理论力学第六章 平衡方程及其应用
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M z M1z M 2 z M 3z (20 30sin 45) N m 41.2 N m
从而求得力偶矩矢M的大小和方向为
2 2 M Mx My M z2 42.7 N m M cos M , i x 0 , M , i 90 M My cosM , j 0.262, M , j 74.8 M Mz cos M , k 0.965 , M , k 15.2 M
例6-1 已知梁AB的支承和受力
如图（a）所示。 求： 支座A、B的约束反力。
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡 解：以梁AB的为研究对象，受力如图（b）
F
x
0 FA cos30 FB cos60 F cos60 0 0 FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
根据受力图中的几何关系，列出平衡方程
F F
z
0
FAD sin 30 P 0
FAD 2P
x
0 FAC FAD cos30 sin 45 0
FAFra Baidu bibliotek 6 P 2
F
y
0 FAB FAD cos30 cos45 0 FAB
6 P 2
第六章
平衡方程及其应用
§6.1 汇交力系的平衡
§6.2 力偶系的平衡
§6.3 一般力系的平衡
§6.4 物体系统的平衡 静定和静不定问题
§6.5 桁架
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡
§6.1 汇交力系的平衡
一、平面汇交力系的平衡方程
FR Fi 0
i 1
n
FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 0
解：根据空间力偶系合成法，先求出力偶
矩矢M。根据三个力偶在空间的作用面不 同，考虑到力偶矩矢是自由矢量，可将力
偶矩矢画在坐标轴上（图 b）。和力偶矩
矢M在三个坐标轴上的投影为
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M1y M 2 y M 3 y (10 30cos45)N m 11.2 N m
F
x
0
F
y
0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零。
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡
二、空间汇交力系的平衡方程
FR Fi 0
F
ix
0
F
iy
0
F
iz
0
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各 力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
A
(F ) 0
M
B
个主动力偶作用，根据力偶只
能由力偶平衡，故DE杆受力 如图（b）所示，由力偶系平
衡方程得
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
M 0
FEC
M FEC DE sin 45 0
40 kN m M 10 2 kN 14.1kN DE sin 45 4m 2 / 2
B、C、D三处均为固定球铰支座。若在A处悬挂重物的重量P为已
知，试求三杆的受力。 解: 以A处的球铰为研究对象。由于AB、 AC、AD三杆都是两端铰接，杆上无其他 外力作用，故都是二力杆。因此，三杆作 用在A处球铰上的力的作用线分别沿着各 杆的轴线方向，假设三者的指向都是背向 A点的。
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡
再以整体为研究对象，将整个物体系统视为刚 体，则系统在一个主动力偶作用保持平衡，同
上可知系统的受力如图（c）所示，由力偶系平
衡方程得
M 0
M FB AB cos30 0
40 kN m M 20 kN 11.5kN AB cos30 4m 3 / 2 3
M 0 。 欲使上式成立，必须同时满足: M 0 M
所有力偶矩矢量和等于零，即
i 1 i
ix
n
iy
0
M
iz
0
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
例6-3 直角弯杆ABCD与直杆DE及EC铰接，如图（a）所示，作用在 杆DE上力偶的力偶矩M=40 kN· m，不计各杆件的重量和摩擦，尺寸 如图。求支座A、B处的约束力和杆EC所受的力。 解：由系统结构图可知，杆 EC为二力杆，杆DE上只有一
要使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 -M。
第六章 平衡方程及其应用
§6-3 一般力系的平衡 一、平面一般力系的平衡方程 1. 平面一般力系平衡方程的基本形式
0 MO 0 FR
F
x
0
F
y
0
M
O
(F ) 0
2. 平面一般力系平衡方程的其他形式
（1）二矩式平衡方程
M
FA FB
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡 例题6-4 图示（a）所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面 各自作用一个力偶。已知力偶（ F1，F1 ）的矩 M 1 20N m ；力偶 （ F2，F2 ）的矩 M 2 20N m ；力偶（ F ，F ）的矩 M 3 20N m 。试 3 3 求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
§6-2 力偶系的平衡 一、平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和 等于零，即 M i 0 . 二、空间力偶系的平衡方程
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系
平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即
F
y
3 1 F , FB F FA 2 2
结果为正，表明假设的FA与FB的指向是正确的.
