数列、极限、数学归纳法 数列通项公式与前n项和公式关系 教案

数列、极限、数学归纳法·数列通项公式与前n项和公式关系·教案

北京市东高地一中徐唯

教学目标

1．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系．

2．能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an．

3．培养学生辩证统一的观点．

教学重点与难点

重点：认清两者之间的关系．

难点：通过Sn求出an的基本方法．

教学过程设计

（一）课题引入

师：回忆一下什么是数列的通项公式？什么是数列的前n项和？

生：如果数列｛an｝的第n项an与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．即an=f（n），数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an．

师：那么Sn是否也可以表示成关于项数n的函数式？

（由前两个概念，学生不难得出正确答案，教师进一步指出这个函数式称为数列的前n项和公式）

生：Sn可以表示成关于项数n的函数式．

师：现在研究一下an与Sn两者之间的关系，（板书）．需要考虑哪几种关系？

（培养学生的辩证统一的观点，对今后的数学学习是有益的，掌握此观点，学生就可以主动地探讨其他数学问题）

生：应考虑已知an是否可以求出Sn；反之，已知Sn是否可以求出an．

师：回答正确．两者之间的关系，应该是辩证统一的．这节课我们主要研究后一种，即已知Sn是否可以求出an．

（二）提示Sn与an的关系

师：（板书）例1 已知数列的前n项和Sn=n2+n．求：（1）a1，a2，a3，a4；（2）通项公式an．

（由形象思维到抽象思维，由特殊到一般，是研究数学问题的一般规律，在教学中可以起到突出重点，突破难点的作用．给学生一个台阶，使学生在自己发现结论的过程中体现知识形成过程的教学）师：（板书）

因为Sn＝a1+a2+…+an，

则a1＝S1＝2，

a2＝S2-a1＝4，

a3＝S3-a1-a2＝6

a4＝S4-a1-a2-a3=8，

所以通项公式an=2n．

师：请问an=2n是依据什么得出的？

生：由前4项猜想得出的．

师：这样猜想得出的结果是否可靠？因为这是一种不完全归纳法，因此需要论证才能严谨，现阶段我们有没有什么数学方法可以验证结论的正确性吗？

生：没有．

师：那么我们不妨换一个角度来考虑问题．如果结果不是通过“归纳、猜想”得到的，而是通过演绎推理获得，那么无需证明．即是否能通过Sn推导出an？

（“归纳－猜想－证明”与演绎推理是研究数学问题的两大类方法，也是学生应熟练掌握的．而学生在运用“归纳－猜想－证明”时，往往容易忽视“证明”这个环节，而此环节恰恰是“归纳－猜想－证明”中最重要的部分，若缺少“证明”，此法即为不完全归纳法．）

师：引导学生观察板书，可发现：

a2＝S2-a1中a1写成S1，即a2＝S2-S1；

a3＝S3-a1-a2中，a1+a2可写成S2，即a3＝S3-S2；

a4＝S4-a1-a2-a3中，a1+a2+a3可写成S3，即a4＝S4-S3，

那么an是否与Sn也有以上关系？

生：因Sn＝a1+a2+a3+…+an，则an＝Sn-（a1+a2+…+an-1）．又Sn-1＝a1+a2+…+an-1，则an＝Sn-Sn-1．师：现在大家一起来考虑这个关系式对于任意数列，任意自然数n都能立？

（设疑可以调动学生的思维，也为下一步教学作铺垫）

师：带着这个问题，我们来讨论一道题．

（板书）例2 已知数列的前n项和Sn＝n2+n+2，求数列的通项公式an．

生：（板书）an＝Sn-Sn-1＝n2+n+2-[（n-1）2+（n-1）+2]＝2n．

（做完之后，部分学生就会提出疑问，这时教师应及时因势利导，指导学生讨论，顺理成章地引出本节课的难点；若没有学生提出质疑，教师也可设问引出）

生：这个结果有问题．此题与例1得出的通项公式an是一致的，说明两个数列应是同一个数列，而它们的前n项和Sn又不相等，这不是矛盾吗？

师：问题提的很好，大家想一想，开动脑筋，讨论一下，这其中的道理究竟是什么？

（分组讨论，此时学生思维是非常活跃的，方法也很多，教师在巡视过程中，应注意发现积极有意义的成份）

生：我用前面归纳a1，a2，a3，…的方法计算了一下，得出：a1＝S1＝4，a2＝S2-S1＝4，a3＝S3-S2＝6，a4＝S4-a1-a2-a3＝8，那么所谓通项公式。an＝2n，是从第二项开始的，而不包括a1．

师：那么问题出在哪儿？

生：如果应用上述关系式an=Sn-Sn-1，求a1，应为a1=S1-S0，但是S0又表示什么含义呢？

师：这个问题提的在理，S0表示什么意义？

（教师在教学过程中，一定要抓住学生在回答问题时积极有意义的因素，这样可以激发学生学习的兴趣，有利于培养学生良好的思维品质）

师：我们在一开始已经指出前n项和公式Sn是关于n的函数解析式，自变量n的范围是大于0的自然数，因此S0是没有意义的，即a1=S1-S0此关系式是无任何意义的．

生：可见，an=Sn-Sn-1；这个关系式的缺憾就是不能表示首项a1，它成立的条件应该是n≥2．

师：那么a1如何确定？

生：a1可以由a1=S1确定．

师：这样我们把an=Sn-Sn-1这个关系式就找完备了．即（板书）

那么例2的正确解法为：

（板书）解：n=1时，a1=S1=4．

n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+2-[（n-1）2+（n-1）+2]=2n．

生：我有一个想法，可以避免关系式中出现S0．