八年级数学上 等腰三角形和等边三角形的轴对称性

一. 教学内容：等腰三角形和等边三角形的轴对称性［目标］探索等腰三角形及其特殊形式——等边三角形的轴对称性及其相关性质。

二. 重、难点：1. 等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件；2. 等边三角形的概念及其性质。

三. 知识要点：1. 等腰三角形（1）等腰三角形是轴对称图形。

顶角平分线所在直线是它的对称轴。

（2）等腰三角形的性质（等腰三角形的判别法）①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。

（简称“三线合一”）②等腰三角形的两底角相等。

（简称“等边对等角”）③如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简称“等角对等边”）☆（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2. 等边三角形（a）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。

等边三角形是一种特殊的等腰三角形。

（b）等边三角形特殊的性质：①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。

60。

②等边三角形各角相等，并且每一个角都等于60的等腰三角形是等边三角形）（有一个角是【典型例题】例1. 已知等腰三角形的周长为10cm ，那么当三边为正整数时，它的边长为（ ） （A ）2，2，6 （B ）3，3，4 （C ）4，4，2（D ）3，3，4或4，4，2分析：可采用排除法。

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2，2，6不满足；而3，3，4或4，4，2都满足题意。

答：选D 。

例2. O 为锐角△ABC 的∠C 平分线上一点，O 关于AC 、BC 的对称点分别为P 、Q ，则△POQ 一定是（ ）（A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形分析：设OP 、OQ 分别交AC 、BC 于E 、F ，由线段的对称轴是它的垂直平分线知：OE ⊥AC ，且OE ＝21OP ；同理OF ⊥BC ，且OF ＝21OQ ；由角平分线的性质知：OE ＝OF ，则OP ＝OQ 。

∴△POQ 一定是等腰三角形 答：选B例3. （1）如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长4cm ，那么斜边长等于_________。

（2）等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260，则这个等腰三角形的顶角等于_______，底角等于__________。

（3）等边三角形的周长是30cm ，一边上的高是8cm ，则三角形的面积为______ _______。

解：（1）设斜边长为x cm ，则直角边长为x 22，根据题意，4222=-⨯x x 。

解得)21(4+=x cm（2）设顶角的一个外角为m ，则 260180=+m 。

而顶角的一个外角等于一个底角的2倍，所以等腰三角形的底角等于 40，顶角等于100。

（3）等边三角形三边相等，则其边长为cm 10330=，∴24081021cm S =⨯⨯=∆例4. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少︒30，求这个三角形的三个内角 的度数。

（考虑两种情况）解：①设等腰三角形的底角为x ，则顶角为)302(-x ，则 180)302(=-++x x x解得：x ＝5.52 ∴)302(-x ＝ 75②设等腰三角形的顶角为x ，则底角为)302(-x ，则180)302()302(=-+-+x x x解得：x ＝ 48 ∴)302( -x ＝ 66 综上可得：三个内角的度数分别为 5.52，5.52， 75或 48， 66， 66。

例5. 如图所示，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，求∠A 的度数。

CDA E B解：设∠EBD ＝x ，∵DE ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ＝x ，∴∠AED ＝∠EDB+∠EBD ＝2x （三角形外角＝不相邻的两个内角和）∵AD ＝DE ，∴∠AED ＝∠A ＝2x ，∴∠CDB ＝∠ABD +∠A ＝3x （同上） ∵BC ＝BD ，∴∠C ＝∠CDB ＝3x ，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝3x ； 在△ABC 中∠A+∠C+∠ABC ＝180，即2x +3x +3x ＝180 解得：x ＝5.22 ∴∠A ＝2x ＝45°例6. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠B ，DE ⊥BC ，若BC ＝10cm ，求△DCE 的周长。

ADCB E解：∵BD 平分∠B ， DA ⊥AB ， DE ⊥BC ∴AB ＝BE （易证Rt △BAD ≌Rt △BED ）又∵AB ＝AC ＝ BE ， DE ＝ DA∴△DCE 的周长＝EC+DE+DC ＝ EC+DA+DC ＝ EC+AC ＝ EC+BE ＝BC ＝10cm 。

