证明初等变换不改变矩阵的秩
矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答
矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。
换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。
于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。
其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。
问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=⨯x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。
非齐次线性方程组b x A n m =⨯分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解：b x A n m =⨯无解)~()(A r A r ≠⇔b x A n m =⨯有解)~()(A r A r =⇔有解的情况下：b AX n A r A r =⇒==)~()(有唯一解；b AX n A r A r =⇒==)~()(有无穷多解。
其中),(~b A A = 为增广矩阵。
问题3：已知A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。
证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121即s i Ab i ,...,2,1,0==换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。
则r n b b b r s -≤),...,,(21，故)()(A r n B r -≤，从而.)()(n B r A r ≤+问题4：设非齐次线性方程组b Ax =，其中A 是n m ⨯矩阵，则b Ax =有唯一解的充要条件是（ ）(A) n A r =)~(；(B)n A r =)(；(C)m A r =)~(；(D)n A r =)(,且b 为A 的列向量的线性组合. 分析：n m ≠，故Crame 法则失效；(A)n A r n A r =⇒/=)()~((或1-n ):若n A r =)(,有唯一解；若1)(-=n A r ,无解。
5讲例题-2.4初等变换-2.5秩
n(n −1) n−2 2 n = λ E + nλ B + λ B +L+ B 2！
n−1
A = λ E + nλ
n n
n −1
n(n − 1) n − 2 n n −1 λ λ nλ 2！ n n −1 = nλ λ n λ 3 2 λ 2 , A3 = A = λ 3λ 3 λ2 λ
2.3.2 可逆的条件 伴随矩阵: 为 伴随矩阵 A为n 阶方阵
a12 a22 M an 2 0 | A| M 0
L a1n A11 A21 L An1 A L a2 n 12 A22 L An 2 M M M M L ann A1n A2 n L Ann L 0 L 0 =| A | E M L | A |
24
定义 矩阵的三种初等行变换和三种初等 矩阵的三种初等行 变换统称为矩阵的初等变换 初等变换. 列变换统称为矩阵的初等变换. •初等变换可逆. 初等变换可逆. •第三种初等变换保持行列式值不变. 第三种初等变换保持行列式值不变. •初等变换保持矩阵可逆性不变. 初等变换保持矩阵可逆性不变. 如果矩阵A 经过初等变换变为B 问 如果矩阵A 经过初等变换变为B , 题 那么A 与B 之间究竟有何种关系? 那么A 之间究竟有何种关系?
2 1 2 1 2 1 −2 9 2 −2 1 1 7 /3 2 /9 X =A-1B = 7 /9 -5 /3 还可以用初等变换求解 2 8 /9 1 /3
9
已知A为 阶方阵,满足矩阵方程 例3 已知 为 n 阶方阵,满足矩阵方程
21
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n +1个n 阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．本章讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，当m =n 时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I )，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ 目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。
理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。
了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。
掌握用初等变换求解线性方程组。
本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定. 。
本章难点：秩；线性方程组解的判定.§3.1 矩阵的初等变换在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一. 初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。
从不同的角度看矩阵的行秩与列秩
tianpeng.72pines./从不同的角度看矩阵的行秩与列秩——兼论如何学好线性代数线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？这本来应该是一个基本又简单的事实。
但是，请回忆一下你当初初学线性代数时的容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当时又是怎样解决这个问题的？传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n 元数组引入向量，线性相关和无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。
总之，一切以方程组为核心，给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方程组问题。
在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。
下面简述两个典型的教材中的证明方法：第一个证明来自志杰《高等代数与解析几何》。
证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。
这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关或无关性。
接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,…,ak，它们线性无关的充要条件是线性方程组a1×1+a2×2+…+akxk=0只有零解。
而对矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k个列向量的线性相关或无关性。
这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。
同理矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩。
高等代数矩阵秩的等式与不等式
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故
( 秩A
) B
=
秩
Er
Es
= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证 设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).
