重庆巴蜀2021届高二上期末考试数学答案
2021-2022学年重庆市部分区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )A. B. C. D.2.，是椭圆的焦点，点P在椭圆上，点P到的距离为1，则P到的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 63.已知是直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则y的值为( )A. B. C. 4 D.4.某工厂去年的电力消耗为m千瓦，由于设备更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为( )A. 千瓦B. 千瓦C. 千瓦D. 千瓦5.在正方体中，，则( )A. B. C. D.6.等差数列中，为其前n项和，，则的值为( )A. 13B. 16C. 104D. 2087.直线平分圆C：的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则( )A. 5B.C. 3D.8.如图，过拋物线的焦点F的直线与拋物线交于两点，与其准线l交于点点B位于之间且于点D且，则等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.在四面体中，，，，，则以下选项正确的有( )A. B.C. D.10.对于直线以下说法正确的有( )A.的充要条件是 B. 当时，C. 直线一定经过点D. 点到直线的距离的最大值为511.椭圆的离心率为，短轴长为，则( )A. 椭圆的方程为B. 椭圆与双曲线的焦点相同C. 椭圆过点D. 直线与椭圆恒有两个交点12.若数列满足，，的前n项和为，下列结论正确的( )A. B. C. D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知点，，则线段MN的垂直平分线的一般式方程为__________.14.已知数列的前n项和，则该数列的首项__________，通项公式__________.15.双曲线的左顶点为A，虚轴的一个端点为B，右焦点F到直线AB的距离为，则双曲线E的离心率为__________.16.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，分别为的中点，连接，则点F到平面PCE的距离为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
重庆市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ） l k 23k =l A ．或 B ．或 C ．或 D ．或30 150 45 135 60 120 90 180 【答案】C【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为， l α0180α≤< 因为，所以，23k=k =当； k tanα=60α= 当， k =tan α=120α= 所以直线的倾斜角为或. l 60 120 故选：C.2．已知点在坐标平面内的射影为点，则（ ）()2,1,3A -Oxz B OB =A BCD【答案】C【分析】根据已知条件及向量的模公式即可求解.【详解】因为点在坐标平面内的射影为点, ()2,1,3A -Oxz B 所以，()2,0,3B -所以，()2,0,3OB =- 所以.OB == 故选：C.3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）22131x y m m +=+-m A ． B ．C ．D ．()3,1-()1,1-()3,1--()()3,11,1--- 【答案】D【分析】根据方程表示椭圆的条件即可求解.【详解】因为方程表示椭圆，22131x y m m+=+-所以，解得且，301031m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩31m -<<1m ≠-所以实数的取值范围为. m ()()3,11,1--- 故选：D.4．大衍数列0，2，4，8，12，18，…来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其通项公式为，则（ ）221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数100101a a -=A ． B ．C ．100D ．101101-100-【答案】B【分析】根据通项公式直接计算得到答案.【详解】，故.221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数221001*********10022a a --=-=-故选：B5．如图，在棱长为的1正方体中，点是线段的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -E 11A C 1AE D B ⋅=A ．1B ．0C ．D ．12-1-【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，()()()1111,0,0,,,1,1,1,0,0,0,122A E B D ⎛⎫⎪⎝⎭所以，，()111,,1,1,1,122A B E D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，.1111122AE D B ⋅=-+-=- 故选：D6．已知圆，直线与圆相交于，两点，则的22:2410C x y x y +---=:210l ax y a --+=C A B AB 最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【分析】由题意得直线过定点且点在圆内，由结合弦长公式可得结果． ()2,1D D d CD ≤=【详解】圆：的圆心，半径C ()()22126x y -+-=()1,2C r =直线即，则直线经过定点 :210l ax y a --+=(2)10a x y --+=l ()2,1D由,得点在圆内CD r =<D设圆心到直线的距离为，则，（当时取等号） C l d d CD ≤=CD l ⊥则，（当时取等号） 4AB ==≥=CD l ⊥则的最小值为4. AB 故选：C.7．已知，则方程表示的曲线可能是（ ）0a ≠(()20ax x ay a -+=A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物(()20ax x ay a -+=0ax =20x ay a -+=线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.【详解】方程，得或，(()20ax x ay a -+=0ax =20x ay a -+=当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的0a >22y a x =()0,0x y ≥≥1y x a a=+0,0x y ≥≥部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A ，B ，D 不符合，C 符合； y 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的0a <22y a x =()0,0x y ≤≥1y x a a=+0,0x y ≤≥部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A ，B ，C ，D 均不符合， y综上，方程表示的曲线可能是C.(()20ax x ay a -+=故选：C.8．双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线的右支上存在一点，()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F C P 使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） 12PF F △CA ．B ．C ．D ．(()1)+∞)1,+∞【答案】B【分析】当时，．因为为钝角等腰三角形，则，且212PF F F ⊥22b PF a=12PF F △2122PF F F c ==为钝角，所以，结合的关系求解即可．21PF F ∠22b c a>,,,a b c e 【详解】当时，． 212PF F F ⊥22b PF a=因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以，12PF F △2122PF F F c ==21PF F ∠22bc a>即，所以，结合，解得． 2222ac b c a >=-2210e e --<1e >11e <<故选：B.二、多选题9．已知数列的通项公式为，则（ ） {}n a 316n na n =-A ．数列为递增数列 B ． {}n a 4862+=a a a C ．为最小项 D ．为最大项5a 6a 【答案】CD【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的{}n a 11616393n a n =+⎛⎫- ⎪⎝⎭*N n ∈性质即可判断A 、C 、D ；求得即可判断B ．486,a a a +【详解】， 11616316393n n a n n ==+-⎛⎫- ⎪⎝⎭当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减， 5n >*N n ∈0n a >5n ≤*N n ∈0n a <则为最小项，为最大项，故C 、D 正确，A 错误；5a 6a ，，则，故B 错误，4803414863816a a +=⨯-⨯-+=6336616a ⨯==-4862a a a +≠故选：CD ．10．椭圆上一点和圆上一点，则的值可能是（ ）22143x y +=P ()22114x y -+=Q PQ A ． B ．1 C ．3 D ．414【答案】BC【分析】先转化为椭圆上一点到圆心的距离，利用二次函数单调性求出范围，再由圆上点的几何性质，求出的取值范围.PQ 【详解】设圆心为，，()1,0C 00(,)P x y 则，其中， ()222200001||1244PC x y x x =-+=-+[]02,2x ∈-由对称轴为知，时，函数单调递减，04x =[]02,2x ∈-则，所以，[]2||1,9PC ∈[]||1,3PC ∈则有，． 17||||22PQ PC ≤+≤11||||22PQ PC ≥-≥故选：BC11．若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） {},,AB AC ADA ．存在，使得,x y ∈R AB x AC y AD =+B ．也构成空间的一个基底{},,BC CD AB C ．若，则直线与异面AP AB AC AD =++AP BD D ．若，则，，，四点共面AP AB AC AD =-+P B C D 【答案】BCD【分析】根据空间向量基本定理判断A,B 选项，再由共线向量基本性质及为一组基底{},,AB AC AD判断出C 、D.【详解】由题意知，三向量不共面，所以错误；,,AB AC ADA 若三向量共面，则有，,,BC CD AB()()AB xBC yCD x AC AB y AD AC =+=-+- 化简有：，因为不共面，()()10x AB x y AC y AD --+-+= ,,AB AC AD则，无解，故三向量不共面，能够构成一组基底，故B 正确； 1000x x y y --=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,,BC CD AB 若与共面，则有，则有，与题意矛盾，故AP BDAP mAB nAD =+ ()()110m AB AC n AD -++-= C 正确； 若，化简有，则有，所以四点共面，故D 正确． AP AB AC AD =-+ AP AB AC AD -=-+ BP CD =故选：BCD12．设圆与圆的公共点为，，点在圆上运221:6260C x y x y +-+-=222:60C x y y +-=A B M 1C 动，则（ ）A ．直线的方程为B ． AB 3430x y -+=125=AB C ．的面积的最大值为 D ．圆，在公共点的切线互相垂直MAB △432251C 2C 【答案】ACD【分析】由题意可判断两圆相交，两圆方程相减可得直线的方程，即可判断A ；求出圆心到AB 1C 直线的距离，然后用弦长公式求得，即可判断B ；设为点到直线的距离，则有AB AB M h M AB，从而可得的面积的范围，即可判断C ；由勾股定理可得，即可11365M h d r ≤+=MAB △12C A C A ⊥判断D ．【详解】圆，圆心，半径，()()221:3116C x y -++=()13,1C -14r =圆，圆心，半径，()2223:9x y C +-=()2C 0,323r =因为，则两圆相交.1212125r C r r C r -<=<+两圆方程相减得，即得，故A 正确；()()222206266x x y x y y y ++----=+:3430AB x y -+=圆心到直线的距离，则，故B 错误； 1C AB 1165d 245AB ==设为点到直线的距离，则有，所以的面积，M h M AB 11365M h d r ≤+=MAB △1432225M S AB h =⋅≤故C 正确；因为，，，则，所以，所以两圆在处14C A =23C A =125C C =2221212C A C A C C +=12C A C A ⊥A 的切线互相垂直，故D 正确． 故选：ACD.三、填空题13．若两直线与互相垂直，则实数的值为______．10x my +-=()2220m m x y -++=m 【答案】0或3【分析】利用直线的一般式方程中，直线相互垂直的系数关系列方程即可得出.【详解】因为直线与直线互相垂直，10x my +-=()2220m m x y -++=则，解得：或，()220m m m -+=0m =3m =故答案为：0或3.14．与椭圆有公共的焦点且离心率为2的双曲线的标准方程为______．22126x y +=【答案】2213x y -=【分析】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出，即可得解.,a b 【详解】椭圆的焦点为，22126x y +=(0,2),(0,2)-即双曲线的焦点为，故，(0,2),(0,2)-2c =又离心率为，解得，故， 22c e a a===1a =2223b c a =-=所以双曲线的方程为.2213x y -=故答案为：.2213x y -=15．已知等差数列的前项和为，，，则______． {}n a n n S 11a =63236S S -=9S =【答案】153【分析】根据等差数列的前n 项和公式求出公差，据此求出，即可得出. 5a 9S 【详解】由有，，， ()112n n n S a n d -=+61615S a d =+3133S a d =+则有，解得， 632936S S d -==4d =所以，所以．51417a a d =+=()1995991532a a S a +===故答案为：15316．与平面解析几何类似，在空间直角坐标系中，平面与直线可以用关于，，的三元O xyz -x y z 方程来表示，过点且一个法向量为的平面的方程为()000,,P x y z (),,n a b c =α；过点且一个方向向量为的直线()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z (),,v r s t =()0rst ≠l的方程为．已知平面的方程为，直线的方程为000x x y y z z r s t---==α2350x y z +-+=l ，若直线在平面内，则经过原点且与直线垂直的平面的方程为______． 12x p y zp q--==l αO l β【答案】20x y z -+=【分析】由题意列出关于的方程组，求得的值，进而得出答案.,p q ,p q 【详解】由题意有，解得，26023050p q p +-=⎧⎨+-+=⎩42p q =-⎧⎨=-⎩所以经过原点且与直线垂直的平面的方程为， O l β()()()()4020200x y z -⨯-+-+-⨯-=即． 20x y z -+=故答案为：．20x y z -+=四、解答题17．已知等差数列和等比数列满足，，． {}n a {}n b 113a b ==222a b =-73a b =(1)求数列和的通项公式；{}n a {}n b(2)在数列中，去掉与数列相同的项后，将剩下的所有项按原来顺序排列构成一个新数列{}n a {}n b ，求数列的前20项和．{}n c {}n c 【答案】(1)，41n a n =-3nn b =(2)960【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）找出数列前20项中与相同的项只有2项，故只需求前22项和去掉相同项即可{}n a {}n b {}n a 得解.【详解】（1）设的公差为d ，的公比为q ，{}n a {}n b 由题意知，，()113n a a n d nd d =+-=+-13n n b q -=⋅故得，222733,3,36,3a d b q a d b q =+==+=所以，所以解得，代入则有，2332,363d q d q +=-+=35d q =-2690q q -+=所以，．所以，．3q =4d =41n a n =-3nn b =（2）因为，令，解得，则有，2079a =379n ≤3n ≤1233,9,27b b b ===的前20项中只有两项与相同，即3和27，{}n a {}n b 又均不在数列， 212283,87a a =={}n b 故的前20项和为． {}n c 2227872721279602a a ++⋅⋅⋅+-=⨯-=18．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．()2222:10,0x y C a b a b-=>>1A 2A C P C(1)若，点，求双曲线的方程；124A A b =()1P -C (2)当异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的渐近线方程．P 1A 2A 1PA 2PA C 【答案】(1)2214x y -=(2) y =【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可；,a b（2）设点，根据点在双曲线上及，求得的值，即可得出答案. ()00,P x y P C 122PA PA k k ⋅=ba【详解】（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为．2224811a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=（2）设点，则，即，又()00,P x y 2200221x y a b-=2202220y b x a a =-()()12,0,,0A a A a -则有，所以12220002220002PA PA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--ba=所以渐近线方程为．y =19．已知四棱锥中，平面，，，点在棱P ABCD -PA ⊥ABCD AB DC A 2PA AD DC AB ===E 上，平面．PC BE A PAD(1)证明：；BE PD ⊥(2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 90PDC ∠= BE PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）过作的平行线交于点，结合线面平行的性质得，可得，分E DC PD F BE AF ∥E F 别为，的中点，结合得，又即可证得；PC PA AP AD =AF PD ⊥BE AF ∥BE PD ⊥（2）由已知条件证得面，得．建空间直角坐标系，求出面的法向量，然AB ⊥PAD AB AD ⊥PBD 后利用向量夹角公式求得结果.【详解】（1）过作的平行线交于点，连接， E DC PD F AF 又，则，则四点共面，AB DC A EF AB ∥,,,B E F A∵面，面，面面，BE A PAD BE ⊂BEFA BEFA ⋂PAD AF =∴，故为平行四边形，从而， BE AF ∥BEFA 12EF AB DC ==∴，分别为，的中点，又，E F PC PA AP AD =∴，又，∴．AF PD ⊥BE AF ∥BE PD ⊥（2）因为，，所以，DC PD ⊥AB DC A AB PD ⊥由平面，平面，得，PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD PA AB ⊥又，面，所以面，又面，所以． PA PD P = ,PA PD ⊂PAD AB ⊥PAD AD ⊂PAD AB AD ⊥所以，以为原点，为轴建空间直角坐标系，设， A ,,AB AD AP ,,x y z 1AB =则有． ()()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,1,1A B C D P E 所以，， ()1,2,0BD =- ()1,0,2BP =- 设面的法向量为，则，令，所以． PBD (),,n x y z =r 2020n BD x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 2x =()2,1,1n = 又有，记为与平面所成角，()0,1,1BE = αBE PBD 则sin cos ,BE nBE n BE nα⋅==== 所以与平面 BE PBD 20．