·b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + an * bn4. 向量的叉乘：向量的叉乘也称为外积，只适用于三维空间中的向量。
叉乘的结果是一个新的向量，其方向垂直于原有两个向量所在的平面。
例如，向量a和向量b的叉乘可以表示为：a ×b = [a₂ * b₃ - a₃ * b₂, a₃ * b₁ - a₁ * b₃, a₁ * b₂ - a₂ * b₁]四、向量的性质向量具有许多重要的性质，包括：1. 向量的模长：向量的模长是指向量的大小或长度。
在二维空间中，向量a的模长可以表示为：|a| = √(a₁² + a₂²)在三维空间中的向量模长的计算公式类似。
向量的概念及向量的表示
向量模的计算
定义
向量$vec{a}$的模定义为 $|vec{a}| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$，其中$n$是向量的维 数，$a_i$是向量的分量。
向量坐标的运算
总结词
向量的坐标运算包括加法、数乘、向量的模等基本运算。
详细描述
设两个平面向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和 $overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$，则它们的和向量 $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$；数乘运算中， $koverset{longrightarrow}{a} = (kx_{1}, ky_{1})$；向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$。
计算方法
根据定义，可以通过计算向量 的分量平方和，然后取平方根 得到向量的模。
特殊情况
当向量模为0时，表示该向量 是零向量；当向量模为无穷大 时，表示该向量不存在。
向量模的应用
80%
向量长度
向量的模可以用来表示向量的长 度或大小。
平面向量的概念及表示
向量的概念及表示1.向量的概念：(我们把既有大小又有方向的量叫向量＞2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：错误!.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：(1〉综合①、②才是平行向量的完整定义；(2〉向量a、b、c平行，记作a〃b〃c.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1〉向量a与b相等，记作a=b；(2〉零向量与零向量相等；(3〉任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，系这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：(1＞平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2＞共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量错误!与错误!是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；b5E2RGbCAP②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是错误！=错误！；p1EanqFDPw⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.分析：①不正确•共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量错误！、错误!在同一直线上.DXDiTa9E3d②不正确•单位向量模均相等且为1,但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的④、⑤正确.⑥不正确.如图，错误!与错误!共线，虽起点不同，但其终点却相同.RTCrpUDGiTABCJ1>评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.【例2】：下列命题正确的是〈）A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确，由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确•向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确.对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.5PCzVD7HxA 评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.jLBHrnAILg说明：1.向量有三个要素：起点、方向、长度.2.向量不能比较大小，但向量的长度（或模>可以比较大小3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.4.向量a与实数a.5.零向量0与实数06.注意下列写法是错误的：②错误！+错误！+错误！=0。
向量知识点
第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。
（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。
（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。
A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。
记作：4、零向量：长度为0的向量。
记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。
