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浙江省杭州学军中学10-11学年高一下学期期中考试(数学实验班)

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浙江省杭州学军中学西溪校区2021-2022学年高一下学期期中测试数学试题

浙江省杭州学军中学西溪校区2021-2022学年高一下学期期中测试数学试题

2021-2022学年杭州学军中学西溪校区高一下学期期中测试数学一、单选题1.已知集合{0,1,2}P =，{1,2,3}Q =，则P Q ⋃=()A.{0}B.{0,3}C.{1,2}D.{0,1,2,3}2.已知i 为虚数单位，复数，则z 的虚部为()A.iB.1C.7iD.73.已知()f x 为偶函数，且函数()()g x xf x =在[0,)+∞上单调递减，则不等式(1)(1)2(2)0x f x xf x --+>的解集为()A.1(,3-∞ B.(,1)-∞- C.1(,)3+∞ D.(1,)-+∞4.下列判断正确的是()A.圆锥的侧面展开图可以是一个圆面B.底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.一个西瓜切3刀最多可切成8块D.过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个5.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数可以表示为()ln xx xπ≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计510以内的素数的个数为(素数即质数，lg 0.4343e ≈，计算结果取整数)()A.2172B.4343C.869D.86866.在ABC 中，D 是边BC 上的一点，40C ︒∠=，60CAD ︒∠=，BD AC =，则DBA ∠=()A.15︒B.30︒C.45︒D.60︒7.已知1e ，2e 为单位向量，且12|2|2e e + ，若非零向量a满足12a e a e ⋅⋅ ，则12(2)||a e e a ⋅+的最大值是()A.4B.2C.2D.48.已知a ，b ，c ∈R ，若关于x 的不等式01a cx b x x++-的解集为123321[,]{}(0)x x x x x x ⋃>>>，则()A.不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B.存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C.有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D.存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=二、多选题9.在ABC 中，若3B π=，角B 的平分线BD 交AC 于D ，且2BD =，则下列说法正确的是()A.若BD BC =，则ABC 的面积是32+B.若BD BC =，则ABC 的外接圆半径是C.若BD BC =，则12AD DC +=D.AB BC +的最小值是310.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是1AA ，1CC ，11C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点，则()A.存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面B.存在点Q ，使//PQ 平面MBNC.过Q ，M ，N 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积的取值范围为D.经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为92π三、填空题11.已知m ∈R ，一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个根z 是纯虚数，则||z m +=__________.12.已知钝角α终边上一点的坐标为(2sin 4,2cos 4)-，则α=__________13.已知三角形ABC 的斜二侧画法的直观图是边长为2的正三角形(A B C '''如图所示)，则C的坐标为__________14.已知函数220.5()log (335)f x x ax a a =--+在(,1]-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是__________15.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且2sin cos(6b A a B π=-，2b =，则B =__________，若满足条件的ABC 有且仅有一个，则a 的取值范围是__________.16.设41(0,0)x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++-的最小值为__________四、解答题17.已知平面向量a ，b ，c 满足||1a =，||2b = ，2a a b =⋅ ，215016c c b -⋅+= ，则22||||c a c b -+- 的最大值为__________.18.已知函数2()cos cos 1.222x x x f x =-+(1)若[0,2x π∈，5()6f x =，求cos x 的值；(2)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b A c - ，求()f B 的取值范围．19.如图所示，等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD ==，已知E ，F 分别为线段BC ，AB 上的动点(,E F 可与线段的端点重合)，且满足AF x AB = ，.BE yBC =(1)求AE DF ⋅关于x ，y 的关系式并确定x ，y 的取值范围；(2)若AE DF ⊥ ，判断是否存在恰当的x 和y 使得yx取得最大值？若存在，求出该最大值及对应的x 和y ；若不存在，请说明理由．20.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，120ADC ∠=︒，124BB AB ==，M ，N 分别为BC ，1AA 的中点.(1)证明：//BN 平面1;AMD (2)平面1AMD 将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为1V ，较小的体积为2V ，求12V V 的值.21.已知函数，(1)解不等式：(2)是否存在实数t，使得不等式对任意的及任意锐角θ都成立，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由。

浙江省杭州学军中学10-11学年高一下学期期中考试(化学)(实验班)

浙江省杭州学军中学10-11学年高一下学期期中考试(化学)(实验班)

杭州学军中学2010/2011学年下学期期中考试高一年级实验班化学试卷一．选择题(本题包括20小题，每小题2分，共40分。

每小题只有一个选项符合题意。

) 1.日本地震以后，福岛核电站在用海水给反应堆降温过程中，引发了爆炸。

根据下图和你所学习过的化学知识来判断该爆炸以下说法正确的是：A ．燃料棒的核反应使水分解产生氢气和氧气，引发爆炸，三层防护应都完好B．压力控制室出了问题，燃料高温下C+ H2O = CO + H2引发了水煤气爆炸C．核反应放热，相当与原子弹爆炸，爆炸后就可以断定三层防护都出现破损D．燃料棒上的锆与气态水发生锆水反应：Zr + 2H2O = ZrO2 + 2H2 引发了氢爆2．下列关于工业生产的说法中，正确的是A．工业上用氧气在接触室中氧化黄铁矿得到二氧化硫B．工业上通过电解饱和氯化钠溶液制备金属钠C．工业用氨氧化法制硝酸是人工固氮过程D．生产普通玻璃的主要原料有石灰石、石英和纯碱3．下列叙述正确的是A．一种元素可能有多种氧化物，但同种化合价只对应一种氧化物B．原子晶体、离子晶体、金属晶体、分子晶体中都一定存在化学键C．强电解质一定为离子化合物，共价化合物一定为弱电解质D．完全由非金属元素组成的化合物可以形成离子化合物4．N A代表阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A．标准状况下，N A个NO分子和0.5 N A个O2分子混合后气体的总体积为33．6 L B．10g D2O晶体中含有的氢氧键数目为N AC．常温常压下，1 mol氦气含有的核外电子数为4 N AD．标准状况下，1 mol SO3分子体积约为22.4 L5．在指定环境中可．能．大量共存的离子组是A．能让石蕊变红的溶液中：K＋、Cu2＋、Cl－、NO3－B．能和铝反应放出氢气的溶液中：Fe2+ NO3－ Na+ SO42-C．使酚酞变红的溶液中：NH4+、K+、ClO-、Cl-D．澄清溶液中：Na+、MnO4－、SiO32-、H+6．在给定条件下，下列加点的物质在化学反应中完全消耗的是A．用浓盐酸与过量的二氧化锰共热制取氯气B．标准状况下，将1g铝片投入20mL 18．4mol/L的硫酸中C．向100mL 3mol/L的硝酸中加入5．6g 铁D．在催化的条件下，用二氧化硫和氧气合成三氧化硫7．X、Y是原子序数大于4的两种主族元素，它们的离子X m+和Y n-具有相同的核外电子排布。

2022-2023学年浙江省杭州市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年浙江省杭州市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年浙江省杭州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．设集合，21|4M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{|01}N x x =≤≤则M N ⋂=（）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】A【分析】先求集合M ，再应用交集运算即可.【详解】由题意得，11(,)22M =-，[0,1]N =，∴1[0,)2M N = ，故选：A.2．60α=︒是3sin 2α=的什么条件（）A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】分别从充分性与必要性两个方面论证判断.【详解】因为3sin60°2=，所以满足充分性；而3sin 2α=，60°360°,Z k k α=+∈或120°360°,Z k k α=+∈，所以不满足必要性，所以60α=︒是3sin 2α=的充分不必要条件.故选：B.3．若i 为虚数单位，则复数2i1iz -=-的虚部为（）A ．12-B ．1i2-C ．1i2D ．12【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简复数z ，再根据复数的概念即可得答案.【详解】2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222--++====+--+z ，其虚部为12．故选：D ．4．已知直线,l m 和平面,αβ，下列命题正确的是（）A ．若//,//l l αβ，则//αβB ．若,l l αβ⊥⊥，则//αβC ．若,l l m α⊥⊥，则//m αD ．若,,//,//l m l m ααββ⊂⊂，则//αβ【答案】B【分析】利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及线面垂直的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若//,//l l αβ，则α与β可能相交，所以A 不正确；对于B 中，若,l l αβ⊥⊥，根据垂直于同一直线的两平面平行，可得//αβ，所以B 正确；对于C 中，若,l l m α⊥⊥，则//m α或m α⊂，所以C 不组合却；对于D 中，若,,//,//l m l m ααββ⊂⊂，只有当l 与m 相交时，才能得到//αβ，所以D 不正确.故选：B.5．函数2()||||xx f x x x ⋅=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据绝对值将函数转化为分段函数，结合分段函数的性质判断即可.【详解】2,02()2,0x xx x x x f x x xx x ⎧+>⋅⎪=+=⎨-+-<⎪⎩当0x >时，20x x +>，排除D 选项；当0x <时，2x y x =-+-在(,0)-∞上单调递减，排除BC ，故选：A ．6．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,,P Q R 分别是棱1111,,A D C D BC 中点，则过点,,P Q R 三点的截面面积是（）A ．32B ．3C ．23D ．33【答案】D【分析】作图作出过点,,P Q R 三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长皆可求得截面面积.【详解】如图，设AB 的中点为H ，连接HR 并延长，交DA 延长线于E ,交DC 延长线于F ，连接PE 交1A A 于G ,连接QF 交1C C 于I ，连接GH,RI ,则六边形PQIRHG 为过点,,P Q R 三点的截面，由题意可知，AHE BHR ≌,则1AE BR ==,故1AGE AGP ≌,可知1AG AG =,即G 为1A A 的中点，同理可证I 为1C C 的中点，故可知六边形PQIRHG 为正六边形，且边长为2，故其面积为236(2)334⨯⨯=，即过点,,P Q R 三点的截面面积是33，故选：D7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23cos cos 3c B b C ab +=，π3B =，则a c +的取值范围是（）A ．3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可求得b ，再利用正弦定理把a c +表示出A 的三角函数，由三角恒等变换，结合正弦函数性质可得取值范围．【详解】因为23cos cos 3c B b C ab +=由正弦定理可得23sin sin cos cos sin 3b A C B C B +=，即2 3 sin sin()sin 3b AB C A +==，所以32b =，因为π3B =，所以1sin sin sin a b c A B C ===，所以2π33πsin sin sin sin sin cos 3sin 3226a c A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2π03A <<，所以ππ5π666A <+<，所以3π3sin 326A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即332a c <+≤，故选：A ．8．已知向量a ，b 满足：2()9a b -= ，224a b = ．设a b - 与a b + 的夹角为θ，则sin θ的最大值为（）A ．45B ．35C ．12D ．32【答案】A【分析】先设模长，再根据向量的数量积表示夹角余弦值，最后根据同角三角函数关系表示正弦值，结合二次函数最值求解即可.【详解】设||b x = ，则||2a x =，因为||3a b -= ，所以2222||2529a b a a b b x a b -=-⋅+=-⋅=，所以2592x a b -⋅= ，则2222||||2109a b a b a a b b x +=+=+⋅+=- ，2222()()3cos ||||3109109a b a b x x a b a b x x θ-⋅+===-+-- ，因为[0,π]θ∈，所以422241sin 1cos 11109109x x x x θθ=-=-=---，令21t x=，则224109910t t x x -=-+，当59t =时，2910t t -+取得最大值259，即24109x x -取得最大值259，所以2411109x x --的最大值为45，即sin θ的最大值为45．故选：A ．二、多选题9．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）A ．样本中女生人数多于男生人数B ．样本中B 层人数最多C ．样本中E 层次男生人数为6人D ．样本中D 层次男生人数多于女生人数【答案】ABC【解析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040-=，A 正确；样本中A 层人数为：94010%13+⨯=；样本中B 层人数为：244030%36+⨯=；样本中C 层人数为：154025%25+⨯=；样本中D 层人数为：94020%17+⨯=；样本中E 层人数为：34015%9+⨯=；故B 正确；样本中E 层次男生人数为：4015%6⨯=，C 正确；样本中D 层次男生人数为：4020%8⨯=，女生人数为9，D 错误.故选：ABC .【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．已知函数2()32f x x x a =+-有两个零点12,x x ，则以下结论中正确的是（）A ．1a >-B ．若120x x ≠，则12112x x a+=C ．1(1)3f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．函数(||)y f x =有四个零点【答案】BC【分析】利用一元二次方程根的判别式判断A ；利用韦达定理计算判断B ；利用二次函数对称性判断C ；举例判断D 作答.【详解】函数()f x 对应的二次方程根的判别式22124120a a ∆=+=+>，13a >-，A 错误；由韦达定理知1223x x +=-，123a x x =-，显然0a ≠，则121212112x x x x x x a ++==，B 正确；因为()f x 图象的对称轴为直线13x =-，则点(1,(1))f --，11,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于该直线对称，C 正确；取1a =时，方程232||10x x +-=的根为13±，此时(||)y f x =只有两个零点，D 错误．故选：BC11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A ．若30A =︒，2b =，1a =，则ABC 有2解；B ．若A B >，则sin sin A B >；C ．若sin cos cos 0A B C >，则ABC 一定为锐角三角形；D ．若cos cos a c A b c B +⋅=+⋅，则ABC 为等腰三角形或直角三角形．【答案】BD【分析】根据三角形中的正弦定理、余弦定理化简逐项判断即可.【详解】对于A ，由正弦定理可得：sin sin a bA B =，∴sin sin 1b A B a==，此时ABC 有一解，A 错误；对于B ，∵A B >，∴sin sin A B >，故B 正确；对于C ，∵sin cos cos 0A B C >，sin 0cos 0cos 0A B C >⎧⎪∴>⎨⎪>⎩∴，可知B ，C 均为锐角，但A 不一定是锐角，故ABC为锐角三角形不正确；对于D ，∵cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，由余弦定理可得：22222222a c b b c a a b c cac bc+-+--=-，整理得：()222()0a b a b c -+-=，∴0a b -=或2220a b c +-=即a b =或222+=a b c ，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，故D 正确故选：BD12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别是棱11C D ，AB ，CD ，1DD 中点，以下说法正确的是（）A ．1//A E CF ；B ．平面1A EF ⊥平面AGH ；C ．若点O 是线段EF 中点，则1B O ⊥平面AGH ；D ．直线1A H 与直线BG 交于一点．【答案】AD【分析】证明四边形1A ECF 是平行四边形，即可判断A;利用反证的方法，推出矛盾，可判断B,C;证明四边形1A BGH 为梯形，可判断D.【详解】对于A ，设M 为11A B 的中点，连接1,C M MF ,则1111//,EC MA EC MA =,故四边形11EC MA 为平行四边形，则1111//,C M A E C M A E =,由11//,CC MF CC MF =可知四边形1C CFM 为平行四边形，则11//,C M CF C M CF =,故1//,A E CF 故A 正确；对于B,连接1CD ,由1//,//HG D C CF AG ，而AG ⊄平面EFC ,CF ⊂平面AGH ,故//AG 平面EFC ，HG ⊄平面EFC ,HG ⊂平面AGH ,故//HG 平面EFC ，AG HG G⋂=所以平面CEF //平面AGH ，平面1A EF 不垂直平面CEF ，平面1A EF ⊥平面AGH 不成立，故B 错误；对于C ，假设1B O ⊥平面AGH ，则1B O AH ⊥,由于点O 是线段EF 中点，不妨设正方体棱长为2,则222211215,215,B E B F =+==+=，故11B E B F =,则1B O EF ⊥，由四边形1AD EF 是平行四边形,1111//,,AD EF B O AD AD AH A ∴⊥= ,1AD ⊂平面1111D C B A ,AH ⊂平面1111D C B A 1B O ⊥平面1111D C B A ,又因为1B O ⊥平面AGH ，所以平面//AGH 平面1111D C B A 故与平面AGH 平面1111A B C D AH =矛盾，故C 错误；对于D ，连接1D C ,由于点,G H 分别是棱1,CD DD 中点，故1//GH D C ,在正方体中，11//A B D C ,故1//GH A B ,且1112GH A B A B =≠，故四边形1A BGH 为梯形，故直线1A H 与直线BG 交于一点，故D 正确，故选：AD三、填空题13．已知4cos()45πα+=，则sin 2α=__________．【答案】725-【详解】sin2α=2167sin[2()]cos 2()12cos ()1242442525ππππααα+-=-+=-+=-⨯=-14．在三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin sin ()sin c c a A a b B ⋅=⋅++，角C 的角平分线交边AB 于点D ，且32CD a b ==，，则边c 的大小为___________.【答案】3212/3212【分析】根据sin sin ()sin c c a A a b B ⋅=⋅++，利用正弦定理边化角求得A ，再利用ABC ACD BCD S S S =+△△△，可得到3()ab b a =+，结合条件求得a,b 的值，利用余弦定理求得答案.【详解】由sin sin ()sin c c a A a b B ⋅=⋅++可得：222c a b ab =++，故222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，由于(0,π)C ∈,故2π3C =,故由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得：12π1π1πsinsin sin 232323ab b CD a CD =⋅⋅+⋅⋅，又3CD =，故3()ab b a =+，联立2a b =，解得3333,2a b ==，故222273311892cos 272334224c a b ab C =+-=++⨯⨯⨯=，故3212c =，故答案为：321215．已知函数()()22log 1f x x x =+-，若任意的正数a ，b 均满足()()320f a f b +-=，则21a b+的最小值为________．【答案】562+【分析】先判断出()f x 的单调性和奇偶性，再由()()320f a f b +-=得出a 与b 满足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】∵210x x +->恒成立，∴函数()f x 的定义域为R ．x ∀∈R ，有x -∈R 成立，()()()()2222log 1log 1f x x x x x ⎡-=-+-⎤⎢⎥⎣⎦-=++，()()()()2222log 1log 1f x x x x x f x +-=+-+++()()222log 11x x x x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦()2222log 1log 10x x =+-==，∴()()f x f x -=-，∴()f x 为定义在R 上的奇函数．由复合函数的单调性易知，当(],0x ∈-∞时，21y x =+与y x =-均单调递减，∴()()22log 1f x x x =+-在区间(],0-∞上单调递减，又∵()f x 为定义在R 上的奇函数，∴()f x 在R 上单调递减.∴由()()320f a f b +-=得()()()3223f a f b f b =--=-，∴正数a ，b 满足23a b =-，即32a b +=，∴由基本不等式，()2112116165352562222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6b a a b =，即426a =-+，2263b =-时等号成立，∴21a b +的最小值为562+．故答案为：562+．16．已知平面向量,,a b c 满足2a b ==r r ，1c = ，2a b ⋅=-，若(),R,R c a b λμλμ=+∈∈ ，则2λμ-的最大值是______．【答案】1【分析】先由c a b λμ=+ 平方得()22231λμλ-+=，整理得()222131λμλ-=-≤，即可求出2λμ-的最大值.【详解】由c a b λμ=+ 可得222222c a b a b λμλμ=++⋅ ，即221444λμλμ=+-，整理得()22231λμλ-+=，则()222131λμλ-=-≤，则2λμ-的最大值是1，当且仅当10,2λμ==-时取最大值.故答案为：1.四、解答题17．某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】(1)众数是20；中位数是20.4；平均数为20.32(2)23.86【分析】（1）根据频率分布直方图求出a 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；（2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =，∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，∴中位数位于18~22之间，设中位数为x ，180.50.3222180.620.32x --=--，解得121820.45x =+=，故中位数是20.4；平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（2）75百分位数即为上四分位数，又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=，∴上四分位数位于22~26之间，设上四分位数为y ，则220.750.6226220.90.62y --=--，解得132223.867y =+≈．18．已知函数21()2cos sin sin sin 242f x x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 在[0,]π上的单调递增区间；(2)求函数6()()3g x f x =-在[2,2]ππ-上的所有零点之和．【答案】(1)0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)π【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式和辅角公式，可得()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）由题意可知3sin 243x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，作出函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[2,2]ππ-上的图象，根据图象和函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称性，即可得到结果.【详解】（1）解：222()2cos sin cos sin sin cos 22f x x x x x x x⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭222sin cos cos sin sin 2cos 22sin 24x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，由222()242k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，得3()88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，故()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．当0k =时，388x ππ-≤≤；当1k =时，5988x ππ≤≤．故()f x 在[0,]π上的单调递增区间为0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）解：6()()03g x f x =-=，得3sin 243x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[2,2]ππ-上的图象如图所示，因为15231723sin 4sin ,sin 4sin 44234423ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=>+==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以在区间[2,2]ππ-上，函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与直线33y =共有8个交点，即()g x 有8个零点，设这8个零点分别为128,,,x x x ，由242x ππ+=，得8x π=，所以函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线8x π=对称，所以12345678284x x x x x x x x ππ+=+=+=+=⨯=，故()g x 在[2,2]ππ-上的所有零点之和为44ππ⨯=．19．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为1S ，2S ，3S ，已知23134S S S bc +-=．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为332，且33b c a -=，求a ．【答案】(1)60A =︒(2)3a =【分析】（1）已知面积关系用边表示后，由余弦定理可求得A 角；（2）由正弦定理化边为角，结合（1）的结论可求得B 角，从而得三角形为直角三角形，然后由三角形的面积可求得a ．【详解】（1）依题意22113sin 6024S a a =︒=，22213sin 6024S b b =︒=，22313sin 6024S c c =︒=∵22223133334444S S S bc b c a +-==+-，即222bc b c a =+-，由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==∵(0,π)A ∈，∴π3A =．（2）因为33b c a -=，由正弦定理可得31sin sin sin 32B C A -==，所以π1sin sin 32B B ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即ππ1sin sin cos cos sin 332B B B ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即13π1sin cos sin 2232B B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ36B -=，即π2B =，此时ππ6C A B =--=，即ABC 为直角三角形，所以1333322ABC S ac ac ==⇒=△，由tan 3a A c ==解得3c =，所以3a =．20．如图，在菱形ABCD 中，1,22BE BC CF FD == ，(1)若4,60,AB BAD =∠=︒uuu r 求AC CF ⋅uuu r uuu r ；(2)若菱形ABCD 的边长为6，（i ）用，AB AD 表示EF；（ii ）求AE EF ⋅的取值范围.【答案】(1)16-(2)①2132AB AD -+；②()21,9--【分析】（1）利用平面向量基本定理，选择不共线的两个向量,AB AD作为一组基底，所求向量用基底表示，然后按照数量积运算求解即可；（2）同（1）选择,AB AD作为平面内的一组基底向量，按照向量的运算法则表示目标向量；利用向量的数量积运算法则，结合三角函数的有界性，求解即可.【详解】（1）解：在菱形ABCD 中，AC AB AD ∴=+ ，且AB DC CD ==-uuu r uuu r uuu r，4AB AD == 又2CF FD=uuu r uuu r Q 2233CF CD AB∴==-uuu r uuu r uuu r 2222()()333AC CF AB AD AB AB AB AD∴⋅=+⋅-=--⋅uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r 222221cos 6016441633332AB AB AD =--⋅⋅=-⨯-⨯⨯⨯=-o uuu r uuu r uuu r （2）（i ） 菱形ABCD ，,AB DC AD BC∴==2121=3232EF CF CE DC CB AB AD∴=-=---+uuu r uuu r uur uuu r uur uuur uuu r （ii ）12AE AB BE AB AD=+=+22121211()()232364AE EF AB AD AB AD AB AB AD AD∴⋅=+⋅-+=-+⋅+21136cos ,36364156cos ,AB AD AB AD AB AD =-⨯+⋅⋅<>+⨯=-+<>,(0,)AB AD π<>∈ ，cos ,(1,1)AB AD ∴<>∈-AE EF ∴⋅的取值范围是：(21,9)--21．四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，12QA AB PD ==．(1)证明：PQ ⊥平面DCQ (2)求二面角B PQ C --的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)24．【分析】（1）利用直线和平面垂直的判定定理证明即可；（2）二面角B PQ C --的大小等于二面角B PQ D --与二面角C PQ D --的差，利用二面角的定义分别求出二面角B PQ D --与二面角C PQ D --的大小，最后利用两角差的正切公式即可求解.【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，,PD ⊂平面PQAD ，∴面PQAD ⊥面ABCD ,∵平面PQAD 平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ，CD AD ⊥,∴CD ⊥平面PQAD ，∴CD PQ ⊥,设1AB =，则2PD =，1QA AD ==，四边形PQAD 是直角梯形，则2PQ QD ==，∵222PQ QD PD +=，∴PQ QD ⊥．又∵PQ CD ⊥，QD ⊂平面DCQ ,CD ⊂平面DCQ ,且CD QD D ⋂=，∴PQ ⊥平面DCQ ；（2）由（1）PQ ⊥平面DCQ ，∴PQ DQ ⊥，PQ CQ ⊥，∴CQD ∠就是二面角C PQ D --的平面角,记CQD α∠=，则12tan 22α==,过A 作AE PQ ⊥交PQ 延长线于E ，连接BE 、CE ,∵AB AD ⊥,DP AB ⊥,AD DP D = ,AD ⊂平面ADPQ ,DP ⊂平面ADPQ ,∴BA ⊥平面ADPQ ,∵PE ⊂平面ADPQ ，∴BA PE ⊥,同理可证PE ⊥平面BAE ,∴BAE ∠为二面角B PQ D --的平面角，记BEA β∠=，则1tan 222β==，于是βα-就是二面角B PQ C --的平面角的大小，则22tan tan 22tan()1tan tan 42122βαβαβα---===+⋅+⋅，∴二面角B PQ C --的正切值是24．22．已知函数2()|2|f x x x x a =+-，其中a 为实数．（Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若()f x 在[1,1]-上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）对于给定的负数a ，若存在两个不相等的实数12,x x （12x x <且20x ≠）使得12()()f x f x =，求112x x x +的取值范围.【答案】（Ⅰ）12-（Ⅱ）2a ≤-或0a >；（Ⅲ）见解析【分析】（Ⅰ）由题可知2222,2()22,2x ax x af x x x x a ax x a⎧-≥=+-=⎨<⎩当1a =-时，222,2()2,2x x x f x x x ⎧+≥-=⎨-<-⎩，分别讨论该函数在各段上的最小值和区间端点值，进而求出在整个定义域上的最小值；（Ⅱ）因为()f x 在[1,1]-上为增函数，分0a >，0a =，0a =三种情况讨论即可（Ⅲ）因为a<0，则()f x 在(,)2a -∞上为减函数，在(,)2a+∞上为增函数，所以122a x x <<，令112x x M x +=，分122aa x ≤<，12x a <两种情况具体讨论即可．【详解】解：2222,2()22,2x ax x a f x x x x a ax x a⎧-≥=+-=⎨<⎩(Ⅰ)当1a =-时，222,2()2,2x x x f x x x ⎧+≥-=⎨-<-⎩所以当12x =-时()()2222f x x x x +=≥-有最小值为1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当2x =-时，由()()22f x x x =-<-得()1242f -=>-，所以当1a =-时，函数()f x 的最小值为12-（Ⅱ）因为()f x 在[1,1]-上为增函数，若0a >，则()f x 在R 上为增函数，符合题意；若0a =，不合题意；若a<0，则12a≤-，从而2a ≤-综上，实数a 的取值范围为2a ≤-或0a >．（Ⅲ）因为a<0，则()f x 在(,)2a -∞上为减函数，在(,)2a+∞上为增函数，所以122ax x <<，令112x x Mx +=1、若122a a x ≤<，则12x x a +=，由20x ≠知22ax a <≤-且20x ≠所以121222221x a x ax a x x a x x x -+=+-=--+令()1ag x x a x=--+，则()g x 在(0,]a -，[,0)a --上为增函数，在[,)a -+∞，(,]a -∞-上为减函数(1)当4a ≤-时，2aa ≤--且a a ->-,则()g x 在(0,]a -，[,0)a --上为增函数，在[,]a a --，[,-]2a a -上为减函数从而当22ax a <<-且20x ≠所以2()21g x a a ≥--+或2()21g x a a≤---+(2)当41a -<<-时，2aa >--且a a ->-,则()g x 在(0,]a -，[,0)2a上为增函数，在[,]a a --上为减函数从而当22ax a <<-且20x ≠所以2()12ag x >+或2()21g x a a≤---+(3)当10a -≤<时，2a a >--且a a -<-,则()g x 在(0,]a -，[,0)2a上为增函数，从而当22ax a <<-且20x ≠所以2()12ag x >+或2()22g x a <-2、若12x a <，则2122222ax x ax =-，2212x x x a=-且2x a>-2222222211222(,22)(11)1x x x x a x a a x a x x x x a+=+=--∞-∈+---因为2221a a a -≤---+综上所述，当4a ≤-时，112x x x +的取值范围为(,21][21,)a a a a -∞----+-++∞ ；当41a -<<-时，112x x x +的取值范围为(,21](1,)2a a a +-∞---++∞ ；当10a -≤<时，112x x x +的取值范围为(,22)(1,)2a a -∞-++∞ ．【点睛】本题考查函数的综合应用，包括求最值，单调性，分类讨论思想等，属于偏难题目．。

