高中数学几何最值问题求法例举学法指导

高中数学几何最值问题求法例举

最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法．

一、几何法

利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快．

例1、已知P （x,y ）是圆01x 4y x 22=+-+上的一点，求x

y 的最大值与最小值。 【分析】

x 0y x y --=，于是问题就可以转化为在以A （2，0）为圆心，以3为半径的圆上求点P ，使它与原点连线的斜率为最大或最小。

由示意图可知，当OP 与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。由OA=2，AP 1=AP 2=

3，且AP 1⊥OP 1，AP 2⊥OP 2，OP 1=OP 2=1，且∠AOP 1=∠AOP 2=60°，得3x y ,3x y min

max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛。

二、代数法

用代数法求最值常用的方法有以下几种：

1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（+∞-∞,）范围内方程有解，这一点应切记．

例2、（同例1）

【分析】 设k x

y =，将y=kx 代入圆方程得01x 4x )k 1(22=+-+。x 为实数，方程有解，0≥∆，解得3k 3≤≤-，故3k ,3k min max -==。 即3x y ,3x y min

max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛。 2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围． 例3、已知椭圆98y 2x 22=+及点P （0，5），求点P 到椭圆上点的距离的最大值与最小值．

【分析】

以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r 1，则r 1为点P 到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r 2，则r 2为点P 到椭圆上点的距离的最大值． 因9852022<⨯+，故点P （0，5）在椭圆内部．

设以（0，5）为圆心的圆方程为222r )5y (x =-+，与椭圆方程联立消去x 2

，得)7y 7(148)5y (r 22≤≤-++-=。当5y -=时，148r 2max =，即372r max =；当y=7时，4r 2min =，

即2r min =。

注：这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r 的函数，利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值．值得注意的是因为r 的定义域的限制，这里不适合利用判别式法．

3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，必须注意应用基本不等式的条件，特别要注意等号的条件以及“和”（或“积”）是不是常数，若连续应用不等式，那么要特别注意同时取等号的条件是否存在．若存在，有最值；若不存在，无最值．

例4、过点A （1，4）作一直线，它在两坐标轴上的截距都为正数，且其和为最小，求这条直线的方程．

【分析】 可用截距式设所求直线方程为4b ,4

b b a ),0b ,0a (1b y a x >-=>>=+。 04b ,0b ,54b 4

b 4b 4b b b a s >->+-+-=+-=

+=， ∴954s ,4)4b (4b 424b 4b 4=+≥=-⋅-≥-+-，当且仅当4b 4

b 4-=-时s 取最小值，即b=6。故所求直线方程为16

y 3x =+。