关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
记作：，或规定：零向量与任一向量平行。
2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。
记作：，或零向量与零向量相等。
3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。
注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。
1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。
解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。
（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。
（6）错误方向不定。
（7）错误线段AB可与线段CD平行。
（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。
[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。
向量知识点总结
向量知识点总结在数学和物理学中，向量是一种具有大小和方向的量。
它在许多领域中都有广泛应用，包括几何、力学、电磁学等。
本文将总结向量的基本概念、运算法则以及一些常见应用。
1. 向量的基本概念向量由大小和方向两个要素组成。
我们通常用箭头（→）来表示向量，如AB→。
向量可以用坐标表示，也可以用矩阵表示。
2. 向量的表示方法2.1 坐标表示：向量的坐标表示为(x, y, z)，分别代表向量在x、y、z轴上的投影长度。
2.2 矩阵表示：向量也可以用矩阵表示，如A = [a1, a2, a3]，其中a1、a2、a3为向量在不同轴上的分量。
3. 向量的运算法则3.1 向量的加法：当两个向量的方向相同时，它们的加法就是将两个向量的对应分量相加，如A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
3.2 向量的减法：向量的减法是指将被减向量的分量取相反数后与减向量相加，如A - B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
3.3 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的每个分量都与一个常数相乘，如kA = (kx, ky, kz)，其中k为常数。
3.4 向量的点积：向量的点积是指两个向量对应分量乘积的和，如A · B = x1x2 + y1y2 + z1z2，结果是一个标量。
3.5 向量的叉积：向量的叉积是指两个向量相乘得到一个新的向量，如A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。
4. 向量的性质4.1 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
4.2 垂直向量：如果两个向量的点积为0，则它们是垂直向量。
4.3 单位向量：向量的长度称为其模，单位向量是模为1的向量。
5. 向量的应用5.1 几何：向量在几何中有广泛的应用，如表示线段、直线、平面的方向和距离等。
5.2 力学：向量在力学中用于描述力和速度等物理量。
向量的概念及向量的表示
空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，则对 空间任一向量 p，存在一个唯一的有 序实数组 x、y、z，使得 p = xa + yb + zc。
应用
空间向量基本定理是空间向量坐标表 示的基础，它说明空间中的任一向量 都可以表示为其他三个不共面向量的 线性组合。
向量在解析几何中作用
线性组合与线性方程组的解
线性方程组可以表示为一系列向量的线性组合等于零向量的形式。线性方程组的解与这些 向量的线性相关性密切相关。当且仅当这些向量线性无关时，方程组有唯一解；否则，方 程组有无穷多解或无解。
04 向量运算及应用
加法运算及物理意义
向量加法的定义
两个向量相加，即将它们的对应 分量相加得到新的向量。
磁场强度
磁场强度是描述磁场中某点磁场力作用强弱和方向的物理量，也是一个矢量。在电磁学中，磁场强度 用向量表示，其大小等于单位电流元在该点所受磁场力的大小与电流元方向之间的夹角的正弦值的乘 积，方向遵循右手定则。
波动现象中波矢描述
• 波矢：波矢是描述波动现象中波的传播方向和波长的物理量， 是一个矢量。在波动现象中，波矢用向量表示，其大小等于波 的角频率与光速的比值，方向指向波的传播方向。波矢在波动 现象的研究中具有重要意义，例如在光的干涉、衍射等现象中 需要用到波矢的概念。
到新的向量。
几何意义
02
数乘运算在几何上表现为向量的缩放，即改变向量的长度而不
改变其方向。
物理意义
03
在物理学中，数乘运算用于描述力的缩放或速度的变化，如一
个力的大小可以通过数乘运算进行调整。
点积、叉积运算及应用
点积运算的定义
两个向量的点积是将它们的对应分量相乘后相加 得到的标量。
向量的概念及表示
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
问题情境 • 如图所示，用100N的力，按照不同的
方向拉一辆车，效果一样吗？
30º
建构数学
一．向量的相关概念
1、既有大小又有方向的量叫做向量。 (矢量) 2、只有大小没有方向的量叫做数量（。标量）
1、数量与向量的区别？ 2、在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
学生活动
• 例1:质量、加速度、身高、体 重、面积、体积、力、温度、 路程、位移、密度、数轴这些 量中，哪些是数量？哪些是向 量？
向量的2个要素:“大小”和“方向”
建构数学 2、向量的表示 Ｎ f
几何表示
向量常用一条有向线段来表示.