已知直线与圆交于，两点，．210x y -+=22:420C x y x y a +-+-=A B CA CB ⊥(1)求实数的值；a (2)若点在圆上运动，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹方程．P C O M 2OP CM = M 【答案】(1)5a =(2) ()2235322x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意得圆心到直线的距离，求解即可； CAB d =（2）设，，由可得，结合点在圆上，即可得动点的00(,)P x y (,)M x y 2OP CM = 002422x x y y =-⎧⎨=+⎩P C M 轨迹方程．【详解】（1）将圆化为标准方程为，，()()22215x y a -++=+50a +>则圆心，半径(2,1)C -r =记为圆心到直线的距离，d C AB 因为，所以，又因为， CA CB ⊥d=d． =5a =（2）设，，00(,)P x y (,)M x y 因为，即，解得， 2OP CM = 00(,)2(2,1)x y x y =-+002422x x y y =-⎧⎨=+⎩又点在圆上，则，从而得，P C ()()22002110x y -++=()()22262310x y -++=所以动点的轨迹方程为． M ()2235322x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭21．如图，是以为直径的圆上异于，的一点，平面平面，是边长C AB OA B PAC ⊥ABC PAC △为2的等边三角形，，是的中点．3BC =E PC(1)求证：；AE PB ⊥(2)过直线与直线平行的平面交棱于点，线段上是否存在一点，使得二面角AEBC PB F AF Q ？若存在，求的值；否则，说明理由． A CQ B --AQ QF 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 2AQ QF=【分析】（1）取中点，可得面，以为原点，，分别为，轴建立空间AC D PD ⊥ABC C CA CB x y 直角坐标系，利用数量积的运算证明即可；0AE PB ⋅= （2）设，则有，分别求出面与面的法向AQ AF λ=332,22CQ CA AQ λλ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ACQ BCQ 量，利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）取中点，连接，则有，AC D PD PD AC ⊥又因为面面，面，面面，所以面， PAC ⊥ABC PD ⊂PAC PAC ABC AC =PD ⊥ABC 又，以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图，BC AC ⊥C CA CB x y 则有：，，，， ()2,0,0A ()0,3,0B ()0,0,0C (1,P 12E ⎛ ⎝所以，，所以，32AE ⎛=- ⎝(1,3,PB =- 330022AE PB ⋅=+-= 所以．AE PB⊥（2）因为面，面，面面，所以．BC ∥AEF BC ⊂PBC AEF ⋂PBC EF =EF BC ∥又因为点是线段的中点，所以点为线段的中点，，， E PC FPB 13,22F ⎛ ⎝33,22AF ⎛=- ⎝ 设，则有，且，．AQ AF λ=332,22CQ CA AQ λλ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0CA = ()0,3,0CB = 设为面的法向量，则有，令，解得()1111,,n x y z =ACQ 11111120332022n CA x n CQ x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⎛⎫⋅=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩1y =．(10,1,n = 同理，设为面的法向量，则有，令()2222,,n x y z =BCQ 22222230332022n CB y n CQ x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⎛⎫⋅=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得．2x =23,0,22n λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭由题意有，解得，所以． 13cos ,4n = 640λ-=23λ=所以． 2AQ QF=22．椭圆的焦距为2，左、右顶点分别为，，点是椭圆上异于左()2222:10x y C a b a b+=>>1A 2A P C 右顶点的点，直线与直线的斜率之积为． 1PA 2PA 34-(1)求椭圆的方程；C (2)直线与椭圆相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交椭圆于，两1l C M 2l 1l 221x y +=2l C A B 点，坐标原点位于直线，之间，记，的面积分别为，，求的取值范O 1l 2l MAB △OAB A 1S 2S 12S S 围． 【答案】(1) 22143x y +=(2)1,3⎤⎦【分析】（1）设为椭圆上一点，根据直线与直线的斜率之积为可得，00(,)P x y 1PA 2PA 34-2234a b =即可得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由根1l 与系数关系得出，分别求出，的面积，作商后由函数性质求值域，当斜率不存,M M x y MAB △OAB A 在时，验证即可.【详解】（1）由题意知：，设为椭圆上一点，所以 22c =00(,)P x y 2200221x y a b +=则有， 122200022200034PA PA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-=-+--所以，又，所以2234a b =2221a b c -==224,3a b ==所以椭圆C 的方程． 22143x y +=（2）①当斜率存在时，设直线，则有， 11:l y kx m =+1223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩解得，()222113484120k x km x m +++-=且有， ()()22222211164434431612390k m k m k m ⎡⎤∆=-+⋅-=-+=⎣⎦所以．22143m k =+且有，． 1214434M km k x k m -==-+211143M k y m m m =-+=设（与异号），则有圆心到直线的距离为，22:l y kx m =+2m 1m 2l 11d ==解得． 2221m k =+设两条直线的距离为，则有，且，所以． 2d 1212S AB d =⋅212S AB =122S d S =所以，1211S S=+记，其中，所以， ()1f k =[)211,k +∈+∞[)2143,41k -+∈+所以． )121,3S S ∈②当斜率不存在时，不妨设，，此时， 1:2l x =-2:1l x =3AB =所以，，所以． 1132S AB =⨯212S AB =123S S =综上，的范围为． 12S S 1,3⎤⎦。
2021-2022学年重庆八中高二(上)期末数学试卷及答案解析
2021-2022学年重庆八中高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.焦点坐标为(1,0)的抛物线的标准方程是()A. y2=−4xB. y2=4xC. x2=−4yD. x2=4y2.已知a⃗=(−1,−2,1)，b⃗ =(1,x,−2)且a⃗⋅b⃗ =−13，则x的值为()A. 3B. 4C. 5D. 63.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()A. [0,π4] B. [0,π2)∪[34π，π)C. (π2,π) D. [34π,π)4.方程x=√1−y2表示的图形是()A. 两个半圆B. 两个圆C. 圆D. 半圆5.已知直线l：x+ay−1=0是圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的对称轴，过点A(−1,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=()A. 1B. 2C. 4D. 86.青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为()A. √3B. √62C. √213D. √727.圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为√2的点共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.已知点F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A. (1,+∞)B. (1,2)C. (1,1+√2)D. (2,1+√2)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有()A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C. 若一条直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为αD. 若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα10.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3=S6，则下列结论正确的是()A. a10=0B. S10最小C. S7=S12D. S19=011.关于圆C：x2+y2−kx+2y+14k2−k+1=0，下列说法正确的是()A. k的取值范围是k>0B. 若k=4，过M(3,4)的直线与圆C相交所得弦长为2√3，其方程为12x−5y−16=0C. 若k=4，圆C与x2+y2=1相交D. 若k=4，m>0，n>0，直线mx−ny−1=0恒过圆C的圆心，则1m +2n≥8恒成立12.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1、A2分别为左、右顶点，B1、B2分别为上、下顶点，F1、F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则下列条件中能使得椭圆C的离心率为√5−12的有()A. |A1F1|⋅|F2A2|=|F1F2|2B. ∠F1B1A2=90°C. PF1⊥x轴，且PO//A2B1D. 四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：3x+4y−8=0和l2：3x−ay+2=0，且l1//l2，则实数a=______ ，两直线l1与l2之间的距离为______ ．14.圆心为直线x−y+2=0与直线2x+y−8=0的交点，且过原点的圆的标准方程是______．15.已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若S nT n =2(n+2)3n−1，则a5b5=______ ．16.如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC′=2√3，直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，则△PQC′的面积的最小值是______．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，a1=b2=1，再从①a2+a4=10；②b2b4=4；③b4=a5这三个条件中选择____，____两个作为已知．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和．18.已知直线l1经过点A(−3,0)，B(3,2)，直线l2经过点B，且l1⊥l2．(1)求直线l1，l2的方程；(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C，求Rt△ABC外接圆的方程．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PB的中点．(1)求直线PD与CE所成角的余弦值；(2)求直线CD与平面ACE所成角的正弦值；(3)求二面角E−AC−P的余弦值．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3n=3a n−2，且S5−S3=4a2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1S n }的前n项和为T n，证明：T n<34．21.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若|OB|，|OF2|，|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的距离的最大值为2√6+4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦MN与PQ，求|MN|+|PQ|的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0)，=1，即p=2．由焦点坐标为(1,0)，得p2∴抛物的标准方程是y2=4x．故选：B．由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0)，结合焦点坐标求得p，则答案可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．2.【答案】C【解析】解：a⃗=(−1,−2,1)，b⃗ =(1,x,−2)，所以a⃗⋅b⃗ =−1−2x−2=−13，解得x=5．故选：C．根据空间向量数量积的坐标运算，列方程求出x的值．本题考查了空间向量数量积的坐标运算问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角为α，α∈[0,π)．∈[−1,0)，则tanα=−1a2+1,π)．∴α∈[3π4故选：D．设直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角为α，α∈[0,π).可得tanα=−1，利用函数的a2+1性质、三角函数求值即可得出．本题考查了直线的斜率、函数的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：由x=√1−y2，两边平方得x2+y2=1(x≥0)．∴方程x=√1−y2表示的图形是半圆．故选：D．把已知方程两边平方，结合x的范围得答案．本题考查曲线方程，是基础题．5.【答案】C【解析】解：已知直线l：x+ay−1=0是圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的对称轴，圆心(3,1)，半径r=3，所以直线l过圆心C(3,1)，故3+a−1=0，故a=−2，所以点A(−1,−2)，|AC|=√(3+1)2+(−2−1)2=5，|AB|=√52−32=4，故选：C．利用直线l：x+ay−1=0是圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的对称轴，求出a，再利用几何法求出|AB|．考查直线与圆的位置关系，圆的切线长的计算，中档题．6.【答案】C【解析】解：由题意做出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，设双曲线的方程为：x2a2−y2b2=1,(a>0,b>0)．最短瓶口直径为A1A2=2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M(2a,2a)．故(2a)2a2−(2a)2b2=1，整理得4a2=3b2=3(c2−a2)，化简后得e2=c2a2=73，解得e=√213．故选：C．由题意做出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点(2a,2a)在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值．本题考查双曲线的性质在实际问题中的应用，考查学生的运算能力和方程思想在解题中的体现．属于中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，是基础题．先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和√2比较，可得结果．【解答】解：圆x2+2x+y2+4y−3=0的圆心(−1,−2)，半径是2√2，圆心到直线x+y+1=0的距离是|−1−2+1|√2=√2，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为√2的共有3个．故选：C．8.【答案】B【解析】解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF<45°，得|AF|<|EF|∵|AF|=b2a =c2−a2a，|EF|=a+c∴c2−a2a<a+c，即2a2+ac−c2>0两边都除以a2，得e2−e−2<0，解之得−1<e<2∵双曲线的离心率e>1∴该双曲线的离心率e的取值范围是(1,2)故选：B根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|<|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．9.【答案】AD【解析】解：∵平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；但由于和x轴垂直的直线倾斜角等于90°，故它的斜率不存在，故B错误；若一条直线的斜率为tanα，则该直线的倾斜角为不一定是α，如α=330°时，此时，直线的倾斜角为30°．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tanα，故D正确，故选：AD．由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论轮．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：A.因为数列{a n}为等差数列，2a1+3a3=S6，即5a1+6d=6a1+15d，即a1+9d=a10=0，故A正确；B.因为a10=0，所以S9=S10，但是无法推出数列{a n}的单调性，故无法确定S10是最大值还是最小值．故B错误；C.因为a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0，所以S12=S7+a8+a9+a10+a11+a12=S7+0=S7，故C正确；×19=19a10=0，所以D正确．D.S19=a1+a192故选：ACD．根据题意，由2a1+3a3=S6⇒a10=0，然后逐项分析即可．本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项，等差数列的性质．本题属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：圆C的标准方程为：(x−k2)2+(y+1)2=k，故A正确；当k=4时，圆C的圆心(2,−1)，半径为2，对于选项B，当直线为x=3时，该直线过点M，此时截得弦长为2√3，故选项B不正确；对于选项C，两圆的圆心距为√(2−0)2+(−1−0)2=√5，大于两圆半径之差的绝对值且小于两圆半径之和，故正确；对于选项D，易得2m+n−1=0，即2m+n=1，m>0，n>0，∴1m +2n=(1m+2n)(2m+n)=4+nm+4mn≥8，当且仅当nm =4mn，即n=2m=12时取等号，故正确．故选：ACD．将圆C的方程转化成圆的标准方程，再利用圆的性质，即可解出．本题考查了直线与圆的综合题，基本不等式的应用，学生的运算能力，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，可得A1(−a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,−b)，F1(−c,0)，F2(c,0)，对于A，|A1F1|⋅|F2A2|=|F1F2|2，即为(a−c)2=(2c)2，所以a−c=2c，即e=ca =13，不符题意，A错误；对于B，若∠F1B1A2=90°，则|A2F1|2=|B1F1|2+|B1A2|2，即(a+c)2=a2+(a2+b2)，所以c2+ac−a2=0，即有e2+e−1=0，解得e=√5−12(−1−√52舍去)，符合题意，B正确；对于C，若PF1⊥x轴，且PO//A2B1，所以P(−c,b2a)，由k PO=k A2B1，可得b2a−c=b−a，解得b=c，又a2=b2+c2，所以e=ca=√2c=√22，不符题意，故C错误；对于D，若四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，则ab=c√a2+b2，结合b2=a2−c2，所以c4−3a2c2+a4=0，即e4−3e2+1=0，解得e2=3+√52(舍去)或e2=3−√52，所以e=√5−12，故D正确．