平面图形几何性质概论

y
x x1
dA y y1
x1 x
I
x1
I
x
I 2
y
I
x
I 2
y
cos2
I
xy
sin
2
I
y1
I
x
I 2
y
I
x
I 2
y
cos2
I
xy
sin
2
I
x1 y1
I
x
I 2
y
sin
2
I
xy
cos2
I x1 I y1 I x I y
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有
⑤求形心主轴方向 — 0
tg20
2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
yC
)
2
I
2 xCyC
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
y
d
yC
x1
解： ①建立坐标系如图。
2d
O
x
xC
b
②求形心位置。
x
xi Ai 0 0 AA
; Mn
GI P
;
max
M n max WP
x
dA
y
x
dSx dAy
dS y dAx
S x dS x ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)
质心： y
x mxdm
m 等厚
ydm 均质
y m m
xtdA
A
xtdA A
S
y
tA
A A 等于形心坐标
ytdA
y
yi A
Ai
d d 2
2 3d 2
4
d
2
0.177d
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2[I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
1.5d(2d )3 3d 2 (0.177 d )2[d 4 d 2 (0.5d0.177 d )2 ]0.685 d 4
如图(a)
120 10
C1 80
x
xi
Ai
x 1
A1
x
2
A2
x
A
A1A2
图(a)
3510110 20.3 101108010
y 6010110 34.7 101108010
y
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
负面积
C2 C1
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi
Ai
x 1
A1
x
12
64 4
y
I
yC
I
矩xC
I圆xC
(1.5d )32d 12
d 4
64
0.513
d
4
d
yC
x1
2d
I xCyC0
O
x
xC yC轴便是形心主轴
xC
I I xC、 yC便是形心主惯性矩
b
第五章 截面图形的几何性质
§5–1 面积矩与形心位置 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理*
截面的主惯性轴和主惯性矩
§5-1 面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)
是面积与它到轴的距离之积。
y
m a x
Nmax A
2
A2
A
A1A2
5(70110) 20.3 1208070110
图(b)
§5-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩：(与转动惯量类似）
是面积与它到轴的距离的平方之积。
Ix y2dA
y
A
I y x2dA
x dA
二、极惯性矩： A
y
是面积对极点的二次矩。
x
I 2dAIxI y
A
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
惯性矩，称为形心主惯性矩
tg
2
0
2I I xC
xC yC
I yC
形心主惯性矩：
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
yC
)2
I
2 xCyC
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系
②计算面积和面积矩
③求形心位置
x
Sy A
xi Ai A
y
Sx A
yi Ai A
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC
A
A
ytdA
S
x
tA A A
x dA
x yy
累加式:x
y
xi Ai
A (正负面积法公式 ) yi Ai
A
S y Ax Ai xi
x
Sx Ay Ai yi
例1 试确定下图的形心。
10
y
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
C2
C1(0,0)
1.用正面积法求解，图形分割及坐标
C2(-35,60)
A
x
(
A
yC
b)2
dA
SxCAyC 0
(
A
yC2
2byC
b
2
)dA
I xC2bSxCb2 A
I x I xC b2 A I y I yC a2 A I xy I xCyC abA I IC (ab)2 A
注意: C点必须为形心
例2 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
y
解 ：求解此题有两种方法：
d O
Ixy xydA
A
y 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
x dA
y
x
§5-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
y
yC
x
dA
a
bC y
I x I xC b2 A
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
的坐标轴如图
xaxC yb yC
xC
I x
y 2dA
I
x0
y0
(
I
x
I 2
y
s
in
2
0
I
x
y
cos2
0
)0
与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩主惯性矩。
tg2
0
2I xCyC I xC I yC
主惯性矩：II
x0 y0
I
x
I 2
y
(
I
x
Iபைடு நூலகம்2
y
)
2
I
2 xy
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之
一是按定义直接积分；
x
二是用平行移轴定理等知识求。
A
B
建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
I
x
I
y
IP 2
d 4
64
I
d 4
32
I
x
I
y
圆
2I
x
I
AB
I
x
d
2
Ad 4
64
d
4
4
5d
64
4
§5-4 惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
y1
x1xcos ysin y1xsin ycos