Ｇ
①有向线段:带有方向的线段。
②有向线段的3要素：起点、方向、长度
问题情境
• 如果要找一个物理量来刻画从学校到东 榆镇政府的位置变化，应该用哪个量？
• “位移”和“路程”这两个物理量一样 吗？
建构数学
一．向量的相关概念
1、只有大小没有方向的量叫做数量。
2、既有大小又有方向的量叫做向量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
2、向量 AB 与向量 BA表示同一个向量。
3、共线向量一定在一条直线上。
4、不相等的两个向量一定不平行。
5、零向量没有方向。
6、任何两个单位向量都是平行向量。
7、起点相同终点不同的两个向量一定不共线。
8、向量就是有向线段。
向有但量向并与线非有段说向是向线向 量段的量就区的是别有形？向象线表段示，。
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。
向量基本概念
向量基本概念
向量是最基本的数学工具之一，它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的基本定义、表示方法以及相加、相减、数量积、向量积等运算。
一、向量的定义
向量是空间中具有大小和方向的量，一般用箭头表示。
它由两个端点确定，可以表示为有序的数对或坐标。
二、向量的表示方法
1. 点表示法：将一个向量的起点放在坐标原点O，将终点放在坐标系内的某个点，然后用有向线段或箭头表示向量。
2. 坐标表示法：将向量的起点放在坐标原点O，终点坐标用有序数对(x,y,z)表示。
三、向量的运算
1. 向量相加：将两个向量的末端相接，以它们的起点作为相加后向量的起点，终点作为相加后向量的终点。
2. 向量相减：将一个向量的相反向量加到另一个向量上，即将相反向量变为相应向量再相加。
3. 数量积：两个向量的数量积也叫点积，记为a·b，其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以两个向量的模长之积。
4. 向量积：两个向量的向量积也叫叉积，记为a×b，其结果是一个向量，垂直于两个向量所在的平面，并且符合右手法则。
四、小结
向量是数学学科中最基础的概念之一。
通过点表示法和坐标表示法，可以表示向量的大小、方向和位置。
向量的相加、相减、数量积和向量积是向量最基本的运算，它们在物理、工程、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
向量知识点全总结
向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。
向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。
1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。
（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。
（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。
1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。
也可以用物理量的大小和方向表示。
1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。
（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。
（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。
1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。
（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。
1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。
对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。
可以用夹角来表示向量的方向。
1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。
1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。
向量的概念及表示
一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 二.向量的表示
1. 几何法:用有向线段表示 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所 指的方向表示向量的方向.
a
A
B
2. 用字母表示 记作：
AB,
或
a
3. 向量的长度(模): 向量 AB 的大小
| AB |
三、两个基本向量：
零向量: 长度为零的向量(方向任意).量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
D E
F
O
C
A
OA与BC 相等吗？
互为相反向量
B
向量的模是可以进行大小比较的; 向量是不能比较大小的.
| a || b | a b
有意义 没有意义
记作：
0,
| 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
想一想：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向
量，它们终点的轨迹是什么图形？
四、向量的关系：
平行向量: 方向相同或相反的非零向量. 记作：
a // b
规定：零向量与任一向量平行.
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
记作： b , 若 a b a
向量的概念及其运算
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
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a
A
D
B
C
向量的概念及表示
一、创设情景，揭示课题
问题1：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似： （1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功； （2）物体所受重力； （3）物体的质量为a 千克； （4）1月1日的4级偏南风的风速． 问题2：上述的物理量中有什么区别吗？ 二、研探新知 1．概念辨析
（1）向量的定义：_____________________________．
（2）向量的表示：向量通常用一条_________来表示，有向线段的长度表示向量的_____，箭头所指的方向表示向量的______．以A 为起点、B 为终点的向量记为_____．向量也可以用小写字母a , b , c 来表示．
（3）向量的大小及表示：向量AB →
的大小称为向量的______（或称为____），记作______． （4）零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0，方向任意．
（5）单位向量：长度等于___________的向量，叫做单位向量，即|e | = 1． 【思考】①温度有零上零下之分，那么“温度”是否为向量？