四川大学线性代数教材第四章第六节
m, n}. rankA rankAT rank( A) min{
此时称A为 设矩阵A为n阶方阵，且 A 0， 则rankA n， 满秩矩阵。
定义4 矩阵A的行空间RowA的维数，称为A的行秩；
矩阵A的列空间ColA的维数，称为A的列秩。 可知，矩阵A的行秩 A的行向量组的秩， 矩阵A的列秩 A的列向量组的秩。
(3)同理可得，A的列秩 2， 即 r ( A) A的行秩 A的列秩 2。
定理2 A是m n矩阵，则
A的秩= A的行秩= A的列秩
推论1 初等变换不改变矩阵的 秩。
推论2 设A与B是m n矩阵，则
A与B等价 r ( A) r ( B)
定理3(秩定理) 若矩阵A有n列，则 rankA dim NulA n 证明： rankA A的主元列的列数，
由秩定理，可得下面的 结论：
定理6 设A是m n矩阵，rA r n，则齐次线性方程组 AX 0存在基础解系，且基础 解系含n r个解向量。 推论设齐次线性方程组AX 0的系数矩阵A是m n矩阵， 若rA r n，则
(1) AX 0的每个基础解系都含有 n r个解向量； (2) AX 0的任意n r 1个解向量都线性相关；
因此，B的非零行就是RowB(即RowA)的一组基。
3 6 1 1 7 例 A 1 2 2 3 1 , 求A的行空间的一组基。 2 4 5 8 4
解： 用初等行变换将A化为阶梯矩阵
1 2 0 1 3 A B 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 则B的前两行就构成RowA的一组基： (1 2 0 1 3), (0 0 1 2 2).
矩阵的秩——精选推荐
课程：高等代数第2.6.1页课程：高等代数第2.6.2页课程：高等代数第2.6.3页课程：高等代数第2.6.4页课程：高等代数第2.6.5页编者按：大地涵藏万物，孕育生命，被誉为人类的母亲。
但是，近年来，伴随我国工业化的快速发展，大地不断遭到各种污染的伤害。
仅仅因土壤污染防治不足、环境监管乏力，导致的食品药品安全事件就频频发生，2008年以来，全国已发生百余起重大污染事故。
目前我国大地污染现状严峻，成因十分复杂，形成令人扼腕的“大地之殇”。
《经济参考报》以此为主题，探寻大地污染背后所触及的我国农业、工业、城市化进程中关于生存与发展的一系列深层矛盾与两难抉择，并以“大地之殇”系列报道的形式在“深度”版推出，敬请关注。
大地之殇一·黑土地之悲占全国粮食总产五分之一的东北黑土区是我国最重要的商品粮基地，但一个并不为多数人了解的严峻事实是，支撑粮食产量的黑土层却在过去半个多世纪里减少了50%，并在继续变薄，几百年才形成一厘米的黑土层正以每年近一厘米的速度消失。
照此速度，部分黑土层或将在几十年后消失殆尽，东北这一中国最大粮仓的产能也将遭受无法挽回的损失。
□记者孙彬管建涛连振祥吉哲鹏娄辰李松南京哈尔滨兰州昆明济南重庆报道毒土：GDP至上的恶果当前，我国土壤污染出现了有毒化工和重金属污染由工业向农业转移、由城区向农村转移、由地表向地下转移、由上游向下游转移、由水土污染向食品链转移的趋势，逐步积累的污染正在演变成污染事故的频繁爆发。
日益加剧的污染趋势可能还要持续30年“目前，我国土壤污染呈日趋加剧的态势，防治形势十分严峻。
”多年来，中国土壤学会副理事长、中国农业科学院研究员张维理教授一直关注我国土壤污染问题“我国土壤污染呈现一种十分复杂的特点，呈现新老污染物并存、无机有机污染混合的局面。
”“现在我国土壤污染比各国都要严重，日益加剧的污染趋势可能还要持续30年。
”中国土壤学专家，南京农业大学教授潘根兴告诉《经济参考报》记者，这些污染包括随经济发展日益普遍的重金属污染、以点状为主的化工污染、塑料电子废弃物污染及农业污染等。
矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩
ri krj
要注意地是，第一种变换可以由第二、三种变换一起实施得到。
三、广泛的应用
1、教学中的基本要求 2、课后讨论、研究 3、能力提升（毕业论文选题）
1、教学中的基本要求
（1）求行列式
A 初等行变换 D(上三角阵)
（2）求矩阵或向量组的秩
A 初等 行变换 B(阶梯形矩阵)，r( A) r(B) B的非零行的个数。
（3）判定向量组的线性相关性
f
'(
x)
行初等变换
0
v(x)
t(
x)
(iii) 求商和余式
f (x) 0
r(x) q(x)
g(x)
1
实验
(10)利用行等价判断方程组同解（考研題題型）：
目录
1
引言
2
现状
3
广泛的应用
4
理论研究
５
参考文献
一、引言
矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法 ，而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换．
定义 1[1] 设 A, B Pmn ，如果 B 可以由 A 通过有限次 初等行变换得到，则称 B 与 A 行等价.记作 A B .
