九年级数学上册专题训练一元二次方程的解法归纳(新版)苏科版

第1章 一元二次方程

专题训练(一) 一元二次方程的解法归纳

一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法四种，在解方程时，要依据方程的特点进行合理选择．

► 解法一 缺少一次项或形如(ax ＋b )2＝c (c≥0)的一元二次方程选直接开平方法求解

1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )

A ．x 2－5＝5

B ．－3x 2＝0

C ．x 2＋4＝0

D ．(x ＋1)2＝0

2．解下列方程：

(1)t 2－45＝0; (2)(x －3)2－49＝0；

(3)(6x －1)2＝25; (4)12

(3y －1)2－8＝0；

(5)(x －3)2＝(5－2x )2.

► 解法二 方程一边化为0后，另一边能分解因式的一元二次方程用因式分解法求解

3．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的解是( )

A ．x ＝－1

B ．x ＝0

C ．x 1＝1，x 2＝2

D ．x 1＝－1，x 2＝2

4．一元二次方程x 2－9＝3－x 的解是( )

A ．x ＝3

B ．x ＝－4

C ．x 1＝3，x 2＝－4

D ．x 1＝3，x 2＝4

5．解下列方程：

(1)x 2＝x ； (2)(x －1)(x ＋2)＝2(x ＋2)；

(3)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(4)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；

(5)(x－2)(x－3)＝6.

►解法三当二次项系数为1，且一次项系数为偶数或遇到较大系数时选配方法求解6．解下列方程：

(1)x2－24x＝9856；(2)x2－6x－9991＝0.

7．有n个方程：x2＋2x－8＝0，x2＋2×2x－8×22＝0，…，x2＋2nx－8n2＝0.

小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下：①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；

③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.

(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的．

(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含有n的式子表示方程的根)

►解法四方程的系数没有特殊性，化为一般形式后用公式法求解

8．用公式法解方程2x2＋4 3x＝2 2时，其中求得的b2－4ac的值是________．

9．解下列方程：

(1)2x2－3x＋1＝0；(2)x(x＋2 2)＋1＝0；

(3)3(x2＋1)－7x＝0；(4)4x2－3x－5＝x－2.

►解法五运用换元法等数学思想方法解一元二次方程

10．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x－1＝1，解得x＝2；当y ＝4时，x－1＝4，解得x＝5.所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为( )

A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3

C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－2，x2＝－1

11．若(a2＋b2)(a2＋b2－2)＝8，则a2＋b2的值为( ) A．4或－2 B．4 C．－2 D．－4

12．请阅读下面解方程(x2＋1)2－2(x2＋1)－3＝0的过程．解：设x2＋1＝y，则原方程可变形为y2－2y－3＝0.

解得y1＝3，y2＝－1.

当y＝3时，x2＋1＝3，∴x＝± 2.

当y＝－1时，x2＋1＝－1，x2＝－2.此方程无实数解．

∴原方程的解为x1＝2，x2＝－ 2.

我们将上述解方程的方法叫做换元法．

请用换元法解方程：

(

x

x－1

)2－2(

x

x－1

)－15＝0.

详解详析

1．C

2．解：(1)t 1＝3 5，t 2＝－3 5.

(2)x 1＝10，x 2＝－4.

(3)x 1＝1，x 2＝－23

. (4)移项，得12

(3y －1)2＝8，(3y －1)2＝16， 所以3y －1＝±4.

所以3y －1＝4或3y －1＝－4.

所以y 1＝53

，y 2＝－1. (5)方程两边开平方，得x －3＝±(5－2x )，

即x －3＝5－2x 或x －3＝－(5－2x )，

所以x 1＝83

，x 2＝2. 3．D 4.C

5．解：(1)x 1＝0，x 2＝1.(2)x 1＝3，x 2＝－2.

(3)原方程可变形为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，

即(2x －6)2－(5x －10)2＝0，

∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，

即(7x －16)(－3x ＋4)＝0，

∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0，

∴x 1＝167，x 2＝43

. (4)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2

＝0，

即(2x ＋3)2＝0，∴2x ＋3＝0，

∴x 1＝x 2＝－32

. (5)整理，得x 2－5x ＝0，∴x (x －5)＝0，

∴x ＝0或x －5＝0，∴x 1＝0，x 2＝5.

6．(1)x 1＝112，x 2＝－88 (2)x 1＝103，x 2＝－97

7．解：(1)⑤

(2)x 2＋2nx －8n 2＝0，

x 2＋2nx ＝8n 2，

x 2＋2nx ＋n 2＝8n 2＋n 2，

(x ＋n )2＝9n 2，

x ＋n ＝±3n ，

x 1＝2n ，x 2＝－4n .

8．64 [解析] 要求b 2－4ac 的值，需将原方程先转化为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式．原方程可化为2x 2＋4 3x －2 2＝0，b 2－4ac ＝(4 3)2－4×2×(－2 2)＝64.故填64.

9．解：(1)∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，

∴x ＝3±12×2＝3±14，