几何法：可以F、FA与FB为边作封闭的力的三角形如图（c）。
直接求解该直角三角形可得到同样的结果。
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡
例6-2 如图（a）所示结构中，AB、AC、AD三杆由球铰连接于A处；
从而求得力偶矩矢M的大小和方向为
2 2 M Mx My M z2 42.7 N m M cos M , i x 0 , M , i 90 M My cosM , j 0.262, M , j 74.8 M Mz cos M , k 0.965 , M , k 15.2 M
例6-1 已知梁AB的支承和受力
如图（a）所示。 求： 支座A、B的约束反力。
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡 解：以梁AB的为研究对象，受力如图（b）
F
x
0 FA cos30 FB cos60 F cos60 0 0 FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
根据受力图中的几何关系，列出平衡方程
F F
z
0
FAD sin 30 P 0
FAD 2P
x
0 FAC FAD cos30 sin 45 0
FAFra Baidu bibliotek 6 P 2
F
y
0 FAB FAD cos30 cos45 0 FAB
6 P 2
第六章
平衡方程及其应用
§6.1 汇交力系的平衡
§6.2 力偶系的平衡
§6.3 一般力系的平衡
§6.4 物体系统的平衡 静定和静不定问题
§6.5 桁架
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡
§6.1 汇交力系的平衡
一、平面汇交力系的平衡方程
FR Fi 0
i 1
n
FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 0
解：根据空间力偶系合成法，先求出力偶
矩矢M。根据三个力偶在空间的作用面不 同，考虑到力偶矩矢是自由矢量，可将力
偶矩矢画在坐标轴上（图 b）。和力偶矩
矢M在三个坐标轴上的投影为
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
M x M 1x M 2 x M 3 x 0
M y M1y M 2 y M 3 y (10 30cos45)N m 11.2 N m
F
x
0
F
y
0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零。
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡
二、空间汇交力系的平衡方程
FR Fi 0
F
ix
0
F
iy
0
F
iz
0
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各 力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
A
(F ) 0
M
B
个主动力偶作用，根据力偶只
能由力偶平衡，故DE杆受力 如图（b）所示，由力偶系平
衡方程得
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
M 0
FEC
M FEC DE sin 45 0
40 kN m M 10 2 kN 14.1kN DE sin 45 4m 2 / 2
B、C、D三处均为固定球铰支座。若在A处悬挂重物的重量P为已
知，试求三杆的受力。 解: 以A处的球铰为研究对象。由于AB、 AC、AD三杆都是两端铰接，杆上无其他 外力作用，故都是二力杆。因此，三杆作 用在A处球铰上的力的作用线分别沿着各 杆的轴线方向，假设三者的指向都是背向 A点的。
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡
再以整体为研究对象，将整个物体系统视为刚 体，则系统在一个主动力偶作用保持平衡，同
上可知系统的受力如图（c）所示，由力偶系平
衡方程得
M 0
M FB AB cos30 0
40 kN m M 20 kN 11.5kN AB cos30 4m 3 / 2 3
M 0 。 欲使上式成立，必须同时满足: M 0 M
所有力偶矩矢量和等于零，即
i 1 i
ix
n
iy
0
M
iz
0
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
例6-3 直角弯杆ABCD与直杆DE及EC铰接，如图（a）所示，作用在 杆DE上力偶的力偶矩M=40 kN· m，不计各杆件的重量和摩擦，尺寸 如图。求支座A、B处的约束力和杆EC所受的力。 解：由系统结构图可知，杆 EC为二力杆，杆DE上只有一
要使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 -M。
第六章 平衡方程及其应用
§6-3 一般力系的平衡 一、平面一般力系的平衡方程 1. 平面一般力系平衡方程的基本形式
0 MO 0 FR
F
x
0
F
y
0
M
O
(F ) 0
2. 平面一般力系平衡方程的其他形式
（1）二矩式平衡方程
M
FA FB
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡 例题6-4 图示（a）所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面 各自作用一个力偶。已知力偶（ F1，F1 ）的矩 M 1 20N m ；力偶 （ F2，F2 ）的矩 M 2 20N m ；力偶（ F ，F ）的矩 M 3 20N m 。试 3 3 求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。
第六章 平衡方程及其应用 >> 力偶系的平衡
§6-2 力偶系的平衡 一、平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和 等于零，即 M i 0 . 二、空间力偶系的平衡方程
由于空间力偶系可以用一个合力偶来代替，因此，空间力偶系
平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即
F
y
3 1 F , FB F FA 2 2
结果为正，表明假设的FA与FB的指向是正确的.
几何法：可以F、FA与FB为边作封闭的力的三角形如图（c）。
直接求解该直角三角形可得到同样的结果。
第六章 平衡方程及其应用 >> 汇交力系的平衡
例6-2 如图（a）所示结构中，AB、AC、AD三杆由球铰连接于A处；