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张量定义

§1 张量的定义

张量：

在三维笛卡儿（ Descartes ）坐标系中，一个含有三个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。

例如，对于位移分量 u ，v ，w 可以表示为 u 1

, u 2

, u 3

，缩写记为 u i

， i=1, 2, 3。

对于坐标 x, y, z 可以表示为 x i 。

对于一个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。

例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅有六个）可以分

别表示为

ij 和 ij ，其中 11

, 22

分别表示 x , xy （就是 xy )；11

, 22

分别表示 x ,

xy ( ）等。

同样，一个含有 27 个独立变量的集合可以用三个下标表示；而含有

81 个

独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。

为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。在坐标系

Ox 1

x 2

x 3

中。矢 量 OP 的三个分量 1， 2 ，3 可以缩写作i ，同一矢量 OP 在新坐标系 Ox' 1x' 2x' 3

中，写作

' ，

' ，

' 3

，缩写为 ' i 。

1

2

设坐标系 Ox 1

x 2

x 3

与 Ox' 1

x' 2

x' 3

的夹角方向余弦如下表所示

方向余弦 n i'j 的第一下标对应于新坐标轴， 而第二下标对应于原坐标轴。 则矢量在新老坐标系中的关系为

或者

上式可以缩写为

或者。

考察矢量A(a1, a2 , a3)和 OP( 1 ,2,3)，作它们的标量积，则

显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则

反之，如' 为已知矢量，而 a i为与坐标有关的三个标量，使一次形式在坐标变换时保持不变。根据矢量定义，则a i也是矢量。

推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。设 ( 1, 2, 3)和( 1, 2, 3)是矢量， a ij是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式

保持不变，则称由两个下标 i ，j 确定的九个量的集合 a ij为二阶张量。 a ij中的每一个分量被称作张量（对于指定的坐标系）的分量。

根据上述定义，可以推导出坐标变换时张量分量的变换规律。由题设条件，当坐标变换时，有

代入坐标变换关系，则

注意到

回代可得

上式给出了二阶张量的变换关系。以此可以作为判别一个具有两个下标的

九个量 a ij是否为张量。应力分量ij和应变分量ij都是满足这一变换规律的，因此，它们分别组成了二阶张量。

同理可定义三阶乃至n 阶张量。例如，对于三阶张量，可以这样定义 , 设( 1，2，3)，( 1， 2， 3)和( 1， 2， 3)是矢量，a ijk 是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，三一次形式

在坐标变换中保持不变，则称由三个下标 i，j，k 确定的 27 个量的集合 a ijk为三阶张量。

三阶张量的变换规律为

或

者

由此，通过矢量，也就是一阶张量，作出了张量的解析定义。满足上述张

量关系式的物理量集合为张量。

§2 求和定约

由于张量是由许多分量所组成的有序整体，所以就有必要引入某些必不可

少的约定，以简化其表达和运算形式。在张量表达式中，有大量的求和符号，均表示分别对i，j ，k 由 1 到 3 求和，例如

在求和符号内，求和元素下标均出现两次。因此，对求和公式的写法进行

简化。

求和约定：凡是张量表达式中，同一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到 3 求和（平面问题从 1 到 2 求和）。

这种出现两次，而求和之后不再出现的下标，称为哑标。

根据求和约定，张量表达式中的求和符号可以省略，缩写为

。上式中的 k 和 i 均为哑标。显然，哑标是可以互换的。

求和定约同样可以用于二阶，三阶或更高阶的张量求和。例如

一个张量表达式中如果出现非重复的下标或者表达式中的某一项出现非重

复的下标号，称为自由标。

一个自由标表示三个张量分量或表达式。例如下标 i 为 u i的自由标，表示张量

的三个分量。而 x i=c ij y j

中， j 为哑标，表示需要从 1 到 3 求和，而 i 为自由标，表示

上式说明自由标的个数表示了张量表达式所代表的方程数。

§3 偏导数的下标记法

在弹性力学在，经常可见到诸如位移分量，应力分量和应变分量等张量对

坐标 x i的偏导数，为表达张量的偏导数的集合体，引入逗号约定。

逗号约定 : 为了缩写含有对一组直角坐标 x i取偏导数的表达式，我们规定当逗号

后面紧跟一个下标 i 时，表示某物理量对 x i求偏导数。即

利用偏导数的下标记法，弹性力学中常用的偏导数均可缩写表示。如

可以证明，上述每一个偏导数所组成的集合都是张量。例如，对于九个量的集合 u i , j，如果作坐标变换，则由公式可得

由于坐标变换时，新旧坐标之间的关系为

。即，回代可得

由此可证， u i , j服从二阶张量的变换规律。因此，它是二阶张量。同理可证

其他的张量的偏导数集合也是张量。

§4 特殊的张量符号

克罗内克尔记号：张量分析时经常需要某种代换运算，因此引入克罗内克尔（ Kronecker Delta ）记号ij。其定义为，

显然，克罗内克尔记号表示单位矩阵的各个元素。

克罗内克尔记号满足张量变换关系，也是二阶张量，它有以下运算规律。

置换符号：

在张量分析中，除了克罗内克尔记号 ij 之外，还有一个替代符号，称为置换符号 e ijk它定义为

所谓 1， 2，3 的偶排列，是指对有序数组 1，2，3 逐次对换两个相邻的数字而得到的排列，反之为奇排列，因此

二阶对称张量反对称张量：