数域 P 上的矩阵的初等行变换指以下三种变换：
A (1,2, ,n ) 初等 行变换 B (1, 2, , n)(阶梯形)
从不同角度看行秩与列秩
线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？这本来应该是一个基本又简单的事实。
但是，请回忆一下你当初初学线性代数时的内容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当时又是怎样解决这个问题的？传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n元数组引入向量，线性相关和无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。
总之，一切以方程组为核心，给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方程组问题。
在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。
下面简述两个典型的教材中的证明方法：第一个证明来自陈志杰《高等代数与解析几何》。
证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。
这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关或无关性。
接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,…,ak，它们线性无关的充要条件是线性方程组a1×1+a2×2+…+akxk=0只有零解。
而对矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k个列向量的线性相关或无关性。
这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。
同理矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩。
接下来，可以把A经过初等行变换和初等列变为只有对角线上有1或0，其它位置都为0的矩阵，在这个过程中行秩和列秩都不改变，从这个矩阵中看出行秩等于列秩，因此原来的矩阵行秩也等于列秩。
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
矩阵的秩的等式及不等式的证明
《矩阵的秩的等式及不等式的证明》(总27页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.目录第一章绪论 ·······························································错误!未定义书签。
第二章预备知识························································错误!未定义书签。
3.3向量组的秩与矩阵的秩
定义3.设A是一个矩阵，称A的行向量组的秩为 A的行秩；称A的列向量组的秩为A的列秩。
定理4.矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
a1,1
证明：设AFra biblioteka2,1
M
a1,2 L a2,2 L ML
am
,1
am,2
L
a1,n
a2,n
M
am
,n
(1)首先证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩
类似可证：矩阵的初等列变换不改变矩阵的 列秩。
(2)证明矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩
设A：1, 2, …, r, r+1, …, n是矩阵A的列向 量组，无妨说：1, 2, …, r是A的极大线性无关
组. P是一个m阶的初等方阵
B：P1, P2, …, Pr, Pr+1, …, Pn
依据定理3得知：
定义2. 设A是一组n维向量，1, 2, …, r是A的
一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩, 记为R(A).
推论2:若向量组A和向量组B等价, 则R(A) = R(B)
证明：设1, 2, …, r是向量组A的一个极大线性 无关组；1, 2, …, s是向量组B的一个极大线性
无关组.
由于1, 2, …, r与A等价； A与B等价，同 时B与1, 2, …, s等价，所以1, 2, …, r与1, 2, …, s等价
组，简称极大无关组。
定理1.设有n维向量组A：a1, a2, …, as和B：b1, b2, …,bt .若A组向量线性无关，并且A组向 量可以被B组向量线性表出，则必然有 s t.
证明: (反证法)设不然，即s > t
a1 c1,1b1 c2,1b2 L ct,1bt 无妨说：a2 c1,2b1 c2,2b2 L ct,2bt
矩阵的秩
ai1 j1 L
ai1 j2 L
L L
ai1 jr L
ai2 j1 air j1
ai2 j2 air j2
ai2 jr air jr
L L
，
则子式中的r个列向量必定线性无关, 把 这r个列向量加长后,可以得到A的r个线性
11
无关的列向量, 这说明A的列秩p ≥r; 根据引理, A的极大无关列构成的矩阵一 定有一个非零的p阶子式, 故p≤r, 所以p=r. 类似地，有 r rA r T =AT的列秩 A =A的行秩.
