数列二轮复习公开课

3 3n n 13n 2n 33n 15 Tn 3 4 2 4 4
经检验n 1 时，T1 3成立
3 3n n 13n 2n 33n 15 Tn 3 4 2 4 4
[方法归纳] 数列求和的四种常用方法 (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列中 q≠1 的讨论． (2)错位相减法：主要用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘 所得数列求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (3)裂项相消求和法：把数列每一项分裂成两项的和，通过正、负项 相消求和． (4)分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、 等比数列再求解．
解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)， ∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n>1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an， ∴an＋1＝3an(n∈N*，n>1)． 又 a2＝2a1＋1＝3，a2＝3a1，
数列与函数、方程、不等式的交汇
例 3、[2015· 四川高考]设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an－a1，且 a1，a2＋1，a3 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；
*
bn （2）设bn 2 (1) an , 求数列 的前2n项的和T2n .
an n
an 的通项公式； （ 1 ）求数列
n 1an nan1即 解：（ 1 ）当n 2时，
an n an 1 n 1 an 2 n 2 a2 2 ， ， an 1 n 1 an 2 n 2 a n 3 n 3 a1 1 an 以上各个等式相乘得： n, 解得an n，对n 1亦成立 a1 an n
n
n
, 求数列bn 的前n项和Tn .
1 解： （Ⅰ）由 2Sn 3 3 可得 a1 S1 (3 3) 3 ， 2
1 n 1 n -1 a n S n -S n -1 3 3 3 3 2 2 n -1 3 n 2 3, n 1, 11 而 a1 3 3 ，则 an n 1 3 , n 1.
n1n1
1 又 a1 a2 a3 an 2
1 两式相除得 an 2
n n 2
n n 2 n 1 n 1
1 2
2 n 1
１ 经检验对n 1成立， ａ ｎ ＝ ２
例、[2015· 四川高考]设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an－a1，且 a1，a2＋1，a3 成等差数列．
1 的前 n (2)记数列 an 1
[规范解答] (2)由(1)得 ＝ n. an 2
1 项和为 Tn，求使得|Tn－1|<1000成立的 n 的最小值. 1
（2）由( 1) 可知，bn = 2 +( - 1) n
n
n
\ T2 n = 2 + 2 + 2 +
2 1- 2 1- 2
1
2
3

2n
n 2
2 +( - 1 + 2 - 3 + 4 2n
2 n 1
+ 2n)
n2
n n 2
1 an 中对任意正整数 例2：在数列 n都有a1 a2 a3 an 2 （ 1）求数列{an }的通项公式；
1 1 1－ n 1 1 1 2 1 2 所以 Tn＝2＋22＋…＋2n＝ 1 ＝1－2n. 1－ 2 1 1 1 由|Tn－1|< ，得 1－2n－1 < ，即 2n>1000. 1000 1000
因为 29＝512<1000<1024＝210，所以 n≥10. 1 于是，使|Tn－1|<1000成立的 n 的最小值为 10.
1 ( 2) 设bn = 2 ? 证明:Tn < . 3
(
1 - log
an 2
)
1 , 令cn = ，记数列{cn }的前n项和为Tn , bnbn +2
1 解 : 1n 1时，a1 2
3
1 n 2时，a1 a2 a3 an1 2
针对训练 1
已知等差数列{an}的公差不为零，其前 n 项和为 Sn，若 S5＝70，且 a2，a7， a22 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
解 (2)证明：由(1)得 Sn＝2n2＋4n，
1 的前 (2)设数列 Sn
n 项和为 Tn，求 Tn.
1 1 1 1 1 － 则 ＝ ＝ n ， 5a ＋10d＝70 Sn 2nn＋2 4 n 2 S＋ ＝ 1 5 70 解 (1)由题知 2 ，即 1 1 1 1 a 1 7＝ 1 a2· 1 1 a1 1d2＝a1＋da1＋21d a ＋ 6 22 1 － ＋…＋ ) 则 Tn＝ ( 1－ ＋ － ＋ － ＋ － 4 3 2 4 3 5 n n－1 n＋1 n＋2
1 ＝2a －a ，有 1 解： (1) 由已知 S n n 1 (2)记数列 的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn－1|< 成立的 n 的最小值.
an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即 an＝2an－1(n≥2)．
从而 a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.
2.数列的基本知识网
(1) 等差，等比的通项及性质，求和.
( 2)
累加法 公式法 数 列 的 通 项 数 列 求 和 倒序相加法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法
累乘法
构造法 转化法
an 满足(n 1)an nan1 (n 2, n N )，a1 1 例 1 ：已知数列




