历年-全国自考线性代数试题及标准答案

历年-全国自考线性代数试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2浙02198# 线性代数试卷 第3页（共59页）全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.122．计算行列式=----32320200051020203（ ）A.-180 B.-120C.120 D.1803．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．56．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似B ．|A |=|B |C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3D ．248．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2D ．410．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1l.设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-421023,B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--010112，则AB =________. 12．设A 为3阶方阵，且|A |=3，则|3A -l |=________. 13．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______．15．设A 为5阶方阵，且R (A )=3，则线性空间W ={x |Ax =0}的维数是______．16．设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，21，l ，则|5A -1|=_______．17．若A 、B 为同阶方阵，且Bx =0只有零解，若R (A )=3，则R (AB )=________．18．二次型f (x 1，x 2，x 3)=21x -2x 1x 2+22x -x 2x 3所对应的矩阵是________.浙02198# 线性代数试卷 第4页（共59页）19.设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321，α2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-321，且R (A )=2,则Ax =b 的通解是________. 20.设α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321，则A =ααT 的非零特征值是_____. 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．计算5阶行列式D =2000102000002000002010002 22.设矩阵X 满足方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-200010002X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100001=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---021102341求X .23.求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的结构解. 24.求向量组α1=（1，2，3，4），α2=（0，-1，2，3），α3=（2，3，8，11）， α4=（2，3，6，8）的秩.25.已知A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2135212b a 的一个特征向量ξ=（1，1，-1）T ，求a ,b 及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.26.用正交变换化二次型f (x 1,x 2,x 3)=32232221422x x x x x +++为标准形，并写出所用的正交变换. 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系.证明α1，α1+α2，α2+α3也是Ax =0的基础解系.浙02198# 线性代数试卷 第5页（共59页）全国2011年1月说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无 1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( )A ．44B ．45C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( )A ．A +E B ．A -E C ．-A -E D ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( ) A ．A -1CB - B ．CA -1B -1 C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( )A ．A T A 是s×s 对称矩B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵 5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出 6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( )A ．A =0 B ．A =E C ．秩(A )=n D ．0<秩(A )<n7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B ) B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值 D ．A 与B 的特征向量一定相同 8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( )A ．10B ．20C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( )A ．1 B ．2C ．3 D ．410．设A ，B 是正定矩阵，则( )A ．AB 一定是正定矩阵B ．A +B 一定是正定矩阵C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)11．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ．12．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 13．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.14．设向量α=(6, -2, 0, 4), β=（-3，1，5，7），向量γ满足2α+γ=3β,则γ=____________. 15．实数向量空间V={(x 1, x 2, …, x n )|3 x 1+ x 2+…+ x n =0}的维数是_______．16．矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--541420713032的秩=___________.浙02198# 线性代数试卷 第6页（共59页）17．设21αα,是齐次线性方程组Ax =0的两个解，则A （3217α+α）=_________. 18．设方阵A 有一个特征值为0，则det(A 3)=__________. 19．设P 为正交矩阵，若（Px , Py ）=8, 则（x , y ）=_________.20．设f (x 1，x 2，x 3)=31212322212224x x x tx x x x ++++是正定二次型，则t 满足_____. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．计算行列式ba c c 2c 2b 2c a b b 2a 2a 2c b a ------ 22．判断矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛7600650000320014是否可逆，若可逆，求其逆矩阵．23．求向量组1α=(1，2，-1，-2),2α=(2，5，-6，-5),3α=(3，1，1，1), 4α=(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来．24．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-=++-03204230532432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其结构解．25．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3142281232的特征值和特征向量． 26．写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型．f (x 1，x 2，x 3)=32312122216223x x x x x x x x -+-+ 四、证明题(本大题共1小题，6分)27．设方阵A 满足(A +E )2=E ，且B 与A 相似，证明：B 2+2B =0．浙02198# 线性代数试卷 第7页（共59页）全国2011年4月高等教育自学考试说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式。