(2) A的非零子式的最高阶数r称为矩阵A的 秩(rank)，常用秩(A), R(A), rankA, rA 等记号表示. 规定零矩阵的秩为零.
3
由于行列式与它的转置行列式相等, 易知 rankA=rankAT. 当A的行(列)秩等于A的行(列)数时, 称 A为行(列)满秩矩阵. 当A是n阶方阵且|A|≠0时, rankA=n, 称 A为满秩矩阵. 易知： (1) 若矩阵A中有一个r阶非零子式, 则 rAr; (2) 若A中所有r阶子式全为0, 则 rA< r;
称为A的 一个k阶子式(minor).
2
,
1 i1 i2 ik s
如果矩阵A有一个r阶子式不为零, 所 有r+1阶子式(如果存在r+1阶子式)都等于 零, 则可推出A的所有更高阶的子式全为 零, 于是, r是A的非零子式的最高阶数. 定义11 (1) 矩阵A的行、列向量组的秩 分别称为A的行秩、列秩.
1 2 1 0 0
4 1 1 / 3 2 0 1 3 0 1 3 1
16
1 0 r4 r3 0 阶梯形 0
1 2 1 0 0
Ch3-2线性代数矩阵的秩
rt,
故有
R ( A, B) R ( A) R ( B).
6 0 R( A+B ) R( A) +R( B) ． c i c n i ( , ) 证 ( A B , B) A B ， , n i 1, R ( A B ) R ( A B , B ) R ( A, B) R ( A) R (B) .
0 3 2 4 A 0 3 1 1 6 2
1 2 1 3
3 1 4 2
1 3 1 4
2 0 2 1
2 0 1 3 4 3 1 2 4
2 1 3 4
一般地： m×n 矩阵A 的 k
2 阶子式 3 阶子式 k C k 个. 阶子式共有 Cm n
k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式的区别!
定义3(P66) 设 A 为 n 阶方阵，若 R(A)= n， 则称 A 为 满秩矩阵；若 R(A)< n，则称 A 为降秩矩阵.
单位阵 E 是满秩矩阵， 1 2 2
A 0 3 1 是降秩矩阵. 0 0 0
① n 阶满秩阵化为行阶梯形时有多少非零行？ — n 行. ② 满秩阵的行列式 ≠ 0
左乘列满秩阵秩不变 Bnl ， 证明： 若 A mn， 且 R ( A) n , R ( AB ) R ( B ) . A的秩等于其列数 A列满秩
,
行满秩阵——矩阵的秩等于其行数. 上面的结论可以相应地推广到右乘行满秩阵. 请自证. 满秩矩阵——方阵,且既列满秩又行满秩. AB = O时,本题结论为：设 AB = O,若 A为列满秩矩阵,则B = O. 原本仅对可逆阵成立的零因子性质,可以推广到列(行)满秩矩阵. 由此可以体会到列(行)满秩矩阵概念的重要性.
求矩阵的秩有下列基本方法(1)用初等变换.即用矩阵的初等行(.
(2) XA B
~
A 初等列变换
B
E BA1
X
BA1
或者
初等行变换
~ ( AT BT)
( E (AT )1BT )