例7. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，求证：∠DBC ＝21∠A分析1：用折半法。

找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等。

证法1：作顶角平分线AE 。

∵AE ⊥BC （等腰三角形“三线合一”），∴∠EAC+∠C ＝9090180=-（三角形内角和定理） ∵BD ⊥AC （已知），∵∠DBC+∠C ＝9090180=-∴∠DBC+∠C ＝∠EAC+∠C （等量代换） ∴∠DBC ＝∠EAC∵∠EAC ＝21∠A （角平分线定义），∴∠DBC ＝21∠A （等量代换）分析2：用加倍法。

找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等。

证法2：作∠DBF ＝∠DBC ，BF 交AC 于F 。

由作法得∠FBC ＝2∠DBC ，即∠DBC ＝∠FBD 。

在△BFD 与△BCD 中，∠=∠=︒∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪BDC BDF DBF DBC BD BD 90（垂直定义）（辅助线作法）（公共边）∴△BFD ≌△BCD （ASA ） ∴∠BFD ＝∠C ，∴∠FBC ＝C C BFD ∠-=∠-∠-2180180（三角形内角和定理） 又∵∠C ＝∠ABC ，∴∠A ＝ 180－∠B －∠C ＝180－2∠C ∴∠FBC ＝∠A （等量代换）∵∠DBC ＝21∠FBC （已证），∴∠DBC ＝21∠A【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 下列说法正确的是（ ）（A ）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 （B ）顶角相等的两个等腰三角形全等（C ）等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 （D ）等腰三角形的两个底角相等2. ABC ∆中，90=∠C ，有一点既在BC 的对称轴上，又在AC 对称轴上，则该点一定是（ ）（A ）C 点 （B ）BC 中点（C ）AC 中点（D ）AB 中点3. 已知ABC ∆中，AC AB =，且θ=∠B ，则θ的取值范围是（ ）（A ）45≤θ（B ）900<<θ（C ）90=θ （D ）18090<<θ 4. 下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）（A ）等腰直角三角形 （B ）有一角为︒60的等腰三角形 （C ）正方形 （D ）圆5. 在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BE 、CD 分别是底角的平分线，DE ∥BC ，图中等腰三角形的个数有（ ）A D EB CA. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6. （1）等腰三角形中有一个角为52，则它的一条腰上的高与底边的夹角为___________。

（2）等腰三角形的一个内角为︒110，则其它两个内角为_____________。

（3）一个等腰三角形有两边分别为4 cm 和8cm ，则周长是_____________cm 。

（4）若等腰三角形的顶角为120，则腰上的高与底边的夹角为_____________。

7. 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BE＝CE。

AEB D C8. 等腰△ABC的腰长AB＝10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为26cm，则底边BC的长是多少？ADB C9. 如图，有三条交叉的公路，现要在三条公路交叉所形成的区域内建一货运站，使得货运站到三条公路交叉点的路程一样长，请问如何确定货运站的位置？简单叙述你的方法。

10. 用1－3种方法，将一个等边三角形分割成4个等腰三角形。

试题答案1. D2. D3. B4. D5.D6. （1） 38或26；（2） 35,35；（3）20；（4）607. 证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD （已知）， ∴AD ⊥BC （等腰三角形“三线合一”）， ∴AD 垂直平分线段BC ，∴点C 和点B 关于直线AD 对称， 又∵点E 在对称轴AD 上， ∴BE ＝CE （轴对称的性质）8. 解：∵AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D∴AD ＝BD∴BD+CD ＝AD+CD ＝AC 又∵AC ＝AB ＝10cm∴BC ＝△BCD 的周长－（BD+CD ）＝ △BCD 的周长－AC ＝26－10＝16cm 。

9. 作法：分别作三条公路的垂直平分线交于一点O ，则点O 的位置即为所求货运站的位置。

10. 作法如下：。