故选：BD．由椭圆方程分别求得A 1(−a,0)，A 2(a,0)，B 1(0,b)，B 2(0,−b)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，对选项一一分析，结合两点的距离公式、直线的斜率公式和离心率公式，解方程即可得到结论．本题考查椭圆的方程和性质，以及“黄金椭圆”的理解和运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】−4 2【解析】解：∵直线l 1：3x +4y −8=0和l 2：3x −ay +2=0，且l 1//l 2， ∴33=−a 4≠2−8，求得a =−4．两直线l 1与l 2之间的距离为√9+16=2，故答案为：−4；2．由题意利用两条直线安平行的性质，求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．本题主要考查两条直线安平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．14.【答案】(x −2)2+(y −4)2=20【解析】解：根据题意，{x −y +2=02x +y −8=0，解可得{x =2y =4，即圆心的坐标为(2,4)，设圆的方程为(x −2)2+(y −4)2=r 2， 将(0,0)代入上式得r 2=20，故答案为：(x −2)2+(y −4)2=20．根据题意，联立直线方程得到圆心坐标，代入原点坐标求出半径即可得到所求圆的方程． 本题考查圆的标准方程，涉及直线的交点，属于基础题．15.【答案】1113【解析】由等差数列的性质可得：a 5b 5=9(a 1+a 9)29(b 1+b 9)2=S 9T 9=2×113×9−1=1113，故答案为：1113．利用等差数列的性质求解本题考查的是等差数列的性质，属于基础题．16.【答案】8【解析】解：设直角三棱锥C −C′PQ 的高为ℎ，CQ =x ，CP =y ， 根据直角三棱锥的性质可知：1ℎ2=1x2+1y2+(2√3)2，∵直线CC’与平面C’PQ 成的角为30°， ∴ℎ=2√3sin30°=√3， ∴1x 2+1y 2=14，1x 2+1y 2≥2xy， ∴xy ≥8，再由体积可知：V C−C′PQ =V C′−CPQ ， 得13ℎS △C′PQ =16×2√3xy ，S △C′PQ =xy ， ∴△PQC′的面积的最小值是8． 故答案为：8．设直角三棱锥C −C′PQ 的高为ℎ，CQ =x ，CP =y ，根据直角三棱锥的性质可知1ℎ2=1x 2+1y 2+(2√3)2，由直线CC’与平面C’PQ 成的角为30°，得到xy ≥8，再由V C−C′PQ =V C′−CPQ ，能求出△PQC′的面积的最小值．本题考查三角形面积的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：选条件①②，(1)设等差数列{a n }的公差为d ，所以a 1=1，a 2+a 4=2a 1+4d =10，解得a 1=1，d =2， 则a n =1+2(n −1)=2n −1，n ∈N ∗； (2)设等比数列{b n }的公比为q ，q >0， 所以{b 2=b 1q =1b 2b 4=b 12q 4=4，解得b 1=12，q =2， 设数列{b n }的前n 项和为S n ， 可得S n =12(1−2n )1−2=2n−1−12．选条件①③，(1)设等差数列{a n }的公差为d ，所以a 1=1，a 2+a 4=2a 1+4d =10，解得a 1=1，d =2， 则a n =1+2(n −1)=2n −1，n ∈N ∗；(2)b 4=a 5=9，设等比数列{b n }的公比为q ，q >0， 所以{b 2=b 1q =1b 4=b 1q 3=9，解得b 1=13，q =3， 设数列{b n }的前n 项和为S n ， 可得S n =13(1−3n )1−3=3n −16．选条件②③，(1)设等比数列{b n }的公比为q ，q >0，所以 {b 2=b 1q =1b 2b 4=b 12q 4=4，解得b 1=12，q =2，a 5=b 4=12×23=4， 设等差数列{a n }的公差为d ，所以a 5=a 1+4d =4，又a 1=1，故d =34， 所以a n =1+34(n −1)=3n+14．(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ， 由(1)可得S n =12(1−2n )1−2=2n−1−12．【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 分别选择①②③中的任两个，(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求；(2)设等比数列{b n }的公比为q ，q >0，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式进而得到所求和．18.【答案】解：(1)∵直线l 1经过点A(−3,0)，B(3,2)，∴用两点式得直线l 1的方程为y−02−0=x+33+3 整理得直线l 1的方程为x −3y +3=0…(3分) 设直线l 2的方程3x +y +c =0把点B(3,2)代入上式得c =−11，即直线l 2的方程3x +y −11=0…(6分) (2)解{3x +y −11=0y =8x 得x =1，y =8，即C(1,8)…(7分) ∴|AC|=4√5，A 、C 的中点为(−1,4)∴Rt △ABC 的外接圆的圆心为(−1,4)，半径为2√5 ∴方程为(x +1)2+(y −4)2=20.…(12分)【解析】(1)利用两点式得直线l 1的方程，设直线l 2的方程3x +y +c =0，把点B(3,2)代入上式，可得直线l 2的方程；(2)确定圆心坐标与半径，即可得到结论．本题考查直线与圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为坐标轴建立空间直角坐标系A −xyz ，如图所示， 设AB =1，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，E(12,0,12)， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−1,12)， ∴cos <PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−32√2×√62=−√32， ∴直线PD 与CE 所成角的余弦值为√32．(2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，设平面ACE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x 1+y 1=0−12x 1−y 1+12z 1=0，令x 1=1可得m⃗⃗⃗ =(1,−1,−1)， ∴cos <DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=11×√3=√33， ∴直线CD 与平面ACE 所成角的正弦值为√33．(3)AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，设平面PAC 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{x 2+y 2=0z 2=0，令x 2=1可得n⃗ =(1,−1,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√3×√2=√63． ∴二面角E −AC −P 的余弦值为√63．【解析】(1)建立空间坐标系，计算PD⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出直线PD 与CE 所成角； (2)求出平面ACE 的法向量m ⃗⃗⃗ ，计算CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角得出直线CD 与平面ACE 所成的角； (3)求出平面PAC 的法向量n ⃗ ，计算m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 的夹角得出二面角E −AC −P 的大小．本题考查了空间向量在求空间角中的应用，属于中档题．20.【答案】(1)解：等差数列{a n }的公差为d ，由题设可得：{a 3n =3a n −2a 4+a 5=4a 2，即{a 1+(3n −1)d =3a 1+3(n −1)d −22a 1+7d =4a 1+4d ，解得：{a 1=3d =2， ∴a n =3+2(n −1)=2n +1； (2)证明：由(1)可得：S n =n(3+2n+1)2=n(n +2)，1S n=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，∴T n =12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)<12(1+12)=34．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题设求得d 与首项a 1，即可求得其通项公式； (2)先由(1)求得S n ，进而求得1S n，再利用裂项相消法求得其前n 项和T n ，即可证明结论．本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)易知|OF 2|2=|OB|⋅|AB|，得c 2=b√a 2+b 2，则c a =√63，而a +c =2√6+4，又a 2=b 2+c 2，得a =2√6，b =2√2， 因此，椭圆C 的标准方程为x 224+y 28=1；(2)①当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在， 由题意易得|MN|+|PQ|=16√63； ②当两条直线斜率都存在且不为0时，由(1)知F(4,0)，设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，直线MN 的方程为y =k(x −4)，则直线PQ 的方程为y =−1k (x −4)，将直线MN 方程代入椭圆方程并整理得：(1+3k 2)x 2−24k 2x +48k 2−24=0， 显然△>0，x 1+x 2=24k 23k 2+1，x 1x 2=48k 2−243k 2+1， ∴|MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√6(k 2+1)3k 2+1,同理得|PQ|=4√6(k 2+1)k 2+3， 所以，|MN|+|PQ|=4√6(k 2+1)3k 2+1+4√6(k 2+1)k 2+3=16√6(k2+1)2(3k2+1)(k2+3)，令t=k2+1>1，则1+3k2=3t−2，k2+3=t+2，设f(t)=(3t−2)(t+2)t2=−4t2+4t+3=−4(1t −12)2+4，∵t>1，所以，0<1t<1，所以，f(t)∈(3,4]，则|MN|+|PQ|=16√6f(t)∈[4√6,16√63)．综合①②可知，|MN|+|PQ|的取值范围是[4√6,16√63]．【解析】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．(1)根据已知条件列有关a、b、c的方程，解出a、b的值，即可得出椭圆C的方程；(2)对直线MN和PQ分两种情况讨论：一种是两条直线与坐标轴垂直，可求出两条弦长度之和；二是当两条直线斜率都存在时，设直线MN的方程为y=k(x−4)，将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出MN的长度的表达式，然后利用相应的代换可求出PQ的长度表达式，将两线段长度表达式相加，利用函数思想可求出两条弦长的取值范围．最后将两种情况的取值范围进行合并即可得出答案．。
21届高二上数学期末复习卷(参考答案)
21届高二上数学期末复习卷 命题人：李弦裴校订：李弦裴一、单选题1．（5分）为了从甲、乙两组学生中选一组参加“喜迎祖国七十华诞，共建全国文明城市”知识竞赛活动，班主任老师将这两组学生最近6次的测试成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两组的平均成绩分别是,x x 甲乙，则下列说法正确的是（ ）A ．x x >甲乙，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加竞赛B ．x x >甲乙，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加竞赛C ．x x <甲乙，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加竞赛D ．x x <甲乙，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加竞赛 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出甲和乙的平均数和方差，比较大小，即可得到结论. 【详解】由题意，根据茎叶图的数据，可得：1(727879858692)826x =+++++=甲22222221125[(8272)(8278)(8279)(8285)(8286)(8292)]63S =-+-+-+-+-+-=甲，1(788687879193)876x =+++++=乙2222222167[(7887)(8687)(8787)(8787)(9187)(9387)]63S =-+-+-+-+-+-=乙，因为22,x x S S <>甲乙甲乙，所以乙组的平均成绩好，且乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛， 故选D. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答熟记茎叶图的平均数和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．（5分）下列说法中正确的是（ ）A ．若命题“p q ∧”为假命题，则命题“p q ∨”是真命题B ．命题“*x N ∀∈，32x x ≥”的否定是“*0x N ∀∈，3200x x <”C ．设,a b ∈R ，则“()0b a b ->”是“11a b<”的充要条件 D ．命题“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅，则,a b 不共线”的否命题是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用逻辑联结词、全称命题的否定、不等式的性质、向量的性质等逐一判断各选项是否正确. 【详解】选项A,若命题“p q ∧”为假命题，则命题p q ，至少有一个假命题， 即可能有一真一假，也可能两个都是假命题，所以“p q ∨”可能是真命题，也可能是假命题，故A 不正确.选项B,命题“*x N ∀∈，32x x ≥”的否定是“0x ∃∈*N ，3200x x <”,故B 不正确.选项C,110()0a b ab a b a b ab-<⇔>⇔->，无法得出()0b a b ->，故C 不正确. 选项D, 原命题的否命题时“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅≤⋅，则,a b 共线”， 因为||=||||cos ,a b a b a b ⋅⋅，所以由||||||a b a b ⋅≤⋅可得cos ,1a b ≥. 所以cos ,=1a b ±，则,=0a b ︒或180︒，即,a b 共线.故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查常用逻辑用语，涉及逻辑联结词、全称命题的否定、充要条件、否命题，综合考查了不等式的性质、平面向量的性质.与其他知识综合命题，是考查常用逻辑用语的一般方式.3．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M （M在第一象限），MN ⊥l ，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若|MD ，则抛物线方程是（ ） A ．2y x = B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】B 【解析】 【分析】画出图像，根据直线MF 的斜率，证得三角形MNF 是等边三角形，根据中位线证得D 是NF 中点，结合MD =求得F 的坐标，进而求得p 的值，从而求得抛物线方程. 【详解】画出图像如下图所示，由于直线MF π3MFA ∠=，由于MN l ⊥，故π3FMN ∠=，根据抛物线的定义得MN MF =，故三角形MNF 是等边三角形.由于O 是BF 的中点，//BN OD ，所以D 是NF 中点，而MD =根据等边三角形的性质可知2MN MF NF ===，在直角三角形ODF 中，π1,3DF DFO =∠=，所以122p OF ==，解得1p =，故抛物线方程为22y x =. 故选：B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，直线和抛物线的位置关系，考查等边三角形的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以A 1，A 2，A 3表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件A 1不相互独立 B ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件 C ．P (B )=35 D ．P (B|A 1)=711【答案】C 【解析】【分析】依次判断每个选项得到答案.【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B. A1，A2，A3两两不可能同时发生，正确C. P(B)=510×711+510×611=1322，不正确D. P(B|A1)=P(BA1)P(A1)=12×71112=711，正确故答案选C【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 5．（5分）已知下面两个程序对甲乙两个程序和输出结果判断正确的是（）A．程序不同，结果不同B．程序相同，结果不同C．程序不同，结果相同D．程序相同，结果相同【答案】C【解析】【分析】读懂WHILE和DO引导的循环语句，运用所学知识对两种语句分别计算出结果并比较不同点【详解】程序甲是计算变量i 从1开始逐步递增到100i =时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是：123100++++；程序乙计算变量从100开始逐步递减到1i =时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是：100991+++；这两个程序是不同的，两种程序的输出结果相同，都是1231005050++++=，故选C【点睛】本题考查了WHILE 和DO 引导的循环语句，关键是能读懂循环语句，并能判别不同点，较为基础。
重庆市2020-2021学年高二数学(文)上学期期末联考卷附答案解析
A． 3 1 2
1
B．
2
C． 2 2
D． 3 2
6
【答案】A
【分析】由题意可得出 PF2F1 120 ， PF2 F2F1 2c ，利用余弦定理可求得 PF1 ，利用椭圆的定义可 得出关于 a 、 c 的等式，进而可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】因为点
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1a b
0,b
0)
的两条渐近线分别交于点
A，B，与
x
轴交于点
C，O
为坐标原
点，若 A 是线段 BC 的中点，且 OA OC ，则双曲线的离心率为___________.
四、解答题
2
17．已知命题 p :不等式 x2 2x a 0 对任意 x R 恒成立，命题 q : 方程 x2 y2 ay a 0 表示圆， ___________，求 a 的取值范围.
（1）证明： DM // 平面 ABE ； （2）求二面角 F AE B 的余弦值.
22．已知椭圆 : x2 y2 1 和点 M 1, 0 ，直线 l 过椭圆 的左焦点 F，且与椭圆 分别交于点 A, B ，直线
10 6 AM ， BM 与椭圆 的另一交点分别为点 C ， D .
MA （1）当直线 l 与 x 轴垂直时，求 MC 的值；
【详解】∵ OAB OAC 60 ，∴ OAB 与 OAC 全等， AB AC ，
设 OD 平面 ABC 于点 D，D 为 Rt△ABC 的外心， 设 BD m ，则 AB 2m ，又 OAB 为等边三角形， OB AB 2m ，
又 OB OD2 BD2 1 m2 ，
2
解得 m 1，可得球的半径为 2 ，故表面积为 4 2 8 .
