《函数的奇偶性》教案

《函数的奇偶性》教案

课 题

函数的奇偶性

课 型

新授课

教学目标

知识与技能目标：使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数

奇偶性的方法，培养学生判断、推理的能力。

过程与方法目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、

归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想

情感、态度、价值观目标：通过数学的对称美来陶冶学生的情操. 使

学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。

教学重点 用定义判断函数的奇偶性. 教学难点 弄清()()f x f x -与的关系.

教学手段

多媒体辅助教学(展示较多的函数图像)

【教学过程】：

一、创设情境，引入新课

师：在初中我们学过不少对称图形，大家一起来回忆一下初中主要学习了哪两种对称图形？

生：1、轴对称图形（提醒学生：轴对称——图形沿轴翻折180度）；

2、中心对称图形（提醒学生：中心对称——图形绕点旋转180度）。 师：观察下面几幅图片，说说它们有什么特征？

（1）

（2）

师：数学中，对称也是函数图象的一个重要特征，观察这些函数的图像，说说它们是轴对称图形还是中心对称图形或者两者都不是？

O x

y

①

2

)(x x f =

②

O x

y x

x f =)(③

O

x y

|

|)(x f =

生：图像①③⑥是以y 轴为对称轴的轴对称图形；

图像②⑤⑥是以坐标原点为对称点的中心对称图形。

师：这节课我们就来学习与函数图像对称有关的性质——函数的奇偶性 二、师生互动，探索新知 任务一 偶函数

活动1：观察函数2()f x x =的图象，回答下列问题：

（1） 这条抛物线的对称轴是哪条直线？

（2

） 用垂直于对称轴的直线截抛物线，你有什么发现？ （3） 对称轴两侧对应点的坐标有什么关系？

发现：如果函数(

)x f y =图象关于y 轴对称，那么

① 其图象上的任意一点()

()00,x f x A ()D x 定义域∈关于y 轴对称的点

()()00,-x f x A ' 一定也在这个图象上；

② 由于A '是函数图象上的点，所以它的坐标也可以写成()()00,x f x --，因此，()()00x f x f =-；

③ 由于点()()00,x f x 与()()00,x f x --总是同时存在于函数的图象上，所以

00x x -与 也同时存在于定义域D 内，因此，函数()x f y =的定义域D 关于

原点O 对称。

活动2：给出偶函数的定义

f 2

x =

（板书）一般地，如果函数()x f y =的定义域关于原点O 对称，并且对定义域内的任意一个值()()x f x f x =-,,我们就称函数()x f y =为偶函数。

师：在这个定义中，它强调了任意x ，也就是说对于定义域中的任何一个x 都有这样的性质。观察下面的函数()[]2,1,12-∈+=x x x f 的图象关于y 轴对称吗？如果一个函数的图象关于y 轴对称，它的定义域应该有什么样的特点？

生：如果一个函数的图象关于y 轴对称，它的定义域应该关于原点对称。 师：这是对于偶函数必须强调的一点

1、定义域关于原点对称

师：在这个前提之下，还必须具备什么条件？

2、对定义域内的任意一个值()()x f x f x =-,

活动3：讨论判断函数为偶函数的方法 （师引导，学生集体讨论归纳）

1、图象法

图象关于y 偶函数

2、定义法

⑴定义域关于原点对称

⑵对定义域内的任意一个值()()x f x f x =-,

任务二 奇函数

活动1： 观察函数3x y =的图象，回答下列问题：

⑴ 对于图象上任意一点，与它关于原点对称的点在这个图象上吗？它应该落在哪边？

⑵ 现在看看这两点的坐标有什么关系？

（横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数）

师： 由这个特例，我们可以分析出函数()x f y =的图象关于坐标原点O 成中心对称，那么它的定义域要关于原点对称，且对定义域内的任意一个值()()x f x f x -=-,

活动2: 给出奇函数的定义

(板书)奇函数定义：一般地，如果函数()x f y =的定义域关于原点O 对称，并且对定义域内的任意一个值()()x f x f x -=-,,我们就称函数()x f y =为奇函数。

师：现在我们来看看这个函数还是不是奇函数？

()()03≠=x x x f ?()1≠x ?()0≥x ?()11≤≤-x ?()()2,11,2⋃--? 活动3：讨论判断函数为奇函数的方法 （师引导，学生集体讨论归纳）

1、图象法

图象关于坐标原点成中心对称奇函数

2、定义法

⑴定义域关于原点对称

⑵对定义域内的任意一个值()()x f

x f x -=-,

任务三 巩固提高，熟练技能

师：刚才我们学习了偶函数、奇函数的概念及判别方法，看下面一题

活动1：根据下列函数图象判断其奇偶性。

O

x

y

3

)(x x f =

师：根据图象来判断函数的奇偶性比较的简单，也是大家首先要想到的方法，运用了数学中一个很重要的数学思想——“数形结合”。

师：再看这样一个问题：

活动2 判断函数()4x x f =的奇偶性 (师示范)解：∵ 函数()x f 的定义域为R ∴ 定义域关于原点对称,

对于定义域内的任意一个值x ，

都有()()()x f x x x f ==-=-44

∴ 函数()x f 是偶函数。 变形： ()4x x f = , []3,1-∈x

解：∵ 函数()x f 的定义域为[]3,1- ∴ 定义域不关于原点对称,

∴ 函数()x f 是非奇非偶函数。

思考： 将题目哪里改一下就成偶函数呢？

师：从函数的角度看有奇函数、偶函数、非奇非偶函数，那同学们想一想有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？课后找一找 活动3 判断下列函数的奇偶性 ⑴ ()3x x f =(学生口述)

⑵ ()x x x f 23-=(学生自己动手做做) 强调：前后两个x 都必须转化为“x -”来计算。 变形： ()123+-=x x x f ⑶ ()332x x x f += ⑷ 21x

y =

三、课堂小结

本节课学习了什么？