向量的概念及表示

a

A

D

B

C

向量的概念及表示

一、创设情景，揭示课题

问题1：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似： （1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功； （2）物体所受重力； （3）物体的质量为a 千克； （4）1月1日的4级偏南风的风速． 问题2：上述的物理量中有什么区别吗？ 二、研探新知 1．概念辨析

（1）向量的定义：_____________________________．

（2）向量的表示：向量通常用一条_________来表示，有向线段的长度表示向量的_____，箭头所指的方向表示向量的______．以A 为起点、B 为终点的向量记为_____．向量也可以用小写字母a , b , c 来表示．

（3）向量的大小及表示：向量AB →

的大小称为向量的______（或称为____），记作______． （4）零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0，方向任意．

（5）单位向量：长度等于___________的向量，叫做单位向量，即|e | = 1． 【思考】①温度有零上零下之分，那么“温度”是否为向量？

②AB →与BA →

是否为同一向量？

③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？

【思考】平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？

2．关系探究

【问题】在平行四边形ABCD 中，向量AB →与CD →，AB →与DC →

有什么关系？

（1）平行向量：______________________ 叫做平行向量．若a , b , c 是一组平行向量，则可以记作a ∥b ∥c ． 我们规定0与任一向量平行．

（2）相等向量：____________________的向量叫做相等向量．规定：0 = 0．若向量a 和b 相等，记作a = b ． （3）相反向量：长度相同且方向相反的向量叫相反向量．

（4）共线向量：任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上取一点O ，则可在l 上分别作出OA →

= a ， OB → = b ，OC →

= c ．这就是说，任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量． （5）共线向量与平行向量关系

①平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．），要区别于两平行线的位置关系；

②共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．

A （起点）

B

（终点）

【几点说明】

1．向量有两个要素：______、______；

2．向量_____比较大小，但______________可以比较大小；

3．实数与向量不能_______，但实数与向量可以______．相乘的意义就是______________； 4．向量a 与实数a ； 5．零向量0与实数0；

6．注意下列写法是错误的：a − a = 0；AB → + BC → + CA →

= 0；a + 0 = a ；|a | − |a | = 0．

【经典范例】 例1．判断正误：

（1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？

例2．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒走了200千米到达

C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达

D 点，

（1）作出向量AB →, BC →, CD →；（2）求|AD →

|．

例3．如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA →, OB →, OC →

相等的向量．

变式一：与向量OA →

长度相等的向量有多少个？

变式二：是否存在与向量OA →

长度相等、方向相反的向量？

变式三：与向量OA →

共线的向量有哪些？

A

B

C

D E

F O

追踪训练一

1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量AB →与CD →

是共线向量，则A , B , C , D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB → = DC →

； ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

2．已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，在图所标出的向量中：

（1）试找出与FE →

共线的向量；

（2）确定与FE →

相等的向量；

（3）OA →与BC →

相等吗？

3. 在图（1）中的45⨯方格纸中有一个AB →，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB →

相等的向

量有多少个？与AB →长度相等的共线向量有多少个？（AB →

除外）

例4．若E , F , M , N 分别是四边形ABCD 的边AB , BC , CD , DA 的中点，求证：EF → = NM →

．

追踪训练二

1．已知四边形ABCD 中，AB → = 12

DC →，且|AD →| = |BC →

|，则四边形ABCD 的形状是_________．

2．⊙O 的周长是2π，AB 是⊙O 直径，C 是圆周上的一点，∠BAC = π6，CD ⊥ AB 于D ，这时|CD →

| = _______．

3．已知飞机从甲地按北偏东30︒的方向飞行2000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30︒的方向飞行2000 km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002 km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？