1.下列等式中，正确的是（ ） A.2001002001021⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.1233693456456⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1051002⎛⎫= ⎪⎝⎭D.120120035035--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2.设矩阵A =100220340⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为（ ）A.3B.2C.1D.03.设向量1α=（-1，4），2α=（1，-2），3α=（3，-8），若有常数a,b 使a 1α-b 2α-3α=0,则（ ） A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2D.a=1,b=24.向量组1α=（1，2，0），2α=（2，4，0），3α=（3，6，0），4α=（4，9，0）的极大线性无关组为（ ） A.1α，4α B.1α，3α C.1α，2αD.2α，3α5.下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ） A.111010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.200020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C.108010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.108018001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6.设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且C =⎛⎫ ⎪⎝⎭0B A 0，则C -1是（ ）A.11B 00A --⎛⎫ ⎪⎝⎭B.110B A 0--⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11A B 0--⎛⎫⎪⎝⎭ D.11A 00B --⎛⎫⎪⎝⎭7.设A 为3阶矩阵，A 的秩r(A )=3，则矩阵A *的秩r(A *)=（ ）A.0 B.1 C.2D.38.设λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵114-⎛⎫⎪⎝⎭A 有一个特征值等于（ ）A.43- B.34- C.34 D.439.设矩阵A =100212312-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 的对应于特征值λ=0的特征向量为（ ）A.（0，0，0）TB.（0，2，-1）TC.（1，0，-1）TD.（0，1，1）T 10.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）浙02198# 线性代数试卷 第8页（共59页）A.1223⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3336-⎛⎫ ⎪-⎝⎭C.0331⎛⎫ ⎪-⎝⎭D.1001-⎛⎫⎪-⎝⎭二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）11.行列式111123149=___________.12.设矩阵A =112231⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，B =（1，2，3），则BA = ___________.13.行列式3040111101005322--中第4行各元素的代数余子式之和为___________. 14.设A ，B 为n 阶方阵，且AB =E ，A -1B=B -1A =E ，则A 2+B 2=___________. 15.设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为___________.16.设3阶方阵A 的行列式|A |=12，则|A 3|=___________.17.已知3维向量α=（1，-3，3），β=（1，0，-1）则α+3β=___________.18.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为___________. 19.设1，2，…，n 是n 阶矩阵A 的n 个特征值，则矩阵A 的行列式|A |=___________. 20.二次型f(x 1,x 2,x 3)=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3的秩为___________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.已知矩阵A =111210101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，B =100210021⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.22.设A =123221343⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =2153⎛⎫ ⎪⎝⎭，C =132031⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，且满足AXB=C ，求矩阵X.23.求向量组1α=(1,2,1,0)T ，2α=（1,1,1,2）T ，3α=（3,4,3,4）T ，4α=（4,5,6,4）T 的秩与一个极大线性无关组. 24.判断线性方程组12341234134x x 3x x 12x x x 4x 2x 4x 5x 1-+-=⎧⎪--+=⎨⎪-+=-⎩是否有解，有解时求出它的解.25.设向量1α=（1，1，0）T ，2α=（-1，0，1）T ，（1）用施密特正交化方法将1α，2α化为正交的1β，2β；（2）求3β，使1β，2β，3β两两正交.浙02198# 线性代数试卷 第9页（共59页）26.已知二次型f=22212313x x x 2x x ++-，经正交变换x=Py 化成了标准形f=2212y 2y +，求所用的正交矩阵P.四、证明题（本大题共6分） 27.设A 为5阶反对称矩阵，证明|A |=0.全国2011年7月高等教育自学考试1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T AA =（ ）A ．-49 B ．-7C ．7 D ．49 2．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ）A ．-32 B ．-8C ．8 D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T =-A ，B T =B ，则下列命题正确的是（ ） A ．（A +B ）T =A +B B ．（AB ）T =-AB C ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ）A ．若A 2=0，则A =0B ．（AB ）2=A 2B 2C ．若AX =AY ，则X =YD ．若A +X =B ，则X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ）A ．1 B ．2C ．3 D ．46．若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k =（ ）A ．-2 B ．-1C ．0 D ．27．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ）A ．0 B ．1C ．2D ．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ） A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，则f （ ）A ．正定B ．不定C ．负定 D ．半正定浙02198# 线性代数试卷 第10页（共59页）11．设A =(-1,1,2)T ，B =(0,2,3)T ,则|AB T |=______.12．设三阶矩阵[]123,,A ααα=，其中(1,2,3)i i α=为A 的列向量，且|A |=2，则[]122123,,αααααα++-=______.13．设0100102A a c b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且秩(A )=3，则a,b,c 应满足______.14．矩阵31221322Q ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵是______. 15．三元方程x 1+x 3=1的通解是______.16．已知A 相似于1002-⎡⎤Λ=⎢⎥⎣⎦，则|A -E |=______.17．矩阵001010100A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值是______. 18．与矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦相似的对角矩阵是______.19．设A 相似于100010001⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 4______. 20．二次型f (x 1,x 2,x 3)=x 1x 2-x 1x 3+x 2x 3的矩阵是______.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分21．计算4阶行列式D=1234234134124123.22．设A =101020161⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而X 满足AX +E =A 2+X ，求X .23．求向量组：123412532101,,,327512532341αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.24．当λ为何值时，齐次方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解？并求其全部非零解.25．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量1(1,1,1)T α=、2(2,2,1)Tα=是A 的对应于121λλ==的特浙02198# 线性代数试卷 第11页（共59页）征向量，求A 的属于31λ=-的特征向量.26．求正交变换Y =PX ，化二次型f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3为标准形.四、证明题（本大题6分） 27．设123ααα，，线性无关，证明1121323ααααα++，，也线性无关.接下来是答案全国2010年7月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T表示矩阵A 的转置矩阵（行列对换）；A *表示A 的伴随矩阵； A -1=*A A（重要） 求A -1 和A*时，可用这个公式，A *太复杂了自己看看r (A )表示矩阵A 的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。