天津大学弹塑性力学第三章1

3.2 屈服条件
优点：(1)主应力大小顺序已知 时，表达式简单； (2)与实验结果较接近。 缺点：(1)主应力大小顺序未知 时，表达式复杂； (2)屈服曲面在棱边处不 光滑； (3)没有考虑中间主应力 对屈服的影响。
3.2 屈服条件
7.Mises屈服条件 1919年，Mises提出采用一个圆连接六个顶点。
3.2 屈服条件
平面：过原点以等倾线 为法线的平面
1 1 1 OL： ， ， 3 3 3 平面方程 : 1 2 3 0 1 m 1 2 3 0 3 ij Sij
平面上的每一点代表应 力偏张量
3.2 屈服条件
3.2 屈服条件
6.Tresca屈服条件
max k
若 1 2 3 2 单向拉伸： 1 s , 2 3 0 k
max
1 - 3
s s
2 (1) (2)
max
2 1 - 3 s
3.2 屈服条件
主应力大小顺序未知时 ：
( 4)


(5)
3 2 2 4J 2 27J 32 9 J 2 s 6 s4 J 2 s6 0
( 6)
3.2 屈服条件
屈服轨迹是内正六边形，屈服 曲面是正六角柱面。
2 边长： s 3
A、C、E：代表单向拉伸应力 状态； B、D、F：代表单向压缩应力 状态。 各边中点代表纯剪切应力状态 。
卸载： E （弹性本构） （3）从D点卸载后重新加载 D点前： E （弹性本构）
D：后继屈服应力 D s：强化现象(强化材料） D s：（理想弹塑性材料）
Tianjin University
3.1 概述
问题： （1）判断某点处于弹性还是塑 性状态：屈服条件 （2）若已处于塑性状态，判断 是否是加载状态：加载条件 （3）本构关系：弹性本构、塑 性本构 只是塑性状态的加载过程，使用 塑性本构关系
max - min s 1 - 3 s 2 - 3 s 1 - 2 s
(3)

2 2 2 0 1 2 1 3 2 3 s s s 2 2 2

3 -1 s 3 - 2 s 2 -1 s
工程弹塑性力学
毕继红
第三章 本构关系
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 概述 屈服条件 加载条件 强化条件 弹性本构方程 增量理论 全量理论 增量理论与全量理论的关系
Tianjin University
3.1概述
现象：
(1) s (2) s 弹性阶段 塑性阶段 d p （塑性本构） 0 加载、卸载： E （弹性本构） 加载：塑性变形产生
3.2 屈服条件
4.屈服曲面
屈服曲面：弹性区与塑性 区的交界面。
方程： f ,
1 2 , 3

c
弹性区：所有应力分量绝 对值较小，位于原点附近；
塑性区：应力分量绝对值 较大，位于离原点较远处。
3.2 屈服条件
屈服曲面方程： f 1 , 2 , 3 c PR线上所有点， Sij相同， 若P在屈服曲面 上， 则PR上所有点均在 上。
3 i 3J 2 J2
s2
(1)
i s
(2)
1 2 2 2 J 2 1 2 1 3 2 3 6 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 s2 （3） 纯剪切： 1 s , 2 0, 3 s (4)
3.3 加载准则
（1）强化材料
df 0 加载 塑性本构 df 0 卸载 弹性本构 df 0 中性变载 弹性本构 Mises屈服条件 f J 2 ( i ) dJ2 ( i ) 0 加载 塑性本构 dJ2 ( i ) 0 卸载 弹性本构 dJ ( ) 0 中性变载 弹性本构 2 i
3.1 概述
问题： （4）强化条件：
D （强化材料） S
单向应力状态： （ 1)屈服条件： S ; (2)加载条件： 0; (3)本构关系：实验； (4)强化条件：实验。
D与 s的关系
3.2 屈服条件
1.一般形式
f1 x , y , z , xy , xz , yz c1 屈服函数 f 2 1 , 2 , 3 c2 对于各向同性材料， f 2是三个主应力的对称形 式 f 3 I1，I 2，I 3 c3 f 4 J 2，J 3 c4 材料常数
3.3 加载准则
（2）理想塑性材料
df 0 卸载 弹性本构 df 0 加载 塑性本构 Mises屈服条件 f J 2 ( i ) dJ2 ( i )0 dJ ( ) 0 2 i 卸载 弹性本构 加载 塑性本构
3.3 加载准则
(3)
3.2 屈服条件
屈服轨迹：圆的外切六边形 实用价值：一些实验结果更
接近于最大应力偏
量屈服条件。
理论意义：是可能的屈服曲 面的外界。
可能的屈服轨迹的性质 ： （ 1 ）过A、B、C、D、E、F ; （2）对称性； （3）凸性
3.2 屈服条件
西安交通大学俞茂宏： 双剪应力屈服条件： 1 - 3 1 - 2 1 13 12 1 - 1 3 2 2 2 3 S1 2 13 : 1与 3间的主剪应力，
1 (3)材料不可压缩 2
谢谢！
3.2 屈服条件
2.应力空间
六维应力空间中
f1 x , y , z , xy , xz , yz c1 超曲面
三维（主应力）空间中
f 2 1, 2 , 3 c2 屈服曲面
主应力空间简称为应力空间
3.2 屈服条件
3.等倾线与平面 等倾线OL： 应力空间中过原点与 1、 2、 3轴 成相同倾斜角的直线 1 1 1 OL的方向余弦： ， ， 3 3 3 方程 : 1 2 3 直线上的每一点代表均 匀应力状态
屈服条件 屈服曲面 f 1 , 2 , 3 c, 强化条件 加载曲面
,
1
2 , 3

