东南大学 考博 信号与信息处理 《现代数字信号处理》第5章习题解答
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为了以 N=10000 个数据值获得最大的分辨率，必须计算 x(n)的周期图（若将 x(n)分段，
将降低分辨率）。因此问题是如何用1024 点的 DFT 来计算 x(n)的周期图。回忆 FFT 的工作
原理，注意有：
( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) 9999
999 9
9
999
X e jω = x n e− jnω =
L
Δω
（b）10kHz 采样时，10 秒的数据点数为 N = (10)×10×103 = 105 。实际中，890 点的 DFT
不 易 计 算 ， 一 般 是 采 用 1024 点 的 DFT ， 所 以 可 用 于 平 均 的 数 据 段 数 为 ：
K
=
⎡N ⎤ ⎣ 1024⎦
=
98 。
（c）若采样速率 fs 增加，则 Δω 减少，即对给定的分辨率 Δf ，将需要更长的数据段。但
《现代数字信号处理》习题参考答案
第五章习题参考答案
5.1 给定随机过程 x(n)的 N=10000 个样本点，要计算其周期图，但由于存储单元有限，你最 多只能计算 1024 点的 DFT，试说明如何利用这 10000 个样本值计算其周期图，并使其 分辨率为：
Δω = 0.89 2π 10000
解：（提示：试分析时间抽取 FFT 算法是如何工作的）
其中 A1 (z) = 1 + az−1 + 0.99z−2 ； A2 (z) = 1 − az−1 + 0.98z−2 。 (a) 若假设 a 较小，例如 0<a<0.1，试画出 x(n) 的功率谱的草图。要注意两个谱峰的位置
和幅度，以及ω = π / 2 处的 Px (e jω ) 值。 (b) 若 a=0.1，并拟用 Bartlett 法分辨出 Px (e jω ) 的两个谱峰，试确定所需的段长 L。
x 10n + l e− j(10n+l)ω = e− jlω x 10n + l e− jnω
n=0
n=0 l=0
l=0
n=0
因此，计算步骤是先将 x (n) 补零到长度 N = 10240 ，然后将 x (n) 抽取为 10 个长度
M = 1024 的子序列 xl (n) xl (n) = x (10n + l ) n = 0,1,"",1023 ，然后计算这些子序列
什么好处？
解：（a）若按 Nyquist 速率采样应取 fs = 10kHz ，模拟频域的分辨率 Δf = 10Hz 意味着
数字频域的分辨率为： Δω = 2π Δf = 2π ×10−3 ；对 Bartlett 法，分辨率与段长 L 的关系 fs
《现代数字信号处理》习题参考答案
是： Δω = 0.89 2π ，所以有： L ≥ 0.89 2π = 890 个样点。
N
Δω
=
0.89
⎛ ⎜⎝
2π 10000
⎞ ⎟⎠
。
5.2 一个连续时间信号 xa (t) 的带宽只有 5KHz，即 xa (t) 的谱 X a ( f ) 在|f|>5KHz 时为零。设 只记录了 10 秒的信号值可用于处理，我们要用这些数据和基 2-FFT 算法估计 xa (t) 的
功率谱，并要求谱估计的分辨率至少为 10Hz，假设采用的是 Bartlett 周期图平均法。 (a) 若数据按 Nyquist 速率采样，为获得所需的分辨率，分段时的最小段长是多少？ (b) 对 10 秒的数据，若用(a)中确定的最小段长，则有多少个数据段可用于平均？ (c) 选择不同的采样速率将如何影响谱估计的分辨率？若高于 Nyquist 速率采样，是否会有
的1024
点的
DFT
得
Xl
(k
)
，再将各
Xl
(k
)
与相应的因子
exp
⎛ ⎜⎝
−
jl
2π k 10240
⎞ ⎠⎟
相乘后进行线
性组合即得 X (k ) ，即
∑ X (k ) =
( ) 9 − jl 2π k
e
X 10240 l
k
k = 0,1,"",10239 ，
l=0
最 后 计 算 1 X (k ) 2 k = 0,1,"",10239 ， 即 得 到 x (n) 的 周 期 图 ， 其 分 辨 率 为
