理论力学(机械工业出版社)第十三章达朗伯原理习题解答汇总
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习 题
13-1 如图13-16所示,一飞机以匀加速度a 沿与水平线成仰角b 的方向作直线运动。已知装在飞机上的单摆的悬线与铅垂线所成的偏角为f ,摆锤的质量为m 。试求此时飞机的加速度a 和悬线中的张力F T 。
图13-16
ma F =I
0cos sin 0
I T =-=∑βϕF F F x ϕβsin cos I
T F F = 0sin cos 0
I T =--=∑mg F F F y βϕ 0sin cos sin cos I I
=--mg F F βϕϕβ 0sin )cos(I =-+mg F ϕ
βϕ mg ma =+ϕ
βϕsin )cos( )cos(sin βϕϕ+=
g a mg ma F F )
cos(cos sin cos sin cos I T βϕβϕβϕβ+===
13-2 球磨机的简图如图13-17所示,滚筒作匀速转动,内装钢球及被粉碎的原料,当钢球随滚筒转到某一角度f 时,将脱离筒壁作抛射运动,由于钢球的撞击,从而破碎与研磨原料。已知钢球脱离筒壁的最佳位置'4054︒=ϕ,滚筒半径R =0.6m 。试求使
钢球在'4054︒=ϕ处脱离滚筒的滚筒转速。
图13-17
2n I ωmR ma F ==
0cos 0I N n =-+=∑F mg F F ϕ
)cos (cos cos 22I N ϕωϕωϕg R m mg mR mg F F -=-=-=
令0N =F
0cos 2=-ϕωg R
R g ϕωcos = min r/35.296
.00454cos 8.9π30cos π30π30='︒⨯===R g n ϕω
13-3 一质量为m 的物块A 放在匀速转动的水平转台上,如图13-18所示。已知物块的重心距转轴的距离为r ,物块与台面之间的静摩擦因数为s μ。试求物块不致因转台旋转而滑出时水平
转台的最大转速。
图13-18
2n I ωmr ma F ==
00N =-=∑mg F F y
mg F =N
00I =-=∑F F F x
0N s 2=-F mr μω
0s 2=-mg mr μω
r g s μω= r
g n s max π30π30μω==
13-4 离心调速器的主轴以匀角速度w 转动,如图13-19所示。已知滑块C 的质量为m ,小球A 、B 的质量为m 1,各杆长度均为l ,杆的自重不计。试求杆OA 和OB 的张角θ。
图13-19
小球A
21n 1I sin θωl m a m F ==
0sin sin 0I 21=-+=∑F F F F x θθ
0sin sin sin 2121=-+θωθθl m F F
02121=-+ωl m F F (1)
0cos cos 0121=--=∑g m F F F y θθ (2)
)2(cos )1(-⨯θ 得
0cos cos 21212=+-g m l m F θωθ
g m l m F 1212cos cos 2-=θωθ
滑块C
0cos 202=-=∑mg F F y θ (2)
0cos 121=--mg g m l m θω 211
)(cos ω
θl m g m m += 211
)(arccos ω
θl m g m m +=
13-5 物块A 放在倾角为θ的斜面上,如图13-20所示。物块与斜面间的静摩擦因数为s μ=tanf m ,如斜面向左作匀加速运动,试问加速度a 为何值时物块A 不致沿斜面滑动。
图13-20
(1) 物块A 有下滑趋势
ma F =I
0sin cos 0I =-+=∑θθmg F F F x (1)
0cos sin 0I N =--=∑θθmg F F F y (2)
由(2)得
θθcos sin I N mg F F +=
临界 m I m N N tan )cos sin (tan ϕθθϕμmg F F F F +===
代入(1)得
0sin tan )cos sin (cos m =-++θϕθθθmg mg ma ma
θϕθθθsin tan )cos sin (cos m g g a a =++
)tan cos (sin )tan sin (cos m m ϕθθϕθθ-=+g a )tan(tan tan 1tan tan tan sin cos )tan cos (sin m m
m m m ϕθϕθϕθϕθθϕθθ-=+-=+-=g g g a (2) 物块A 有上滑趋势
ma F =I
0sin cos 0I =--=∑θθmg F F F x (1)
0cos sin 0I N =--=∑θθmg F F F y (2)
由(2)得
θθcos sin I N mg F F +=
临界 m I m N N tan )cos sin (tan ϕθθϕμmg F F F F +===
代入(1)得
0sin tan )cos sin (cos m =-+-θϕθθθmg mg ma ma
θϕθθθsin tan )cos sin (cos m g g a a =+-
)tan cos (sin )tan sin (cos m m ϕθθϕθθ+=-g a )tan(tan tan 1tan tan tan sin cos )tan cos (sin m m
m m m ϕθϕθϕθϕθθϕθθ+=-+=-+=g g g a 因此 )tan()tan(m m ϕθϕθ+≤≤-g a g