圆锥曲线中的定点定值问题--优选的四种模型.docx

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关

系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，

通过韦达定理和已知条件找出k 和 m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种

定点模型：

模型一：“手电筒”模型

例题、（ 07 山东）已知椭圆 C：x

2

y 21若直线 l： y kx m 与椭圆C相交于A，B两点（A，B 43

不是左右顶点），且以 AB为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，由

y kx m

4k 2 )x28mkx 4( m23) 0 ，3x24y 2

得 (3

12

64m2k 216(3 4k2 )(m23)0 ， 34k 2m20

x1x2

8mk

, x1x2

4( m23)

4k234k2

3

22

3(m24k 2 )

y1y2( kx1m)(kx2 m)k x1 x2mk (x1 x2 )m34k2

Q 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2,0), 且 k AD k BD 1 ，

y1y2

1， y1 y2x1 x22( x1 x2 ) 40 ，

x1 2 x22

3(m24k2 )4(m23)16mk

40 ，

34k 234k234k 2

整理得： 7m216mk4k20 ，解得： m12k ,m22k，且满足 3 4k 2m20

7

当 m2k时， l : y k( x2) ，直线过定点 (2,0),与已知矛盾；

当 m2k时， l : y k (x 2

) ，直线过定点 (

2

,0)

777

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为

2 ( ,0). 7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直

线交圆锥曲线于AB，则 AB必过定点(

x

(a

2

b2 ), y0 (a2

b

2

)

) 。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对

a2b2a2b2

定点张直角的一组性质”）

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与 BP 条件（如k

AP? k BP定

值， k AP k BP定值），直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13 节）

此模型解题步骤：

Step1 ：设 AB 直线y kx m ，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；

Step2 ：由 AP 与 BP关系（如k AP? k BP 1 ），得一次函数 k f ( m)或者 m f ( k) ；

Step3 ：将k f ( m)或者 m f (k ) 代入 y kx m ，得 y k ( x x定 ) y定。

◆迁移训练

练习 1：过抛物线M: y2 2 px 上一点P（1,2）作倾斜角互补的直线PA与 PB，交 M于 A、 B 两点，求证：直线AB过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习 2：过抛物线 M: y24x 的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线 AB过定点。（经典例题，多种解法）

练习 3：过2x2y21上的点作动弦 AB、 AC且k AB?k AC 3 ，证明BC恒过定点。（本题参考答案：

11

( ,) ）

55

练习 :4 ：设 A、B 是轨迹C：y2 2 px( P0) 上异于原点 O 的两个不同点，直线OA 和 OB 的倾斜角

分别为和，当,变化且时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。（参考答案

4

2 p,2 p ）

【答案】设

A x1, y1,

B x2 , y2，由题意得 x1 , x20，又直线 OA,OB的倾斜角, 满足，

4故 0,，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为从而设AB 方程为4

y kx b ，显然x1y12, x2y22，

2 p 2 p

将 y kx b与 y2 2 px( P0) 联立消去x，得 ky2 2 py 2 pb0

由韦达定理知 y1y22 p

, y1y2 2 pb①k k

由，得 1＝tan tan(

tan tan 2 p( y1y2 ) ) =

tan

=

4 p2

441tan y1 y2

将①式代入上式整理化简可得：

2 p

1，所以 b 2 p 2 pk ，b 2 pk

此时，直线 AB 的方程可表示为 y kx 2 p 2 pk 即 k (x 2 p) y 2p 0

所以直线 AB 恒过定点

2 p,2 p .

练习 5：（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 已知动圆过定点 A (4,0),

且在 y 轴上截得的弦

MN 的长为

8.

( Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹

C 的方程 ;

( Ⅱ) 已知点 B (-1,0),

设不垂直于 x 轴的直线与轨迹 C 交于不同的两点 P , Q , 若 x 轴是的角平分线 , 证

明直线过定点 .

【答案】 解:( Ⅰ)

A (4,0), 设圆心 C

( Ⅱ)

点 B (-1,0),

.

直线 PQ 方程为 :

所以 , 直线 PQ 过定点 (1,0)

练习 6：已知点 B

1,0 , C 1,0 , P 是平面上一动点，且满足

uuur uuur uuur uuur

| PC | | BC | PB CB

（ 1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；

（ 2）已知点 A(m,2) 在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE ，且 AD AE ，判断：直

线 DE 是否过定点？试证明你的结论 .

【解】（ 1）设 P (x , y )代入 | PC | | BC |

PB CB 得 (

x 1) 2 y 2

1 x ,化简得 y

2

4x .

（ 5 分）

( 2) 将 A m 代入 y 2

4 x 得 m

1, 点 A 的坐标为

(1,2).

( ,2)

设直线 DE 的方程为 x my t 代入 y 2 4x,得 y 2 4mt 4t 0, 设 D ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )则 y 1 y 2 4 , y 2 4 t ， （ 4 )2 16 t （0 * ）

E m y 1 m

AD AE (x 1 1)( x 2 1) ( y 1 2)( y 2 2) x 1 x 2 ( x 1

x 2 ) 1 y 1 y 2 2( y 1 y 2 ) 4

y 12 y 22 ( y 12

y 22

)y 1

y

2 2( y 1 y 2 ) 5

4 4 4 4

( y 1 y 2 )2

( y 1 y 2 )2 2 y 1 y 2

y 1 y

2

2( y 1

y 2 ) 5

16 4

( 4t )2 (4m) 2 2( 4t) ( 4t ) 2(4m) 5 0化简得 t 2 6t 5

4m 2

8m

16

4

即 t 2

6t 9 4m 2 8m 4即

（ t 2 4(m 1)2 t 3 2(m 1)

3）

t

2m 5或 t 2m 1, 代入（ *）式检验均满足 0

直线 DE 的方程为 x m( y 2) 5或 x m( y 2) 1 直线 DE 过定点 (5, 2). （定点（ 1，2）不满足题意 ）