X T (AT )1BT X BA1
例 3.设
A
103
0 1 1
104 , 且AX
A
2 X , 求矩阵X .
解：AX A 2X (A - 2E)X A
X
(A - 2E)1 A
1 1 1 1 1 0 1 0
A～
1
1 3
2 1 2
1 1 3
2 11
~
0
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0 1
从而得方程组的通解为
x1 1
x
x2 x3 x4
k
0 1 0
(k为任意常数)
当a 2 时,把系数矩阵A化为行最简矩阵为
A～
1
1
1 3
1 2 1 2
1 1 2 3
1 2
1 a 3
2 a1
~
0 0 0
1 2 5
0 a 1
0
1 a23
1 1 1 1
~
0
0 0
1 0 0
0 a 1
0
1
a
0
2
当a 1 or a 2 时，R( A) 4，此时方程组
有非零解，可仿照解法一求出它的通解。
四、解矩阵方程的初等变换法
(1) AX B
初等行变换
~ (A B)
(E A1B) X A1B
1 1 1 1 1 1 1 1
解一：A
1 1
4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩
1 1 2 一次行 B = 2 A= ① r r ③ kr ② k r i j i m m
则显然有
1, 2 ,, m 1 , 2 ,, m
行秩(A)=行秩(B)。
所以，初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩。 类似有： 定理2.12 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理5 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理6
① 将向量组以列向量构成矩阵
② 对矩阵A 施以初等行变换化为行最简形矩阵;
A = (1, 2 ,, s ) ;
行
A = (1, 2 ,, s ) B = ( 1, 2 ,, s )
③ 所得矩阵的列向量组中基本单位向量对应 位置的向量即为所求 极大无关组，即
1, 2 ,, s 的极大无关组对应
2 n ) 则称向量组 1, 2 ,, m 为矩阵A的行向量组；
则称向量组 1, 2 ,, n 为矩阵A的列向量组。
1．矩阵的行秩与列秩 定义2 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行 秩，记为行秩A); 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩，记 为列秩A)。 例如，矩阵
r ( A) = 2 ,
推论3 向量组中任两个极大无关组等价。 【由等价的传递性】 推论4 向量组的极大线性无关组所含向量的 个数唯一。 【上节定理5？】 【称这个唯一的数为向量组的秩】
【称这个唯一的数为向量组的秩】 3. 向量组的秩 （1）秩的概念 定义2 向量组 1, 2 ,, s 的极大无关组 所含向量的个数称为该向量组的秩, 记为
1 0 1 1 A= 0 1 3 2
行秩A)＝2， 列秩A)＝2
高等代数与解析几何1~4章习题答案
高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝xxx xx x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式） 4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000000001000001____________.2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B = ⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nnnn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n nn n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a 是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分)因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
证明初等变换不改变矩阵的秩
证明初等变换不改变矩阵的秩
证:设A 为m n ⨯矩阵经过初等行变换变为m n ⨯矩阵B,且
1()R A r =，2()R B r =
1.初等对换变换：i j r r A B ↔−−−→（交换矩阵的第i 行与第j 行）
因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。
因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的积。
2.初等倍法变换：i
kr A B −−→（用非零常数k 乘矩阵的第i 行） 因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。
因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积。
3.初等消法变换：i j r kr
A B +−−−→（矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B
()1若1B 不包含B 的第i 行或既含第j 行也含第i 行，由行列式的性质，则
111
r B D +=， 11r D +为A 的任意11r +阶子式；
()2若1B 含有第i 行但不含有第j 行，由行列式的性质，则
11111r r B D k C ++=+
这里的1111,r r D C ++均为A 的11r +阶子式。
因为A 的任意11r +阶子式均为零，所以
10B =
综上所述，A 经过一次初等行变换化为B 后，B 的11r +阶子式全为零，所以
21r r ≤
由于初等变换可逆，所以B 又可经初等行变换化为A ，即有
12r r ≤
所以
12,()()r r R A R B ==
同理可证初等列变换。
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证明初等变换不改变矩阵的秩
证:设A 为m n ⨯矩阵经过初等行变换变为m n ⨯矩阵B,且
1()R A r =，2()R B r =
1.初等对换变换：i j r r A B ↔−−−→（交换矩阵的第i 行与第j 行）
因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。
因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的积。
2.初等倍法变换：i
kr A B −−→（用非零常数k 乘矩阵的第i 行） 因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。
因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积。
3.初等消法变换：i j r kr
A B +−−−→（矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B
()1若1B 不包含B 的第i 行或既含第j 行也含第i 行，由行列式的性质，则
111
r B D +=， 11r D +为A 的任意11r +阶子式；
()2若1B 含有第i 行但不含有第j 行，由行列式的性质，则
11111r r B D k C ++=+
这里的1111,r r D C ++均为A 的11r +阶子式。
因为A 的任意11r +阶子式均为零，所以
10B =
综上所述，A 经过一次初等行变换化为B 后，B 的11r +阶子式全为零，所以
21r r ≤
由于初等变换可逆，所以B 又可经初等行变换化为A ，即有
12r r ≤
所以
12,()()
r r R A R B
==
同理可证初等列变换。