第二章 曲线的局部微分几何.

第二章曲线的局部微分几何

中心问题：如何确定和使用E3中的曲线的局部理论基本框架．

所使用的方法和观点是具有一般性的．

具体步骤：首先按照刻划曲线特征的要求而给定相关的基本概念；进一步利用标架的运动公式而给定曲线局部的完全不变量系统；再考虑如何利用一般理论去处理一些具体的几何对象．

本章所接触到的对象通常具有较为明显的几何直观；因此，应该注意逐步学会在几何现象与其解析表达之间进行熟练转换，并且注意培养利用几何直观的启示进行严密解析化论证和推导的能力．

§1参数化曲线与曲线的参数表示

在日常的活动当中，被人们称之为“曲线”的东西不枚胜举．兼有直观和抽象两种属性的一种描述，借用物理学的语言，是将“曲线”视为一个质点在一个时间段内随着时刻的变化而进行位移所形成的轨迹．将这种看法进一步抽象化，便导致数学上对于曲线的一种适当的定义．

一．E3中参数化曲线的定义

在E3中Descartes直角坐标系O-xyz下，取单位正交向量i,j,k为基向量．给定三个函数x(t), y(t), z(t)∈C k((a, b)) ，作向量值函数

r: (a, b)→E3

t→r(t) =x(t)i+y(t)j+z(t)k= (x(t), y(t), z(t)) ，

则其位置向量终点全体C= {(x(t), y(t), z(t))∈E3∣t∈(a, b)} 称为E3中的一条C k类参数化曲线，简称参数曲线，并将t称为C的参数；C可用其向量形式的参数方程表示为r = r(t) , t∈(a, b) ，或写为分量形式的参数方程x=x(t)

y=y(t)

, t∈(a, b) ．

z=z(t)

参数曲线C上对应于参数值t的点是指向径r(t) =OP(t) 的终点P(t) ，即空间中的点 (x(t), y(t), z(t))∈E3，表示为实点P(t)或向量值r(t) 或参数值t．C0类参数曲线也称为连续曲线，C∞类参数曲线也称为光滑曲线．由于本课程之中微积分工具使用的广泛性，为简便起见，以后不声明时在局部总考虑 C3类参数曲线，并简称为曲线．

在数学分析或者解析几何课程中所接触到的曲线，要么其本身就是参数化的，要么总可以进行适当的局部参数化．

例１下列普通函数或函数组在相应的坐标系下的图像，按所给方式局部参数化为参数曲线．

①函数y= 1 -x2在平面直角坐标系xOy下表示以原点为心的上半开单位圆周．若半开单位圆周用向量形式参数方程表示，在E3中可写为r(t) = (t, 1 -t2 , 0) , t∈(-1, 1) ；

在E2中可写为

r(t) = (t, 1 -t2 ) , t∈(-1, 1) ；

在E2中也可写为

r(θ) = (cosθ , sinθ ) , θ∈(0, π) ．

②在E3直角坐标系O-xyz下，圆柱面 (x- 1)2+y2= 1 与球面x2+y2 +z2= 4 的交线的上半叶可参数化为

r(θ) = (1 + cosθ , sinθ , 2 - 2cosθ ) , θ∈(0, 2π) ．□二．正则曲线

参数曲线的行为的复杂性需要得到注意．对所考虑的曲线做出必要的限制是合理的．

定义１给定参数曲线C: r=r(t) , t∈(a, b) ．若r'(t0)=0，则称t=t0的对应点r(t0) 为C的一个奇（异）点；若r'(t0)≠0，则称t=t0的对应点r(t0) 为C的一个正则点．若C之上点点正则，则称C为正则曲线，并称参数t为正则参数．

视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．

例２若参数曲线C: r=r(t) ≡a= const. , t∈R，则其几何图形仅仅表示一点，而不是正常的曲线；此时所有的参数值对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的极端例子．

例３圆柱螺线视为动点的轨迹，通常参数化为

r(t) = (a cos (ωt) , a sin (ωt) , v t ) , t∈R，

其中三个常数a> 0 , ω≠ 0 和v≠ 0 分别为动点运动的圆周半径、角速率和向上速率．此时

r'(t) = (-aω sin(ωt) , aω cos(ωt) , v) ≠0，

说明该参数化使之成为正则曲线．

例４ 半立方抛物线光滑参数

化为

r (t ) = (t 3 , t 2 , 0) , t ∈R ，

则

r '(t ) = (3t 2 , 2t , 0) ，

故此时其奇点有且仅有一个：r (0) ．

例５ 按定义直接计算导向量，易知例１中的各条参数曲线都是正则的．但单位圆周具有存在奇点的下列参数化：

r (t ) = (cos t 2 , sin t 2 , 0) , t ∈R ． □

一般地，存在奇点的参数曲线在奇点附近的性质需要单独加以讨论，且奇点若对应于参数的一个区间则等价于对应参数的一个点；而对于连续可微参数曲线，正则点附近总存在较小弧段使正则性得到满足，这是由于导向量函数的模长具有连续性．因此，将曲线论的局部基本理论建立在正则曲线之上是具有一般性的，因为正则曲线足以作为曲线局部的主体．

正则曲线的意义还在于能够方

便地确定曲线的所谓切线．设曲线

C : r = r (t ) , t ∈(a , b ) 正则，考虑过点

r (t 0) 和 r (t 0 + ∆t ) 的割线当 ∆t → 0 时

的极限位置，亦即切线的位置．由

于点r (t 0) 处的导向量定义为

r '(t 0) = d r d t (t 0) = lim ∆t →0 r (t 0+∆t ) - r (t 0) ∆t , 而正则性保证 r '(t 0) ≠ 0 ，故曲线 C 在切点 r (t 0) 处的切线的方向向量确定为 r '(t 0) ，该切线的向量形式参数方程为：向径 f (u ) = r (t 0) + u r '(t 0) , u ∈R ．

定义２ 称单位切向量 r '(t 0) |r '(t 0)|

为正则曲线 C : r = r (t ) 在切点 r (t 0) 处的单位切向，记为 T (t 0) ；称单位切向的指向为正则曲线的正向．

正则曲线的正向即为当参数增加时位置向量终点的走向．因此，正则曲线是一种标示了方向的曲线，即有向曲线．

(t 0)] 图2-2