(a) 若希望达到 Δf = 0.005 的分辨率，最少段长 L 是多少？
(b) 试解释为什么增加 L 使其超过(a)中确定的最小值，不会有什么好处。
(c) 谱估计的品质因子是定义为其可变度的倒数： Q = 1/V。若采用 Bartlett 法，则为达到
Δf = 0.005 的分辨率，且品质因子至少 5 倍于周期图法的结果，则所需的数据样本点
(c) 若用周期图平滑法，为获得与(b)中的 Bartlett 法差不多的分辨率，要用多少时滞的自相 关值？若要求估计的方差与四分段的 Bartlett 估计的方差不相上下，需要多长的数据？
《现代数字信号处理》习题参考答案
解：(a)
级联的系统函数是：
H
(
Z
)
=
1
+
aZ
−1
1 +
0.99Z
−2
×
1
−
法的品质因子是 QB
=
1 VB
=
K
。
因此，若要 QB Qper ≥ 5 ，必须要求 K ≥ 5 。由于 M = 178 （对 Δf = 0.005 ），因此必须使 数点数满足： N = KM ≥ 5×178 = 890 点。
5.4 设随机过程 x(n) 是单位方差白噪声 w(n) 激励如下的系统而产生的。
是采样速率增加也使 T 秒间隔内的样本点数增加，所以归一化的方差仍是：V = M N 。增
加采样速率对其没有影响，因此，只要采样速率不低于 Nyquist 速率，Bartlett 法的谱估计
分辨率与采样速率无关。
5.3 设要用 Bartlett 法由 N=2000 个采样点的数据序列估计信号的功率谱。
aZ
−1
1 +
0.98Z
−2
由于输入到该滤波器的是单位方差白噪声，因此输出 x (n) 的功率谱是：
H
(
z
)
=
1+
az −1
1 +
0.99 z −2
×
1−
az −1
1 +
0.98 z −2
数 N 至少应多大？
解：（a）由于 Δf = 0.89 1 ，因此 L = 0.89 = 0.89 = 178 。
L
Δf 0.005
（b）增加 L 将增加分辨率，但同时也使可用于平均的数据段数减少，从而增加谱估计的方
差。
（c）对周期图，品质因子是 Qper =
1 Vper
= 1 Βιβλιοθήκη Baidu而
Bartlett
将降低分辨率）。因此问题是如何用1024 点的 DFT 来计算 x(n)的周期图。回忆 FFT 的工作
原理，注意有：
( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) 9999
999 9
9
999
X e jω = x n e− jnω =
L
Δω
（b）10kHz 采样时，10 秒的数据点数为 N = (10)×10×103 = 105 。实际中，890 点的 DFT
不 易 计 算 ， 一 般 是 采 用 1024 点 的 DFT ， 所 以 可 用 于 平 均 的 数 据 段 数 为 ：
K
=
⎡N ⎤ ⎣ 1024⎦
=
98 。
（c）若采样速率 fs 增加，则 Δω 减少，即对给定的分辨率 Δf ，将需要更长的数据段。但
《现代数字信号处理》习题参考答案
第五章习题参考答案
5.1 给定随机过程 x(n)的 N=10000 个样本点，要计算其周期图，但由于存储单元有限，你最 多只能计算 1024 点的 DFT，试说明如何利用这 10000 个样本值计算其周期图，并使其 分辨率为：
Δω = 0.89 2π 10000
解：（提示：试分析时间抽取 FFT 算法是如何工作的）
其中 A1 (z) = 1 + az−1 + 0.99z−2 ； A2 (z) = 1 − az−1 + 0.98z−2 。 (a) 若假设 a 较小，例如 0<a<0.1，试画出 x(n) 的功率谱的草图。要注意两个谱峰的位置
和幅度，以及ω = π / 2 处的 Px (e jω ) 值。 (b) 若 a=0.1，并拟用 Bartlett 法分辨出 Px (e jω ) 的两个谱峰，试确定所需的段长 L。
x 10n + l e− j(10n+l)ω = e− jlω x 10n + l e− jnω
n=0
n=0 l=0
l=0
n=0