浙江省杭州十四中10-11学年高一下学期期中试题数学

浙江省杭州十四中10-11学年高一下学期期中试题数学

杭十四中二〇一〇学年第二学期阶段性测试高一年级数学试卷考试说明：1．考试时间：2011年04月26日8时至9时30分。

2．本卷不得使用计算器。

3．本卷分试题卷和答题卷，本卷满分100分，附加题满分20分。

共2页。

4．答题前，请在答题卡指定区域内填涂好相关信息。

所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

（1）设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（A ）030 （B ）060 （C ）075（D ）045（2）若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（A ）6π（B ）3π （C ）32π （D ）65π （3）已知下列命题中：A.若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =B.若0a b ⋅=，则0a =或0b =C.若不平行的两个非零向量,a b ，满足a b =，则()()0a b a b +⋅-=D.若a 与b 平行，则a b a b ⋅=⋅其中真命题的个数是（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（4）设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）a c b <<（5）若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=（A ）917 （B ） （C ） （D ）317（6）已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（A ）1925 （B ）1625 （C ）1425（D ）725（7）若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（A ）3,5a b ==-（B ）10a b -+=（C ）23a b -=（D ）20a b -=（8）在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是 （A ）直角三角形（B ）等腰或直角三角形（C ）等腰三角形 （D ）不能确定（9）已知数列1（A ）第10项（B ）第11项（C ）第12项（D ）第21项（10）定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021.已知πβα=+，2πβα=-， 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin（A ）00⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）10⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）11⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