重庆高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线l 的方向向量是，则直线l 的倾斜角为（ ）(e = A ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】B【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l 的方向向量是得直线(e = l设直线的倾斜角是， ()π0πtan 3αααα≤<=⇒=，故选：B.2．设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一,,OA OB OCP OP xOA yOB zOC =++ ,,,A B C P 组数对是（ ） (),,x y z A ．B ．C ．D ．111,,432⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,436⎛⎫- ⎪⎝⎭131,,442⎛⎫- ⎪⎝⎭121,,332⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案.【详解】空间一点满足，若四点共面，则P OP xOA yOB zOC =++,,,A B C P 1x y z ++=选项A ：.判断错误； 11113143212x y z =++++=≠选项B ：.判断错误；111114364x y z =++=+-+≠选项C ：.判断正确；1311442x y z =-+++=+选项D ：.判断错误.121513326x y z =++=+-+≠故选：C3．设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（ ） ,αβαβ∥A ．内有无数条直线与平行 B ．垂直于同一条直线 αβ,αβC ．平行于同一条直线 D ．垂直于同一个平面,αβ,αβ【答案】B【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案. 【详解】对于A ，内有无数条直线与平行不能得出两个平面可以相交，故A 错； αβ,αβ∥对于B ，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂直于某条直线，则也垂,αβαβ∥αβ∥αβ直于该条直线，正确；对于C ，平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误； ,αβ对于D ，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误； 故选：B ．4．在等比数列中，，则（ ） {}n a 2481,16a a a =⋅=4a =A ．2 B ． C ．4 D ．2-4-【答案】A【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方即可计算作答.【详解】设等比数列的公比，则，而，，{}n a q 264282,a a q a a q ==21a =4816a a ⋅=于是得，即，解得，所以.2616q q ⋅=24()16q =22q =2422a a q =⋅=故选：A5．已知直线与圆交于两点，且，则实数的值为0(0)x y m m ++=>22:1O x y +=,A B 23AOB π∠=m （ ）A ．BCD ．112【答案】B【分析】利用题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值. m m 【详解】圆的圆心，半径， 22:1O x y +=(0,0)O 1r =由，可得圆心到直线的距离为，23AOB π∠=O 0(0)x y m m ++=>1122r =，解之得或（舍） 12=m =m =故选：B6．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线2222:1(0)x y C a b a b+=>>A ,P Q C y 的斜率之积为，则的离心率为（ ）,AP AQ 13CA ．B C ．D 1323【答案】D【分析】设出，得到，根据斜率之积列出方程，得到，结合(),P m n (),Q m n -2223n a m =-，求出，求出离心率.222222b m a n a b +=2213b a =【详解】由题意得：，设，，故，(),0A a -(),P m n (),Q m n -222222b m a n a b +=，故， ,AP AQ n nk k m a m a ==+-+13n n m a m a ⋅=+-+解得：，2223n a m =-由，得到，即，22222a n m a b =-22223a n n b=2213b a =离心率e =故选：D7．如图，教室里悬挂着日光灯管，灯线，将灯管绕着过中点的,120cm AB AB =AC BD =AB AB O 铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了，则的OO '60 A B ''20cm AC 长为（ ）A ．B ．C ．D ．70cm 80cm 90cm 100cm 【答案】D【分析】设与交于点，过点作于，连接，在中求出，A B ''OO 'N A 'A M AC '⊥M MN A MN '△A M '在中根据勾股定理求解.R t A MC A ¢【详解】设与交于点，过点作于，连 A B ''OO 'N A 'A M AC '⊥M 接，如图所示，则中，， MN 20,CM AC A MN ='-A 1602A N AB ='=，所以，在中，由勾 60,60MN A NM ∠'== 60A M '=R t A MC A ¢股定理得，，解得．222(20)60AC AC -+=()100cm AC =故选：D8．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两2:4E y x =F l x C m C E ,A B 点，在线段上，若，则（ ） B AC AB BF ⊥AF =A ．B ．C ．D ．2+3【答案】C【分析】根据和抛物线的方程可求得，再联立直线与抛物线的方程根据韦达AB BF⊥22x =m 定理可得，即可求，根据抛物线的定义即可得结果. 121=xx 12x =【详解】由题意可得：，()()1,0,1,0F C -设，则有，()()1122,,,A x y B x y 2222,11BC BF y yk k x x ==+-∵，则，可得，AB BF ⊥222222221111BC BF y y y k k x x x ===-+--22221x y +=又∵在抛物线上，则，B 2:4E y x =2224y x =联立，解得或（舍去），222222214x y y x⎧+=⎨=⎩22x =-22x =-设直线，联立方程，消去y 得，():1m y k x =+()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩()2222220k x k xk +-+=则，即， 121=xx 1212x x ==故132pAF x =+=+故选：C ．二、多选题9．有一组样本数据，由这组数据得到新的样本数据，则（ ） 12,,,n x x x ⋯123,3,,3n x x x ⋯A ．新样本数据的极差是原样本数据极差的3倍 B ．新样本数据的方差是原样本数据方差的3倍 C ．新样本数据的中位数是原样本数据中位数的3倍 D ．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的3倍 【答案】ACD【分析】根据平均数、极差、方差、中位数的定义及性质判断即可. 【详解】设样本数据，，…，的最大值为，最小值为， 1x 2x n x max x min x 平均数为，中位数为，方差为，则极差为，x x 2S max min x x -所以新的样本数据，，…，的最大值为，最小值为，13x 23x 3n x max 3x min 3x 平均数为，中位数为，方差为，则极差为， 3x 3x 22239S S =()max min max min 333x x x x -=-即新样本数据的极差是原样本数据极差的倍，新样本数据的方差是原样本数据方差的倍， 39新样本数据的中位数是原样本数据中位数的倍，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍. 33故选：ACD10．记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ） n S {}n a n A ．若对，有，则数列是等差数列*2,n n N ∀≥∈112n n n a a a -+=+{}n a B ．若对，有，则数列是等比数列 *2,n n N ∀≥∈211n n n a a a -+=⋅{}n a C ．已知，则是等差数列()2,n S pn qn p q =+∈R {}n a D ．已知，则是等比数列()0nn S a m a a =⋅-≠{}n a 【答案】AC【分析】利用等差和等比数列的定义及性质，以及等差和等比数列前项和的形式，可逐一判断. n 【详解】对A ，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A 正确；112n n n a a a -+=+{}n a 对B ，若，满足，，但不为等比数列，故B 错误；0n a =211n n n a a a -+=⋅2n ≥{}n a 对C ，当时，，当时，，时符合该式，易知1n =11a S p q ==+2n ≥12n n n a S S pn p q -=-=-+1n =是以为首项，为公差的等差数列，故C 正确；{}n a 1a p q =+2p 对D ，当时，，1n =11(1)a S m a ==-时，，2n ≥111(1)n n n n n n a S S a m a a m a a m m ---=-=⋅--⋅+=⋅-时符合该式，1n =当时，易知是以为首项，为公比的等比数列， 1m ≠{}n a 1(1)a m a =-m 当时，则是等于零的常数列，故D 错误. 1m ={}n a 故选：AC.11．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）．则下列结论1111ABCD A B C D -P 11B D 正确的是（ ）A ．当点为中点时，P 11B D 1A P BD ⊥B ．当点在线段上运动时，点到平面的距离为定值 P 11B D P 1A BD C ．当点为中点时，二面角的余弦值为P 11B D 1B A P D --13D ．过点平行于平面的平面截正方体截得多边形的周长为P 1A BD α1111ABCD A B C D -【答案】ABC【分析】求得位置关系判断选项A ；求得点到平面的距离变化情况判断选项B ；1A P BD 、P 1A BD 求得二面角的余弦值判断选项C ；求得截面多边形的周长判断选项D. 1B A P D --【详解】对于，当点为中点时，由于为正方形，所以， A P 11B D 1111D C B A 111A P B D ⊥又，所以，故A 正确；11//BD B D 1A P BD ⊥对于，由于，平面，平面 B 11//B D BD 11B D ⊄1A BD BD ⊂1A BD 则 平面，又，11B D //1A BD 11P B D ∈所以在任何位置时到平面的距离为定值，故B 正确；P 1A BD 对于，易得平面，平面，所以， C 1D D ⊥11BB D D 1A P ⊂11BB D D 11D D A P ⊥因为，平面，1BD D D D ⋂=1,BD D D ⊂11BB D D 所以平面，由平面可得，1A P ⊥11BB D D ,BP DP ⊂11BB D D 11,BP A P DP A P ⊥⊥则为二面角的平面角， ，故C BPD ∠1B A P D --2221cos 23BP DP BD BPD BP DP ∠+-===⋅正确；对于，连接.D 11B C D C 、因为，所以四边形是平行四边形， 1111,A B //CD A B =CD 11A B CD 所以，又平面，平面 11//A D B C 1B C ⊄1A BD 1A D ⊂1A BD 则 平面，又平面，1B C //1A BD 11B D //1A BD ，平面，平面， 1111B C B D B ⋂=1B C ⊂11B CD 11B D ⊂11B CD 则平面平面，则截面为， 11B CD //1A BD 11B CD A所以截面周长为错误. D 故选：ABC ．12．已知为双曲线上的动点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为M 22:13x C y -=M C ,P Q，设直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） ,MP MQ 12,k k A ． B ． 23PMQ π∠=123k k =C ．D ． 38MP MQ ⋅=- 32PQ ≥【答案】ACD【分析】求出双曲线的渐近线即可判断选项A ；根据渐近线的方程即可判断选项B ；根据条件得出C ；利用余弦定理和基本不等式即可判断选项D.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，，，故正y x =0x =π3POQ ∠∴=2π3PMQ ∠=A 确；分别与两条渐近线垂直，，故B 错误；MP MQ ､(123k k ∴==-设，则，即，00(,)P x y 220013x y -=220033x y -=MQ，故C 正确；2200313cos 428x y MP MQ MP MQ PMQ ∠-⎛⎫∴⋅==⋅-=- ⎪⎝⎭222222π9||||||2||||cos||||||||3||||34PQ MP MQ MP MQ MP MQ MP MQ MP MQ =+-=++≥=当且仅当时等号成立，，故D 正确． MP MQ =32PQ ∴≥故选：．ACD三、填空题13．甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生13加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好14有一个一等品的概率为__________． 【答案】512【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，1111344⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，1111436⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.1156412+=故答案为：. 51214．写出与圆和都相切的一条直线的方程221:(1)(3)1C x y +++=222:(3)(1)9C x y -++=__________．【答案】######0x =4y =-430x y -=34100x y ++=【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得或为公切线，0x =4y =-设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于方程组，求解. y kx b =+,k b 【详解】因为圆的圆心为，半径 1C ()11,3C --11r =圆的圆心为，半径2C ()23,1C -23r =又因为 14C C =>所以圆与圆相离，所以有4条公切线.1C 2C易得或是圆和的公切线:0a x =:4n y =-221:(1)(3)1C x y +++=222:(3)(1)9C x y -++=设另两条公切线方程为： y kx b =+圆到直线1C y kx b =+圆到直线2C y kx b =+所以3133k b b k ++=-+所以或 31339k b b k ++=-+31339k b b k ++=-+-或34k b =+52b =-当52b =-1所以，切线方程为34k =-34100x y ++=当34k b =+3=所以 ()()225249b b +=++所以 240b b +=所以或 0b =4b =-当时，切线方程为 0b =43k =430x y -=当时，切线方程为4b =-0k =4y =-故答案为：或或或0x =4y =-430x y -=34100x y ++=15．已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为{}n a 13a ≥12350n a a a a +++⋯+=n ____．【分析】先由题意确定数列是公差为1的等差数列，进而求得的最大值. {}n a n 【详解】数列是递增的整数数列， {}n a 要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，n ∴假设递增的幅度为， 11,3,2n a a n =∴=+ 则， ()232522nn n n n S +++==数列为递增数列，252n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭， 74250S =<， 85250S =>即为最大值． 7n =故答案为：716．已知正三棱柱的所有棱长为111ABC A B C -1A 11BCC B 的交线长为__________． 【答案】4π3【分析】根据题意结合正三棱柱的性质和球的性质即可求解.【详解】设的中点为，易知，又因为面面，且面11B C M 111A M B C ⊥111A B C ⊥11BCC B 11B C =111A B C Ç面，所以面，所以题中所求交线即为以为圆心，11BCC B 1A M ⊥11BCC B M为半径的一段圆弧．设该圆弧与的交点分别为，球与侧2==11,BB CC ,P Q面的交线如图所示，则 11BCC B 12,PM B M ==易知， 11π6PMB QMC ∠∠==所以该圆弧所对的圆心角为， 2π3PMQ ∠=故所求弧长为， 2π4π233⨯=故答案为：. 4π3四、解答题17．已知是公差为的等差数列，是数列的前项和，是公比为的等比数列，且{}n a d n S {}n a n {}n b q ． 73447,2S b b a ==(1)求；q (2)若，证明：． 684b a =11a b =【答案】(1)2； (2)证明见解析.【分析】（1）由,，得，再根据，得到即可.747S a =737S b =43a b =442b a =432b b =（2）由两式相除得，再将和代入，得，再由得68444,2b a b a ==842a a =1a d 1n a na =442b a =即可.11824b a =⋅【详解】（1）由等差数列得,{}n a ()1774772a a S a +==又， 737Sb =得， 43a b =又， 442b a =得， 432b b =因此.2q =（2）证明：由两式相除得， 68444,2b a b a ==842a a =即， ()11723a d a d +=+则，因此．1a d =1n a na =再由得，即．442b a =11824b a =⋅11a b =18．已知两点及圆为经过点的一条动直线． ()()4,2,5,0D M 22:(2)(1)5,C x y l -+-=M (1)若直线经过点，求证：直线与圆相切；l D l C (2)若直线与圆相交于两点，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求的面积．l C ,A B ABD △条件①：直线平分圆；条件②：直线的斜率为．l C l 13-【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与半径比较得l l 出结论；(2) 选择条件①可得直线过圆心，直线的方程为，利用点到直线的距离和三l ()2,1C l 350x y +-=角形面积公式即可求解；若选择条件②：若直线的斜率为，则直线的方程为，l 13-l 350x y +-=利用点到直线的距离和三角形面积公式即可求解；【详解】（1）若直线经过点，则直线的方程为，即． l D l ()25y x =--2100x y +-=由题意，圆的圆心为，半径， C ()2,1C r =则圆心到直线，所以直线与圆相切．()2,1C l r =l C （2）选择条件①：若直线平分圆，l C 则直线过圆心，直线的方程为．l ()2,1C l 350x y +-=到直线的距离 2AB r ==()4,2D l h =所以． 1122ABD S AB h =⨯=⨯=△选择条件②：若直线的斜率为，则直线的方程为，l 13-l 350x y +-=此时圆心在直线上，则，点到直线的距离 ()2,1C l 2AB r ==()4,2D l h =所以． 1122ABD S AB h =⨯=⨯=△19．已知数列的前项和． {}n a n 22n S n n =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，求{}n b n n T 322115314,,,T a b a b a b =+++．n T 【答案】(1)； 21n a n =+(2).41162n n T -=-【分析】（1）利用数列通项与前项和的关系即可求得数列的通项公式；n {}n a （2）先利用题给条件求得等比数列的首项与公比的值，再利用公式即可求得等比数列的{}n b {}n b 前项和.n n T 【详解】（1）当时，；1n =112123S a ==+=当时，，2n ≥2212(1)2221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦满足，故数列的通项公式． 13a =21n a n =+{}n a 21n a n =+（2）设等比数列的公比为， {}n b (0)q q >因为成等差数列，221153,,a b a b a b +++所以，即．()1225132a b a b a b +=+++()211123511b b q b q +=+++因为，所以．314T =211114b b q b q ++=联立，解之得或（舍）． ()21112111231614b b q b q b b q b q ⎧+=++⎨++=⎩1812b q =⎧⎪⎨=⎪⎩1832b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以． 418121161212n n n T -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫- ⎪⎝⎭20．如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，ABCDCDEF //AB DC //DC EF 5AB =，，．设分别为的中点．