②AB →与BA →
是否为同一向量？
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？
【思考】平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？
2．关系探究
【问题】在平行四边形ABCD 中，向量AB →与CD →，AB →与DC →
有什么关系？
（1）平行向量：______________________ 叫做平行向量．若a , b , c 是一组平行向量，则可以记作a ∥b ∥c ． 我们规定0与任一向量平行．
（2）相等向量：____________________的向量叫做相等向量．规定：0 = 0．若向量a 和b 相等，记作a = b ． （3）相反向量：长度相同且方向相反的向量叫相反向量．
（4）共线向量：任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上取一点O ，则可在l 上分别作出OA →
= a ， OB → = b ，OC →
= c ．这就是说，任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量． （5）共线向量与平行向量关系
①平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．），要区别于两平行线的位置关系；
②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
A （起点）
B
（终点）
【几点说明】
1．向量有两个要素：______、______；
2．向量_____比较大小，但______________可以比较大小；
3．实数与向量不能_______，但实数与向量可以______．相乘的意义就是______________； 4．向量a 与实数a ； 5．零向量0与实数0；
6．注意下列写法是错误的：a − a = 0；AB → + BC → + CA →
= 0；a + 0 = a ；|a | − |a | = 0．
【经典范例】 例1．判断正误：
（1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？
例2．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒走了200千米到达
C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达
D 点，
（1）作出向量AB →, BC →, CD →；（2）求|AD →
|．
例3．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA →, OB →, OC →
相等的向量．
变式一：与向量OA →
长度相等的向量有多少个？
变式二：是否存在与向量OA →
长度相等、方向相反的向量？
变式三：与向量OA →
共线的向量有哪些？
A
B
C
D E
F O
追踪训练一
1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量AB →与CD →
是共线向量，则A , B , C , D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB → = DC →
； ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
2．已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，在图所标出的向量中：
（1）试找出与FE →
共线的向量；
（2）确定与FE →
相等的向量；
（3）OA →与BC →
相等吗？
3. 在图（1）中的45⨯方格纸中有一个AB →，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB →
相等的向
量有多少个？与AB →长度相等的共线向量有多少个？（AB →
除外）
例4．若E , F , M , N 分别是四边形ABCD 的边AB , BC , CD , DA 的中点，求证：EF → = NM →
．
追踪训练二
1．已知四边形ABCD 中，AB → = 12
DC →，且|AD →| = |BC →
|，则四边形ABCD 的形状是_________．
2．⊙O 的周长是2π，AB 是⊙O 直径，C 是圆周上的一点，∠BAC = π6，CD ⊥ AB 于D ，这时|CD →
| = _______．
3．已知飞机从甲地按北偏东30︒的方向飞行2000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30︒的方向飞行2000 km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002 km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
课后作业
1．下列说法中错误的是（ ） A ．零向量的长度为0 B ．零向量没有方向
C ．零向量与任意向量平行
D ．零向量的方向是任意的
2．已知|a | ≠ 1，且a ≠ 0，则与a 平行的单向量有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个 3．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AO →, BO →, CO →
是（ ）
A ．相等向量
B ．模相等的向量
C ．共线向量
D ．共起点的向量 4．把平面上所有单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形为（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．一个圆 D ．圆上的一群孤立点 5．下列命题是假命题的是（ ）
A ．若两个向量不共线，则这向量中一定没有零向量
B ．AB →的长度与BA →
的模相等
C ．长度相等但方向相反的两个向量一定共线
D ．方向不同的两个向量必不共线
6．有下列四个命题：①两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；②两个有公共终点的向量，一定是
共线向量；③两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同；④若AB →与CD →
是共线向量，则点A , B , C , D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数为（ ）
A ．1
B ．0
C ．2
D ．3 7．下列命题中正确的是____________________．
① a = b ，则a ∥b ；② a ∥b ，则a = b ；③ |a | = |b |，则a = b ； ④ a = b ，则|a | = |b |． 8．在四边形ABCD 中，AB → = DC →，且|AB →| = |DC →
|，则这个四边形是___________．
9．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：
（1）分别写出与AO →,BO →
相等的向量； （2）写出与AO →
共线的向量；
（3）写出与AO →的模相等的向量； （4）向量AO →与CO →是否相等？
B
A E
F D
C O。