浙江省杭州学军中学(紫金港校区)2024-2025学年高一上学期数学期中试卷及答案

浙江省杭州学军中学(紫金港校区)2024-2025学年高一上学期数学期中试卷及答案

浙江省杭州学军中学（紫金港校区）2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷命题人：审题人：考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知命题:0p x ∀>，则命题p 的否定是（）A．0x ∀>≤B．00x ∃≤C．00x ∃>D．0x ∀≤≤2．若集合1522A x x ⎧⎫=+<⎨⎬⎩⎭，513B xx ⎧⎫=≤-⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A ．()3,3-B ．(3,3]-C ．(2,2)-D ．[2,2)-3．设 2.52.35211,log ,333a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a b c 、、的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．a c b<<4．现使用一架两臂不等长的天平称20g 药品，操作方法如下：先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（）A ．等于20gB ．大于20gC ．小于20gD ．以上都有可能5．若函数2242()21x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()y f x =的图象与函数e x y =的图象关于直线y x =对称，则函数()243y f x x =-+的单调递增区间为（）A ．(),1-∞B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()3,+∞7．已知()(2)(3),()33xf x m x m x mg x =-++=-，若命题“R,()0x f x ∀∈<或()0g x <”为真命题，则m 的取值范围是（）A ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,0-C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭8．已知()()11,,2(1)12,2x a x f x a a x x x ⎧-≤⎪⎪=>⎨⎪+->⎪⎩的值域为2,,5D D ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，则a 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．19,210⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(2,5)D ．36,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．下列函数既是偶函数，又在(,0)-∞上是减函数的是（）A ．54y x=B ．||3x y =C ．2lg(1)=+y x D ．14y x x=-+10．下列说法不正确的是（）A ．()f x 的定义域为(1,2)-，则(21)f x -的定义域为()3,3-B ．不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<C ．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()1,3-，则2231b c a-+有最小值D ．若110,0,133a b a b a b>>+=++，则a b +的最小值为111．定义在(1,1)-的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且当10x -<<时，()0f x <，则（）A ．()f x 是奇函数B ．1115194f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．111342f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在(1,1)-上单调递增三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．已知幂函数()()22333mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则m 的值为．13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()41x f x -=+，则函数()f x 的解析式为．14．已知函数265,0()1()1,02x x x x f x x ⎧---<⎪=⎨-≥⎪⎩，若关于x 的方程220[()](23)3()a f x a f x a +--=+有5个不同的实数根，则a 的取值范围为․四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．求下列各式的值：()561log 3074log 8log 0.22π--⎛⋅+⋅- ⎝⎭；(2)已知17(0)x x x -+=>，求3322x x -+．16．已知集合{}3log (2)3,{242}A xx B x m x m =+≤=-<<+∣∣．(1)当0m =时，求()R ,A B A B ⋃⋂ð；(2)若A B A = ，求实数m 的取值范围．17．鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度x （单位：摄氏度）与保鲜时间t （单位：小时）之间的函数关系式为()e ax b t x +=．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．(1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；(2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）参考数据：lg 20.30,lg 30.48≈≈18．已知非常数函数19()log 2a xf x bx-=+是定义域为(2,2)-的奇函数．(1)求实数,a b 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性；(3)已知2()423x x g x m +=⋅-+，且12121(1,2),[1,1],((2))x x f x g x ∀∈∃∈-->-，求m 的取值范围．19．函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．已知函数2()(1)8(0)f x mx n x n m =+-+-≠．(1)当1,0==m n 时，①求函数()f x 的不动点；②记()h a 为函数()f x 在[],2a a +上的最大值与最小值之差，求()h a ；(2)若()f x 的两个不动点为12,x x ，且()()122mf x f x m +=-+，当16m <<时，求实数n 的取值范围．1．C【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接得出结论.【详解】易知命题:0p x ∀>的否定是00x ∃>.故选：C 2．A【分析】解不等式化简集合,A B ，再根据并集运算即可求解.【详解】()155153,222222A x x x x ⎧⎫⎧⎫=+<=-<+<=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，[)55211002,3333x B x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=≤-=+≤=≤=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬---⎩⎭⎩⎭⎩⎭，所以A B = ()3,3-.故选:A.3．C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解【详解】 2.5 2.32.311,3,33a c -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝由13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减，可得 2.52.301110,3133a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭==⎭<55221log log 103b =<=所以b a c <<，故选：C 4．B【分析】利用平衡条件得出x 的表达式，结合基本不等式可得答案.【详解】设天平左臂长为m ，右臂长为n ，,0m n >且m n ≠，左盘放的药品为1x 克，右盘放的药品为2x 克，则211010m nx mx n =⎧⎨=⎩，解得121010,n mx x m n ==，12101020n m x x x m n =+=+≥=，当且仅当m n =时，取到等号，而m n ≠，所以20x >.故选：B 5．D【分析】根据函数解析式可求得()2f x -为奇函数，再利用奇函数性质即可得出结论.【详解】易知函数22242()22121x x xf x x x ++==+++，可得2()221x f x x -=+；易知()2f x -为奇函数，且其最大值为2M -，最小值为2N -，由奇函数性质可得220M N -+-=，即4M N +=.故选：D 6．D【分析】由题意，函数()y f x =与e x y =互为反函数，求得()f x ，然后根据复合函数单调性的性质得出答案.【详解】由题意，函数()y f x =与e x y =互为反函数，则()ln f x x =，所以()()2243ln 43y f x x x x =-+=-+，由2430x x -+>，解得1x <或3x >，即函数的定义域为{|1x x <或3}x >，令243u x x =-+，当1x <时，u 单调递减；当3x >时，u 单调递增，又ln y u =在(0,)+∞上单调递增，所以()243y f x x =-+的单调递增区间为()3,+∞.故选：D.7．B【分析】从()330xg x =-<作为题目切入点，分段讨论x 的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案.【详解】()330,xg x =-<解得1x <，此时无论()f x 取何值，均符合题意；当1x =时，()330,xg x =-=，只需()()(1)1240f m m m =-+<，解得12m >或40m -<<；当1x >时，()330xg x =->，由题中条件，只需()0f x <对于(1,)x ∈+∞恒成立，当0m =时，()0f x =不符合题意；当0m >时，()()()23f x m x m x m =-++图象为开口向上的抛物线，不能满足()0f x <对(1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意；当0m <时，()0f x =的2个根为122,3x m x m ==--，需12121,2314x m m x m m ⎧=≤≤⎧⎪∴⎨⎨=--≤⎩⎪≥-⎩，结合0m <，可得40m -≤<，综合上述可知m 的取值范围是()4,0-，故选：B.【点睛】将()0g x <作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论x 的范围分类讨论求解；8．D【分析】分别讨论2a >，2a =，12a <<时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，根据集合的子集解不等式即可求解.【详解】当2a >时，由指数函数的单调性得到D取值范围为，此时5(,2∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭不成立，故舍去；当2a =时，()11,2212,2x f x x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩，若12x ≤时，()1f x =，若12x >时，()222f x x x =+-≥-，当且仅当x =此时2,5D ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭当12a <<时，若12x ≤时，()()1xf x a =-单调递减，所以())f x ∈+∞，若12x >时，()22a f x x x =+-≥，当且仅当12x =>时，等号成立；即1212225a ⎧⎪<<⎪⎪>⎨⎪⎪≥⎪⎩解之可得36225a ≤<，综上可知36[2]25a ∈.故选：D 9．BC【分析】利用函数的奇偶性及在(,0)-∞上的单调性，逐项判断即得.【详解】对于A ，函数54y x =的定义域为[0,)+∞，该函数不具奇偶性，A 不是；对于B ，函数||3x y =的定义域为R ，||||33x x -=，是偶函数，当0x <时，3x y -=在(,0)-∞上单调递减，B 是；对于C ，函数2lg(1)=+y x 的定义域为R ，22lg[()1]lg(1)x x -+=+，是偶函数，在(,0)-∞上单调递减，C 是；对于D ，函数14y x x=-+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，11()()4()4x x x x -+-=--+-，是奇函数，D 不是.故选：BC 10．AC【分析】根据复合函数定义域求法判断选项A ；分0k =与0k ≠讨论，求出23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件，再根据充分不必要条件的定义判断选项B ；根据一元二次不等式的解集和根与系数的关系可得0,2,3a b a c a <=-=-，化简2231b c a-+，再根据基本不等式判断选项C ；()()11443333a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+++⋅+ ⎪⎣⎦++⎝⎭，展开利用基本不等式判断选项D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为(1,2)-，所以1212x -<-<，解得302x <<，故(21)f x -的定义域为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，当0k =时，不等式为308-<恒成立，可得23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立；当0k ≠时，由23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，可得2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得30k -<<，综上所述:不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件是30k -<≤，所以不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<，故B 正确；对于C ，因为一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x -<<，所以当且仅当()03131a ba ca⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=⨯-⎪⎩，即当且仅当0,2,3a b a c a <=-=-，所以222223112913113b c a a a a a a a a-+-++===+.因为0a <，所以上式()113322a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当13a a=，即a =时取等.所以2231b c a-+有最大值-，故C 错误；对于D ，因为11133a b a b+=++，所以()()()()1144333333a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+++=+++⋅+ ⎪⎣⎦++⎝⎭3232433a b a b a a b b +++≥++++=，当且仅当12a b ==时等号成立，所以1a b +≥，即a b +的最小值为1，故D 正确.故选:AC.11．ABD【分析】根据赋值可以求得(0)0f =，令0x =，可得()()f y f y -=-，即得奇函数，A 正确；赋值11,45x y ==，可得B 正确；根据单调性定义，判断()f x 在(1,1)-为增函数，可得D 正确；再利用赋值和函数单调性确定C 错误.【详解】对于选项A ，令0x y ==，则()()()0000f f f -==，令0x =，(0)()()f f y f y -=-，则()()f y f y -=-对(1,1)y ∀∈-恒成立，则函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ，令11,45x y ==，1111145(()()()14519145f f f f --==-⨯，即111()()(5194f f f +=，故B 正确；对于选项D ，12,,(11)x x ∀∈-，设12x x <，则12120,10x x x x --，121212*********(1)(1)10111x x x x x x x x x x x x x x --+-+-+==>---，则1212101x x x x --<<-则121212()()()01x x f x f x f x x --=<-，则12()()f x f x <，即函数()f x 在(1,1)-为增函数，故D 正确；对于选项C ，1111123()()()()1235123f f f f --==-⨯，因为()f x 为增函数，则11()()54f f <，则11111((()(()34352f f f f f +>+=，故C 错误.故选：ABD .【点睛】抽象函数问题解决策略：赋值法求函数值或者判断不等关系；抽象函数的单调性问题：先确定定义域，再根据题中条件构造12()()f x f x -，比较其和0的大小（或者构造12()()f x f x ，比较其和1的大小），进而确定单调性.12．1-【分析】结合幂函数的定义、单调性求得正确答案.【详解】()f x 是幂函数，所以2331m m --=，解得1m =-或4m =，当1m =-时，()3f x x -=，在()0,∞+上递减，符合题意；当4m =时，()17f x x =，在()0,∞+上递增，不符合题意，舍去.综上所述，m 的值为1-.故答案为：1-.13．()41,00,041,0x x x f x x x -⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩【分析】利用()f x 是定义在R 上的奇函数和0x <时的解析式，求出0x >时的解析式，注意定义在R 上的奇函数满足()00f =.【详解】当0x >时，0x -<，所以()()()4141x xf x f x =--=-+=--，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，综上：函数()f x 的解析式为：()41,00,041,0x x x f x x x -⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩故答案为：()41,00,041,0x x x f x x x -⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩14．(1,0](2,3]- 【分析】由方程可得()f x a =-或()3f x a =-，将方程有5个不等的实数根等价于()y f x =与的图象与直线y a =-和3y a =-共有五个交点，再作出()y f x =的图象，数形结合求出a 的范围.【详解】当0x <时，2()65f x x x =---在(,3]-∞-上单调递增，函数值集合为(,4]-∞，在[3,0)-上单调递减，函数值集合为(5,4]-，当0x ≥时，1()1()2xf x =-在[0,)+∞上单调递增，函数值集合为[0,1)，函数()y f x =的图象如下：方程220[()](23)3()a f x a f x a +--=+化为[()][()3]0f x a f x a ++-=，解得()f x a =-或()3f x a =-，方程220[()](23)3()a f x a f x a +--=+有5个不等的实数根，等价于()y f x =与的图象与直线y a =-和3y a =-共有五个交点，而3a a -<-，因此03150a a ≤-<⎧⎨-<-<⎩或13401a a ≤-<⎧⎨≤-<⎩，解得23a <≤或10a -<≤，所以a 的取值范围为(1,0](2,3]- .故答案为：(1,0](2,3]- 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.15．(1)110-;(2)18.【分析】（1）根据指数幂运算与对数运算，结合对数换底公式即可求解；（2）根据2111222x x x x --⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭及3333112222x x x x --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111221x x x x --⎛⎫=++- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】（1561log 3074log 8log (0.2)2π2--⎛⋅+⋅- ⎝⎭55log 3741116log 8log 72835⎛⎫=-+⋅-+⨯ ⎪⎝⎭53log 22522log 8log 7153log 7log 4=⨯⨯-1312510=-=-.（2）2111222729x x x x --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，因为0x >，所以11220x x -+>，所以11223x x -+=.3333112222x xx x --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111221x x x x --⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()3713618=⨯-=⨯=.16．(1){}425A B xx ⋃=-<≤∣；()}{R 42A B x x ⋂=-<≤-∣ð；(2)1m ≥;【分析】（1）先根据对数函数单调性求集合，再根据集合交并补求解；（2）由集合间的基本关系可得：B A ⊆，对集合B 进行讨论，即可得到答案；【详解】（1）由题意知：0227x <+≤，解得：225x -<≤，即{}225,A xx =-<≤∣{}R 225A x x x =≤->∣或ð，当0m =时，{42}B xx =-<<∣，所以{}425,A B xx ⋃=-<≤∣()}{R 42A B x x ⋂=-<≤-∣ð；（2）因为A B A = ，所以B A ⊆，当B =∅时，242,6m m m -≥+≥；当B ≠∅时，6m <且242225m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：16m ≤<，综上所述：1m ≥.17．(1)499(2)2.33【分析】（1）由题意有86e 432e576a b a b ++⎧=⎨=⎩，则24323e 5764a==，代入4x =，计算即可得()4t ；（2）令e 960ax b +≥，结合指数函数的性质计算即可得.【详解】（1）依题意得86e 432e 576a b a b ++⎧=⎨=⎩，则24323e 5764a==，当7x =时，()87e 7e499e a b a ba t ++===≈，即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为499小时；（2）由题意令e 960axb +≥，得()13622e e960x a b a -+⋅≥，即13235769604x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，则1323543x -⎛⎫≥⎪⎝⎭，则13235lg lg 43x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即5lg1lg 5lg 31lg 2lg 333 1.83332lg 3lg 4lg 32lg 2lg 4x ----≤==≈---解得： 2.334x ≤故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2.33摄氏度.18．(1)2a =，1b =；(2)单调递增，证明见解析；(3)2m ≤.【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的性质求出,a b .（2）由（1）求出函数()f x ，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可.（3）根据给定条件，将不等式转化为1min 21[()]()2f xg x >-，再结合函数的单调性求出最值即可.【详解】（1）函数()f x 为(2,2)-上的奇函数，则()()0f x f x -+=，且(0)0f =，即1199log log 022a x a x bx bx +-+=-+，整理得221229log 04a x b x -=-，即22224a x b x -=-，于是2241a b ⎧=⎨=⎩，解得2a =±，1b =±，当2a =-，1b =-时，192()log 2xf x x--=-，此时0x =，函数()f x 无意义；当2a =-，1b =时，12a xbx-=-+，函数()f x 无意义；当2a =，1b =-时，12a xbx-=+，函数()f x 为常数函数，不符合要求；当2a =，1b =时，19922()log log 22x xf x x x -+==+-，定义域为(2,2)-，符合题意，所以2a =，1b =.（2）由（1）知，9924()log log (1)22x f x x x+==---，函数412y x =--在(2,2)-上单调递增，而函数9log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在(2,2)-上单调递增，1212,(2,2),x x x x ∀∈-<，则124220x x >->->，1244122x x <<--，于是124401122x x <-<---，而函数9log y x =在(0,)+∞上单调递增，因此991244log (1)log (1)22x x -<---，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上单调递增.（3）由（2）知，函数()f x 在(1,2)上单调递增，则(1,2)x ∀∈，1()(1)2f x f >=，由1(1,2)x ∀∈，2[1,1]x ∃∈-，121211(((())))22f x g x f x g x ->-⇔>-，得211()22g x ≥-，因此[1,1]x ∃∈-，2242()1423122x x x xg x m m +≤⇔⋅-+≤⇔≤-，当[1,1]x ∈-时，1222x ≤≤，11222x ≤≤，224212(1)22222x x x -=--+≤，当且仅当0x =时取等号，于是2m ≤，所以m 的取值范围是2m ≤.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈①若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；②若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；③若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <；④若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．19．(1)①2,4-；②22342,2131,422()9113,422142,2a a a a a h a a a a a a ⎧--≤-⎪⎪⎪-+-<<-⎪=⎨⎪++-≤<⎪⎪⎪+≥⎩(2)713,32⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）①求得()f x 的解析式，可令00()f x x =，解方程可得所求不动点；②根据二次函数的对称轴、最值、单调性即可解答；（2）结合韦达定理和不动点，可得n 关于m 的式子，再由对勾函数的单调性，可得所求范围.【详解】（1）①当1,0==m n 时，2()8f x x x =--，设0x 为()f x 的不动点，因此20008x x x --=，解得02x =-或04x =，所以2,4-为函数()f x 的不动点；②当32a ≤-时，()()(242h a f a f a a =-+=--）；当3122a -<<-时，211()()()24h a f a f a a =-=-+；当1122a -<≤时，219()(2)()324h a f a f a a =+-=++；当12a ≥时，()(2)()42h a f a f a a =+-=+综上得：22342,2131,422()9113,422142,2a a a a a h a a a a a a ⎧--≤-⎪⎪⎪-+-<<-⎪=⎨⎪++-≤<⎪⎪⎪+≥⎩（2）因为()f x 的两个不动点为12,x x ，所以2(1)8mx n x n x +-+-=，即2(2)80mx n x n +-+-=，根据韦达定理得122n x x m-=-+，因为()()121222m n f x f x x x m m-+=+=-=-+，所以2224(2)2(2)4422222m m m m n m m m m +++-++===++-+++，设2t m =+，因为16m <<，所以38t <<，由对勾函数性质得4()2f t t t=+-在(3,8)上单调递增，所以47413(3)32,(8)823382f f =+-==+-=，所以741322322m m <++-<+，所以71332n <<，即n 的取值范围是713(,)32.【点睛】本题考查函数的不动点的理解和运用，考查二次函数根据单调性求最值，考查对勾函数的单调性和运用.。

浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(含答案解析)

浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(含答案解析)

浙江省杭州市学军中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数z 的虚部为（ ）A B ．CD ．2．已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k = A ．92-B ．0C ．3D ．1523．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8010030a b A ===︒，，，则B 的解的个数是（ ） A ．2B ．1C ．0D ．不确定4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（ ）A ．1B C ．2D ．5．已知向量a →，b →不共线，且向量a b λ→→+与()21a b λ→→+-的方向相反，则实数λ的值为 A ．1B ．12-C ．1或12-D ．-1或12-6．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1B C D ．27．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交8．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，记e 是与a b +方向相同的单位向量，则a 在a b +方向上的投影向量为（ ）A ．13eB ．CD 9．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =二、多选题10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos b c A =，角A 的角平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是（ ）A ．34AC = B ．8AB = C ．18CD BD = D ．ABD ∆的面积三、填空题11．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =___________. 12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），45,1ABC AB AD ∠=︒==，DC BC ⊥则这块菜地的面积为__________．13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为_________.14．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos 3A =，sinBC =，并且a =ABC 的面积为___________.15．设P 为ABC ∆所在平面上一点，且满足34PA PC mAB +=(0)m >.若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积为__________. 16．如图，圆O 是半径为1的圆，12OA =，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC BC →→⋅的取值范围是___________.四、解答题17．如图所示，已知P 是ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）设平面PBC 平面PAD l =，求证：//l BC .18．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ，求△ABC 的面积．19．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .（1）设BO xAB yAC =+，求x y +的值；（2）若6AB AC AO EC ⋅=⋅，求ABAC的值. 20．设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.参考答案1．B 【分析】 由虚部定义可得. 【详解】由虚部定义可知，z 虚部为故选: B. 2．C 【详解】试题分析：由题意得，23(23,6),(2,1)a b k c -=--=，因为(23)a b c -⊥，所以(23)4660a b c k -⋅=--=，解得3k =，故选C. 考点：向量的坐标运算. 3．A 【分析】通过正弦定理求得5sin 8B =，分别判断在锐角和钝角时，是否存在即可. 【详解】 由正弦定理知，sin sin a bA B =，即 80100sin 30sin B =，解得5sin 8B =， 又(0,)B π∈，由三角函数性质知角B 由两个解， 当角B 为锐角时，满足A B π+<，即存在；当角B 为钝角时，cos B =51sin()082B A ⎛+=⨯=> ⎝⎭， 则满足A B π+<，即存在；故有两个解. 故选：A 【点睛】关键点点睛：当正弦值可以取两个解时，需要讨论其存在情况. 4．B 【详解】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高考点：圆锥的面积 5．B 【分析】根据题意，得出()21a b k a b λλ→→→→⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦且0k <，化简后得出()211λλ-=，0k λ=<，即可求出实数λ的值. 【详解】解：由题可知，a →，b →不共线，且向量a b λ→→+与()21a b λ→→+-的方向相反，则()210a b k a b k λλ⎧⎡⎤+=+-⎪⎣⎦⎨<⎪⎩，即()210a b ka k b k λλ⎧+=+-⎪⎨<⎪⎩， 则()1210kk k λλ=⎧⎪=-⎨⎪<⎩，即()2110k λλλ⎧-=⎨=<⎩，解得：12λ=-或1λ=（舍去）.即实数λ的值为12-.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题. 6．A 【详解】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A. 考点：复数的运算与复数的模. 7．C 【详解】试题分析：A ．l 与l 1，l 2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．考点：点、线、面的位置关系．8．C【分析】利用向量投影的定义求解.【详解】由题设可得22242a b a b+⋅=-⋅+，即13a b⋅=，则()14133a a b⋅+=+=，设a与a b+的夹角为α，则4cos3 a a bα⋅+=.又22a b +=+，故4cos 3a α=因为e 是与a b +方向相同的单位向量，所以a 在ab +. 故选: C 9．D 【详解】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z =，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用． 10．ACD 【分析】首先根据余弦定理，并结合条件判断2C π=，并根据二倍角公式得到3cos 4CAD ∠=，依次计算,AC AB 的值，根据面积比值ACDADBS S ∆∆，判断C 和D. 【详解】解析：在ABC ∆中，根据余弦定理得，222cos 2b c a bA bc c+-==，即222b a c +=，所以2C π=.由倍角公式得21cos 2cos 18BAC CAD ∠=∠-=，解得3cos 4CAD ∠=.在Rt ACD ∆中，3cos 4AC AD CAD =∠=，故选项A 正确在Rt ABC ∆中，1cos 8AC BAC AB ∠==，解得6AB =.故选项B 错误； 11sin 2211sin 22ACD ADBCD AC AC AD CADS S BD AC AB AD BAD ∆∆⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠，解得18CD AC BD AB ==，故选项C 正确；在ABD ∆中，由3cos 4BAD ∠=得，sin BAD ∠=，所以1sin 2ABD S AD AB BAD ∆=⋅⋅∠1162=⋅⋅D 正确故选：ACD 【点睛】本题考查判断命题的真假，重点考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，数形结合分析问题的能力，属于中档题型. 11．3 【分析】由题知1与其共轭复数1均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案. 【详解】∵实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根为1， ∴其共轭复数1也是方程的根.由根与系数的关系知，()()()()1111bc ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，∴ 2b =-，3c =. 故答案为：3 【点睛】本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题. 12．2+【分析】按斜二测画直观图的原则，找到四边形ABCD 的四个顶点在平面直角坐标系下对应的点，即把直观图中的点还原回原图形中，连接后得到原图形，然后利用梯形面积公式求解． 【详解】如图，直观图四边形的边BC 在x '轴上，在原平面直角坐标系下在x 轴上，长度不变.点A 在y '轴上，在原平面直角坐标系图形中在y 轴上，且A B ''长度为直观图中的2倍. 在直观图四边形中//AD x '轴，所以在原平面直角坐标系下//A D x ''轴，长度不变. 所以在原平面直角坐标系中A B C D ''''为直角梯形. 在直观图四边形中,过点A 作AE x ⊥轴, 垂足为E ，则在直观图中，ABE △为等腰直角三角形且1AB AD ==,BE ,则1BC =所以在原平面直角坐标系中1B C ''=,2,1A B A D ''''==所以梯形A B C D ''''面积为111222⎛⨯+⨯= ⎝⎭故答案为:2+13．24316π【详解】试题分析：设底面ABCD 的中心为E ，则PE 为正四棱锥的高，4,2,PE AB ==12AE AC ==O ，由O 一定在线段PE 上，连结OA ，设球的半径为R ，在Rt AOE ∆中，222OA AE OE =+即()224R R =+-，解之得94R =，所以球的体积积为3492433416V ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.【名师点睛】本题考查.球的切接问题与球的表面积与体积，属中档题；与球有关的组合体是高考常考题型之一，解决这类问题的常用方法：1.球与旋转体的组合体通常通过作出它们的轴截面解题；2.球与多面体的组合体，通常过多面体的一条侧棱和球心，或切点、接点作出截面，把空间问题转化为平面问题求解.14【分析】由题知sin A ,进而根据sin B C ，()sin sin B A C =+sin C C =，再结合22sin cos 1C C +=得sinC =，cos C =sin B C =理得c =. 【详解】因为0A π<<，2cos 3A =，所以sin A ==()sin sin sin cos cos sin C B A C A C A C ==+=+2sin 3C C =+，sin C C =结合22sin cos 1C C +=，得sinC ，cos C =于是sin B C ==由a sin sin a cA C=，得c =故ABC的面积1sin 2S ac B ==.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选用恰当地公式进行计算．本题属于中档题． 15．14 【详解】由34PA PC mAB += 得34777m PA PC AB +=，设34777mPD PA PC AB =+=，（如图所示）于是可得点D 在边AC 上，//AB PD ，且34AD DC =，则47DA CA=，由//AB PD ， 所以ABP ABD S S ∆∆= ，所以8ABD S ∆=，又因为ABD ABC DAS S CA∆∆=，所以847ABC S ∆=，则14ABC S ∆=点睛：本题考查平面向量的运算、向量共线及数形结合思想方法的应用.解题时可以利用直线向量参数方程的一般形式，即,,A B P 三点共线时，存在实数t 满足()1OP tOA t OB =+- ，反之也成立.然后将问题转化为平面几何中的三角形相似问题，重点在于将问题合理进行转化 16．1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC .设θ为OA →和BC →的夹角.求出 211cos 22AC BC BC BC θ→→→→⋅=-,利用二次函数即得解.【详解】解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC .设θ为OA →和BC →的夹角.则AC BC OC OA BC OC BC OA BC →→→→→→→→→⎛⎫⋅=-⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭cos cos OC BC BCO OA BC θ→→→→=⋅⋅∠-⋅⋅211cos 22BC BC θ→→=-，221111cos 2222BC BC BC BC θ→→→→-≥-2111228BC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， （当cos 1θ=即0θ=时取等） 因为[]0,2BC →∈，所以当12BC →=时，AC BC →→⋅有最小值18-. 221111cos +2222BC BC BC BC θ→→→→-≤2111228BC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， （当cos 1θ=-即θπ=时取等）当2BC →=时，211+22BC BC →→有最大值为3， 即AC BC →→⋅有最大值3，所以AC BC →→⋅的取值范围是1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型211cos 22AC BC BC BC θ→→→→⋅=-，再利用二次函数的图象和性质求解. 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用线面平行的性质定理证明； 【详解】证明：（1）如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ， 可以证得//NE AM 且NE AM =，所以四边形MNEA 是平行四边形，所以//MN AE .又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，所以//MN 平面PAD .（2）因为//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD . 又因为平面PBC 平面PAD l =，所以//BC l . 【点睛】基本位置关系（垂直、平行）的证明利用判定定理.18．（1）A ＝60°；（2）【分析】(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；(2)利用三角形内角关系求出sin C ，结合正弦定理求出,a c 关系，利用余弦定理可求,a c . 【详解】(1)acos C －b －c ＝0，由正弦定理得sin Acos C ＝sin B ＋sin C ，即sin Acos C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，又sin C≠0－cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B所以sin C ＝sin(A ＋B)×17＋12由正弦定理得，sin 7sin 5a A c C ==. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcos B ， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5， 故S △ABC ＝12acsin B ＝【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键. 19．（1）12-；（2【分析】（1）由,,E O C 三点共线，得1(1)(1)3AO t AE t AC tAB t AC =+-=+-，又由AO mAD =，得()222m m m AO AB AC AB AC =+=+，由此解得3412t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得到本题答案；（2）根据平面向量数量积的运算，逐步化简，即可得到本题答案. 【详解】（1）因为,,E O C 三点共线，所以1(1)(1)3AO t AE t AC tAB t AC =+-=+-，设AO mAD =，所以()222m m mAO AB AC AB AC =+=+， 所以13212m t m t ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3412t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；所以1144AO AB AC =+，11314444BO BA AO AB AB AC AB AC =+=-++=-+， 所以12x y +=-；（2）因为1166()43AO EC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=⨯+-+ ⎪⎝⎭22312233AB AB AC AC ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭ 2213||||22AB AB AC AC =-+⋅+又6AB AC AO EC ⋅=⋅， 所以2213||||022AB AC -+=，得||3||AB AC =，即ABAC=【点睛】本题主要考查平面向的数量积和平面向量的线性运算，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力. 20．（1）（2）22min2,0(){2,03aa f x a a -≥=<(3) 当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;当62(,)22a ∈--时，解集为223232(,][,)33a a a a a --+-⋃+∞;当[a ∈时，解集为)+∞.【详解】(3)。