0
：加载函数
3.3 加载准则
2.加载准则
在塑性状态下，判断是 否是加载过程 加载：d ijp 0, 卸载：d ijp 0 单向拉伸应力状态： d 0 加载 复杂应力状态：根据 df ij 而定 d 0 卸载
S1 1 m c, 或： S 2 2 m c, (1) 或： S3 3 m c 由单向拉伸实验： 1 s , 2 3 0 3 2 c s 3
m
s
3.2 屈服条件
1 2 1 2 3 3 1 S 2 2 2 1 3 3 1 S3 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 s 2 1 2 3 2 s 2 2 1 3 2 s 2 2 1 3 2 s 2 3 1 2 2 s 2 3 1 2 2 s S1
3.加载方式 简单加载：加载过程中，各应 力分量按比例增长 复杂加载：除简单加载外的加 载方式
简单加载： ij kt
0 ij
加载路径：过原点的一条直线
3.3 加载准则
简单加载定理：满足三个 条件，各点处于简单加 载状态 (1)所有外加荷载（体力 及面力）成比例增加， 如有位移边界，只能是 零位移； (2) i A in


3.2 屈服条件
7.Mises屈服条件
纯剪切时： 1 s , 2 0, 3 s s 0.577 s ( Mises) 3 15%差异 s s 0.5 s (Tresca) 2 屈服曲面：以等倾线为 母线的圆柱面 Tresca与Mises在单向应力状态下是一 致的， 纯剪切时差异最大。
s
3.2 屈服条件
7.Mises屈服条件 Mises屈服条件弥补了Tresca 屈服条件的不足： (1)不论主应力大小顺序是否已 知，表达式简单； (2)屈服曲面是光滑曲面，切线 连续； (3)综合考虑了三个主应力对 屈服的影响。
3.2 屈服条件
8.最大应力偏量屈服条件 当最大应力偏量达到一定值时，此点开始屈服。
3.2 屈服条件
5.屈服轨迹
屈服轨迹：屈服曲面与 平面的交线 B 1， 2， 3 也在屈服轨迹上 , S3轴的垂直线也是一对称 轴。 同理，S1轴、S 2轴的垂直线也是对称轴 。 结论 : 屈服轨迹有六个对称轴 ， 将此线分成 12等份。 设A1 1， 2， 3 在屈服轨迹上，
结论： 是一柱面，母线// 等倾线
3.2 屈服条件
5.屈服轨迹
屈服轨迹：屈服曲面与 平面的交线 设A1 1， 2， 3 在屈服轨迹上， S3是一对称轴， 同理，S1、S 2也是对称轴。 S1、S 2、S3将屈服轨迹分成六等份 则A2 2， 1， 3 也在屈服轨迹上。
12： 1与 2间的主剪应力。
合金铜、工业铝的双向 压缩试验表明， 结果更接近于最大应力 偏量屈服条件。
3.3 加载准则
1.加载曲面（后继屈服曲面） 单向应力状态: 理想弹塑性材料：无强化现象
D s
强化材料：有强化现象
D s
3.3 加载准则
复杂应力状态： 理想塑性材料：只有屈服曲 面，没有加载曲面。 强化材料：有加载曲面
oP oQ oS P 1 , 2 , 3 , Q m , m , m , S S1 , S 2 , S3