二次根式的化简与计算

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二次根式

【知识要点】

1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质（1）()

()02

≥=a a

a

（2）()()()

⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>==000

02a a a a a

a a （3）()0,0≥≥⋅=⋅

b a b

a b a

（4）

()0,0>≥=b a b

a b a

3．运算法则：

（1）乘法运算：()0,0≥≥=⋅b a ab b a

（2）除法运算：

()0,0>≥=

b a b

a

b

a 【化简以及分母有理化】

|a =

内移：，当0a >

时，当0a <

时，

4．最简的二次根式：

（1）被开方数因数是整数，因式是整式．

（2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

方法:①单项a =来确定．

②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定．

如: a 与a

例题. 化简：（1＝；（2= .

= .

＝；

同类二次根式 (1)定义:

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

(2)判断方法：注意以下三点： ①都是二次根式，即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式；

③被开方数相同. 【重难点解析】

1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。

如：=== 2．根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。

如=== 253⨯

3．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如：

x ===(1x x + 4．单项的分母有理化，可以直接分子分母同时乘以分母再约分。

如：

3== 、233====⨯

1. 9的算术平方根是；平方根是 .

49

25

的平方根是；81的算术平方根是 . 2、一个数的立方根是4，这个数的平方根是 .

例6、解方程（1）（x+1）2

=36 （2）27(x+1)3

=64

223(2)0y z -++=，求xyz 的值。 3、已知

互为相反数，

求a ，b 的值。

4.一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.

5．已知

+1的整数部分为a ，小数部分为b ，求a-b 的值．

【经典例题】

1.下列式子一定是二次根式的是（）

A ．

2--x B ．x C ．22+x D ．22-x

A . a ≥3

B . a >3

C . a ≤3

D . a <3 3. （1）当x ______

在实数范围内有意义．

（2）当x ______时，二次根式2

)1(--x 在实数范围内有意义．

4．x 为何值时，下列代数式有意义

（1）x x -+-22 （2）32+x （5）2

)1(--x

2．计算下列各题：（1）()

2

7 （2）2

43⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ （3）()

2

23

（4）2

55⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛ （5

（6

例题. 化简：（1＝；（2

= .

5．化简

4515562154108504812

⨯⨯

121699⨯⨯ 637⨯

()()2512-⨯-

= .

＝； 4．把下列各式分母有理化（1）12

1 （2）

2

33 （3）

121

21 （4）50

351-

例6．计算

（1）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⨯32335 （2）

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⨯56215

（3）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⨯614123 （4）5433

1

12785⋅⋅⋅

-

（6

·（

m>0，n>0）