浙江省杭州重点中学高一下学期期中考试(数学)

浙江省杭州重点中学高一下学期期中考试(数学)

---- 精品文档！值得拥有！----二0一三学年第二学期中测试高一年级数学学科试卷考前须知：1 .测试时间：2021年4月22日8时至9时30分；2 .做题前,务必先在做题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3 .将答案答在做题卡上,在试卷上做题无效.请按题号在各题的做题区域(黑色线框)内作答,超出 做题区域书写的答案无效；4 .其中本卷总分值100分,附加题20分,共120分.共4页；5 .本试卷不得使用计算器.一、选择题：共10小题,每题3分,总分值30分.1 .函数f (x) =sin xcosx 的最小值是(▲)1- 1 A. 1 B.- 1 C. 2 D. - 23.函数 f (x) =cos(x +二)一cos(x -二)是(▲) 4 4A.周期为n 的偶函数B.周期为2n 的偶函数C.周期为冗的奇函数D.周期为2n 的奇函数 4 .等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S 2 =4,S 4 =20,那么该数列的公差d=(A)3 一 二 ...5. a = (一,n),sin 口 =一,那么 tan(a --) =(▲) 2 546. MBC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,假设a 、b 、c 成等比数列 且 c=2a,那么 cosB=Q)JTJEJIA (0,6]B [/)C 〞8 .函数f (x) =\/3sin 2x+cos2x —m 在[0,二]上有两个零点,那么m 的取值范围是(▲)2A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [l,2]9 .在 MBC 中, tan A tan B >1 ,那么 &ABC 是(▲)A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.最小内角大于 45 °的三角形10 .在数列｛a n ｝中,假设对任意的n 匚N 均有a n + a n 由+ a n 也为定值,且a 7 = 2, a 9 = 3, a 98 = 4 , 那么数列｛a n ｝的前100项的和§00 =(▲)珍贵文档！值得收藏!2.公比为2的等比数列 匕0｝的各项都是正数,且a 4a 10 =16,那么 a 6 =0^ )A. 1B. 2C. 4D. 8A. 2B.3C. 6D. 7B.C. 7D. A. 7.在MBC 中,B 2C 2 BC sin 2 A Esin 2 B 十sin 2 C - sin Bsin C ,D. 那么A 的取值范围是(▲)A. 132 B . 299 C. 68 D. 99二、填空题：共7小题,每题4分,总分值28分.11. sin75 °cos30 °-sin15 °sin150 0 = ▲.12.假设数列值｝的前n项和S n =n2 +3n,那么a6 +a7十% = ▲.一 e, - - 213.函数y =cos2x+sin x, x之R的值域是▲.14.在ZiABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,假设a = 2bcosC ,那么此三角形一小旦▲三角形.15.设当x=8时,函数f (x) =sin x_2cos x取得最大值,那么cos6 = ▲.16.在MBC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,给出以下命题：①假设a >b >c ,贝U cos A >cosB >cosC ;②假设A >B >C ,那么sin A >sin B Asin C ;③假设a =40,b =20,B =251 那么MBC 有两解；④ 必存在A、B、C ,使tan Atan BtanC <tan A+tan B +tanC成立.其中,正确命题的编号为▲.(写出所有正确命题的编号)17.某种平面分形图如以下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为夹角为120 口；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来(I) n级分形图中共有一L条线段；(II) n级分形图中所有线段长度之和为一4 三、解做题：共4小题,总分值42分.18.(本小题总分值10分)等差数列自｝中,a7=4, a19=2a9.(1)求｛a n｝的通项公式;(2)设b n =-,求数列｛b n ｝的前n项和S n. na n19.(本小题总分值10分)函数f(x)=cos2 x+ —|, g(x) =1+1sin 2x. < 12； 2⑴设X O是函数y = f(x)的一个零点,求g(%)的值;(2)求函数h(x) = f (x)+g(x)的单调递增区间.-——珍贵文档！值得收藏！1,两两13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°;依此规律得到n级分形图.二级分形图20 .(本小题总分值10分)在MBC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a(1)求角C ;(2)求a 上的取值范围.c21 .(本小题总分值12分)数列 值｝的前n 项和为S n , a 1=1, 3S n 书是6与2S n 的等差中项(n ^N *)(1)求数列｛a n ｝的通项公式；(2)是否存在正整数k,使不等式k(-1)n a n 2<S n (nWN *)恒成立,假设存在,求出 k的最大值；假设不存在,请说明理由 .四、附加题：本大题共 2小题,共20分. 22 .(本小题总分值10分)1 2 1 3 2 1 4 3 2 1(1)(本小题总分值5分)数列：一,一,,—,一,—,—,一,一1,...,依它白^刖10项的规律,1 12 1 23 1 2 3 4这个数列的第2021项a 2021 =.(2)(本小题总分值 5 分)tan20 + sin 20' = .4-—— 珍贵文档！值得收藏！-——精品文档！值得拥有!a c sin A - sin Bb sinA - sin C23.〔本小题总分值10分〕1 1数列｛a n｝满足a i =— ,加手=------〔n w N*〕.2 2 - a n〔1〕求证：｛,-｝为等差数列,并求出｛a n｝的通项公式；a n -1一1 m ..〔2〕设b n =——1,数列｛b n｝的前n项和为B n,对任意n >2都有即- B n >一成立,a n 20求整数m的最大值.二0一三学年第二学期中测试高一年级数学参考答案考前须知：1.测试时间：2021年4月22日8时至9时30分；2.做题前,务必先在做题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3.将答案答在做题卡上,在试卷上做题无效.请按题号在各题的做题区域〔黑色线框〕内作答,超出做题区域书写的答案无效；4.其中本卷总分值100分,附加题20分,共120分.共4页；5.本试卷不得使用计算器.珍贵文档！值得收藏!一、选择题：共10小题,每题3分,总分值1.函数f 〔x 〕 =sin xcosx 的最小值是〔〕 答案：D答案：B4.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S 2=4,S 4=20,那么该数列的公差d 二〔〕 答案：A答案：B9.在 MBC 中, tan A tan B >1 ,那么 MBC 是〔 〕珍贵文档！值得收藏!30分. A. 1B.- 1C.一 1D. - 22.公比为2的等比数列 七口｝的各项都是正数, 且 a 4a l0 =16 ,那么 a 6 =()A. 1B. 2C.D. 83.函数 f (x) =cos(x +—) -cos(x --) >(4A.周期为n 的偶函数 C.周期为n 的奇函数 答案：DB.周期为2 n 的偶函数 D.周期为2n 的奇函数A. 2答案：BB.3C. 6D. 7._ z n 、.5. ot € (一,霏),sin2 A. -73皿 口 =一,那么 tan(a 一5 -1nz)=()C. 76 . MBC 的内角那么 cos B =(3A. 一4答案：AA 、)B 、C 的对边分别为a 、b 、c,假设a 、b 、c 成等比数列,且c = 2a,1 D.4sin 2 A <sin 2 B +sin 2 C -sin Bsin C ,那么 A 的取值范围是()冗A (0,6]n C. (0,-] 3D. 兀[3,二)答案：C3T8,函数f (x) = J3sin 2x+cos2x —m 在[0,—]上有两个零点 2,那么m 的取值范围是〔 〕A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [l,2]A.直角三角形 C.锐角三角形 答案：C10.在数列^口｝中,假设对任意的n ^N 那么数列｛a n ｝的前100项的和§00 =〔A. 132B. 299B,钝角三角形D.最小内角大于 45 °的三角形 均有 a n *a n 由 +a n 七为定值,且 a 7 — 2, a 9 = 3,a 98 = 4 ,C. 68D. 99答案：B、填空题：共 7小题,每题4分,总分值28分.11. sin75 cos30 -sin15 sin150 =答案:12.假设数列｛a n ｝的前 n 项和 S n =n 1 2 3 4 +3n ,那么 % +a 7 +a 8 =.答案：48223.函数 y =cos2x +sin x , xw R 的值域是.答案:[0,1]14 .在 MBC 中,a 、b 、c 分别为角 A 、B 、C 所对的边,假设a =2bcosC ,那么此三角形 一定是 三角形. 答案：等腰15 .设当x =e 时,函数f (x) =sin x —2cos x 取得最大值,那么 cosO =.答案：-2巨516 .在 HBC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,给出以下命题：①假设 a >b >c ,贝U cos A >cosB >cosC ; ②假设 A >B >C ,那么 sin A >sin B >sin C ; ③假设 a =40,b =20,B =251 那么 MBC 有两解；④ 必存在 A 、B 、C ,使 tan Atan BtanC <tan A+tan B+tanC 成立. 其中,正确命题的编号为 .(写出所有正确命题的编号) 答案：②③17.某种平面分形图如以下图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120 口；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来-3n 级分形图中所有线段长度之和为(1)求Gn ｝的通项公式;珍贵文档！值得收藏!1 n 级分形图中共有 条线段；(II)2 -答案：(I) 3 2n -3 ( n)9—9 (―)n 3三、解做题：共4小题,总分值42分. 18.(本小题总分值10分)的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为 120s ;依此规律得到n 级分形图.三级分形图珍贵文档！值得收藏!. 1(2)设b n =——,求数列｛b n ｝的刖n 项和S n . na n解：(1)设等差数列｛a n ｝的公差为d,那么a n= a i + (n- 1)d.a 7= 4, 由于1§19= 2a 9,[a1+ 6d = 4,所以a 1 + 18d = 2 (a 1 + 8d)2'解得 a1= 1, d = 2.・2'所以｛a n ｝的通项公式为 a n = 1(2) b n=nan (n+ 1)n+ 1 2 . 工n+ 13'所以Sn =2 22)3,"一十(丁2n・2'19.(本小题总分值10分)函数f(x) =Tt cos 2 i x 一 ,12,、/1 . c,g(x) =1 -sin 2x.⑴设X o 是函数y = f (x)的一个零点,求g(x o )的值;(2)求函数h(x) = f(x)+g(x)的单调递增区间.IT19Mx C1)由题谈如+ m 式2, + 二力 262由于X=&是&数¥=/(工)的一个聚点,所以lx5'(2) Jj(x) = f(x) +■ = - l + cos, 2JC +- I2 V 6)COE 2x + - l 6 Jcos2x+-sin2x +-1 i 「 =sin 2xTt当2k 冗一兀,冗 ,冗—W 2x+—W 2k u + —精品文档！值得拥有!即k/-5-^< x< k u+ —( k Z Z )时, 12 12i r 八3 ..........函数h(x)= —sin 2x十一|十一是增函数,2 1 3J 2故函数h(x)的单调递增区间是!ikTt-5^, ku+ —1( k w Z ) ...................................................... 2'12 1220.(本小题总分值10分)在MBC中,角角A、B、C所对的边分别为a、(1)求角C ;a c sin A - sin Bb、c ,满足------- = -------------sin A - sin C化)求亘¥的取值范围c解：(1) a c sinA -sinB bsinA - sinC,化简得a2 +b2— ab = c2,a —c2.2 2 /所以COsC / b Y =- 2ab 2JI3(2) 6s jnA*c sinC 2 2 二—[sin A sin(——-A)] =2sin(A )3 3 62 5 二由于A (0,—) , A -(一,), 3 6 6 6所以sin(A —) 5(- ,1]. 62一a b , - m故,的取值范围是(1,2] c21.(本小题总分值12分)数列Q｝的前n项和为Sn, &=1, 3S书是6与2&的等差中项(n W N*)(1)求数列｛a n｝的通项公式;2(2)是否存在正整数k ,使不等式k(-1) a n <S n(n = N )恒成立,右存在,求出k 的最大值；假设不存在,请说明理由 .(1)解法一：由于3S+是6与2s h的等差中项,珍贵文档！值得收藏!所以 6 十 2S n =6S n+ ( n w N *),即 S n * =1S n +1,( n W N *)31当n 圭2时有S n =—S n 1 +13 _1 1得S 4—S = — (S n -S n 1),即3n +=-3n 对n 主2都成立3 一 3一 1 - r - 1 —,又 S2 =—S +1 即 31 +32 =-31 +1 ,所以33一, 1 * 所以 3n = —n^ (n N ) .3 -解法二：由于3S n 斗是6与22n 的等差中项,*1 /n w N ),即 S n 4=一 S n +1, ( n W N3由此得 S n1|=(1S n *=3S _2 又6 -3 =a1 -3 =-1,所以2 J 2 2 2Q 3 3 Sn -- 2所以数列｛S n 是以-3为首项,1为公比的等比数列1n 2 23得 S n -3 = -工火1〕",,即 S n =3—1〔1〕n ,〔n W N* 〕, 2 2 3 2 2 3 所以,当 n ±2 时,an=Sn-Sn 」=[|T1)n 」]-m)n ']F 2 2 3 2 2 3 31 *一又n=1时,&=1也适合上式, 所以an=F 〔nWN 〕. (3)3当n 为奇数时,对任意正整数 k 不等式恒成立； .......... 1 '当n 为偶数时,等价于2k 12n l 1"—3<0恒成立,33人1n l 1…一 2.,令=t, 0<tM 一,那么等价于 2kt 2+t —3<0恒成立,.......... 2'3 3由于k 为正整数,故只须2k 匚1+1_3<0,解得0<k<12, k^N *,33所以存在符合要求的正整数 k,且其最大值为11......................... 2'珍贵文档！值得收藏!所以 6 - 2S n =6S n 1. ,一 >、、n 七N 〕恒成立.四、附加题：本大题共 2小题,共20分. 22 .〔本小题总分值10分〕1 2 1 3 2 1 4 3 2 1〔1〕〔本小题总分值5分〕数列：1,2」,3,2,,4,3/,,...,依它白^前10项的规律,1 12 1 23 1 2 3 4这个数列的第2021项a 2021 =. 答案：121〔2〕〔本小题总分值 5 分〕tan20 +sin 20s = . 4答案：— 423 .〔本小题总分值10分〕____ 1 1数列｛a n ｝满足 a 1 =— ,a n ¥= ---------------------- 〔n W N*〕.2 2 - a n⑴求证：｛」—｝为等差数列,并求出｛a n ｝的通项公式;a n -11 m .........................(2)设b n =— -1,数列｛b n ｝的前n 项和为B n ,对任意n 之2都有B 3n - B n >—成立,求整 a n 20数m 的最大值.-1斛:⑴a n 1.二2 - a n11 2 -a n1 「・ ----- = --------- = ------ =—1 + --------- a n 1 -1 1 1 a n -1 a n -12- a n11一 =-1a n 1 一1 a n 一11 ........... ...................................................｛ ｛—^—］为首次为-2,公差为-1的等差数列, a n -1n• • a n : ---------n 1(2) b n =£-^-1=1 令 C n =B 3n —B n =七+土1+1 + ^n n n 1 n+2 3n_ _1 ■ I 111, ■ 1C n 1 -C n -- 1+ + — n 2 n+33(n+1) n 1 3n珍贵文档！值得收藏!------ =-2+(n- a n 一11) x(-1)=-(n+1)1111- ----- - ------- + ------- -- -----n 1 3n+2 3n+3 3n+112 12 2 =-------- 一=03n+2 3n+3 3n+1 3n+3 3n+3 C n+1-C n>0 {C n}为单调递增数列_ 1 1 1 1 19• •〔办-Bn〕min = B6 -民二3 4 5 6 20•1-m<19又m w N*. .m的最大值为18 m 19 20 20等差数列Q｝中,a7=4, a19=2a9。