3DC =1EF =60BAD CDE CBF ∠=∠=∠= ,M N ,AE BC(1)证明：；FN AD ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值． BM ADE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）依题意可得平面，即可得到，再判断是等边三角形，得到CD ⊥CBF CD FN ⊥BCF △，即可得到平面，从而得到，即可得到平面，从而得CB FN ⊥DC ⊥FCB DC FN ⊥FN⊥ABCD 证；（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：由于，，平面， ,CD CB CD CF ⊥⊥CB CF C = ,CB CF ⊂CBF 则平面，又平面，所以． CD ⊥CBF FN ⊂CBF CD FN ⊥又，，，， 5AB =3DC =1EF =60BAD CDE CBF ∠=∠=∠=所以))CF CD EF CB AB CD =-==-=则是等边三角形，则，BCF △CB FN ⊥因为平面平面， ,,,DC FC DC BC FC BC C FC ⊥⊥⋂=⊂,FCB BC ⊂FCB 所以平面，因为平面，所以， DC ⊥FCB FN ⊂FCB DC FN ⊥又因为平面平面， ,DC CB C DC ⋂=⊂,ABCD CB ⊂ABCD 所以平面，因为平面，故； FN⊥ABCD AD ⊂ABCD FN AD⊥（2）解：由于平面，如图建立空间直角坐标系，FN ⊥ABCD于是，()()()()()0,,5,,0,0,3,1,0,3,B A F E D 则，，33,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()()3,2,,2,2BM DA DE ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量，ADE (),,n x y z =r则，，令00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20230x x z ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩x =1,y z ==平面的法向量，∴ADE n =设与平面所成角为，则BM ADE θsin θ所以直线与平面 BM ADE 21．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105 [)105,115 []115,125 频数 62638228(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知在这些数据中，质量指标值落在区间内的产品的质量指标值的平均数为94，方差为[)75,10540，所有这100件产品的质量指标值的平均数为100，方差为202，求质量指标值在区间[]105,125内的产品的质量指标值的方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)平均数为100，方差为104.(3)300【分析】（1）计算每组频率，从而画出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图中的数据结合平均数，方差的求法求解即可； （3）先计算区间内的平均数以及，再由方差公式求解.[)105,125y 3021i i y =∑【详解】（1）由题意可知，分组，，，，，对应的频率[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125分别为. 0.06,0.26,0.38,0.22,0.08则频率分布直方图如下图所示：（2）质量指标值的样本平均数为．800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=质量指标值的样本方差为2222(10080)0.06(10090)0.26(100100)0.38s =-⨯+-⨯+-⨯22(100110)0.22(100120)0.08+-⨯+-⨯104=（3）由题，质量指标值落在区间内的产品有70件，[)75,105设质量指标值分别为，则平均数为，方差为，1270,,,x x x 94x =240x s =质量指标值落在区间内的产品有30件，[)105,125设质量指标值分别为，则平均数为，方差为， 1230,,,y y y y 2y s 设这100件产品的质量指标值的平均数为，100z =方差为，则，2202z s =1007030z x y =+所以，又因为，则， 114y =702221170xi i s x x ==-∑7021621320i i x ==∑又因为，则， 7030222111100zi i i i s x y z ==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑3021398880i i y ==∑所以302221130030yi i s y y ==-=∑22．已知抛物线的焦点为，直线，点，点在抛物线上，2:4C y x =F :250l x y -+=()1,1P ,M N C 直线与直线交于点，线段的中点为． l MN Q MN D (1)求的最小值； 2PD MF NF ++(2)若，求的值．,QM aMP QN bNP ==a b +【答案】(1)4 (2)2【分析】（1）求出抛物线的准线方程，设点和点到准线的距离为，， C D P l 1d 2d 由抛物线定义得到，求出； 12MF NF d +=2224PD MF NF d ++≥=（2）设点，由向量比例关系求出，代入抛物线()()()001122,,,,,Q x y M x y N x y 0011,11x a y ax y a a++==++方程，结合点在直线上，化简得到，同理得到()00,Q x y :250l x y -+=22003640a a x y -+-=，故是关于的方程，求出两根之和.22003640b b x y -+-=,a b x 22003640x x x y -+-=【详解】（1）依题意，抛物线的准线方程为． C :1l x =-设点到准线的距离为，点到准线的距离为 D l 1d P l 2d 由抛物线的定义可知，，12MF NF d +=，()112222242PD MF NF PD d PD d d ++=++≥==故的最小值为4．2PD MF NF ++（2）设点，且，()()()001122,,,,,Q x y M x y N x y ()1,1P 则， ()()101011,,1,1QM x x y y MP x y =--=-- 因为，所以，QM aMP =()()101011,1,1x x y y a x y --=--因此，即， ()()1011011,1x x a x y y a y -=--=-0011,11x a y ax y a a++==++又在抛物线上，所以， ()11,M x y 2:4C y x =()200411x a y a a a ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭故①．()220000322240a x y a x y ++-+-=由于点在直线上，()00,Q x y :250l x y -+=所以，把此式代入①式并化简得：②，00223x y +-=-22003640a a x y -+-=同理由可得③，QN bNP = 22003640b b x y -+-=由②③得是关于的方程的两根，此时判别式大于0，,a b x 22003640x x x y -+-=由根与系数的关系，得．2a b +=【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。
2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题解析
2021-2022学年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知椭圆方程为2212x y +=，则该椭圆的焦距为（ ）A ．1B ．2CD ．答案：B根据椭圆中,,a b c 之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.解：由椭圆的标准方程可知：222222,11a b c a b ==⇒=-=，则焦距为22c =， 故选：B.2．下列说法正确的是（ ） A ．空间中的任意三点可以确定一个平面 B ．四边相等的四边形一定是菱形 C ．两条相交直线可以确定一个平面 D ．正四棱柱的侧面都是正方形 答案：C根据立体几何相关知识对各选项进行判断即可.解：对于A ，根据公理2及推论可知，不共线的三点确定一个平面，故A 错误； 对于B ，在一个平面内，四边相等的四边形才一定是菱形，故B 错误； 对于C ，根据公理2及推论可知，两条相交直线可以确定一个平面，故C 正确； 对于D ，正四棱柱指上、下底面都是正方形且侧棱垂直于底面的棱柱，侧面可以是矩形，故D 错误. 故选：C3．已知数列{}n a 中，1111,31n na a a +==-，则5a =（ ） A ．13B ．32-C ．2-D ．32答案：D由数列{}n a 的递推公式依次去求，直到求出5a 即可. 解：由1111,31n na a a +==-，可得2111311213a a ===--，321123112a a ===---， 3411111(2)3a a ===---， 4511311213a a ===-- 故选： D.4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥ B ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥ C ．若m n ⊥，n α⊥，则m α∥ D ．若m n ∥，n α⊥，则m α⊥答案：D根据空间直线与平面间的位置关系判断． 解：若m n ⊥，n ⊂α，也可以有m α⊂，A 错； 若m n ∥，n ⊂α，也可以有m α⊂，B 错； 若m n ⊥，n α⊥，则m α∥或m α⊂，C 错；若m n ∥，n α⊥，则m α⊥，这是线面垂直的判定定理之一，D 正确 故选：D ．5．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ） A ．30尺 B ．40尺C ．6尺D ．60尺答案：A由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解. 解：由题女子织布数成等差数列，设第n 日织布为n a ，有1305,1a a ==，所以()()1120111220130105302a a a a a a a ++++=⨯=+=，故选:A.6．已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，点D 为AB 中点，则异面直线BC 与1C D 所成角的余弦值为（ ）A ．34BC．3D ．12答案：A根据异面直线所成角的定义，取AC 中点为E ，则1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，再解三角形即可求出．解：如图所示：设AC 中点为E ，则在三角形ABC 中，,D E 为中点，DE 为中位线，所以有//DE BC ，112DE BC ==，所以1EDC ∠为异面直线BC 和1C D 所成角或其补角，在三角形1EDC 中，112,2DC C E ==22211113cos 24C D DE C E EDC DE C D ∠+-==⋅， 故选：A.7．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线C 相交于,A B 两点，且3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．3C ．±1D ．3答案：B设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，及112AF BF p +=，可求得13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上方，又1cos p AF θ=-，求得1cos ,tan 32θθ==，利用对称性即可得出结果.解：设直线倾斜角为θ，由3AF FB =，所以3AF BF =，由12p =， 112411433BF AF BF p BF +=⇒⨯=⇒=∣，所以13313AF BF ==⨯=，当点A 在x 轴上 方，又1cos p AF θ=-，所以1cos ,tan 32θθ=，所以由对称性知，直线l 的斜率3故选：B.8．已知四面体P ABC -中，,2,23PC a PA PB AC BC a AB a ======，若该四面体的外接球的球心为O ，则OAC 的面积为（ ） A 273 B 215 C 230 D 23a答案：C根据四面体的性质，结合线面垂直的判定定理、球的性质、正弦定理进行求解即可. 解：由图设点D 为AB 中点，连接,PD CD ，由PA PB AC BC ===，所以,PD AB CD AB ⊥⊥，,,PD CD D PD CD ⋂=⊂面PCD ，则AB ⊥面PCD ，且PAB ABC ≌，所以球心O ∈面PCD ，所以平面PCD 与球面的截面为大圆，CD 延长线与此大圆交 于E 点.在三角形ABC 中，由2,23AC BC a AB a ===，所以130,120,sin 22A B C CD BC B a a =====⨯=，由正弦定理知：三角形ABC 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，设三角形ABC 的外接圆圆心为点M ，则OM ⊥面ABC ，有2r ME MC a ===，则MD a =，设PAB △的外接圆圆心为点N ，则ON ⊥面PAB ，由正弦定理知：三角形PAB 的外接圆半径为122sin120ABr a =⨯=，所以OM ON =，又三角形PDC 中，PC PD CD a ===， 所以OD 为PDC ∠的角平分线，则30ODM ∠=， 在直角三角形OMD 中，3tan 303OM MD ==， 在直角三角形OED 中，22222213433a R OM EM a a =+=+=，在三角形OAC 中，取中点S ，由OA OC OS AC =⇒⊥2222131033OS OA AS a a a =-=-=，所以211303022233OACSAC OS a a a =⨯=⨯⨯=， 故选：C.【点睛】关键点睛：运用正弦定理、勾股定理、线面垂直的判定定理是解题的关键. 二、多选题9．如图，正四棱锥P ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，2PA AB ==，点,E F 分别为侧棱,PA PB 的中点，则（ ）A ．OE PA ⊥B ．//OF PDC ．四棱锥P ABCD -的体积为43D ．AC ⊥平面PBD 答案：ABD证明OP ⊥平面ABCD ，OP OA =，故选项A 正确；证明//OF PD ，故选项B 正确； 42P ABCD V -=，故选项C 错误；证明,OP AC BD AC ⊥⊥，则AC ⊥平面PBD 即得证，故选项D 正确.解：由点O 为正方形ABCD 的中心，则OP ⊥平面ABCD ，直角三角形POA 中，2212,22OA AC OP PA OA ==-所以OP OA =，当E 为中点时，OE PA ⊥，故选项A 正确；在三角形PBD 中，,O F 为中点，所以//OF PD ，故选项B 正确；11422433P ABCD ABCD V OP S -=⨯==C 错误； 由OP ⊥面,,ABCD OP AC BD AC ⊥⊥，,,OP BD O OP BD =⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，故选项D 正确. 故选：ABD.10．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上第一象限的点，点12,A A 为双曲线的左右顶点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为点Q ，记212PQt AQ A Q =⋅，则（ ）A ．bt a=B ．双曲线的离心率为1e t =+C ．当1t =时，双曲线的渐近线互相垂直 D ．t 的值与P 点在双曲线上的位置无关 答案：BCD根据双曲线左右顶点坐标，结合双曲线的离心率公式、渐近线方程进行逐一判断即可. 解：因为点12,A A 为双曲线的左右顶点，所以12(,0),(,0)A a A a -设点()12,(0,0),,,p x y x y PQ y AQ x a A Q x a >>==+=-， 则222212||PQ y t AQ A Q x a ==⋅-，又点P 在该双曲线上，满足22221x y a b -=，所以2222222212(1)||x b PQ b a t A Q A Q x a a-===⋅-，所以选项A 错，选项D 对；又c e a ==B 对，对选项C ，221b t a ==，则1b a =，双曲线的渐近线方程为y x =±，故C 对.故选：BCD11．已知欧拉函数()()*n n N ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数.例如：()11ϕ=，()42ϕ=，设数列{}n a 中：()()*n a n n N ϕ=∈，则（ ） A ．数列{}n a 是单调递增数列 B ．{}n a 的前8项中最大项为7a C ．当n 为素数时，1n a n =- D ．当n 为偶数时，2n n a = 答案：BC根据欧拉函数的概念可写出数列{}n a 的前8项，根据前8项，可判断选项A,B,D ；根据n 为素数时，n 与前1n -个数都互素，从而可判断选项C.解：由题知数列{}n a 前8项为：1,1,2,2,4,2,6,4，不是单调递增数列，故选项A 错误； 由选项A 可知，{}n a 的前8项中最大项为76a =，故选项B 正确； 当n 为素数时，n 与前1n -个数互素，故1n a n =-，所以C 对正确； 因为62a =，故选项D 错误. 故选：BC .12．已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点E 是棱1DD 的中点，点F 在正方体表面上运动，以下命题正确的有（ ） A ．平面1A BE 截正方体所得的截面面积为92B ．三棱锥1B ACE -C ．当点F 在棱1CC 运动时，平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值可以取到2D ．当点F 在底面ABCD 上时，直线1B F 与1CC 所成角为30，则动点F答案：ACD对于选项A ，取CD 中点为N ，则1//EN A B ，可知平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，利用平面几何知识即可求出梯形1A BNE 的面积，进而判断A 是否正确；对于B ，设点M 为AC 中点，AC ⊥面1B ME ，再根据内切球的性质和几何体提及的关系1=3V rS （其中V ,S ，r 分别是几何体的的体积、表面和内切球的半径），由此即可判断B 是否正确；对于C ，利用空间向量法求二面角，即可判断C 是否正确；对于D ，由于11//BB AA ，可得130BB F ∠=，所以123tan 303BF BB ==，可知点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233的圆上，作出草图，即可求出动点F 的轨迹长度，进而判断D 是否正确.解：选项A ，设CD 中点为N ，连接,BN EN ，则1//EN A B ，所以平面1A BE 截正方体所得的截面为梯形1A BNE ，由对称性知，梯形1A BNE 为等腰梯形，过点E 作1EG A B ⊥，在直角三角形1GA B 中，1125,EA AG == 所以2211922EG EA AG =-所以()1139322222ABNE S EN AB EG =+⨯=⨯⨯=，所以A 正确； 选项B ，在三棱锥1B ACE -中，11122,5,3B A BC AC EA EC B E ====== 设点M 为AC 中点，所以1,B M AC EM AC ⊥⊥，则AC ⊥面1B ME ，16,3B M EM ==，所以11,11122632332A B CE B MEV AC S-=⨯=⨯⨯⨯⨯= 又三棱锥1B ACE -表面积为1116236ACB ACEB EB CE S S SSS =+++=++表面和又1123A B CE V r S -=⨯=表面积，则666236621r ==++++，故B 错误；选项C ，以点B 为坐标原点，1,,BC BA BB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设点()()2,0,,02F t t ≤≤，则()()12,0,,0,1,1==BF t BA ， 设平面1FA B 的法向量为(),,nx y z =，所以1200⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n BF x tz n BA y z ，取2=-=y z ，则x t =，所以平面1FA B 的法向量为(),2,2n t =-，又平面ABCD 法向量为()0,0,1m =平面1FA B 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值2211cos ,328m n m nt θ⋅⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦⋅+∣ 又()111232,32322⎡⎤-=∈⎢⎥+⎣⎦，所以选项C 正确； 选项D ，11//BB CC ，所以1∠BB F 直线1B F 与1CC 所成角，即130BB F ∠=， 所以123tan 303BF BB ==， 所以点F 的轨迹为以点B 为圆心，半径为233BF =的圆上， 又点F 在底面ABCD 上，如下图所示：所以动点F 2332ππ=，故D 正确； 故选：ACD. 三、填空题13．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解．解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.14．已知数列{}n a 满足下列条件：①数列{}n a 是等比数列；②数列{}n a 是单调递增数列；③数列{}n a 的公比q 满足01q <<.请写出一个符合条件的数列{}n a 的通项公式__________.答案：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）根据题意判断数列特征，写出一个符合题意的数列{}n a 的通项公式即可.解：因为数列{}n a 是等比数列，数列{}n a 是单调递增数列，数列{}n a 的公比q 满足01q <<，所以等比数列{}n a 公比01q <<，且各项均为负数， 符合题意的一个数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（答案不唯一）15．已知数列{}n a 满足()()11121,2n n n a n a a ++=+=，则320222023212320222023a a aa a +++++=__________. 答案：20232024由题112n n n a a n ++=+，用累乘法求得通项公式：11n a n =+，则()11111n a n n n n n ==-++，通过裂项求和即可得出结果. 解：由题112n n n a a n ++=+，所以累乘法求通项公式： 2132123,,341n n n a a a a a a n -==⋯=+，所以12313411n n a a n n =⨯⨯⨯=++，经验证1n =时，112a =符合. 所以()11111n a n n n n n ==-++，则3202220232111111120231123202220232232023202420242024a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2023202416．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点为1F ，2F ，直线(0)y kx k =>与双曲线交于,M N 两点，且2OM OF =，O 为坐标原点，又()222216MF NMF NF S +=，则该双曲线的离心率为__________.