初三数学一元二次方程讲义教案章节练习总练习

一元二次方程的解法

【要点综述】：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。

在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：

。

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。

因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为

的形式，那么这个方程就是一元二次方程。

1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1）3523-=+x x ,（2）42=x ,（3）2112

x x x =-+-,（4）22)2(4+=-x x

(5)3x 2+x=20，(6)2x 2-3xy+4=0，(7)x 2-

1x =4，(8)x 2=0，(9)x 2-3

x

+3=0 2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1）y y =26 2）（x-2）(x+3)=8 3）2

)2()43)(3(+=-+x x x

4)x x 3222-= 5)2x(x-1)=3(x-5)-4 6) ()()()()231122

2

-+=+--y y y y

3、()x x 6542

=+-化成一般形式是___________________________________，其中一

次项系数是___________

4、方程02

=-x x 的一次项系数是___________，常数项是__________

下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它

化为两个一元一次方程。

一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表： 方法 适合方程类型

注意事项

直接开平方法

≥0时有解，＜0时无解。

配方法

二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。

公式法

≥0时，方程有解；

＜0

时，方程无解。先化为一般形式再用公式。 因式分解法

方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。

方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。

例1：用开平方法解下面的一元二次方程。

（1）；（2）

（3）；（4）

分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，

其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；

第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；

第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。

解：（1）

∴（注意不要丢解）

由得，

由得，

∴原方程的解为：，

（2）

由得，

由得

∴原方程的解为：，

（3）

∴，

∴

∴，

∴原方程的解为：，

（4） ∴，即

∴

，

∴，

∴原方程的解为：，

说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式， 像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，

只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。 【附训练典题】

1、用直接开平方法解下列方程：

（1）； （2）

； （3）

； （4）

.

（5）2225x =； （6）2

1440y -=． （7）2

(1)9x -=； （8）2

(21)3x +=； （9）2

(61)250x --=． （10）2

81(2)16x -=． （11）2

5(21)180y -=； （12）

21

(31)644

x +=； （13）26(2)1x +=； （14）2

()(00)ax c b b a -=≠，≥ 例3 ：用配方法解下列一元二次方程。 （1）

；（2）

分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，

变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，

即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，

即：，

接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。

解：（1）

二次项系数化为1，移常数项得：，

配方得：，即

直接开平方得：

∴，

∴原方程的解为：，

（2）

二次项系数化为1，移常数项得：

方程两边都加上一次项系数一半的平方得：

即

直接开平方得：

∴，

∴原方程的解为：，

说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。 配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边； 再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。

【附训练典题】

1. 填空

（1）28x x ++（ ）=（x + ）2

．

（2）22

3x x -

+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a

-+（ ）＝（y - ）2

．

2. 用适当的数（式）填空：

23x x -+

(x =-

2)； 2x px -+

＝(x -

2)

23223(x x x +-=+

2)+

．

3. 方程22

103

x x -

+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是

．

4. 用配方法解下列方程

210x x +-= 23610x x +-= 21

(1)2(1)02

x x ---+

= 23610x x --= 22540x x --= 210x x --=

23920x x -+=

.

例4：用公式法解下列方程。

（1）；（2）

分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方

程化成一般形式，

然后计算判别式的值，当

≥0时，把各项系数的值代入求

根公式即可得到方程的根。