2020年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(下)期中数学试卷

2020年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.在平面直角坐标系中，角α以x轴非负半轴为始边，终边在射线y=2x（x≥0）上，则tanα的值是（）A. 2B. -2C.D.2.已知等比数列{a n}的各项均为正，且5a3，a2，3a4成等差数列，则数列{a n}的公比是（）A. B. 2 C. D.3.函数（ω＞0）的图象中，最小正周期为π，若将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x），则g（x）的解析式为（）A. B.C. D. g（x）=sin2x4.已知数列{a n}满足，则（）A. B. a n≥2n+1 C. D.5.已知．则cos（α-β）的值为（）A. B. C. D.6.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足b=2，B=60°的三角形有两解，则边长a的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知sin（-α）=，则sin（-2α）=（）A. B. C. D.8.已知数列{a n}满足{a n}=，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A. （0，）B. （0，）C. （，）D. （，1）9.△ABC内有任意三点不共线的2016个点，加上A，B，C三个顶点，共2019个点，把这2019个点连线形成互不重叠（即任意两个三角形之间互不覆盖）的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）A. 4033B. 4035C. 4037D. 403910.已知O为锐角三角形ABC的外接圆的圆心，tan A=2，若，则m的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，c=2，B=60°，则b=______，C=______．12.记S n为等差数列{a n}的前n项和，公差为d，若a4+a5=24，S6=48．则d=______，S n=______．13.已知0＜α＜＜β＜π，tanα=，cos（β-α）=．则sinα=______，cosβ=______．14.已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n+1是函数的两个零点，则a5=______，b10=______．15.在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2（a2a3a5a7a8）=5，则a1a9=______．16.已知一个三角形的三边长为连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的面积为______ ．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2=2b2+c2，则的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数f（x）=cos（2x）-2sin x cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上单调递增区间．19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc．（I）求角A的大小；（Ⅱ）求b sin C的最大值．20.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=2，S21=-252．（1）求a n，S n；（2）设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|，求T n．21.如图，在中，，，点在边上，，，为垂足．（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小．22.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=4且λa n=S n+4．其中λ为常数．（Ⅰ）求λ的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式≤0对任意n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵平面直角坐标系中，角α以x轴非负半轴为始边，终边在射线y=2x（x≥0）上，则tanα=2，故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则∵各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，∴2a2=5a3+3a4，∴3q2+5q-2=0，∵q＞0，∴q=，故选：C．利用各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，建立方程，即可求出等比数列{a n}的公比．本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．3.【答案】D【解析】解：∵函数（ω＞0）的图象中，最小正周期为π，∴即周期T=，则ω=2，则f（x）=sin（2x+），将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x），则g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-+）=sin2x，故选：D．根据三角函数的周期求出ω=2，结合三角函数的平移关系进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据周期公式求出ω的值，以及利用三角函数的平移法则是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：由a n+1-a n≥2，得a2-a1≥2，a3-a2≥2，a4-a3≥2，…a n-a n-1≥2，又a1=1．累加得：a n-1≥2（n-1），即a n≥2n-1（n≥2）．a1=1适合上式．∴S n=a1+a2+…+a n=n2．故选：D．在已知不等式中分别取n=2，3，…，n，累加后可得a n≥2n-1（n≥2）．然后求解数列的前n项和得答案．本题考查数列递推式，训练了利用累加法求数列的通项公式，是中档题．5.【答案】A【解析】解：∵已知，平方可得cos2α+2cosαcosβ+cos2β=①，sin2α+2sinαsinβ+sin2β=②．把①和②相加可得2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=，即2+2cos（α-β）=，解得cos（α-β）=，故选A．把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得cos（α-β）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由正弦定理可知：三角形有两个解，则满足a sin B＜b，a＞b，∴解得：2故选：B．由正弦定理可知：三角形有两个解，则满足a sin B＜b，a＞b，代入即可求得边长a的取值范围本题考查正弦定理的应用，考查三角形解的个数，考查计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：∵sin（-α）=cos[-（-α）]=cos（+α）=，∴sin（-2α）=cos[-（-2α）]=cos[2（+α）]=2cos2（+α）-1=2×-1=-．故选：A．由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了数列的递推公式和函数特征，熟练掌握一次函数和指数函数的单调性是解题的关键．对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，可知：数列{a n}单调递减，可得0＜a＜1．再分类讨论即可得出．【解答】解：∵对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，∴数列{a n}单调递减，可知0＜a＜1．①当时，n＞8，单调递减，而（n≤8）单调递减，∴×9+2＜a8-7，解得a，因此＜a＜1．②当时，n＞8，单调递增，应舍去．综上可知：实数a的取值范围是＜a＜1．故选：D．9.【答案】A【解析】解：∵三角形的内角和为180°，又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角，是360°，则2016个点的角的总和S=2016×360°，加上三角形原来的内角和180°，∴所有三角形的内角总和S′=180°+2016×360°=180°×（1+2016×2），∴三角形的个数为：1+2016×2=4033．故选：A．先得到所有三角形的内角和，再根据三角形的内角和为180°可得三角形的个数．本题考查图形的变化规律，根据各三角形内角总和得到三角形的个数是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：取AB中点D，则有，代入，得：+=2m（），由⊥，得•=0，∴两边同乘，化简得：•+•=2m（+）•=m•，即c2+bc•cos A=mc2，由正弦定理，化简得：+sin B sin C cos A=m sin2C，由sin C≠0，两边同时除以sin C得：cos B+cos A cos C=m sin C，∴m====sin A=．故选：B．取AB中点D，则有，从而+=2m（），由⊥，得•=0，从而c2+bc•cos A=mc2，由正弦定理得+sin B sin C cos A=m sin2C，从而cos B+cos A cos C=m sin C，由此能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量、向量垂直、正弦定理、余弦函数加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】2【解析】解：∵a=4，c=2，B=60°，∴由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=16+4-2×4×2×=20-8=12，则b=2．∴由正弦定理，可得：sin C===，∵c＜a，C为锐角，∴C=．故答案为：2，．由余弦定理直接进行计算即可得b的值，根据正弦定理可求sin C，结合大边对大角可求C的值．本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，利用代入法是解决本题的关键，属于基础题．12.【答案】4 2n2-4n【解析】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，公差为d，a4+a5=24，S6=48．∴，解得a1=-2，d=4，∴S n=-2n+=2n2-4n．故答案为：4，2n2-4n．利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．本题考查等差数列的公差、前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】-【解析】解：∵已知0＜α＜＜β＜π，tanα==，sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=．∵cos（β-α）=故β-α为锐角，sin（β-α）==，则cosβ=cos[α+（β-α）]=cosαcos（β-α）-sinαsin（β-α）=•-•=-，故答案为：；-．由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差三角公式，求得sinα、cosβ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差三角公式的应用，属于基础题．14.【答案】4 64【解析】解：数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n+1是函数的两个零点，可得a n a n+1=2n，a n+a n+1=b n，可得a2=2，a3=2，a4=4，a5=4，a6=8，a7=8，a8=16，a9=16，a10=32，a11=32，b10=a10+a11=32+32=64．故答案为：4；64．利用已知条件推出，数列的关系式，然后逐步求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，考查计算能力．15.【答案】4【解析】解：在各项均为正数的等比数列{a n}中，∵log2（a2a3a5a7a8）=log2=5log2a5=5，∴a5=2，∴a1a9==4．故答案为：4．由各项均为正数的等比数列的通项公式得log2（a2a3a5a7a8）=log2=5log2a55，从而a5=2，再由a1a9=能求出结果．本题考查等比数列的两项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】【解析】解：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由正弦定理可得：，∴cosα=，再由余弦定理可得：（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n+1）n•cosα=（n+1）2+n2-2（n+1）n•，化简可得：n2-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），∴n=5，故三角形的三边长分别为：4，5，6由海伦公式知p==，S===．故答案为：．根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n-1）n•cosα，将表示出的cosα代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，从而得到三边长的值，由海伦公式可得三角形的面积．此题考查了正弦、余弦定理，海伦公式以及二倍角的正弦函数公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．17.【答案】【解析】解：由3a2=2b2+c2，得a2=（2b2+c2），则cos A===≥=，====，tan A=≤=，当且仅当b=c时取等号，则=≤，故的最大值为，故答案为：由余弦定理求出cos A和tan A的取值范围，结合基本不等式进行求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，结合余弦定理以及基本不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．18.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=cos（2x）-2sin x cosx=cos2x cos+sin2x sin-sin2x=cos2x+sin2x=cos（2x-），故它的最小正周期为=π．（Ⅱ）令2kπ-π≤2x-≤2kπ，k∈Z求得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．再根据x∈[0，π]，可得增区间为[0，]，[，π]．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用，余弦函数的周期性，可得它的最小正周期．（Ⅱ）利用余弦函数的单调求得f（x）在[0，π]上单调递增区间．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性、单调性，属于基础题．19.【答案】解：（I）由余弦定理可得：cos A===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：，可得b=，b sin C=•sin C=2sin B sin=2sin B=sin2B+=+，∵B∈，∴∈．∴∈．∴b sin C∈．∴b sin C的最大值为．【解析】（I）由余弦定理可得：cos A===，即可得出．（II）由正弦定理可得：可得b=，可得b sin C=2sin B sin=+，根据B∈即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由a1+3d=2，和21a1+210d=-252得a1=8，d=-2．∴a n=8-2（n-1）=10-2n，．（2）a n=8-2（n-1）=10-2n，可得n≤4，数列的项是正数，n=5，数列的项是0，以后的各项都是负数，所以当n≤5时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a n，，当n≥6时，T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a5-（a6+a7+…+a n），，∴．【解析】本题考查数列的求和，等差数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．（1）求出等差数列的公差，然后求解通项公式a n=10-2n；以及数列的和；（2）求出n≤5时数列的和，然后求解n＞5时数列的和即可．21.【答案】解:（1）∵△BCD的面积为，，，∴，∴，在中，由余弦定理可得；（2）∵，，在中，由正弦定理可得，∵，∴，∴，，∴．【解析】本题考查余弦定理，正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．（1）利用三角形的面积公式，求出，再用余弦定理求；（2）先求，在中，由正弦定理可得，结合，即可得结论．22.【答案】解：（Ⅰ）∵a1=4且λa n=S n+4．∴4λ=4+4，解得λ=2．∴2a n=S n+4…①．当n≥2时，2a n-1=S n-1+4…②由①②可得a n=2a n-1．（n≥2）．数列{a n}是首项为4，公比为2的等比数列；数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n==，数列{b n}的前n项和为T n==，不等式≤0对任意n∈N*恒成立⇔不等式（-1）n-1•（2n-5）-k≤0对任意n∈N*恒成立．⇔（-1）n-1（2n-5）-k•2n≤0对任意n∈N*恒成立．当n为偶数时，⇔-（2n-5）-k•2n≤0．k≥，∴n=2时，取最大值，∴当n为奇数时，（2n-5）-k•2n≤0．k，令f（n）=，则f（n+1）-f（n）=．可得f（5）＜f（4）＞f（3）＞f（2）＞f（1）．f（5）=，且f（3）=∴k．综上，k．【解析】（I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出T n．再分n为奇偶数讨论即可．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