根据直线和双曲线的对称性，结合圆的性质、双曲线的定义、三角形面积公式、双曲线离心率公式进行求解即可.解：由直线(0)y kx k =>与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称， 在三角形2MF N ∆中，2OM OF =，所以22MF NF ⊥， ,M N 是以12F F 为直径的圆与双曲线的交点，不妨设()11,M x y 在第一象限， 212NF MMF F SS=，因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c ，因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a b x y c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，联立化简可得()222222211b c y a y a b --=，整理得2222222211b c a bb y a y ，242211,b b c y y c==，所以2121122MF F Sc y b =⋅⋅=，由()2222216MF NMF NF S b +==所以124MF MF b ，又因为122MF MF a ，联立121242MF MF bMF MF a +=⎧⎨-=⎩可得12MF b a ，22MF b a ，因为12F F 为圆的直径，所以2221212MF MF F F +=，即222222222(2)(2)4,824,42b a b a c b a c b a c ++-=+=+=，222222223442,23,2c c a a c c a a -+===，所以离心率62cea .【点睛】关键点睛：利用直线和双曲线的对称性，结合圆的性质进行求解是解题的关键. 四、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，首项为12a =，且1241,1,1a a a +++成等比数列. (1)求n a 和n S ；(2)设(1)1nn n b a =-+，记12n n T b b b =+++，求n T .答案：(1)2331,2n n n na n S +=-=(2)**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数（1）由题意解得等差数列{}n a 的公差d ，代入公式即可求得n a 和n S ； （2）把n 分为奇数和偶数两类，分别去数列{}n b 的前n 项和n T . (1)设等差数列{}n a 公差为d ，由题有()()()2214111a a a +=++，即()2(3)333d d +=+，解之得3d =或0，又0d ≠，所以3d =，所以()()2113131,22n n n a a n n n a a n d n S ++=+-=-==. (2)()(1)1(1)311n n n n b a n =-+=--+，当n 为正奇数，()()11(1)(1)313113n n n n a a n n ++-+-=--++-=，()()()12123421n n n n n T b b b a a a a a a a n --=+++=-++-+++-+-+()1133122n n n n -+=⨯--+=- 当n为正偶数，()()()12123415322n n n n n nT b b b a a a a a a n n -=+++=-++-+++-++=⨯+=， 所以**1,,25,,2n n n N n T n n N n +⎧-∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩为奇数为偶数18．如图①，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为AB CD ､的中点，224CD AB EF ===，现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体，在图②中：(1)证明：平面//AEB 平面DFC ；(2)求四棱锥F ABCD -的体积. 答案：(1)证明见解析. (2)2（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明； （2）将所求四棱锥F ABCD -的体积转化为求32E CDF V -即可.(1)证明：因为//AE DF ，AE ⊄面DFC ，DF ⊂面DFC ， 所以//AE 面DFC ， 同理//BE 面DFC ， 又因为,AE BE ⊂面ABE ,AE BE E =所以面//ABE 面DFC . (2)解：因为在图①等腰梯形ABCD 中，,E F 分别为,AB CD 的中点， 所以EF CD ⊥，在图②多面体中，因为,EF DF EF FC ⊥⊥，,DF FC ⊂面DFC ，DF FC F ⋂=， 所以EF ⊥面DFC .因为CF EF ⊥，面BEFC ⊥面AEFD ，CF ⊂面BEFC ，面BEFC ⋂面AEFD EF =, 所以CF ⊥面AEFD ， 又因为DF ⊂面AEFD ， 所以CFDF ，在直角三角形DFC 中，因为2DF FC ==,所以CD =，同理，AB = 所以2CD AB =， 则2ACDABCSS=，有32ABCD ABC ACD ACD S S S S =+=△△△△， 所以33331222223F ABCD F ACD A CDF E CDFCDF V V V V EF S ----⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭△. 所以四棱锥F ABCD -的体积为2.19．已知抛物线2:2C y px =的焦点F ，点()2,2M 在抛物线C 上. (1)求MF ；(2)过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，过点N 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，证明：AOB 为直角三角形（O 为坐标原点）.答案：(1)52(2)证明见解析（1）点代入即可得出抛物线方程，根据抛物线的定义即可求得MF .（2）由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，与抛物线方程联立，可得2240y my --=，利用韦达定理证得0OA OB ⋅=即可得出结论.(1)点()2,2M 在抛物线2:2C y px =上.∴44p =，则1p =，所以252,22M p y x MF x ==+=. (2)证明：由题()2,0N ，设直线AB 的方程为：2x my =+，点()()1122,,,A x y B x y联立方程222x my y x =+⎧⎨=⎩，消x 得：2240y my --=，由韦达定理有121224y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由22y x =，所以221212422y y x x =⨯=，所以1212440OA OB x x y y ⋅=+=-=，所以OA OB ⊥，所以AOB 为直角三角形. 20．三棱锥P ABC -中，PAB PAC ≅△△，2BC AB ，PA AB ⊥，直线PC 与平面ABC 所成的角为3π，点D 在线段PA 上.(1)求证：BD AC ⊥； (2)若点E 在PC 上，满足34PE PC =，点D 满足(01)AD AP λλ=<<，求实数λ使得二面角A BE D --的余弦值为25.答案：(1)证明见解析； (2)12λ=.（1）证明AC ⊥平面PAB ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）设1AB AC ==，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数λ的等式，即可解得实数λ的值. (1)证明：因为PAB PAC ≅△△，PA AB ⊥，则PA AC ⊥且AB AC =， AB AC A ⋂=，PA ∴⊥平面ABC ，所以PCA ∠为直线PC 与平面ABC 所成的线面角，即3PCA π∠=，22BC AB AC ==，故222AB AC BC +=，AC AB ∴⊥，PA AB A =，AC ∴⊥平面PAB ， BD ⊂平面PAB ，因此，BD AC ⊥.(2)解：设1AB AC ==，由（1）可知3PCA π∠=且PA AC ⊥，tan33PA AC π∴==，因为PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0B 、()0,1,0C 、(3P 、330,4E ⎛ ⎝⎭、()()301D λλ<<，设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,0AB =，330,4AE ⎛= ⎝⎭，则1113304m AB x y z m AE ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取1y =，可得(0,1,3m =， 设平面BDE 的法向量为()222,,n x y z =，()1,0,3DB λ=-，331,4BE ⎛=- ⎝⎭， 由22222303304n DB x z n BE x y λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x λ=，则(3,43n λλ=-，由已知可得2412cos ,522584m n m n m nλλλ⋅-<>===⋅-+，解得12λ=.当点D 为线段AP 的中点时，二面角A BE D --的平面角为锐角，合乎题意. 综上所述，12λ=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P 在椭圆22149x y +=上，且在第一象限内，点12,A A 分别为椭圆C 的左､右顶点，直线12,PA PA 分别与椭圆C 交于点,M N ，过2A 作直线1PA 的平行线与椭圆C 交于点D ，问直线DN 是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.答案：(1)2214x y +=(2)过定点，8,05⎛⎫⎪⎝⎭（1）根据椭圆上的点及离心率求出a ,b 即可；（2）设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件122212,PA DA DA NA PA PA k k k k k k =⋅=⋅化简，结合椭圆方程，求出t 即可得解.(1) 由2223c e a b c a ===+，有2a b =， 又221341a b+=，所以22a b ==，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)设点()()()112200,,,,,D x y N x y P x y ，设直线DN 的方程为x t my =+. 如图，联立2214x y x t my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 有：()2224240m y mty t +++-=，韦达定理有：()()1222222212224*,Δ4444044mt y y m m t t m t y y m ⎧+=-⎪⎪+=--+>⎨-⎪=⎪+⎩由12//PA DA ，所以()()122212222000,224PA DA DA NA PA PA y y k k k k k k x x x =⋅=⋅==-+-， 又()22220000914494x y y x +=⇒=-，所以222020944DA NA y k k x ⋅==-- 又221212,22DA NA y yk k x x ==--， 所以()()2211129224DA NA y y k k x x ⋅==---.又()()()()()()221212121222222(2)x x my t my t m y y m t y y t --=+-+-=+-++-所以有()()2212121242(2)9y y m y y m t y y t -=+-++-， 把()*代入有：()22444(2)9t t --=-， 解得85t =或2，又直线DN 不过右端点，所以2t ≠，则85t =， 所以直线DN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭.22．已知函数()ln 1f x x x =+.(1)求函数()y f x =在x e =处的切线方程；(2)设()f x '为()y f x =的导数，若方程()'2a f x a x =+的两根为12,x x ，且12x x <，当0t >时，不等式()122a t x tx <-+对任意的()12,(0,x x ∞∈+恒成立，求正实数t 的最小值. 答案：(1)21y x e =-+ (2)1（1）先求导数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）将已知方程结合其两根，进行变式，求得()21212ln x x a x x -=，利用该式再将不等式()122a t x tx <-+变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.(1)由题意可得()()()ln 1,2,1f x x f e f e e '+'===+， 所以切点为(),1e e +，则切线方程为：()2121y x e e x e =-++=-+. (2)由题意有：()ln 12a x x a +=+，则ln 2a x x =， 因为12,x x 分别是方程ln 20a x x -=的两个根，即1122ln 2,ln 2a x x a x x ==.两式相减()()2121ln ln 2a x x x x -=-， 则()21212ln x x a x x -=， 则不等式()122(0)a t x tx m <-+>，可变为()()21122122ln x x t x tx x x -<-+， 两边同时除以1x 得，212211212ln x x txt x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<-+，令21x k x =，则()212ln k t tk k-<-+在()1,k ∈+∞上恒成立. 整理可得()21ln 02k k t tk-->-+，在()1,k ∈+∞上恒成立，令()()21ln 2k h k k t tk-=--+，则()()()22222222(2)11(2)14(2)(2)(2)t t k k k t k t t h k k t tk k t tk k t tk ⎡⎤---⎢⎥⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=-==-+-+-+'， ①当22(2)1t t -≤，即1t ≥时，()0h k '>在()1,+∞上恒成立，则()h k 在()1,+∞上单调递增，又()10h =，则()0h k >在()1,+∞上恒成立；②当22(2)1t t ->，即01t <<时，当22(2)1,t k t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭时，()0h k '<， 则()h k 在22(2)1,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()()10h k h <=，不符合题意.综上：1t ≥，所以t 的最小值为1.。
2021年高二上学期期末考试 数学(理)试题 Word版含答案
2021年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案高二数学 xx.1（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟题号一二三本卷总分17181922122分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆的半径为( )A. B. C. D.2．双曲线的实轴长为( )A. B. C. D.3．若，，且，则( )A. B.C. D.4．命题“,”的否定为( )A. ，B. ，C. ，D. ，5．“”是“方程表示圆”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6．关于直线以及平面,下列命题中正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，且，则D. 若，，则7．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则( )A. B. C. D.8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ） A. B. C.D.9．已知平面内两个定点，过动点作直线的垂线，垂足为.若 ，则动点的轨迹是（ ） A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知正方体，点，，分别 是线段，和上的动点，观察直线与 ，与．给出下列结论：①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在点，使得．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______. 12. 命题“若，则”的否命题是：__________________. 13. 双曲线的离心率为_______；渐近线方程为_______.14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.15. 如图，长方体中，是边长为的正方形，与平面所成的角为， 则棱的长为_______；二面角的 大小为_______.16. 已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.给出下列结论：F D ABCA 1B 1C 1D 1EGDABCA 1B 1C 1D 1① 存在点，使得为等边三角形； ② ②不存在点，使得为等边三角形； ③存在点，使得；④不存在点，使得. 其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，、分别是、中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：.18.（本小题满分13分）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.19.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，，，是中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.ABCDNPMA 1B 1C 120.（本小题满分14分）如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．21.（本小题满分13分）已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.（Ⅰ）若线段中点的横坐标等于，求直线的斜率； （Ⅱ）设点关于轴的对称点为，求证：直线过定点.ABEC DP·22.（本小题满分14分）已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.（Ⅰ）若所在的直线方程为，求的长；（Ⅱ）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.北京市西城区xx — xx学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准xx.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.D 10. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 12. 若，则. 13. ，14. 15.16. ①④注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或④得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17.证明：（Ⅰ）取中点，连结.因为是中点，所以 . ………………2分又是中点，,所以，四边形是平行四边形. ………4分所以 . ………………5分因为平面，平面，AB CDNPMQ所以平面. ………………7分（Ⅱ）因为平面,所以 . ………………8分又是矩形，所以 . ………………9分所以平面, ………………10分所以 . ………………11分又 ,所以 . ………………13分18.解：（Ⅰ）设圆的圆心坐标为，依题意，有，………………2分即，解得，………………4分所以圆的方程为. ………………6分（Ⅱ）依题意，圆的圆心到直线的距离为，………………8分所以直线符合题意.………………9分另，设直线方程为，即，则，………………11分解得，………………12分所以直线的方程为，即. ………………13分综上，直线的方程为或.19.（Ⅰ）证明:因为是直三棱柱，又，即. ………………2分如图所示，建立空间直角坐标系.,,,，所以，，. ………………4分又因为，，………………6分所以，，平面. ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面的法向量，………………9分，………………10分则 . ………………12分设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………13分20.（Ⅰ）证明：取中点，连结，………………1分因为△是正三角形，所以.因为四边形是直角梯形，，，所以四边形是平行四边形，，又，所以 .所以 . ………………4分（Ⅱ）解：因为平面平面，，所以平面，所以. ………………5分如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.则，，，，.所以 ,，………………6分设平面的法向量为，则，………………7分令，则,.所以. ………………8分同理求得平面的法向量为，………………9分设平面与平面所成的锐二面角为，则.所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. ………………10分（Ⅲ）解：设，因为，所以，,.依题意即………………11分解得，. ………………12分符合点在三角形内的条件.………………13分所以，存在点，使平面，此时.…………14分21.解：（Ⅰ）设过点的直线方程为，由得. ………………2分因为，且，所以，. ………………3分设，，则，. ………………5分因为线段中点的横坐标等于，所以，………………6分解得，符合题意.………………7分（Ⅱ）依题意，直线，………………8分又，，所以，………………9分………………10分因为，且同号，所以，………………11分所以，………………12分所以，直线恒过定点. ………………13分22.解：（Ⅰ）由得，解得或，………………2分所以两点的坐标为和，………………4分所以. ………………5分（Ⅱ）①若是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，因为，在线段上，所以，求得，……6分所以的面积等于. ………………7分②若B不是椭圆的左、右顶点，设，，由得，………………8分，，所以，的中点的坐标为，………………9分所以，代入椭圆方程，化简得. ……………10分计算…………11分. ………………12分因为点到的距离. ………………13分所以，的面积.综上，面积为常数. ………………14分B21046 5236 制7 426935 6937 椷E 24341 5F15 引(R 29168 71F0 燰 28275 6E73 湳。