因此，计算步骤是先将 x (n) 补零到长度 N = 10240 ，然后将 x (n) 抽取为 10 个长度
M = 1024 的子序列 xl (n) xl (n) = x (10n + l ) n = 0,1,"",1023 ，然后计算这些子序列
什么好处？
解：（a）若按 Nyquist 速率采样应取 fs = 10kHz ，模拟频域的分辨率 Δf = 10Hz 意味着
数字频域的分辨率为： Δω = 2π Δf = 2π ×10−3 ；对 Bartlett 法，分辨率与段长 L 的关系 fs
《现代数字信号处理》习题参考答案
是： Δω = 0.89 2π ，所以有： L ≥ 0.89 2π = 890 个样点。
N
Δω
=
0.89
⎛ ⎜⎝
2π 10000
⎞ ⎟⎠
。
5.2 一个连续时间信号 xa (t) 的带宽只有 5KHz，即 xa (t) 的谱 X a ( f ) 在|f|>5KHz 时为零。设 只记录了 10 秒的信号值可用于处理，我们要用这些数据和基 2-FFT 算法估计 xa (t) 的
功率谱，并要求谱估计的分辨率至少为 10Hz，假设采用的是 Bartlett 周期图平均法。 (a) 若数据按 Nyquist 速率采样，为获得所需的分辨率，分段时的最小段长是多少？ (b) 对 10 秒的数据，若用(a)中确定的最小段长，则有多少个数据段可用于平均？ (c) 选择不同的采样速率将如何影响谱估计的分辨率？若高于 Nyquist 速率采样，是否会有
的1024
点的
DFT
得
Xl
(k
)
，再将各
Xl
(k
)
与相应的因子
exp
⎛ ⎜⎝
−
jl
2π k 10240
⎞ ⎠⎟
相乘后进行线
性组合即得 X (k ) ，即
∑ X (k ) =
( ) 9 − jl 2π k
e
X 10240 l
k
k = 0,1,"",10239 ，
l=0
最 后 计 算 1 X (k ) 2 k = 0,1,"",10239 ， 即 得 到 x (n) 的 周 期 图 ， 其 分 辨 率 为
(a) 若希望达到 Δf = 0.005 的分辨率，最少段长 L 是多少？
(b) 试解释为什么增加 L 使其超过(a)中确定的最小值，不会有什么好处。
(c) 谱估计的品质因子是定义为其可变度的倒数： Q = 1/V。若采用 Bartlett 法，则为达到
Δf = 0.005 的分辨率，且品质因子至少 5 倍于周期图法的结果，则所需的数据样本点
(c) 若用周期图平滑法，为获得与(b)中的 Bartlett 法差不多的分辨率，要用多少时滞的自相 关值？若要求估计的方差与四分段的 Bartlett 估计的方差不相上下，需要多长的数据？
《现代数字信号处理》习题参考答案
解：(a)
级联的系统函数是：
H
(
Z
)
=
1
+
aZ
−1
1 +
0.99Z
−2
×
1
−
法的品质因子是 QB
=
1 VB
=
K
。
因此，若要 QB Qper ≥ 5 ，必须要求 K ≥ 5 。由于 M = 178 （对 Δf = 0.005 ），因此必须使 数点数满足： N = KM ≥ 5×178 = 890 点。
5.4 设随机过程 x(n) 是单位方差白噪声 w(n) 激励如下的系统而产生的。
是采样速率增加也使 T 秒间隔内的样本点数增加，所以归一化的方差仍是：V = M N 。增
加采样速率对其没有影响，因此，只要采样速率不低于 Nyquist 速率，Bartlett 法的谱估计
分辨率与采样速率无关。
5.3 设要用 Bartlett 法由 N=2000 个采样点的数据序列估计信号的功率谱。
aZ
−1
1 +
0.98Z
−2
由于输入到该滤波器的是单位方差白噪声，因此输出 x (n) 的功率谱是：
H
(
z
)
=
1+
az −1
1 +
0.99 z −2
×
1−
az −1
1 +
0.98 z −2
数 N 至少应多大？
解：（a）由于 Δf = 0.89 1 ，因此 L = 0.89 = 0.89 = 178 。
L
Δf 0.005
（b）增加 L 将增加分辨率，但同时也使可用于平均的数据段数减少，从而增加谱估计的方
差。
（c）对周期图，品质因子是 Qper =
1 Vper
= 1 Βιβλιοθήκη Baidu而
Bartlett