浙江省杭州学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

浙江省杭州学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

杭州2023-2高一年级期中考试数学试卷命题人高一数学备课组审核人高一数学备课组（答案在最后）注意事项：1.本试卷满分100分，考试时间100分钟.2.整场考试不准使用计算器.一､单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，则（）A.若//,//m n αα，则//m nB.若//,m m n α^，则n α⊥C.若,m m n α⊥⊥，则//n αD.若,m n αα⊥⊂，则m n⊥【答案】D 【解析】【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若//,m m n α^，则,n α可能平行，或相交，或垂直，故B 错误；对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n 可能在α中，也可能//n α，故C 错误；对于D ，由线面垂直的性质定理可知D 正确.故选：D2.如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，E 为BC 延长线上一点，3BC CE =，则1D E =（）A.11-3AB AD AA + B.12-3AB AD AA + C.113AB AD AA ++ D.11-3AB AD AA + 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量1D E的表达式，即可得答案.【详解】111()D E AD AE AB AD A B A E =-=+-+=114133AD AB BC AA AB AD AA +--=+- ,故选：A.3.如图，已知平面α，β，且l αβ= .设梯形ABCD 中，//AD BC ，且AB α⊂，CD β⊂.则下列结论正确的是（）A.直线AB 与CD 可能为异面直线B.直线AB ，CD ，l 相交于一点C.AB CD =D.直线AC 与BD 可能为异面直线【答案】B 【解析】【分析】结合题意以及空间中点线面的位置关系，逐项分析即可求出结果.【详解】梯形AB CD =中，//AD BC ，所以AB 与CD 是梯形的两腰，所以AB 与CD 是共面直线，故A 错误；AB 与CD 是不一定相等，故C 错误，直线AC 与BD 是梯形的对角线，故是共面直线，故D 错误；设AB CD M = ，又且AB α⊂，CD β⊂，所以M α∈，M β∈，所以M αβ∈⋂，又因为l αβ= ，故M l ∈，即直线AB ，CD ，l 共点，故B 正确.故选：B.4.如图，一个正四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球面上，且底面ABCD 经过球心O .若1283-=P ABCD V ，则球O 的表面积是A.814π B.36π C.64πD.274π【答案】C 【解析】【分析】由题意可知，PO ⊥平面ABCD ，并且PO 是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．【详解】设球的半径为R ，则1112822323四棱锥-=⨯⨯⨯⨯=P ABCD V R R R ，得4R =，∴2=464球ππ=S R .故选C【点睛】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，属于中档题．5.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C C AB --的大小为60︒，则点C 到平面1C AB 的距离为（）A.1B.12C.34D.2【答案】C 【解析】【分析】取AB 的中点O ，连接OC 和1OC ，由二面角的定义得出160COC ∠=o，可得出OC 、1CC 、OC的值，由此可计算出1ABC ∆和ABC ∆的面积，然后利用三棱锥1C ABC -的体积三棱锥1C ABC -的体积相等，计算出点C 到平面1ABC 的距离.【详解】取AB 的中点O ，连接OC 和1OC ，根据二面角的定义，160COC ∠=o.由题意得2OC =，所以132CC =，1OC =.设C 到平面1C AB 的距离为h ，易知三棱锥1C ABC -的体积三棱锥1C ABC -的体积相等，即1111311323222h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得34h =，故点C 到平面1C AB 的距离为34.故选C.【点睛】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法与空间向量法，等体积法本质就是转化为三棱锥的高来求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.6.已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1BB 上靠近1B 的三等分点，点F 是线段11D C 上靠近1D 的三等分点，则平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -形成的截面图形为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】C 【解析】【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得//l AE ，进而//FI AE ，结合相似三角形的性质即可求解．【详解】如图，设6AB =，分别延长11AE A B 、交于点G ，此时13B G =，连接FG 交11B C 于H ，连接EH ，设平面AEF 与平面11DCC D 的交线为l ，则∈F l ，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，平面AEF ⋂平面11ABB A AE =，平面AEF ⋂平面11DCC D l =，所以//l AE ，设1l D D I = ，则//FI AE ，此时1FD I ABE △∽△，故1ID =43，连接A I ，所以五边形AIFHE 为所求截面图形，故选：C ．7.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（）A.2πB.4πC.5πD.6π【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为426πππ+=，故总曲率为5264πππ⨯-=．故选：B.8.已知正方体1111ABCD A B C D -边长为1，点,E O 分别在线段11B D 和BD 上，1114,5EB B D DO BO ==，动点F 在线段1AA 上，且满足1102AF AA λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，分别记二面角11,F OB E F OE B ----，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则总有（）A.αβγ>>B.γβα>>C.γαβ>>D.βαγ>>【答案】D 【解析】【分析】作出三个二面角的平面角，求出其正切值后比较大小可得．【详解】作FF '⊥平面11BB D D ，垂足为F '，则22FF '=，因为1OB ⊂平面11BB D D ，所以1FF OB '⊥，作1FK OB ⊥，FM OE ⊥，11FN B D ⊥，垂足分别为,,K M N ，连接,,KF MF NF '''，由于FF FK F '= ，FF '⊂平面FF K '，FK ⊂平面FF K '，所以1OB ⊥平面FF K '，又F K '⊂平面FF K '，从而1OB F K '⊥，所以FKF α'=∠，同理FMF β'=∠，FNF γ'=∠，所以tan tan 2FKF F K α'=∠='，tan tan 2FMF F M β'=∠='，tan tan 2FNF F Nγ'=∠='，因为点O 是正方形ABCD 对角线的交点，所以OA BD ⊥，因为1BB ⊥平面ABCD ，OA ⊂平面ABCD ，所以1OA BB ⊥，因为1BB BD B ⋂=，1BB ⊂平面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ，所以AO ⊥平面11BDD B ，ON 就是1AA 在平面11BDD B 上的射影，11,//,ON AA ON AA OF AF '==，又1sin F K OF B OF '''=⋅∠，sin F M OF EOF '''=⋅∠，且1112AF AA AA λ=<，则OF F N ''<，由11145EB B D =得1EN NB <，从而1EOF B OF ''∠<∠，所以F N OF F K F M ''''>>>，所以tan tan tan βαγ>>，又π,,0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以βαγ>>.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键是作出二面角的平面角，然后求出角的正切值，再利用正方体的性质比较线段长的大小，从而可得结论．二､多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分9.如图，A B C ''' 为水平放置的ABC 的直观图，其中2,A B A C B C ''''''===，则在原平面图形ABC 中有（）A.AC BC <B.2AB =C.AC =D.ABC S =△【答案】ACD 【解析】【分析】根据斜二测画法规则确定点,,A B C '''的位置，再作出ABC ，逐项计算判断即可.【详解】在直观图A B C ''' 中，2,A B A C B C ''''''===，取A B ''中点D ¢，连接C D ''，则C D A B ''''⊥，而45B O C '''∠= ，于是2O D C D ='''=='，则1O A ''=，O C ''==3B O ''=，由斜二测画法规则作出ABC ，如图，则22,26OC O C OA O A OB O B ''''''======，4AB =，AC ==，BC ==12ABC S OC AB =⋅= 显然AC BC <，A 、C 、D 正确，B 错误.故选：ACD10.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，翻折ABD △和ACD ，使得平面ABD ⊥平面ACD .下列结论正确的是（）A.BD AC⊥ B.ABC 是等边三角形C.三棱锥D ABC -是正三棱锥 D.平面ACD ⊥平面ABC【答案】ABC 【解析】【分析】利用面面垂直以及线面垂直的性质可判断A 选项；设AD a =，利用勾股定理可判断B 选项；利用正棱锥的定义可判断C 选项；利用面面垂直的性质结合面面垂直的性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，翻折前，因为AB AC =，D 为BC 的中点，则AD BD ⊥，翻折后，对应地有AD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面ACD ，平面ABD ⋂平面ACD AD =，BD ⊂平面ABD ，所以，BD ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，故BD AC ⊥，A 对；对于B 选项，设AD a =，翻折前，因为ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 的中点，则BD CD AD a ===，且AD BD ⊥，AD CD ⊥，由勾股定理可得AC AB ===，翻折后，因为BD ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，则BD CD ⊥，由勾股定理得BC ==，在三棱锥D ABC -中，AB AC BC ==，则ABC 为等边三角形，B 对；对于C 选项，在三棱锥D ABC -中，因为ABC 为等边三角形，DA DB DC ==，故三棱锥D ABC -为正三棱锥，C 对；对于D 选项，假设平面ACD ⊥平面ABC ，如下图所示：取AC 的中点E ，连接DE 、BE ，因为AD CD =，E 为AC 的中点，则DEAC ⊥，若平面ACD ⊥平面ABC ，因为平面ACD 平面ABC AC =，DE ⊂平面ACD ，所以，DE ⊥平面ABC ，设等边ABC 的中心为点O ，连接DO ，由正棱锥的性质可知，DO ⊥平面ABC ，因为过点D 作平面ABC 的垂线，有且只有一条，故假设不成立，即平面ACD 与平面ABC 不垂直，D 错.故选：ABC.11.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则下列说法正确的是（）A.弧AD 长度为3π2B.曲池的体积为10π3C.曲池的表面积为2014π+D.三棱锥1A CC D -的体积为5【答案】ACD 【解析】【分析】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，根据弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍及2CD R r =-=求出R 、r ，再根据体积、表面积公式计算可得.【详解】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，因为弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，ππ322R r =⨯，即3R r =，22CD R r r ∴=-==，1r ∴=，3R =，所以弧AD 的长度为3π2，故A 正确；曲池的体积为222211111πππ3π1510π4444V R r AA ⎛⎫⎛⎫=-⨯=⨯-⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；曲池的表面积为221111ππ2ππ52524422R r R r ⎛⎫⎛⎫-⨯++⨯+⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111π3π12π3π15202014π4422⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；三棱锥1A CC D -的体积为11235532⨯⨯⨯⨯=，故D 正确．故选：ACD ．12.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠=== 为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，则下列结论正确的是（）A.若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B.若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅ 为定值2C.若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为4D.若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出()()2221222λμ++-=，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，)2,2E a a -，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A 选项，在1,CD DD 上分别取,F W ，使得13DF DC =，113DW DD =，因为1DQ DC DD λμ=+ ，所以33DQ DF DW λμ=+ ，因为13λμ+=，所以331λμ+=，即()313DQ DF DW λλ=+- ，故33DQ DW DF DW λλ--= ，即3WQ WF λ= ，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，11//A B CD ，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点T ，因为1A BQ △的外心为O ，所以OT ⊥1A B ，又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ，B 错误；C 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故DR ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DR ，1,DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，故)11,2A -，设()0,2,2Q λμ，则1AQ ==，化简得()()2221222λμ++-=，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，即点Q 在正方形11CDD C 内，包括边界，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =，11SD =，故11D H ==，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点Q 的轨迹长度为π44=，C 正确；D 选项，若1λ=且12μ=，112DQ DC DD =+ ，即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ，即()0,2,1Q ，又)11,2A -，)B ，设()111,,E x y z ，设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈ ，即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-，解得11112,2x y a z a ==-=，即)2,2E a a -，AE EQ +=+=+=，如图所示，设1101,,242KJ GV JG ===，且KJ ⊥JG ，JG ⊥GV ，在线段JG 上取一点L ，设GL a =，则12LJ a =-，故KL VL +=，显然，直接连接KV ，此时KL VL +取得最小值，最小值即为KV ，由勾股定理得KV ==，故AE EQ +=的最小值为=D 正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.()()1,0,2,1,3,1A B -，点M 在z 轴上且到,A B 两点的距离相等，则M 点的坐标为__________.【答案】()0,0,3-【解析】【分析】设点(0,0,)M z ，根据点M 到,A B 两点的距离相等，列出方程，即可求解.【详解】根据题意，可设点(0,0,)M z ，因为点M 到,A B 两点的距离相等，可得AM BM =，=解得3z =-，所以点M 的坐标为()0,0,3-.故答案为：()0,0,3-.14.如图，在四面体A BCD -中，2,AC BD AC ==与BD 所成的角为45 ，,M N 分别为,AB CD 的中点，则线段MN 的长为__________.【答案】2或2【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，即可得到MEN ∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，即45MEN ∠= 或135 ，再利用余弦定理计算可得.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且1222EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则45MEN ∠= 或135 .在MEN 中，1ME =，2EN =，若45MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =2==；若135MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =2==；综上所述，2MN =或2.故答案为：22或2.15.已知()()21,5(0,R)f x axg x x bx a b =-=+->∈（1）若2a =时，()()f x g x =的两根为12,x x ，则12x x -的最小值为__________.（2）若0x >时，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则3b a +的最小值为__________.【答案】①.4②.【解析】【分析】（1）依题意可得()2240x b x +--=，列出韦达定理，则12x x -=性质计算可得；（2）令()0f x =解得1x a =，分析可得10g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而得到15b a a =-，再利用基本不等式计算可得.【详解】（1）若2a =时()21f x x =-，()25g x x bx =+-，方程()()f x g x =，即()2240x b x +--=，显然0∆>，所以122x x b +=-，124x x =-，则124x x -==≥，所以当2b =时，12x x -取得最小值，且最小值为4．（2）0,R a b >∈ ，当0x >时，()()0f x g x ≥恒成立，由()0f x =解得1x a =，当1x a >时，()0f x >；当10x a<<时，()0f x <；∴当1x a >时，()0g x ≥，当10x a <<时，()0g x ≤；∴20115b g a a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，∴15b a a =-，325b a a a ∴+=+≥=，当且仅当52a a =，即5a =、2b =时取等号，所以3b a +的最小值是．故答案为：4；16.下列命题正确的是__________.（填序号）①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；②垂直于同一条直线的两直线平行；③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面；④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在；⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直；⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.【答案】①⑤⑥【解析】【分析】根据题意，由直线与直线，直线与平面的位置关系，依次分析6个命题，即可判断．【详解】对于①：如图，//AB α，平面,ABDC CD AB α⋂=⊂平面ABDC ，所以//AB CD ，同理//AB EF ，所以//CD EF ，又因为,CD EF ββ⊄⊂，所以CD//β，又,CD l ααβ⊂⋂=，所以//CD l ，所以//AB l ，若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行，故①正确；对于②：垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故②错误；对于③：根据面面垂直的性质定理可知，两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点（不在交线上）作交线的垂线，必垂直与另一个平面，当该点在交线上时，作交线的垂线，得不到该直线与另一个平面垂直，故③错误；对于④：分3种情况讨论：若两点确定的直线在已知平面内，则过两点与一个已知平面垂直的平面有且只有一个；若两点确定的直线不在平面内，但与已知平面不垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有一个，若两点确定的直线不在平面内且与已知平面垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有无数个，综上，过两点与一个已知平面垂直的平面有一个或无数个，一定存在，故④错误；对于⑤：设直线m 、n 异面，过直线m 上一点O 作直线n '，使得//n n '且m n O '= ，如下图所示：设直线m 、n '确定平面α，过空间中任意一点P ，有且只有一条直线l ，使得l α⊥，因为m 、n α'⊂，则l m ⊥，l n '⊥，又因为//n n '，则l n ⊥，故过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直，故⑤正确；对于⑥：到一个四面体的四个顶点的距离相等的平面，可以看作是与一个四面体四个顶点距离相等的平面，可以是与两条对棱平行，这样的平面有3个，也可以是与一个底面平行，与另一个顶点距离相等，这样的面有4个，则到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个，⑥正确．故答案为：①⑤⑥【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是正确理解空间中线线、线面、面面的位置关系，利用反例及适度的数形结合是有效且快速的处理方法.四､解答题：本大题共4小题，共44分，解答应在相应的答题框内写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知空间向量(1,2,1),(2,1,1)a b =-=- ．（1）计算32a b + 和53a b - ;（2）求a 与b夹角θ的余弦值．【答案】（1）32(1,8,1)a b +=-- ,53(11,7,8)a b -=- （2）16-．【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】由题可得323(1,2,1)2(2,1,1)(1,8,1)a b +=-+-=-- 535(1,2,1)3(2,1,1)(11,7,8)a b -=---=- ．【小问2详解】由题可得a ==，b == (1,2,1)(2,1,1)2211a b ⋅=-⋅-=-+-=-，1cos 6a b a b θ⋅∴===- ,a ∴与b 夹角θ的余弦值为16-．18.正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点.（1）求异面直线1CD 与1BC 所成角；（2）求证：//MN 平面ABCD【答案】（1）60︒（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接1A B ，11A C ，即可得到11//CD A B ，则11A BC ∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角，结合正方体的性质求出11A BC ∠；（2）取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，即可证明平面//MEN 平面ABCD ，从而得证.【小问1详解】连接1A B ，11A C ，因为11A D BC =且11//A D BC ，所以四边形11A D CB 为平行四边形，所以11//CD A B ，则11A BC ∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角，在正方体中，可得1111A C A B BC ==，即11A C B △为等边三角形，所以1160A BC ∠=︒，所以异面直线1CD 与1BC 所成角为60︒；【小问2详解】取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，因为M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，所以//ME BC ，11//NE C D ，而11//C D CD ，所以//NE CD ，又因为BC ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，NE ⊄平面ABCD ，ME ⊄平面ABCD ，所以//NE 平面ABCD ，//ME 平面ABCD ，又ME NE E ⋂=，,ME NE ⊂平面MNE ，所以平面//MEN 平面ABCD ，因为MN ⊂平面MNE ，所以//MN 平面ABCD ．19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -如图所示，底面ABCD 为平行四边形，其中点D 在平面1111D C B A 内的投影为点1A ，且1AB AA ==2,120AD ABC ︒∠=．（1）求证：平面1A BD ⊥平面11ADD A ；（2）已知点E 在线段1C D 上（不含端点位置），且平面1A BE 与平面11BCC B，求1DE EC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）113DE EC =【解析】【分析】（1）不妨设1AD =，根据线面垂直的性质证明1A D AD ⊥，利用勾股定理证明AD DB ⊥，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立的空间直角坐标系D xyz -，利用向量法求解即可.【小问1详解】不妨设1AD =，因为1A D ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ，故1A D AD ⊥，在ADB 中，2,1,60AB AD DAB ==∠= ，由余弦定理，222222cos 21221cos603BD AB AD AB AD DAB ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= ，得BD =，故222AD BD AB +=，则AD DB ⊥，因为11,,A D DB D A D DB ⋂=⊂平面1A BD ，所以AD ⊥平面1A BD ，而AD ⊂平面11ADD A ，所以平面1A BD ⊥平面11ADD A ；【小问2详解】由（1）知，1,,DA DB DA 两两垂直，如图所示，以D 为坐标原点，建立的空间直角坐标系D xyz -，则()()()(()10,0,0,1,0,0,0,,0,0,,1,D A B A C -，故()11,AC A C AC =-=，(1C ∴-，所以((11,A B DC ==-，设()101DE DC λλ=<<，则()12DE DC λλ==-，即()2E λ-，所以(12A E λ=--；设()111,,n x y z =为平面1A EB 的一个法向量，则1111111020nA B n A E x y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+--=⎪⎩，令12z λ=，则112,==-y x λ()2,2n λλ=-，因为y 轴⊥平面11BCC B ，则可取()0,1,0m =为平面11BCC B 的一个法向量，设平面1A EB 与平面11BCC B 的夹角为α，则cos 5n m n m α⋅===⋅ ，解得14λ=，故113DE EC =．20.已知函数(),(),()f x g x h x 的定义域均为R ，给出下面两个定义：①若存在唯一的x ∈R ，使得(())(())f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换；②若对任意的x ∈R ，均有(())(())f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 任意交换．（1）请判断函数()1g x x =+与()1h x x =-关于2()f x x =是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（2）设()22()2(0),()1f x a x a g x x bx =+≠=+-，若存在函数()h x ，使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换，求b 的值；（3）在（2）的条件下，若()g x 与()f x 关于e 1()e 1x x w x -=+唯一交换，求a 的值．【答案】（1）唯一交换，理由见解析（2）0b =（3）()1e2e 1a -=+【解析】【分析】（1）根据方程()()()()f g x h f x =解的情况判断即可；（2）根据“对任意的x ∈R ，()()()()f g x h f x =成立”得到关于x 的方程，然后设出()h x 的解析式，根据方程左右两边对应项相同求解出b 的值；（3）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数x ，使得22112e 1e 1e 12e 1xxx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦”，然后分析()22112e 1e 1e 12e 1xxx x s x ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦的奇偶性，从而确定出()0a s =，由此可求a 的值.【小问1详解】()g x 与()h x 关于()f x 是唯一交换，理由如下：因为()()()21f g x x =+，()()21h f x x =-，令()()()()f g x h f x =，所以()2211x x +=-，解得=1x -，所以()()()()f g x h f x =有唯一解=1x -，所以()g x 与()h x 关于()f x 是唯一交换.【小问2详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，()()()()f g x h f x =成立，即对任意的x ∈R ，()()()222122a x bx h a x ⎡⎤+-+=+⎢⎥⎣⎦；因为()h x 为函数，且()()()()()2222h ax h a x -+=+，故0b =，故()()()222122a x h a x ⎡⎤-+=+⎢⎥⎣⎦，即()()()2222322a x a h a x a ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪-+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()2211326x x h x a x a aa ⎡⎤⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，综上所述，0b =.【小问3详解】当0b =时，()21g x x =-，因为()g x 与()f x 关于()e 1e 1x x w x -=+唯一交换，所以存在唯一实数x ，使得()2e 11e 1x x w xf ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭，即存在唯一实数x ，使得22211e 1e 12e 1e 1x x x x a --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥=+ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即存在唯一实数x ，使得22112e1e 1e 12e 1x xx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦；令()22112e 1e 1,e 12e 1x xx x s x ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22211e 1e 1,2e 1e 1x x x x q x p x --⎛⎫--==+ ⎪++⎝⎭，且()()(),,s x q x p x 定义域均为R ，又()()()()22221111e 1e 1e 1e 1x xx x q x q x ---------===++，()()222e 11e e 1222e 11e e 1x x x x x x p x p x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()(),q x p x 都是偶函数，所以()s x 为偶函数，因此，若存在唯一实数x 使得22112e 1e 1e 12e 1xxx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，只能是()0a s =，所以()11e 111ee 22e 1a -+-==+，综上所述，a 的取值为()1e2e 1-+.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，涉及方程解以及函数奇偶性等相关问题，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，本题第二问可以从方程左右两边对应相等入手，第三问则可以从函数的奇偶性入手进行分析.。

浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}5A x x =<， {}31B x x =-<则A B =I （ ） A ．()2,5- B ．()4,5C ．()2,5D ．(),2-∞2．若复数i(,)12ia b a b +∈+R 为纯虚数，则a b =（ ）A ．52-B ．－2C ．25D ．123．一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为91003m ，若它的两底面边长分别为60m 和50m ，则此时鱼塘的水深（ ） A ．2mB ．3mC ．3.5mD ．4m4．如图，A B C '''V 为水平放置的ABC V 的直观图，其中2A B ''=，A C B C ''''=，则在原平面图形ABC V 中有（ ）A ．AC BC =B ．2AB =C ．BC =D ．ABC S =V 5．已知tan 2α=，则22sin cos 2sin 2cos αααα++的值为（ ）A ．15B ．13 C ．35D ．456．函数())lncos f x x x x =+⋅在[]2,2ππ-上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．正方形ABCD 的边长为6点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE EA =，2=CF FB .如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=u u u r u u u r成立，那么λ的取值范围为（ ）A ．13,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,3-C ．()3,12D ．1,34⎛⎫- ⎪⎝⎭8．在ABC V 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC V 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ）A B C D二、多选题9．下列对应关系f ，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（ ） A ．13,1,22M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{6,3,1}N =--，162f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1)3f =-，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．{|1}M N x x ==≥-，()21f x x =+C ．{1,2,3}M N ==，()21f x x =+D ．M =Z ，{1,1}N =-，1,,()1,.x f x x -⎧=⎨⎩为奇数为偶数10．已知O 为坐标原点，点()()()()()()123cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,1,0P P P A ααββαβαβ-++，则（ ）A ．12OP OP =u u u r u u u rB ．12AP AP =u u u r u u u rC ．312OA OP OP OP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u rD ．312OA OP OP OP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r11．已知函数()()πcos 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3个对称中心，则下列正确的是（ ）A ．ω的值可能是3B ．()f x 的最小正周期可能是2π3C ．()f x 在区间π0,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 图象的对称轴可能是3π8x =三、填空题12．在△ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，则BC = ；若2BD DC =u u u r u u u r，AE AC ABλ=-u u u r u u u r u u u r （R λ∈），且4⋅=-u u u r u u u rAD AE ，则λ的值为 . 13．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，则它的外接球的表面积为 ；若E 为11B C 的中点，则过B 、D 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为 .14．函数()()()()()52log 11221x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，若关于x 的方程120f x t x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭恰好有4个不同的实数根，则实数t 的取值范围是 .四、解答题 15．求值：(1)2log 30.255218log 102log 5--； (2)已知0a >，0b >，1a b +=，求11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.16．在①π2sin 6a c A b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，②()()3a c b a c b ac +-++=，③sin sin sin A B C a c a b -=-+这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且______． (1)求B ；(2)若3BC AB =，求sin A ．17．2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y （单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：(1)给出下列三种函数模型：①(0)y at b a =+<，②(0,01)t y a b c a b =⋅+><<，③log ()(0,1)a y t b c b a =++>>，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型，（i ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）． （参考数据：lg30.477,lg50.699≈≈）18．如图所示，ABC V 为等边三角形，AB =I 为ABC V 的内心，点P 在以I 为圆心，1为半径的圆上运动.(1)求出()()()222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的值.(2)求PA PB ⋅u u u r u u u r的范围.(3)若()0,,xPA yPB zPC x y z ++=∈R u u u r u u u r u u u r r ，当x y最大时，求z x y +的值.19．已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ，…，2n x D ∈，使得()()0i g x f x =（其中1i =，2，…，n ，*n ∈N ），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.(1)判断()221g x x x =-+（[]0,4x ∈）是否为()4f x x =+（[]0,5x ∈）的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由；(2)若()()2231,211,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨->⎩为()222log 21x x f x +=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；(3)函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.21=，[]22=，[]1.22-=-，若()[]h x a x ax =-，[)0,2x ∈为()21xf x x =+，[)0,x ∈+∞的“2024重覆盖函数”，求正实数a 的取值范围.。

浙江省杭州市高一下学期期中数学试题(解析版)