2021年高二上学期期末考试(理)数学试题 含答案
2021年高二上学期期末考试（理）数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个总体中共有个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一容量为的样本，则某特定个体入样的概率是（）A． B． C． D．2.“”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3.若直线与圆相切，则的值为（）A． B． C． D．4.从这四个数中，随机抽取个不同的数，则这个数的和为奇数的概率是（）A． B． C． D．5.以下四个命题中，其中真命题的个数为（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于命题，使得，则，均有；③“”是“”的充分不必要条件；④命题：“”是“”的充分不必要条件.A． B． C． D．6.根据如下样本数据得到的回归方程为.若，则每增加个单位，就（）A．增加个单位 B．减少个单位C．增加个单位 D．减少个单位7.已知为直线，为平面，下列结论正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则8.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A. B． C． D．9.阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A． B． C． D．10.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．11.已知一个三角形的三边长分别是，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过的概率是（）A． B． C． D．12.已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为______.16.下图左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，号到号同学的成绩依次为、、......、，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知关于的方程.（1）当为何值时，方程表示圆；（2）若圆与直线相交于两点，且的长为，求的值.18.（本题满分12分）已知：函数在上为减函数；：方程无实根，若“”为真，“”为假，求的取值范围.19.为选拔选手参加“汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照]100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在的数据）.（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在分以上（含分）的学生中随机抽取名学生参加“汉字听写大会”，求所抽取的名学生中至少有一人得分在内的概率.20.（本题满分12分）已知抛物线，焦点为，顶点为，点在抛物线上移动，是的中点. （1）求点的轨迹方程；（2）若倾斜角为且过点的直线交的轨迹于，两点，求弦长.21.（本题满分12分）如图，已知长方形中，，，为的中点.将沿折起，使得平面平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.（本题满分12分）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点.（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围.xx学年上学期期末考试高二年级数学（理）试卷参考答案一、选择题CADA ABDB BDCC二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解（1）方程可化为，显然时方程表示圆，即. ................5分（2）圆的方程化为，圆心，半径，则圆心到直线的距离为，∵，则，有，∴，得. ...................10分若真，假，则，故. ..............6分若假，真，则，故. ..............8分所以的取值范围是. ..........12分19.解：（1）由题意可知，样本容量，，030.0040.0016.0010.0004.0100.0=----=x . .........6分（2）由题意可知，分数在内的学生有人，记这人分别为，，，，，分数在内的学生有人，记这人分别为，.抽取的名学生的所有情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.其中名同学的分数都不在内的情况有种，分别为：，，，，，，，，，.∴所抽取的名学生中至少有一人得分在内的概率. ........12分20.解：（1）设，∵是中点，∴，又∵点在抛物线上，∴，即为点的轨迹方程. .......6分（2）∵，，∴直线的方程为：，设点，直线的方程代入，消去得：，∴，∴3744)(1212212=-++=x x x x k AB . ................12分 21.解：（1）中，，，∴，又平面平面，平面平面，且平面，∴平面. ...............6分（2）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，∵为中点，∴，，由（1）知，为平面的一个法向量，，7142812189222,cos =⨯++⨯=>=<， ∴直线与平面所成角的正弦值为. .................12分22.解：（1）双曲线的离心率.由题意椭圆的离心率.∴，∴，∴，∴椭圆方程为. ....................2分又点在椭圆上，∴，∴，∴椭圆的方程为. .............4分（2）设，由消去并整理得，∵直线与椭圆有两个交点，，即， ......6分又，∴中点的坐标为，设的垂直平分线方程：，∴在上，即，， ......10分将上式代入得，，或，∴的取值范围为. ............12分36564 8ED4 軔28442 6F1A 漚b24508 5FBC 徼8•37457 9251 鉑e26379 670B 朋25932 654C 敌21914 559A 喚 </€。
21届高二上数学期末复习卷(参考答案)
21届高二上数学期末复习卷 命题人：李弦裴校订：李弦裴一、单选题1．（5分）为了从甲、乙两组学生中选一组参加“喜迎祖国七十华诞，共建全国文明城市”知识竞赛活动，班主任老师将这两组学生最近6次的测试成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两组的平均成绩分别是,x x 甲乙，则下列说法正确的是（ ）A ．x x >甲乙，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加竞赛B ．x x >甲乙，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加竞赛C ．x x <甲乙，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加竞赛D ．x x <甲乙，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加竞赛 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出甲和乙的平均数和方差，比较大小，即可得到结论. 【详解】由题意，根据茎叶图的数据，可得：1(727879858692)826x =+++++=甲22222221125[(8272)(8278)(8279)(8285)(8286)(8292)]63S =-+-+-+-+-+-=甲，1(788687879193)876x =+++++=乙2222222167[(7887)(8687)(8787)(8787)(9187)(9387)]63S =-+-+-+-+-+-=乙，因为22,x x S S <>甲乙甲乙，所以乙组的平均成绩好，且乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加比赛， 故选D. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答熟记茎叶图的平均数和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．（5分）下列说法中正确的是（ ）A ．若命题“p q ∧”为假命题，则命题“p q ∨”是真命题B ．命题“*x N ∀∈，32x x ≥”的否定是“*0x N ∀∈，3200x x <”C ．设,a b ∈R ，则“()0b a b ->”是“11a b<”的充要条件 D ．命题“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅，则,a b 不共线”的否命题是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用逻辑联结词、全称命题的否定、不等式的性质、向量的性质等逐一判断各选项是否正确. 【详解】选项A,若命题“p q ∧”为假命题，则命题p q ，至少有一个假命题， 即可能有一真一假，也可能两个都是假命题，所以“p q ∨”可能是真命题，也可能是假命题，故A 不正确.选项B,命题“*x N ∀∈，32x x ≥”的否定是“0x ∃∈*N ，3200x x <”,故B 不正确.选项C,110()0a b ab a b a b ab-<⇔>⇔->，无法得出()0b a b ->，故C 不正确. 选项D, 原命题的否命题时“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅≤⋅，则,a b 共线”， 因为||=||||cos ,a b a b a b ⋅⋅，所以由||||||a b a b ⋅≤⋅可得cos ,1a b ≥. 所以cos ,=1a b ±，则,=0a b ︒或180︒，即,a b 共线.故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查常用逻辑用语，涉及逻辑联结词、全称命题的否定、充要条件、否命题，综合考查了不等式的性质、平面向量的性质.与其他知识综合命题，是考查常用逻辑用语的一般方式.3．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M （M在第一象限），MN ⊥l ，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若|MD ，则抛物线方程是（ ） A ．2y x = B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】B 【解析】 【分析】画出图像，根据直线MF 的斜率，证得三角形MNF 是等边三角形，根据中位线证得D 是NF 中点，结合MD =求得F 的坐标，进而求得p 的值，从而求得抛物线方程. 【详解】画出图像如下图所示，由于直线MF π3MFA ∠=，由于MN l ⊥，故π3FMN ∠=，根据抛物线的定义得MN MF =，故三角形MNF 是等边三角形.由于O 是BF 的中点，//BN OD ，所以D 是NF 中点，而MD =根据等边三角形的性质可知2MN MF NF ===，在直角三角形ODF 中，π1,3DF DFO =∠=，所以122p OF ==，解得1p =，故抛物线方程为22y x =. 故选：B.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，直线和抛物线的位置关系，考查等边三角形的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4．（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以A 1，A 2，A 3表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件A 1不相互独立 B ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件 C ．P (B )=35 D ．P (B|A 1)=711【答案】C 【解析】【分析】依次判断每个选项得到答案.【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B. A1，A2，A3两两不可能同时发生，正确C. P(B)=510×711+510×611=1322，不正确D. P(B|A1)=P(BA1)P(A1)=12×71112=711，正确故答案选C【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 5．（5分）已知下面两个程序对甲乙两个程序和输出结果判断正确的是（）A．程序不同，结果不同B．程序相同，结果不同C．程序不同，结果相同D．程序相同，结果相同【答案】C【解析】【分析】读懂WHILE和DO引导的循环语句，运用所学知识对两种语句分别计算出结果并比较不同点【详解】程序甲是计算变量i 从1开始逐步递增到100i =时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是：123100++++；程序乙计算变量从100开始逐步递减到1i =时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是：100991+++；这两个程序是不同的，两种程序的输出结果相同，都是1231005050++++=，故选C【点睛】本题考查了WHILE 和DO 引导的循环语句，关键是能读懂循环语句，并能判别不同点，较为基础。
重庆市2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题(含答案)
重庆市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则等于A. B. C. D.2.已知实数a，b，m满足记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数，且的最小值为A. B. C. D.3.已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为A. B. C. D.4.已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是A. B. C. D.5.有下列命题：“或”是“”的必要不充分条件；已知命题对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足；已知数列与满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件；已知分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为其中所有真命题的个数是A. 4B. 3C. 2D. 16.三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为的A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心7.设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得为坐标原点，则的取值范围是A. B. C. D.8.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为A. 14B. 15C. 16D. 17二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.下列命题正确的是A. 已知R，则“”是“”的充分不必要条件B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则C. 若随机变量，且，则D. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为10.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是A. 恰好取到一件次品有不同取法；B. 至少取到一件次品有不同取法；C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法；D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式．11.已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是A.B. 若，则C. 的最小正周期为4D. 在上的零点个数最少为1010个12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点焦点的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则的面积不大于三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，求曲线过点处的切线方程______．14.关于函数有如下四个命题：是的周期；的图象关于原点对称；的图象关于对称；的最大值为其中所有真命题是________填命题序号15.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________．16.已知向量，，若函数在区间上是增函数，则t的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C的大小；若，，的周长为12，求的面积．18.已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．证明数列等比数列；已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅．选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．来求数列前n和．19.已知中，，，，分别取边AB，AC的中点D，E，将沿DE折起到的位置，设点M为棱的中点，点P为的中点，棱BC上的点N满足．求证：平面；试探究在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．20.某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11 10 9分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．求该同学这个题目需要仲裁的概率；求该同学这个题目得分X的分布列及数学期望精确到整数．21.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点．若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点记点G的纵坐标为，求的值．若，点在曲线上且线段的中点均在抛物线C 上，记线段的中点为N，面积为用表示点N的横坐标，并求的值．22.已知函数．求不等式的解集；函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；答案和解析1.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查交集及其运算，先分别得出集合A、B，再取交集即可，属于基础题．【解答】解：集合，，，故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，涉及基本不等式与一元二次不等式的解法，是中档题．由已知得，结合，可求出m的取值范围求，设，求，研究的单调性和最值，从而可的单调性和最小值．【解答】解：根据题意，得又，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得．因为，所以，设，则，当时，，当时，，所以当时，，即当时，恒成立，所以当且时，恒成立，所以在上单调递增，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，且．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，用a，b表示，，再求出，由，得，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．【解答】解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，因为，，，所以，，，所以．又因为，所以．又由，得，即，结合整理可得，即离心率．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量法求解相关范围问题，属于中档题根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为，设，由向量关系得到然后将点的坐标代入椭圆方程，得到由即可得到答案．【解答】解：设，，则由，可得，解得，，即由题意可设椭圆E的标准方程为，所以消去，的平方项，得，由，即，解得，又，所以，所以，故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判定，属于中档题，分别进行充分性和必要性判断即可，根据全称量词命题否定判断即可，根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可，由题意求出的最小值即可判断．【解答】解：充分性：当“且”时，令，，此时，不能推出””的结论，因此充分性不成立必要性：当“”时，令，，此时不能推出“且”的结论，因此必要性不成立。
2021年高二(上)期末数学试卷(理科)含解析
