专题八初中数学数形结合思想

专题八：初中数学数形结合思想

九年级数学集备组组员：郑步群、张彩霞、方国财

知识梳理

通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．

华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．

典型例题

一、在数与式中的应用

【例1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简2a a b

+-=_________．

【例2】如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴________根．

二、在方程、不等式中的应用

【例3】已知关于x的不等式组

20

x a

x

->

⎧

⎨

->

⎩

的整数

解共有2个，则a的取值范围是．

【例4】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是( )

A．

20

3210

x y

x y

+-=

⎧

⎨

--=

⎩

B．

210

3210

x y

x y

--=

⎧

⎨

--=

⎩

C．

210

3250

x y

x y

--=

⎧

⎨

+-=

⎩

D．

20

210

x y

x y

+-=

⎧

⎨

--=

⎩

【例5】已知二次函数y=a x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程a x2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( )

A．k>3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定三、在函数中的应用

【例6】如图为二次函数y=a x2+bx+c的图象，在下

列说法中：①a c<0 ②方程a x2+bx+c=0的根是x1=

－1，x2=3 ③a+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大

而增大。正确的说法有_________．(把正确的答案的

序号都填在横线上)

【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作

时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面

2

10

3

米，

入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为

5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，

否则就会出现失误，

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛

物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距

离为3导米，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．

【分析】(1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，

就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0，0)，入水点(2，－10)，最高点的纵点标

为2

3

．

(2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距

池边水平距离为

3

3

5

米，

33

321

55

x=-=时，该运动员距水面高度与5米的关系．

四、在概率统计中的应用

【例8】某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：

(1)请写出从条形统计图中获得的一条信

息；

(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形

统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；

(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条

合理的建议．

综合训练

1．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是2”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( )

A ．代入法

B ．数形结合

C ．换元法

D ．分类讨论

2．如图，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 ( )A ．5℃ B ．7℃ C ．12℃ D ．－12℃

3．某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是( )

4．若M 112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N 214y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312y ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，三点都在函数k

y x

=

(k<0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为 ( )

A ．y 2>y 3>y 1

B ．y 2>y 1>y 3

C ．y 3>y 1>y 2

D ．y 3>y 2>y 1 5．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

6．若不等式组30

2741x a x x +<⎧⎨+>-⎩

的解集为x<0，则a 的取值范围为 ( )

A ．a >0

B ．a =0

C ．a >4

D ．a =4

7．福娃们在一起探讨研究下面的题目：

函数y=x 2－x+m(m 为常数)的图象如图所示，如果x=a 时，y<0；那么x=a －1时，函数值( )

A ．y<0

B ．0

C ．y>m

D ．y=m

下面是福娃们的讨论，请你解答该题． 贝贝：我注意到当x=0时，y=m>0．

晶晶：我发现图象的对称轴为x=

12

欢欢：我判断出x 1

迎迎：我认为关键要判断a －1的符号． 妮妮：m 可以取一个特殊的值．