浙江省杭州市高一下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（ ） {1}A xx =>∣{}240B x x =-<∣A B = A ． B ．C ．D ．(2,1)--(1,)+∞(2,)+∞(1,2)【答案】D【分析】解出不等式，然后根据交集的定义可得答案.240x -<【详解】因为，所以. {}22B x x =-<<∣{}12A B x x ⋂=<<∣故选：D2．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 3log 4a =0.7log 2b =0.15c -=A ． B ． C ． D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性跟比较即可判断.0,1【详解】因为，，， 33log 43log 1a ==>0.70.7log 2log 10b =<=0.105510c -<<==所以. a c b >>故选：B3．下列各式中，值为的是（ ） 12A ．B ．C ．D ．()1cos15sin152︒-︒22cos sin 1212ππ-2tan 22.51tan 22.5︒-︒sin15cos15︒︒【答案】C【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.【详解】对于A ，A 不符合； 1(cos15sin15)15)602︒-︒=︒+︒=︒=对于B ，B 不符合； 22πππcos sin cos 12126-==对于C ，，C 符合； 22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⨯=--︒︒︒=︒︒对于D ，，D 不符合.11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=故选：C4．已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为ABC A 2P AB PB PC ⋅（ ）A ．B ．1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．[]0,2[]0,4【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量坐标AB O ()(),011P m m -≤≤运算可得，利用二次函数值域的求法可求得结果.21124PB PC m ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭ 【详解】以中点为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示平面直角坐标系，AB O ,OB OC,x y则，，，()1,0A -()10B ,(C设，，，()(),011P m m -≤≤()1,0PB m ∴=-(PC m =- ，221124PB PC m m m ⎛⎫∴⋅=-=-- ⎪⎝⎭ 则当时，；当时，；12m =()min 14PB PC ⋅=- 1m =-()max2PB PC ⋅= 的取值范围为. PB PC ∴⋅ 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：A.5．衡量钻石价值的4C 标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角ABC A 形，四边形BCDE 为等腰梯形，且，，，则（ ） 2BC DE =AB AC =34CDE π∠=CE →=A ．B ．123CA CD →→+133CA CD →→+C ．D ．12CA CD →→+13CA CD →→+【分析】如图，延长CD 和BE 交于点F ，证明四边形ABFC 为正方形，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：如图，延长CD 和BE 交于点F ，由题得, 90A F FCA FBA ∠=∠=∠=∠= 所以四边形ABFC 为矩形，又,所以四边形ABFC 为正方形， AB AC =又，所以分别是中点，2BC DE =,D E ,CF BF 所以．122CE CF FE CA CD →→→→→=+=+故选：C6．函数的图象大致为（ ）()sin cos 2x xf x x ⋅=+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合时函数的符号即可得答案.2x π=【详解】解：由题知函数的定义域为，关于原点对称，，R ()()()()sin sin cos 2cos 2x x x xf x x x f x -⋅-⋅===-++-所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故排除B ，D ，当时，，y 2x π=sin22024cos 22f πππππ⋅⎛⎫==> ⎪⎝⎭+故排除C ，得A 为正确选项. 故选：A7．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围()()log 8a f x ax =-1a >()1f x >[]1,2a 是（ ） A ． B ．C ．D ．()4,+∞8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，()21f >解得即可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递()()log 8a f x ax =-1a >8y ax =-log a y x =增，所以在定义域上单调递减，()()log 8a f x ax =-因为在区间上恒成立，所以恒成立，()1f x >[]1,2()()2log 821log a a f a a =->=所以，解得，即；821a a a ->⎧⎨>⎩813a <<81,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：C8．函数在上单调递减，则的取值范()sin(2)2sin cos()(0,R)f x x x ωϕϕωϕωϕ=+-+>∈3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ω围是（ ） A ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤⎝⎦(0,1]1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,2]【答案】C【分析】先根据三角恒等变换化简的解析式，再结合单调区间即可求出的取()f x ()sin f x x ω=ω值范围.【详解】由题意可得，()sin(2)2sin cos()sin f x x x x ωϕϕωϕω=+-+=T π令，由此可得， 322()22k x k k πππωπ++∈Z ……232()22k k x k ππππωωωω++∈Z ……因为在上单调递减，所以由此解得.()f x 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭23322ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，……1,12ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C.【点睛】已知三角函数的单调区间求参数，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.二、多选题9．若向量满足 ）,a b ||||2,||a b a b ==+=A ．B ．与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C ．D ．在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b12b r 【答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂2a b ×=a b直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正确； 21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅ 0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故Da b -b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b b a b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅不正确. 故选：BC.10．已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下()sin()f x A x ωϕ=+R x ∈0A >0ω>||2ϕπ<列说法正确的是（ ）A ．的图像关于点对称()f x 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．的图像关于直线对称()f x 43x =C ．在上为增函数()f x 11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像 ()f x 23【答案】ABC【分析】根据函数图像求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即()π2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可.【详解】由已知，，，， 2A =514263T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ππ2ω==π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，， ππ2π32k ϕ+=+k ∈Z 又，，，π2ϕ<π6ϕ∴=()π2sin π6f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭对于A ，，故A 正确；1ππ2sin 0666f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，令，，得，，时，，故B 正确；ππππ62x k +=+k ∈Z 13x k =+k ∈Z 1k =43x =对于C ，时，令，在上递增，故C 正确；11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππππ,632t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦sin y t =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，把的图像向右平移个单位长度，得函数表达式为()f x 23，它是偶函数，故D 错误.()2ππ2sin π2sin π2cos π362g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：ABC.11．设，，且，则（ ） 0a >0b >22a b +=A ．的最大值为 B ．的最小值为 ab 12a b +1C ．的最小值为 D ．的最小值为 22a b +452a b ab -+92【分析】利用基本不等式可判断A 选项；求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断B b a b +选项；利用二次函数的最值可判断C 选项；求得，将与相乘，展开212a b ab a b -+=+12a b+()122a b +后利用基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由基本不等式可得， 22a b =+≥12≤ab 当且仅当时，等号成立，A 对；21a b ==对于B 选项，由可得，解得， 22a b +=022b <<01b <<所以，，B 错；()21,2a b b +=-∈对于C 选项，由可得，则22a b +=22a b =-()222222444225845555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥⎪⎝⎭，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C 对；45b =22a b +45对于D 选项，， ()22212a b a b a b a b ab ab ab a b-++-++===+因为， ()1211255922222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D 对. 23a b ==2a b ab -+92故选：ACD.12．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，()f x (),1f x -R ()1f x +()1,1x ∈-，则下列结论正确的是（ ）()21f x x =-A ．为周期函数且最小正周期为8 ()f x B ．7324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．在上为增函数()f x ()6,8D ．方程有且仅有7个实数解 ()lg 0f x x +=【答案】ABD【分析】由条件得函数的对称性，进而得到函数的周期性，然后利用数形结合结合条件逐项分析即得.【详解】因为为奇函数，所以，即关于点对称；()1f x -()()11f x f x --=--()f x ()1,0-因为为偶函数，所以，即关于直线对称； ()1f x +()()11f x f x -+=+()f x 1x =则，()()()()()()()112314f x fx f x f x f x =-+=-+=---=--所以，故的周期为，结合条件可得函数的大致图象，进而可得A 正确；()()8f x f x =-()f x 8，B 正确； 2755111131111122222224f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=--=--=---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦由于在上单调递减，且关于点对称，故在上单调递减，又()f x ()1,0-()f x ()1,0-()f x ()2,0-的周期为8，则在上也为减函数，C 错误；()f x ()f x ()6,8作出函数的图象和函数的大致图象，函数的图象与函数的图象恰()f x lg y x =-()y f x =lg y x =-有7个交点，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】通过函数图象具有中心对称性和轴对称性，推断函数的周期性，由上的解()f x ()1,1x ∈-析式，可得函数的大致图象进而可得其他区间上函数的性质.三、填空题13．________．223ln 2338log 27e 227-⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】5【分析】根据指数运算和对数运算的性质即可求解.【详解】. 223ln 2338log 27e 227-⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223ln 232244log 3e 3253399⎛⎫⎛⎫-++=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：514．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：） lg30.4771≈【分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案. 【详解】设光线的强度为，至少重叠玻璃的快数为，则，x n ()110%0.1nx x-<整理可得. 0.99910101lg1011log 0.1log log 1021.8910lg 9lg102lg 31lg 10n >==-=-=-=-≈--故答案为：. 2215．若，，则的值是________.sin 2α=()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦αβ+【答案】74π【分析】依题意,可求得，进一步可知，于是可求得与ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()cos βα-cos 2α的值，再利用两角和的余弦公式及角的范围即可求得答案.βα+【详解】因为，所以，π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，即所以sin 2α=π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos 2=α=.因为，，所以，ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦因为()sin βα-=()cos βα-==所以()()cos cos 2βαβαα+=-+ ()()=cos cos 2sin sin 2βααβαα---=⎛⎛⨯ ⎝⎝因为，，所以，ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,24βαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以. 7=4παβ+故答案为：. 74π16．已知的外接圆圆心为O ， 为的重心且则ABC A H ABC A 4,6AB AC ==()B O HC A H ⋅+=【答案】 263-【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.BC D O ,OE AB OF AC ⊥⊥E F 、AB AC 、∵为的重心，∴， H ABC A ()21233HB HC HD AD AB AC +===+ ,同理，21cos 2OA AB AB OA OAB AB ⋅=-⋅⋅∠=-212OA AC AC ⋅=- 故 ()()()221152263663O HB HC A O B AC AB A A C A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=-故答案为： 263-【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；()123AO AB AC OD =+=（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.222111222AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ⋅=⋅=⋅=四、解答题17．已知向量，．()2,1a =-r ()1,3b →=-(1)若，求的值； ()()2a b a b λ-⊥+ λ(2)若，向量与的夹角为钝角，求的取值范围． ()1,c μ= a c μ【答案】(1)53(2)且2μ<12μ≠-【分析】（1）首先求出，的坐标，依题意，根据向量数量积的坐标2a b -r r a b λ+ ()()20a b a b λ-⋅+= 表示得到方程，解得即可；（2）依题意可得且与不反向，根据向量共线及数量积的坐标表示得到求出的取值范0a c <⋅r r a c μ围；【详解】（1）解：因为，，()2,1a =-r ()1,3b =- 所以，，()()()22,121,34,7a b -=---=-r r ()()()2,11,321,3a b λλλλ+=-+-=-+-r r 因为，所以，解得； ()()2a b a b λ-⊥+ ()()()()2421730a b a b λλλ-⋅+=--++-= 53λ=（2）解：因为，且与的夹角为钝角，()2,1a =-r ()1,c μ= a c 所以且与不反向，0a c <⋅r r a c 由，解得，20a c μ=-⋅+<r r 2μ<当即时与反向，故， 211μ-=⨯12μ=-a c 12μ≠-综上可得且 2μ<12μ≠-18．在①；②；，这三个条2sin sin 1sin sin A B c B A ab++=(2)cos cos 0a b C c A ++=sin sin 2A B c A +=件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 .ABC A (1)求角C 的大小；(2)若，求周长的取值范围.4c =ABC A 【答案】(1) 2π3C =(2) (4⎤⎦【分析】（1）若选择①，利用正弦定理，化角为边后，结合余弦定理求角；若选择②，利用正弦定理，化边为角，结合三角恒等变换，求角；如选择③，利用正弦定理，将边化角，利用诱导公式，和二倍角公式，即可求角；（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求三角形周长的取值范围. 【详解】（1）选择条件①：由及正弦定理，得：， 2sin sin 1sin sin A B c B A ab++=21a b c b a ab ++=即，由余弦定理，得， 222a b c ab +-=-2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-因为，所以； 0πC <<2π3C =选择条件②：由及正弦定理，(2)cos cos 0a b C c A ++=得：，(sin 2sin )cos sin cos 0A B C C A ++=即.sin cos cos sin 2sin cos A C A C B C +=-即.sin()2sin cos A C B C +=-在中，，所以，ABC A πA B C ++=sin()sin(π)sin A C B B +=-=即，因为，所以，所以， sin 2cos sin B C B =-0πB <<sin 0B ≠1cos 2C =-因为，所以； 0πC <<2π3C =选择条件③及正弦定理， sinsin 2A B c A +=， sin sin sin 2A B A C A +=因为，. 0πA <<sin 0A ≠sin 2A B C +=在中，，则， ABC A πA B C ++=sin cos 22A B C +=. 2sin cos 222C C C =因为，所以，则， 0πC <<cos02C ≠sin 2C =故； 2π3C =（2）在中应用余弦定理得：，ABC A 2222cos c a b ab C =+-所以，因为，2216a b ab =++()2222a b a b ab +=+-所以. 因为， ()216a b ab +=+2()4a b ab +≤所以，解得：， ()()22164a b a b ++≤+()2192a b +≤又因为，a b c +>所以，当且仅当时取等号.84a b c <++≤a b =所以周长的取值范围是：(4⎤+⎦19．已知指数函数过点，函数. ()()01x f x a a a =>≠,()1,2()()()11f xg x x f x -=⋅+(1)求，的值；()1g ()1g -(2)判断函数在上的奇偶性，并给出证明；()g x R (3)已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并()g x [)0,+∞()y g x =x ∈R 解不等式. ()1213g x +>【答案】(1)； ()()1113g g -==(2)为偶函数，证明见解析；()g x (3)增区间为，减区间为；不等式解集为.()g x ()0,+∞(),0-∞()(),10,-∞-⋃+∞【分析】（1）由指数函数过点求参数a ，即可得的解析式，进而求，的值； ()g x ()1g ()1g -（2）利用奇偶性定义判断的奇偶性；()g x （3）由题设及（1）（2）结论即可判断的单调性，再根据单调性、奇偶性求不等式的解()y g x =集.【详解】（1）由题设，，则， ()12f a ==()2121x x g x x -=⋅+所以，. ()1121111213g ----=-⨯=+()21111213g -=⨯=+（2），，定义域关于原点对称. ()2121x x g x x -=⋅+x ∈R 又， ()()()()21122121x xx x g x x x g x -----=-=-=++故为偶函数；()g x （3）由且，在上单调，()00g =()()01g g <()g x [)0,+∞所以为单调增区间，()0,+∞()g x 而为偶函数，则单调减区间为()g x ()g x (),0-∞由可得：，即，解得. ()1213g x +>()()211g x g +>211x +>()(),10,x ∈-∞-⋃+∞20．设平面向量，，函数． 21,cos 2a x x ⎫=-⎪⎭ (cos ,1)b x =- ()f x a b =⋅ (1)求的单调增区间；()f x (2)当时，求函数的值域； π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x (3)若锐角满足，求的值． α124f α⎛⎫= ⎪⎝⎭2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2) 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3) 78-【分析】（1）化简得到，取，解得答案. ()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π262k x k -≤-≤+（2），则，得到值域. π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦（3）代入数据得到，化简得到，计算得到π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππcos 22sin 136αα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案.【详解】（1） ()211cos 21cos cos 2222x x x x f x a b x +=-+=-=⋅+， 1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭取，，解得，， πππ2π22π262k x k -≤-≤+Z k ∈ππππ63k x k -≤≤+Z k ∈故的单调增区间为， ()f x πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2），则，故 π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦()1,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（3）， π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22ππππ7cos 2cos 2πcos 22sin 136668αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．在梯形中，分别为线段，上的ABCD ,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ BC CD 动点.(1)求；BC AB ⋅ (2)若，求； 14BP BC = AP (3)若，求的最小值； 1,6BP BC DQ DC μμ== AP BQ ⋅ 【答案】(1)2-(3) 43-【分析】（1）根据题意得，所以，求解计算即可； 60ABC ∠=cos BC AB BC AB BC AB =⨯⨯⋅⋅ （2）根据题意得，所以； 14AP AB BC =+ P A = （3）根据题意得，且，再分析单调性求解即可. 125536AP BQ μμ=⋅+- 116μ≤≤【详解】（1）因为，所以，,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥60ABC ∠= 所以， ,180120BC AB ABC =-∠= 所以. cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ （2）由（1）知，，因为，所以， 2BC AB ⋅=- 14BP BC = 14AP AB BP AB BC =+=+ 所以， ()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭. （3）因为，， BP BC μ= 16DQ DC μ= 则 ()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 2611666AB BC AB CD BC CB CD μμμμ--=⋅+⋅++⋅ ， 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭因为，解得，设，，根据对勾函数的单调性可011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩116μ≤≤()125536f μμμ=+-116μ≤≤知，在单调递增， ()f μ1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最小值：. 16μ=()f μ5254266316f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭22．设函数.2()2(,)f x ax x b a b R =-+∈（1）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；0b =()2f x x ≤[0,2]x ∈a （2）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.a ()f x [0,2]b 【答案】（1）；（2）见解析[]0,2【分析】（1）当时，不等式恒成立，当，由条件可得在，上恒成立，0x =02x <…22x a --……(02]进一步得到，求出的范围即可；（2）函数在，上存在零点，即方程222a a -⎧⎨--⎩……a ()f x [02]在，上有解，设，然后分和两种情况求出的范||2x a xb -=-[02]22,(),x ax x a h x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩0a …0a >b 围．【详解】（1）当时，若不等式在，上恒成立；0b =||2x a x x -…[0x ∈2]当时，不等式恒成立，则；0x =a R ∈当，则在，上恒成立，02x <…||2a x -…(02]即在，上恒成立，22x a --……(02]因为在，上单调增，，，y x a =-(02]2max y a =-min y a >-则，解得，； 222a a -⎧⎨--⎩……02a ……则实数的取值范围为，；a [02]（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解；()f x [02]||2x a x b -=-[02]设 22,(),x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩当时，则，，，且在，上单调递增，0a …2()h x x ax =-[0x ∈2]()h x [02]所以，（2），()(0)0min h x h ==()max h x h =42a =-则当时，原方程有解，则；0242b a --……20a b -……当时，， 0a >22,(),x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩则在，上单调增，在上单调减，在，上单调增；()h x [0]2a [,]2a a [a )∞+①当，即时，（2），， 22a …4a …()max h x h =24a =-()(0)0min h x h ==则当时，原方程有解，则；0224b a --......20a b -......②当，即时，，， 22a a <...24a < (2)()()24max a a h x h ==()(0)0min h x h ==则当时，原方程有解，则； 2024a b - (208)a b -……③当时，，， 02a <<2(){(),(2)}{,42}24max a a h x max h h max a ==-()(0)0min h x h ==当，即时，， 2424a a -…42a -+<2()4max a h x =则当时，原方程有解，则； 2024a b - (208)a b -……当，即时，， 2424a a <-04a <<-+()42max h x a =-则当时，原方程有解，则；0242b a --……20a b -……综上，当的取值范围为，；4a <-+b [2a -0]当时，实数的取值范围为； 44a -+<b 2[,0]8a -当时，实数的取值范围为，．4a …b [2a -0]【点睛】本题考查了函数恒成立问题和函数零点的判定定理，考查了函数最值的求法，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．。

2024届浙江省杭州学军中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析

2024届浙江省杭州学军中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析

2024届浙江省杭州学军中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．52．已知()3,0A ,()1,1B ,()2,3C 三点,则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形3．右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．182B ．16C ．1112D ．2234．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥5．若a b 、都是正数，则411b aa b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ). A ．5B ．7C ．9D ．136．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c c a b> C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则a c b c ->-7．某人射击一次，设事件A ：“击中环数小于4”；事件B ：“击中环数大于4”；事件C ：“击中环数不小于4”；事件D ：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是 A ．A 和B 为对立事件 B ．B 和C 为互斥事件 C ．C 与D 是对立事件D ．B 与D 为互斥事件8．在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ） A ．16nmB ．12nmC ．8n mD ．6n m9．已知向量()2,1a =，()1,1b =-，则a b ⋅=（ ） A ．-1B ．-2C ．1D ．010．设公差不为零的等差数列的前项和为.若，，则A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