2021年高二（上）期末数学试卷（理科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答卷纸相应位置上1．（3分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的代数运算将转化为1﹣i，即可判断它在复平面内的位置．解答：解：∵==1﹣i，∴数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．故答案为：四．点评：本题考查复数的代数运算，将其转化为a+bi的形式是关键，属于基础题．2．（3分）已知命题p：∀x∈R，x2＞x﹣1，则¬p为∃x∈R，x2≤x﹣1．考点：命题的否定；全称命题．专题：阅读型．分析：根据命题p：“∀x∈R，x2＞x﹣1”是全称命题，其否定¬p定为其对应的特称命题，由∀变∃，结论变否定即可得到答案．解答：解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈R，x2＞x﹣1，的否定是：∃x∈R，x2≤x﹣1．故答案为：∃x∈R，x2≤x﹣1．点评：命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．3．（3分）在平面直角坐标系中，准线方程为y=4的抛物线标准的方程为x2=﹣16y．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设所求的抛物线方程为：x2=﹣2py（p＞0），依题意，=4可求得p．解答：解：设所求的抛物线方程为：x2=﹣2py（p＞0），∵其准线方程为y=4，∴=4，∴p=8．∴抛物线标准的方程为x2=﹣16y．故答案为：x2=﹣16y．点评：本题考查抛物线的标准方程，求得x2=﹣2py（p＞0）中的p是关键，属于中档题．4．（3分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则a的范围为a＜1．考点：充要条件．专题：计算题．分析：“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，即由“x＞1”可得“x＞a”，反之不成立，由此即可得到结论．解答：解：由题意“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，∴a＜1故答案为a＜1点评：本题考查充要条件，求解的关键是正确理解充分不必要条件的含义，并能根据其含义对所给的条件进行正确转化．5．（3分）若圆x2+y2=4与圆x2+（y﹣3）2=r2（r＞0）外切，则实数r的值为1．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：利用两圆外切，两圆圆心距等于两圆半径之和来求出r的值．解解：圆x2+y2=4的圆心坐标（0，0）半径为2；答：圆x2+（y﹣3）2=r2（r＞0）的圆心坐标（0，3），半径为r，∵两圆外切，∴两圆圆心距等于两圆半径之和，∴3=2+r，∴r=1，故答案为：1．点评：本题考查圆与圆的位置关系，两圆外切，两圆圆心距等于两圆半径之和．6．（3分）若复数z满足（z+i）（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则|z|=5．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：设出复数z，代入题目给出的等式，由实部等于实部，虚部等于虚部联立方程组求解a，b的值，则z可求，从而|z|可求．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），由（z+i）（2﹣i）=11+7i，得：（a+（b+1）i）（2﹣i）=11+7i，则（2a+b+1）+（2b﹣a+2）i=11+7i，所以，解得：．所以，z=3+4i．所以，．故答案为5．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的充要条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，考查了复数模的求法，此题是基础题．7．（3分）函数y=2sinx﹣x，x∈[0，π]的单调递减区间为（，π）．考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：求导数可得y′=2cosx﹣1，令其小于0，解不等式可得答案．解答：解：∵y=2sinx﹣x，∴y′=2cosx﹣1，令y′=2cosx﹣1＜0，结合x∈[0，π]可得x，故函数的单调递减区间为（，π）故答案为：（，π）点评：本题考查函数的单调性，用导数工具是解决问题的关键，属基础题．8．（3分）（xx•朝阳区二模）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN=2，则实数k的值是0或﹣．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长MN=2，解此方程求出k的取值即可．解答：解：圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4圆心坐标（3，2），半径为2，因为直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若MN=2，由弦长公式得，圆心到直线的距离等于1，即=1，8k（k+）=0，解得k=0或k=，故答案为：0或．点评：本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用．考查计算能力．9．（3分）已知动点M到A（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，则动点M的轨迹方程为3x2﹣y2=12．考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设动点M（x，y），由动点M到A（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，知=2×|x﹣1|，由此能求出动点M的轨迹方程．解答：解：设动点M（x，y），∵动点M到A（4，0）的距离等于它到直线x=1的距离的2倍，∴=2×|x﹣1|，整理，得动点M的轨迹方程为3x2﹣y2=12．故答案为：3x2﹣y2=12．点评：本题考查动点M的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．10．（3分）观察下列等式：=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，…可推测当n≥3，n∈N*时，=（﹣）×．考点：类比推理．专题：规律型．分析：通过观察可知，等式的规律特点为：积的倒数等于倒数的差乘以差的倒数，据此规律可求得答案．解答：解：通过观察四个等式可看出：两个整数乘积的倒数，等于较小整数的倒数减去较大整数倒数的差再乘以较大整数减去较小整数差的倒数，从而推测可推测当n≥3，n∈N*时，=（﹣）×，故答案为：=（﹣）×．点评：此题考查寻找数字的规律及运用规律进行推理．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．11．（3分）已知椭圆+=1与双曲线﹣y2=1有共同焦点F1，F2，点P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|=5．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：利用椭圆+=1与双曲线﹣y2=1有共同的焦点F1、F2，结合椭圆和双曲线的定义求出|PF1|与|PF2|的表达式，代入即可求出|PF1|•|PF2|的值．解答：解：设P在双曲线的右支上，左右焦点F1、F2：利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF1|+|PF2|=6①|PF1|﹣|PF2|=4②由①②得：|PF1|=5，|PF2|=1．∴|PF1|•|PF2|=5×1=5．故答案为：5．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆与双曲线有共同的焦点F1、F2，两个圆锥曲线的定义的应用，考查计算能力．12．（3分）在直角三角形ABC中，∠C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥S﹣ABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥S﹣ABC外接球的半径为．考点：类比推理．专题：规律型．分析：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．解答：解：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．故为故答案为：点评：本题考查类比思想及割补思想的运用，考查类用所学知识分析问题、解决问题的能力．13．（3分）已知曲线y=x2（x＞0）在点P处切线恰好与圆C：x2+（y+1）2=1相切，则点P的坐标为（，6）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先设P（x0，y0），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简，根据此直线与圆C：x2+（y+1）2=1相切，转化成圆心到直线的距离等于半径，然后利用点到直线的距离公式进行求解即可．解答：解：设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为2x0x﹣y﹣x02=0，而此直线与圆C：x2+（y+1）2=1相切，∴d=．解得x0=±（负值舍去），y0=6．∴P点的坐标为（，6）．故答案为：（，6）．点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及直线与圆相切的条件，属于基础题．14．（3分）若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f （x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为1．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义．分析：由“弱增函数”的定义知h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减，分别根据二次函数、“对勾函数”的单调性求出b的取值范围，二者取交集即可求得b值．解答：解：因为h（x）在（0，1]上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减．（1）由h（x）在（0，1）上递增，得≤0，解得b≤1；（2）由=x+﹣（b﹣1）在（0，1）上递减，得①若b≤0，=x+﹣（b﹣1）在（0，+∞）上递增，不合题意；②若b＞0，由=x+﹣（b﹣1）在（0，1）上递减，得≥1，解得b≥1，综上，得b≥1，由（1）（2），得b=1．故答案为：1．点评：本题考查函数的单调性问题，熟练掌握常见函数如：二次函数、“对勾函数”的单调性可以为我们迅速解决问题提供帮助．二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（8分）已知命题p：任意x∈R，x2+1≥a，命题q：方程﹣=1表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：（1）由题意先求出f（x）的最小值，然后结合命题p为真命题，可知a≤f（x）min，从而可求a的范围（2）因由为真命题，可知a+2＞0，可求a的范围，然后结合p且q可知p，q都为真，可求解答：解（1）记f（x）=x2+1，x∈R，则f（x）的最小值为1，…（2分）因为命题p为真命题，所以a≤f（x）min=1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．…（4分）（2）因为q为真命题，所以a+2＞0，解得a＞﹣2．…（6分）因为“p且q”为真命题，所以即a的取值范围为（﹣2，1]．…（8分）说明：第（1）问得出命题p为真命题的等价条件a≤1，给（4分），没过程不扣分，第（2）问分两步给，得到a＞﹣2给（2分），得到x∈（﹣2，1]给（2分），少一步扣（2分）．点评：本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是准确求出命题p，q为真时参数的范围16．（8分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题．分析：（1）直接用点斜式求出直线CD的方程；（2）根据条件得知|PA|为圆的半径，点P在直线CD上，列方程求得圆心P坐标，从而求出圆P的方程．解答：解：（1）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（1，2），…（3分）∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …（6分）（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：a+b﹣3=0 ①…（8分）又直径|CD|=，∴∴（a+1）2+b2=40 ②…（10分）由①②解得或∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…（12分）∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…（14分）点此题考查直线方程的点斜式，和圆的标准方程．评：17．（10分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=3，E 为线段SD上的一点．（1）求证：AC⊥BE；（2）若DE=1，求直线SC与平面ACE所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）SD，DC，DA两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出ABCS点的坐标，设出E的坐标，求出向量，通过向量的数量积证明AC⊥BE；（2）通过DE=1，求出，设出平面ACE的法向量，通过•=0，•=0，求出，然后利用公式求出直线SC与平面ACE所成角的正弦值．解答：（本题满分10分）解（1）因为四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，所以SD，DC，DA两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则各点的坐标为D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），S（0，0，3），…（2分）设E（0，0，t）（0≤t≤3），则=（﹣3，3，0），=（﹣3，﹣3，t）．所以=﹣3×（﹣3）+3×（﹣3）+0×t=0，所以，即AC⊥BE；…（5分）（2）因为DE=1，所以t=1，所以=（0，3，﹣3），=（﹣3，3，0），=（﹣3，0，1）．设平面ACE的法向量=（x，y，z），直线SC与平面ACE所成角为θ，所以•=0，•=0，即﹣3x+3y=0，﹣3x+z=0，解得x=y，z=3x．取x=1，则=（1，1，3），…（8分）所以•=0×1+3×1+（﹣3）×3=﹣6，||=，||=3，则sinθ=|cos＜，＞|=||==．所以直线SC与平面ACE所成角的正弦值为．…（10分）说明：第（1）问：建系设坐标给（2分），若没有指出SD，DC，DA两两互相垂直，不扣分；写对，的坐标各给（1分）；第（2）问：分两步给分，求出法向量给（3分），求出角的正弦给（2分），若把它当成余弦扣（1分）．点评：本题考查直线与直线的垂直的判断，直线与平面所成角的大小的求法，本题的解题的关键是空间直角坐标系的建立，以及公式的灵活应用，考查计算能力，空间想象能力．18．（10分）如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．（1）求正四棱锥的体积V（x）；（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；导数的综合应用；空间位置关系与距离．分析：（1）由题意求出棱锥的底面面积以及棱锥的高，即可求正四棱锥的体积V（x）；（2）通过（1）棱锥的体积的表达式，利用函数的导数求出函数的极值点，说明是函数的最大值点，即可求解当x为何值时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值．解答：（本题满分10分）解（1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．则由于切去的是等腰三角形，所以AN=，NO=1﹣x，…（2分）在直角三角形AON中，AO===，…（4分）所以V（x）=••[2（1﹣x）]2•=（1﹣x）2，（0＜x＜1）．…（6分）（不写0＜x＜1扣1分）（2）V′（x）=[（2x﹣2）+]=（x﹣1），…（8分）令V′（x）=0，得x=1（舍去），x=．当x∈（0，）时，V′（x）＞0，所以V（x）为增函数；当x∈（，1）时，V′（x）＜0，所以V（x）为减函数．所以函数V（x）在x=时取得极大值，此时为V（x）最大值．答：当x为m时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值．…（10分）说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣（1分），没有答扣（1分）．点评：本题以折叠图形为依托，考查空间几何体的体积的求法，通过函数的对数求法函数的值的方法，考查空间想象能力与计算能力；解题中注意函数的定义域，导数的应用．19．（10分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为A（0，﹣b），直线AF与椭圆的右准线交于点B，与椭圆的另一个交点为点C，若F恰好为线段AB的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）若FC=，求椭圆的方程．考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，可求得2c=，从而可求得椭圆的离心率；（2）由（1）可知直线AB的方程为y=x﹣c，设C（x0，x0﹣c），将其代入椭圆方程，可求得x0，利用两点间的距离公式表示出FC=，可求得c，从而可求得椭圆的方程．解答：解（1）因为B在右准线上，且F恰好为线段AB的中点，所以2c=，…（2分）即=，所以椭圆的离心率e=…（4分）（2）由（1）知a=c，b=c，所以直线AB的方程为y=x﹣c，设C（x0，x0﹣c），因为点C在椭圆上，所以+=1，…（6分）即+2（x0﹣c）2=2c2，解得x0=0（舍去），x0=c．所以C为（c，c），…（8分）因为FC=，由两点距离公式可得（c﹣c）2+（c）2=，解得c2=2，所以a=2，b=，所以此椭圆的方程为+=1．…（10分）点评：本题考查椭圆的简单性质（求离心率），考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想与化归思想的综合应用，属于中档题．20．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；（2）先求出a的范围，然后利用导数研究函数的单调性，①当0＜≤1，即a≥1时，②当1＜＜2，③当≥2，分类讨论后，研究函数的单调性，从而求出函数f（x）在区间[1，2]的最大值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x2有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=．…（2分）因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分）…（4分）（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．令f′（x）=0得x=．因为x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，…（5分）①当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f （1）=﹣a；②当1＜＜2，即＜a＜1时，f（x）在（1，）上递增，在（，2）上递减，所以x=时，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；③当≥2，即0＜a≤时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．综上，①当0＜a≤时，f（x）最大值为ln2﹣2a；②当＜a＜1时，f（x）最大值为﹣lna﹣1；③当a≥1时，f（x）最大值为﹣a．…（8分）（每种情形1分）（3）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因为m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增，当x=x2时，g（x）取最小值g（x2）．…（10分）则即所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*），设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即=1，解得m=．…（12分）点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，是一道综合题，有一定的难度，属于中档题．y}Ua627306 6AAA 檪V34897 8851 衑39808 9B80 鮀26860 68EC 棬C#36960 9060 遠。
2021-2022年高二上学期期末考试 数学文试题 含答案(II)
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.2.命题“对，有”的否定形式是（）A.对，有B.，使得C.，使得D.不存在，使得3.已知直线经过两个点，则直线的方程为（）A. B.C. D.4.已知直线与直线垂直，则实数等于（）A. B. C. D.5.命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）A.若不都是偶数，则不是偶数B.若都是偶数，则不是偶数C.若是偶数，则都是偶数D.若不是偶数，则不都是偶数6.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题不．正确．．的是（）A．若，则 B．若，则或C．若，则 D．若，则或7.直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值为（）A.0B.1或3C.0或3D.1或08.双曲线中心在原点，且一个焦点为，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为，则该双曲线的方程是（）A. B. C. D.9.过点的直线被圆所截得的弦长为，则直线的方程为（）A.或B.或C.或D.或10.已知双曲线的离心率，左，右焦点分别为，点在双曲线的右支上，则的最大值为（）A. B. C. D.第II卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应题号的横线上）11.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则。
12.已知抛物线经过点，若点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为。
13.已知一个正三棱锥的高是4，底面为边长是2的等边三角形，其俯视图如图所示，则其侧视图的面积为。
14.若实数满足，则的取值范围为。
15.椭圆的两个焦点是，为椭圆上与不共线的任意一点，为的内切圆圆心，延长交第13题线段于点，则。
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答只写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分13分）已知正方形的顶点坐标分别为。