一元二次方程竞赛训练题

一元二次方程竞赛训练题
1 •方程7x2(k 13)x k2k
2 0 (k是实数)有两个实根、，
且0v v 1, 1v v 2,那么k的取值范围是( )
(B)—2v k v —1 ；
(C) 3v k v 4或—2v k v— 1 (D)无解。

3•方程x2x 1 0的解是()
误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为—1和4,那么，2b 3c
a
5•若X。

是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根，则判别式b2 4ac与平方式
M (2ax。

b)2的关系是()
(A) >M (B) =M (C) <M ; (D)不确定.
6 •若方程(x2 1)(x2 4) k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k= ____________ .
的取值范围是( )
(A) 0 m , /、 3 3
m 1
3 , 1; (B) m - ；(C) ; (D) m 1
4 4 4
&设x1, x2是二
2
一次方程x
x 3 0的两个根，那么， 3
X1 4x2219的值等于( )
7•如果方程(x 1)(x2 2x m) 0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m
(A)
4 ; (B) 8; (C) 6; (D) 0..
(A) 3v k v 4;
2•方程(x a)(x 8) 1 0 ,有两个整数根，则a ______________
(A)
1 ,5
2
(B)
1 ..5
(D)
1 .5
2
4•已知关于x的一元二次方程ax2bx c 0没有实数解.甲由于看错了二次项系数,
11. 已知且，则=
的值为（）
(A) 23
( B 23 (C) 2 (D) 13
15.如果x和y是非零实数，使得
x y 3和x y x30, 那么x+y等于（).
(A) 3 ( B) v'13 (C) 1晁
(D) 4
2
16 .已知实数a 、b、x、y满足 a b x y 2 , ax by 5，则
2 2 2 2
(a b )xy ab(x y )
17. ______________________________________________________ 实数x、y、z满足
x+y+z=5, xy+yz+zx=3，则z的最大值是_____________________________ .
18.已知a, b是实数，关于x, y的方程组
y x ax bx,
y ax b
有整数解（x, y），求a, b满足的关系式.
19.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的一个实数根，则ab的取值范围为（）
ab 1 ab 1 ,1 ,1
(A) - (B) (C) ab 一(D) ab 一
8 8 4 4
20 . 在RtVABC 中,斜边AB=5 , 而直角边BC, AC之长是一元二次方程
10•求所有正实数a,使得方程x2ax 4a 0仅有整数根。

12.已知：a ，b, c三数满足方程组
a
ab c2b』，试求方程bx2+cx-a=0的根。

8 .一3c 48
13 •设m是整数, 且方程3x2mx 2 0的两根都大于9而小于号，则m=.
5 7 14•已知实数a b，且满足（a 1）2 3 3(a 1) , 3(b 1)
x2(2m 1)x 4(m 1) 0的两根，贝U m的值是( )
A 、4
B 、-1
C 、4 或-1
D 、-4 或1
21 •已知a为实数，且使关于x的二次方程x2 a2x a 0有实根，该方程的根x所能
取至y的最大值是________________ 。

22.设a , b , c为互不相等的实数，且满足关系式
b2 c2 2a2 16a 14 ①及bc a2 4a 5 , ②
求a的取值范围.
一元二次方程竞赛训练题(答案):
1.解：记f(x) »7x2(k 13)x k 2k 2
f(0) k2k 2 0
由f (1) k22k 8 0 3 k 4 或2 k 1 f(2) k23k 0
2. 8.
2
x (a 8)x 8a 1 0
原方程整理为设X1,X2为方程的两个整数根，由X1+x2=a+8, 知a为整数，因此，x- a和x-8 都是整数。

故由原方程知x-a=x-8(= ± 1)
•••
所以a=8
3. ( D)
设X。

是方程的解，则一X。

也是方程的解，排除(A)、(B)； (D)的两值必是方程的解，
否则方程的解也不是(C).
1
将一(1 5)代入方程，左边工0，排除(C).
2
4.6
设甲将a看为a',由韦达定理得
于是
由于一次项系数
a
'
由①②得a
b
5. (B
)
6.
b的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a或c的符号.
3.所以
2b 3c
设x o是方程的根,则ax
所以(2ax0 b)2
设x2
程的四个根为4
.
6 12 6.
4a2x°
4a(ax02
b2 4ac
y，原方程变为y2
由韦达定理
7.
( C) bx0 c 0.
4abx0
bx o c)
5y 4
b2
b2 4ac
k 0.设此方程有根，（0
.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列,
5，得
9
2
9
4，），则原方
x 2 1 .1m , x 3 x 1 x 2
2 1m 1
& ( D )
X 1, X 2是二次方程 x 2
x 12
x 1 3 即 x 1
2
3为,
由根与系数的关系知 X 1 X 2 1，从而有
x 12 4x 22
19 x 1(3 xj 4(3 x 2) 19
2
3x-| x 1 4x 2 7 3x-|
(3 x 1) 4x 2
7
4(x 1 x 2)
4
4 ( 1) 4 0.
9. 3
得 m = 4 , n = -1 , /• m+n=3
10.设两整数根为x , y (x e y )
则
x y a
°,
xy 4a 0
2
—y a, 4 x 8.可推出x 4 , a —X .由于x 为整数 2 x 4
x=5 时，a=25 时，y=20 时；x=6 时，a=18 时，y=12;
x=7时，a 不是整数，x=8时；a=16, y=8;于是a=25或18或16均为所求。