杭州学军中学2010-2011学年下学期期中考试高一年级实验班物理试卷

杭州学军中学2010-2011学年下学期期中考试高一年级实验班物理试卷

杭州学军中学2010/2011学年下学期期中考试高一年级实验班物理试卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确．全部选对的得5分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分）1、如图所示为杭州乐园的“摩天轮”，它的直径达50米。

游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动。

关于乘客在乘坐过程中的分析，下列说法中正确的是A、每个乘客都在做加速度为零的匀速运动B、每个乘客所受的合外力都不等于零C、每个乘客对座位的压力大小保持不变D、乘客到达摩天轮的最高点时处于“失重”状态。

[来源:Z。

xx。

]2、一物体静止在升降机的地板上,在升降机加速上升的过程中,地板对物体的支持力所做的功等于A、物体势能的增加量B、物体动能的增加量C、物体动能的增加量加上物体势能的增加量D、物体动能的增加量加上克服重力所做的功3、质量为m的小球被系在轻绳一端,在竖直平面内做半径为R的圆周运动,运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点,此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动,经过半个圆周恰能通过最高点.则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为A、mgR/4B、mgR/3C、mgR/2D、mgR4、假设列车从静止开始做匀加速运动，经过500 m的路程后，速度达到360 km/h。

整个列车的质量为1.00×105 kg，如果不计阻力，在匀加速阶段，牵引力的最大功率是A、4.67×106 kWB、1.0×105 kWC、1.0×108 kWD、4.67×109 Kw5、一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示.开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则（）A、A球的最大速度为2B、A球速度最大时，两小球的总重力势能最小C、A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°D、A、B两球的最大速度之比v A∶v B=2∶16、我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。

浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期期中考试数学(实验班)试题(答案)

浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期期中考试数学(实验班)试题(答案)

2027届实验班高一（上）期中考试数学试题学号姓名____________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（ B ）A. B. C. D.解析：，，则，故选B。

2.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：，所以，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D。

3.已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的（ B）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由ln a>ln b⇒a>b>0⇒a>b，故必要性成立。

当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立。

4.函数的图象大致为（ D ）A．B．C．D．5.已知，则（ C ）A. B. C. D.解析：由已知可得，解得，，，，故选：D。

6.已知，，，则的最小值为（ A）A. B. C.2 D. 42{|20}A x x x=--≤{|B x y==A B=[1,2][1,)-+∞[1,1]-[1,)+∞[1,2]A=-[1,)B=+∞A B=[1,)-+∞z2023(1)2z i+=i z202322111z ii i===++-1z i=-z2||()24xxf x=-5,(0,),cos(),tan tan426παβαβαβ∈-=⋅=αβ+=6π4π23π3π5cos cos sin sin6sin sin4cos cosαβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩1cos cos62sin sin3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，1cos()cos cos sin sin2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-,(0,2παβ∈(0,)αβπ∴+∈23παβ∴+=||2a=||6b=()2a b a⋅-=||a bλ-3327.集合，且，函数 （且），则（ D ）A.为增函数B.为减函数C.为奇函数D.为偶函数解析：当时，，时，在上不是增函数，时，在上不是增函数，故A 不正确；当时，，时，在上是增函数，当时，，时，在上为增函数，则B 不正确；当时，，，为偶函数，则C 不正确；当时，，，为偶函数，故D 正确；故选：D 。

浙江省学军中学11—12上学期高一数学期中考试试卷

浙江省学军中学11—12上学期高一数学期中考试试卷

杭州学军中学2011学年第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题(本题10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合M ＝{R ∈-+=x x x y y ,322}，集合N ＝{32≤-y y }，则M =⋂N ( ) A ．{4-≥y y }B ．{51≤≤-y y }C ．{14-≤≤-y y }D ．φ2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是( ) A ．2()lg ,()2lg f x x g x x == B ．2()11,()1f x x x g x x =+⋅-=-C ．0(),()1f x x g x == D ．1()2,()2txf xg t -⎛⎫== ⎪⎝⎭3．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( ) A ．(,2)1B ．(2,3)C ．1(1,)e和(3,4) D ．(),e +∞4．已知132lg lg lg y x x =-，则满足此式的点(),M x y 的全体构成的图象是( )A B C D5．已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x 的解析式是( )A ．()(2)f x x x =-+B ．()(2)f x x x =-C ．()(2)f x x x =--D ．()(2)f x x x =+6．函数x x x f --=3)(，R ∈c b a ,,且0,0,0>+>+>+a c c b b a ，则)()()(c f b f a f ++的值( ) A ．一定大于零B ．一定小于零C ．等于零D ．正负都有可能7．函数()()26f x x x =--在(],a -∞上取得最小值4-，则实数a 的集合是( ) A ．(],4-∞B ．422,4⎡⎤-⎣⎦C ．4,422⎡⎤+⎣⎦D ．[)4,+∞8．已知函数()(01)x f x a a a =>≠且在区间[－2，2]上的值不大于2，则函数2()log g a a =的值域是( )A ．11[,0)(0,]22-⋃B ．11(,)(0,]22-∞-⋃ C ．11[,]22-D ．11[,0)[,)22-⋃+∞9．设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞上是增函数，则()1f a +与()2f b +的 大小关系是( ) A ．()()12f a f b +=+ B ．()()12f a f b +>+ C ．()()12f a f b +<+ D ．不能确定10．设函数)(1)(R ∈+-=x x x x f ，区间M ＝[a ，b ])b a (<，集合N ＝{M x x f y y ∈=),( }，则使M ＝N 成立的实数对(a ， b )有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11．函数)(x f y =的定义域是)4,1(，则函数2(log )y f x =的定义域是________．12．已知)3(log ax y a -=在[0，2]上是减函数，则a 的取值范围是__________．13．已知⎩⎨⎧<+≥=4)()1()4(2)(x x f x x f x ，则)3(log 2f ＝________．14．若关于x 的方程210x ax -+=在1(,3)2x ∈上有实数根，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数53()531f x x x x =--+11([,])22x ∈-的最大值M ，最小值为m ，则M ＋m ＝____． 16．下列几个命题①方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <． ②函数2211y x x =-+-是偶函数，但不是奇函数；③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-；④设函数()y f x =定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称；⑤一条曲线2|3|y x =-和直线 ()y a a =∈R 的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1．其中正确的有__________________三、解答题(本大题共5题，共8＋8＋10＋10＋10＝46分) 17．(1)解不等式：)3(log )1(log 3443->+x x(2)求值：4160.2503432162322428200549-⨯+-⋅-⨯--（）（）（）（）18．设集合{}(){}222|40,|2110A x x x B x x a x a =+==+++-=(1)若A B B =，求a 的值； (2)若A B B =，求a 的值．19．已知函数33()(log )(log 3)27xf x x = (1)若11[,]279x ∈，求函数()f x 最大值和最小值； (2)若方程()0f x m +=有两根,αβ，试求αβ⋅的值．20．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足2(log )1x a f x x -+=+．(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断并证明()f x 在定义域R 上的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；21．已知函数22()32(1)5f x x k k x =--++，2()2g x k x k =+，其中k ∈R ．(1) 设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在(0，3)上有零点，求k 的取值范围；(2)设函数(),0,()(),0.g x x q x f x x ≥⎧=⎨<⎩是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数2x (21x x ≠)，使得21()()q x q x =？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．杭州学军中学2011学年第一学期期中考试高一数学答卷二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11．_____________ 12．_____________ 13．_____________ 14．_____________ 15．_____________ 16．_____________三、解答题(本大题共5题，共8＋8＋10＋10＋10＝46分)17．18．19．20．21．。

浙江省杭州高级中学高一数学下学期期中试题

浙江省杭州高级中学高一数学下学期期中试题

杭高2021学年第二学期期中考试高一数学试卷注意事项：1．本试卷考试时刻为90分钟，总分值为100分。

2．本试卷考试进程中不得利用计算器，答案一概做在答卷页上.一．选择题(本大题共10小题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的).1．在ABC ∆中，假设60,45,32A B BC ︒︒∠=∠==，那么AC =A ．3B ．3C 3D 32．ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边别离为c b a ,,，已知sin 1B =，向量p ()a b =，，q (12)=，，假设q p //，那么角A 的大小为A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π3．设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,那么||a b += A 5B 10C ．25D ．104．ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，()0BA BC AC +⋅=，那么ABC ∆必然是 A ．直角三角形B ．等边三角形C ．非等边锐角三角形D ．钝角三角形5．已知数列}{n a 为等比数列,274=+a a ,865-=⋅a a ,那么101a a +的值为A ．7B ．5-C ．5D ．7-6．已知1sin 23α=，那么2cos ()4πα-= A ．13 B ．13- C ．23 D ．23-7．已知正项数列{a n }知足a 1＝1，(n ＋2)a n ＋12－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，那么它的通项公式为A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12D ．a n ＝n8．如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一路， 若→→→+=AC k AB AD λ，那么=+k λA ．21+B ．22-C ．2D ．22+9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且知足0,01817<>S S ,那么17172211,,,a S a S a S 中最大的项为 A ．66a S B ．77a S C ．88a S D ．99a S 10．对任意两个非零的平面向量,αβ，概念αβαβββ⋅=⋅．假设平面向量,a b 知足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，那么b a =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52二．填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分，请将答案填在题中的横线上） 11． 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于_____________.12．在等差数列{a n }中，a 1＝－7,74a =-，那么数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为_______.13．公比q 不为1的等比数列{}n a 知足*212()n n n a a a n +++=∈N ，那么q =_______.14．已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,那么BD AE ⋅=_______.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列,那么{}n a 的通项公式n a =_______.16．圆O 的半径为2,ABC ∆是其内接三角形, 3BC =,那么22AC AB -的最大值为_______.17．设等比数列的公比为q ,其前n 项的积为n T ,而且知足条件11a >,9910010a a ->.99100101a a -<-,给出以下结论：① 01q <<； ② 9910110a a -<； ③100T 的值是n T 中最大的；④ 使1n T >成立的最大自然数等于198. 其中正确的结论是_______.三．解答题（本大题共4小题，共42分，要写出详细的解答进程或证明进程）18．（本小题总分值8分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边别离为,,a b c ，且知足sin cos c A a C = （1）求角C 的大小；（2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角A 的大小．19．（本小题总分值10分）设{}n a 是各项都为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，3513a b +=，5321a b +=.（1）求数列}{n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数{}n n a b 列前n 项和n T .20．（本小题总分值10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边别离为,,,a b c 向量()()()B A B A m --=→sin ,cos ，()B B n sin ,cos -=→,且53-=⋅→→n m ．（1）求sin A 的值；（2）假设a =5b =,求角B 的大小及向量BA −−→在BC −−→方向上的投影． 21．（本小题总分值14分）已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程220()n n x x b n N *-+=∈的两根，且11a =．（1）求证：数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求nS ；（3）问是不是存在常数λ，使得0n n b S λ->对任意n N *∈都成立，假设存在，求出λ的取值范围; 假设不存在，请说明理由．杭高2021学年第二学期期中考试高一数学答卷页 一．选择题（本大题共10小题，每题3 分，共30分）11． 12． 13．14． 15． 16． 17.______ 姓名____________ 学号_________………………………………………。

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3
5
11
25
∴恰有 4 个正整数 n 使不等式 2an p an
bn 1
p8
成立的正整数 p 值为 3．
bn
20．解：（ 1）令 x1 x2 0, 得
f (0) f (xo ) 2 f (0)
f ( xo ) f (0) ①
令 x1 1, x2 0,得 f (xo ) f ( xo ) f (1) f ( 0) 由①②得 f ( xo ) f (1), 又因为 f ( x)是单调函数
2
2
(A) 奇函数
(B) 偶函数
(C) 非奇非偶函数
(D) 既奇又偶函数
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11、已知 cos x
2，x
，3 ．则 sin x =______ __ .
4 10
24
12. 若 x 表示不超过 x 的最大整数（如 1.3
1,
1 2
4
3 等等）则
（ 1）求通项 a n , bn ；
（ 2）求数列 { an bn } 的前 n 项和 Sn ；
（ 3）若恰有 4 个正整数 n 使不等式 2an p an
bn 1
p8 成立，求正整数 p 的值．
bn
20．已知定义域在 R 上的单调函数 y f ( x) ，存在实数 x0 ，使得对于任意的实数 x1, x2 ，
（写出正确的序号）
(0, ) 4
三、解答题：本大题共 4 小题，共 46 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 如图，四边形 ABCD 中， E,F 分别为 AC 、 BD 的中点，设向量
r
r
r
a (4cos ,sin ), b (sin , 4cos ), c (cos , 4sin ) ，且
16、对于一个函数 f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长
a, b, c 都在 f x 的定
义域内，就有 f a , f b , f c 也是某个三角形的三边长，则称 f x 为“保三角形
函数”．则下列函数：
① f ( x) x ② f ( x) x 2③ f (x)
是“保三角形函数”的是
sin x, x (0, ) ④ f ( x) cos x, x 4
杭州学军中学 2010/2011 学年下学期期中考试
高一年级实验班数学试卷
一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分
1.下列命题中不正．确．．的是（
）.
A ．存在这样的 和 的值，使得 cos(
) cos cos
sin sin
B ．不存在无穷多个 和 的值，使得 cos(
) cos cos sin sin
8 2n 1
1 2n 5
设 cn
2n 1 ，由 cn 1
2n 5
cn
2 2n 5∴当 n 4 时， cn 单调递增，即
8(2n 5) 2n 1 2n 5
单调递减
而当 n
3 时， p
2 2 ；当 n
4 时， p
4 4 ；当 n
5 时， p
7 3 ；当 n
6 时， p
6 2；
51 1 x ( , ) ( ,1)
33
故
93 3
3．如图，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于
点 P( x, y) ，我们把 1 叫做 的正割，记作 sec ；把 1
x
y
叫做
的余割，记作
csc
.
则
2 sec
2 csc =
3
3
A. 3
B. 3
3 C.
3
3 D.
3
4.已知等比数列 { an }中， a1 0, a3 a7 16, 则 a5 ( ) A. 4 B.4 C. 4 D .不能确定
f (1) f (0)
②
xo 1
（ 2）由（ 1）可得 f ( x1 x2 ) f (1) f ( x1 ) f ( x2 ) f (x1 ) f ( x2 ) 1
则 f (n 1) f (n) f (1) 1 f (n) 2
f (1) 1
又
f (n) 2n 1(n N )
an
1
2n 1
11
1
1
f (1) f ( ) f ( ) f ( ) f (1)
rr r r
r rr
rr
14、已知非零向量
a, b ，| a |
2 | b | , 若关于
x 的方程
2
x
ax a b
0 有实根 , 则 a 与 b 的
夹角的最小值为
15、已知等差数列 an 满足 a2 3, a5 9 ，若数列 bn 满足 b1 3, bn 1 abn ，则 bn 的
通项公式为 __ __
总有 f ( x0x1 x0 x2 ) f ( x0 ) f ( x1) f ( x2) 恒成立．
（1）求 x0 的值；
（ 2 ） 若 f (x0) 1 ， 且 对 任 意 正 整 数 n ， 有 an
1 f (n) ， bn
1 f ( 2n ) 1 ， 记
Tn b1b2 b2b3 L bnbn 1 ，求 an 与 Tn ；
22
2
2
1
1
f( ) 2
0, b1
f( ) 2
1
11
1
1
Q f ( 2n ) f ( 2n 1 2n 1 ) 2 f ( 2n 1 ) f (1) 2 f ( 2n 1) 1
11
1
1
2bn 1 2 f ( 2n 1 2n 1 ) 2 f ( 2n 1 ) 2 f ( 2n ) 1 bn
bn
b1
( 1)n 1 2
C．对于任意的 和 ，都有 cos(
) cos cos sin sin
D ．不存在这样的 和 值，使得 cos(
) cos cos
2．下列函数的图象与右图中曲线一致的是
A ． y | sin x |
1 B． y | sin x |
2 C． y | sin 2x |
1 D． y | sin 2x |
2
∴ a1
1 3, d 2, b1 , q 2 ，∴ an a1
4
（ 2）∵ an bn 2n 5 2n 3
n 1 d 2n 5,bn b1 qn 1 2n 3
∴ Sn
3 22
1 2 1 1 20 L
2n 5 2n 3
2Sn
3 21
1 20 L
2n 7 2n 3 2n 5 2n 2 ，两式相减得
Sn
3 2 2 2 2 1 2 20 L 2 2n 3 2n 5 2n 2
比为（
）
A. 2
B. 3 2
C. 3
D. 5
3
9.等比数列 { a n}中 a13 1, 且 a12 a13 ,则满足 (a1
1 ) (a2
1 ) (a3
1 )
a1
a2
a3
(an
1 )
0的最大整数 n
(
)
an
A.13 B.24 C.25 D.26
10. 当－ ≤ x ≤ 时，函数 f ( x) 满足 2 f ( sin x) 3 f (sin x) sin 2x ，则 f ( x) 是
D． -2+ 3
7．无穷多个正整数组成（公差不为零的）等差数列，则此数列中（
）
（ A ）必有一项为完全平方数
（ B）必有两项为完全平方项
（ C）不能有三项为完全平方项
（ D）若有平方项，则有无穷多项为完全平方项
uuur uuur uuur r 8. 设 O 点在 ABC 内部， 且有 OA 2OB 3OC 0 ，则 ABC 的面积与 AOC 的面积的
(2) AB CD
2
2
（ 3） 1 k 2
tan A tan B 18．解：（ 1）依题意：
1 tan A tan B
3 ，即 tan(A B)
3 ，……………… 3 分
又0 A B ，
∴
AB
2
，∴
C
3
A B ，……………………………… 6 分 3
（2）由三角形是锐角三角形可得
A
2 ，即
A
。…………………… 8 分
)≤1
2
6
20
即
2
a
b 2≤8 …………………………
16 分
3
19．解：（ 1）∵ 1， 2， 3， 4，5 这 5 个数中成公差大于 1 的等差数列的三个数只能是 5；成公比大于 1 的等比数列的三个数只能是 1，2， 4
1， 3，
而 a3 , a4, a5 U b3, b4 ,b5
1,2,3,4,5 ，∴ a3 1,a4 3, a5 5, b3 1,b4 2, b5 4
12． 14． 16．
18. 19.
20
杭州学军中学 2010/2011 学年下学期期中考试
一．选择题 BBABD ADCBA 二．填空题
4
11．
5
高一年级实验班数学答案
12．
2010
13．
A ,B
3
6
14．
3
15．
bn 2 n 1
16．
1,3,4
三．解答题 17． (1) 2
1 uuur 1 uuur
32
2
33
16 8 [cos2 A cos(4
16 8
1
3
2A)]
[cos 2A ( )cos 2A ( )sin 2A]
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