.
2
由（ 1 ）知an

3, n 1 n1 3 , n 2
可得：bn an log
2

an 3


3, n 1 n 13n1 , n 2
Tn b1 b2 b3 bn n 2
Tn 3 3 2 3 3 3 n 13
仁寿一中北校区
苗强
1.高考导航 考情统计 考点扫描 2017 2016 2015 T17 T17 2014 T17 20 13 2018考向预测
数列的求和 T9T14 数列与函 数、方 T9T14 程、不等式 的交汇
T17
T17
T17
数列的要求
C
C
C百度文库
C
从近年高考中对数列求和及其综 T16 合应用的考查推断，主、客观题 不会同时出现，两小或一大，难 度中等．数列主观题常与函数、 T16 方程、不等式等知识点交汇，综 合考查函数与方程、等价转化、 分类讨论等数学思想．考查内容 主要是:以等差、等比数列为载体, 考查数列的通项、求和;利用递推 关系求数列的通项、前n项和；而 C 该部分的难点是数列与其他知识 点的交汇问题，如:数列中的给定
２ｎ＋１
1 11 1 2由1可知：bn n cn nn 2 2 n n 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn 1 2 3 2 4 3 n 1 n 1 n n 2
3 n1
，n 2
n
3Tn
两式相减得：
3 3 2 3 3 3 n 23
2 2 3 4
2 3 4 n 1 n
n1
n 13
- 2Tn 3 3 3 3 3 n 13
3 1 3n 1 2Tn 6 n 13n 1 3
1n＋1 fn＋1 2 9－n ∴bn＝(9－n) ＝(9－n) ＝ ， 1 2 fn n 2
∴当 n≤8 时，bn>0；当 n＝9 时，bn＝0；当 n>9 时，bn<0. ∴当 n＝8 或 9 时，Sn 取得最大值．
，
解得 a1＝ a1＝14，d＝0(舍去)， 1 6， 1 d＝4 1 或 所以数列{an}的通项公式为 an＝4n＋2.
3 1 1 1 )， ＝ － ( ＋ 8 4 n＋1 n＋2 1 1＋ － － ＝ 2 n＋1 n＋2 4
针对训练 2
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差 数列{bn}中，公差 d＝2，且 b1＋b2＋b3＝15. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.
an
1000
又因为 a1，a2＋1，a3 成等差数列，即 a1＋a3＝2(a2＋1)．
所以 a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得 a1＝2. 所以，数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．an＝2n.
∴数列{an}是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， n－ 1 n－1 ∴an＝a1· q ＝3 .∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5. 又 d＝2，∴b1＝b2－d＝3.∴bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)由(1)知 2 n－ 2 n－1 Tn＝3×1＋5×3＋7×3 ＋…＋(2n－1)×3 ＋(2n＋1)×3 ，① 2 3 n－ 1 n ∴3Tn＝3×3＋5×3 ＋7×3 ＋…＋(2n－1)×3 ＋(2n＋1)×3 .② 2 3 n－1 ∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×3 ＋2×3 ＋…＋2×3 n －(2n＋1)×3 2 3 n－1 n ＝3＋2(3＋3 ＋3 ＋…＋3 )－(2n＋1)×3 n－ 1 31－3 n ＝3＋2× －(2n＋1)×3 1－3 ＝－2n×3n ∴Tn＝n×3n.
1 已知函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)· f(y)且 f(1)＝ . 2 (1)当 n∈N 时，求 f(n)的表达式；
解：(1)令 x＝n，y＝1， 1 得 f(n＋1)＝f(n)· f(1)＝ *f(n)， (2)设 an＝n· f(n)，n∈N2 ，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2； 1 1 ∴{f(n)}是首项为 ，公比为 的等比数列， 2 2 1nf n＋1 ∴f(n)＝2 . * (3)设 bn＝(9－n) ，n∈N ，Sn 为{bn}的前 n 项和， n (2)证明：设 Tn f 为 {a n}的前 n 项和， 1 n ∵an＝n· f(n)＝n· 2 ， 当 Sn 最大时，求 n1 的值． 1 3 1n 1 2 ∴Tn＝ ＋2×2 ＋3×2 ＋…＋n×2 ， 2
针对训练3
*
12 13 14 1n 1 T＝ ＋2×2 ＋3×2 ＋…＋(n－1)×2 ＋n 2 n 2 1n＋1 ×2 ， 1n 1n＋1 1 1 12 两式相减得 Tn＝ ＋2 ＋…＋2 －n×2 ， 2 2 1n－1 1n ∴Tn＝2－2 －n×2 <2. 1n (3)∵f(n)＝2 ，
1 1 1 1 1 2 2 n 1 n 2
3 1 1 1 3 - 4 2 n 1 n 2 4
an 例3：设数列 的前n项和为S n ,已知2S n 3 3
n
1求数列an 的通项公式； a 2若数列bn 满足bn an log3