12 .由方程组得：a 、b 是方程X 2-8X +C 2
- 8 .. 2 c+48=0的两根
1 .1
m . 显然 x 3，由此得m
, X 2
3 4 .
,1 m
X 3 0的两个根，
0, 2
X 2
x 2 3 0
2
X
2
3
X
2
.
因为m n 为有理数，方程一根
,5 2，那么另一个根为 ,5 2，由韦达定理。

e X 1 e
X 3. 注意到
△ =-4(C- 8 2)2》0, C=4 2 a=b=4
所以原方程为x+...2x-1=0
、2 ..6
~2
13.解：这是一个二次方程的区间根问题， 可根据二次函数图象的特点建立关于 先求出m 的取值范围，再由 m 是整数确定m 的根.
设f （x ） = 3x 2
+mx-2，由二次函数的图象，得
14 .答：选（B ）
a 、
b 是关于x 的方程
2
1
3( x 1) 3
的两个根，整理此方程，得
2
x 5x 1
0,
25 4
0 ,
b 5, ab 1.
f(-
5) 5 f(7)
9 9 -m
5 3 -m 7 m
193 门 0
25 71 0 49 3 解得3
21
4至 45
•/ m 是整
数, •••只有
m=4.
故
a 、
b 均为负数.因此
a. a b ab
a ab
2 2
ab
a b 2 2ab
、ab
23
3 x 代入 xy x 3
得 x 3
x 2
3x 0.
(1) 当x >0时, x 3
x 2 3x 0，方程x 2
3 0无实根;
(2) 当x <0时，x 3
3x 0，得方程x 2
1
=
m 的不等式,
解得」，正根舍去，从而
x
2 2
7 13
2
.13.
因此，结论（D）是在正确的.
16•答： 5
解：由x y 2，得(a b)(x y) ax by ay bx 4, ax by
•••
ay
bx
因而, (a2 2 2
b )xy ab(x
y2) (ay bx)(ax by)
17.答：13
3
解：T x y 5 z , xy 3 z(x y) 3 z(5 z) z2 5z 3, x、y是关于t 的一元二次方程
t2(5 z)
t
z2 5z 3
的两实根.
(5 z)24(z25z 3
)
3z210z 13 (3z 13)(z 1) 0.
13
3
故z的最大值为13
3
x3xy, (5分)
若x+1=0，即x
(x 1)y x3.
1，则上式左边为0,右边为1不可能.所以X+1M 0,于是
X 2
x 1
因为X 、
y 都是整数，所以x
1
1，即x
2或x 0，进而y =8或y 0.故
x 2
x
或
•• ( 10
y 8
y
t
x 当
2
时，代入y ax
b
得,
2a b 8 0 ；
y 8
t
x 当
0 时，代入y ax
b 得， b 0.
y 0
综上所述，a 、b 满足关系式是2a b 8 0， 或者b 0，a 是任意实数
•- ( 15
19. B
20.
设方程的根为 人兀, 依题意
25 2 2
X 1 冷
2
% X 2
2
2x 1x 2 = 2m 1 8 m 1
即 m
2
3m 4
解得m=4或-1
但 x-i ,x 2 > 0 , 2m -
1> 0 所以m>0 故m= 4选A
2
a x 0有实根，于是V 1 4x 0
X n
当a=0
时，
x =0 综上，
32
X 2 2
22.解法1：由①—2 X②得
(b c) 224(a 1) 0,
所以a 1.
当a 1时，
.2 2
b c 2 a216a 14 2(a 1)(a 7) 0
21. a为实数，当a 0时，关于a的二次方程xa2
10分
又当a = b时，由①，②得
e2 a2 16a 14，③
ae a2 4a 5，④
将④两边平
方，
结合③得
2 2 2
2 a a 16a 14 a 4a 5 ，
化简得
3 2
24a3 8a240a 25 0，
故(6a 5)(4 a2 2a 5) 0，
5 解得a 51
，或a ,21 6 4
所以，a的取值范围为 a 1且a 5
，a
1 、21
6 4
........ 15分
解法2 :因为b2e22a216a 14，be 2 a 4a 5，所以
2 2
(b e) 2a 16a 14 2(a24a 5) =4a2
2 8a 4 = 4(a 1),
b c 2(a 1).
2
又be a 4a 5 ,所以b , c为一元二次方程
x2 2( a 1)x a2 4a 5 0
的两个不相等实数根，故
2
4(a 1) 4( a24a 5) 0,
所以a 1.
当a 1时，
b2 e2 2 a216a 14 2(a 1)(a 7) 0
10分另外，当a = b时，由⑤式有
所以
5
4
2
a
a
\—/ X —
a o
5 a 6
5
所以，a 的取值范围为a 1且a
1 ,21 4
15分。