江苏省无锡市高一数学 数列重点难点突破一(含解析)苏教版
高一数学数列重点难点必考点串讲一
课前抽测（基础题课后作业+学霸必做题课堂集训） 1、设R ∈λ,)2(cos )cos sin (cos )(2x x x x x f -+-=π
λ满足()03f f π??
-= ???
. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；
（Ⅱ）设ABC ?三内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,且c a c
c
b a b
c a -=-+-+22
22222，求)(x f 在(]B ,0上的值域．； 【答案】（1） )](6
5,3
[Z k k k ∈+
+π
ππ
π （2）(1,2]- 【解析】
试题分析：（1）由()(0)3
f f π
-
=可得23λ=，进一步化简函数()f x ，由三角函数性质
可求单调递增区间；（2）由正、余弦定理可求得3B π
=
，由三角函数性质可求函数值域. 试题解析：（1）x x x x x x x f 2cos 2sin 2
1
sin cos cos sin )(22-=+-=λλ
()(0)233
f f π
λ-=?=
)62sin(2)(π
-=∴x x f 的单调减区间为)](6
5,3[Z k k k ∈++ππππ 6分
（Ⅱ） c a c
c
b a b
c a -=-+-+22
22222,由余弦定理可变形为c a c C ab B ac -=2cos 2cos 2， 由正弦定理：cos 23
B B π
1=?= 10分 由]3,
0(π
∈x 2626π
π
π
≤
-
<-
?x ]
2,1()(-∈?x f
12分
考点：三角变换，正、余弦定理解三角形，三角函数和性质. 2、在ABC ?中，π
4
B =
，则sin sin A C ?的最大值是（ ） A ．
124+ B ．34 C ．2
2
D ．224+
【答案】D
【解析】 试
题分析：
sin sin sin sin()A C A A B π=--3sin sin(
)4
A A π=-22sin (cos sin )22A A A =+
，∵，∴
时，sin sin A C 取得最大值
考点：三角函数的最值.
3．△ABC ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形 【答案】A 【解析】
试题分析：由正弦定理，得
，即
cos sin cos sin ,cos sin -cos sin =0A B B A A B B A =∴ ，
即sin(B A)0-= ，所以0B A -= ，即B A = 考点：根据正弦定理判断三角形形状
4、在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且（1）若3
BA BC ?=，求a c +的值；
（2.
【答案】（1）3；（2【解析】
）由3BA BC ?=
得：ac=2，由余弦定于是：()2
22
2549a c a c ac +=++=+= 故a+c=3.
（2，由2b ac =得2sin sin sin B A C =，
211cos cos sin cos cos sin sin 147
tan tan sin sin sin sin sin sin 7
A C C A C A
B A
C A C A C B B ++=+====
-----6分
考点：本题考查三角函数与向量与数列的综合，余弦定理、正弦定理
点评：解决本题的关键是熟练掌握余弦定理、正弦定理、同角三角函数之间的基本关系，两角和与差的三角函数等公式 等差等比数列的判定 小题
1、已知等差数列}{}{n n b a ，的前n 项和为n S ，n T ，若对于任意的 自然数n ，都有1
43
2--=
n n T S n n ，则102393153)(2b b a b b a a ++++=________________. 【答案】1943
.
【解析】
试题分析：由等差数列性质可得
3153392102()a a a b b b b ++
++=66a b =661111a b =1111S
T =21134111?-?-=1943
. 故应填1943. 考点：等差数列的性质的应用.
2．在等差数列{}n a 中, 12014a =-，其前n 项的和为n S ,若
20132011
220132011
S S -=,则2014_______S =.
【答案】2014- 【解析】设公差是d ，由
20132011
220132011
S S -=，得()()11100610052a d a d +-+=，2d ∴=，
20141201410072013S a d ∴=+?()1201420132014a =?+=-
考点：考查等差数列前n 项和公式。
3等差数列{}n a 的通项公式21,n a n =+其前n 项和为n S ，则数列n S n ??
????
前10项的和为
（ ） A. 120 B.70 C.75 D. 100 【答案】C. 【解析】 试
题分析：由21,n a n =+得等差数列
{}
n a 中，31=a ，2=d ；则
2)
1(3+=-+=n n
n n n n S n ； 即n S n ??
?
?
??
仍为等差数列，首项为3，公差为1，则其前10项和为7512910310=??+?. 考点：等差数列的通项公式与求和公式.
答题
4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11
2
a =，12n n n a S S -=-? （2n ≥且*n N ∈）． 求证：数列1
{}n
S 是等差数列； 【解析】
试题分析：（1）证明：在原等式两边同除以(1)n n +，得
111n n a a n n +=++，即111n n a a
n n
+-=+，所以{
}n a n 是以111
a
=为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）得1(1)1n a n n n =+-?=，所以2
n a n =，从而3n
n b n =?.
用错位相减法求得1(21)334
n n n S +-?+=.
试题解析：（1）证：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a a
n n
+-=+ 所以{
}n a n 是以111
a
=为首项，1为公差的等差数列． 5、数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈ （1）证明：数列{}n
a n
是等差数列； 【解析】
试题分析：（1）求证：数列1{
}n S 是等差数列，只需证明当2n ≥时，1
11
n n s s --
等于一个与n 无关的常数即可，由已知12n n n a S S -=-? （2n ≥且*n N ∈），可利用当2n ≥时，1n n n a s s -=-，消去n a 得到112n n n n s s s s ---=-，整理即可；
（2）求n S 和n a ，由（１）可知1
{}n
s 是等差数列，其中首项为11112s a ==，公差为2，可得12n S n =，求n a ，这是已知n S 求n a ，可利用1n n n a s s -=-来求.
试题解析：（１）证明：当2n ≥时，112n n n n n a s s s s --=-=-，① 2分
11(12)n n n s s s --∴+= 由上式知若10n s -≠，则0n s ≠ 110s a =≠，由递推关系知0()n s n N *≠∈，
∴由①式可得：当2n ≥时，
1
112n n s s --= 4分 ∴1{}n
s 是等差数列，其中首项为
11
11
2s a ==，公差为2. 6分 6、已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2
)
1(*N n a a S n n n ∈+= 求证数列{}n a 是等差数列； 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）根据数列通项与前n 项和的关系，由)(2
)
1(*N n a a S n n n ∈+=
得：)2(2
)
1(111≥+=
---n a a S n n n
两式相减即可得到数列{}n a 的递推公式，从而可由定义证明此数列为等差数列； 7、已知数列{}n a 的各项均为正数, n S 为其前n 项的和，且对于任意的n N *∈,都有
()2
41n n S a =+。
求12,a a 的值和数列{}n a 的通项公式；
【答案】（1）11a =，23a =；21n a n =-；（2）21
n n
T n =+ 【解析】
试题分析：解：（1）∵n=1时，2111441S a a ==+（）
，∴11a =． ∵n=2时，()2
224=1S a + ，∴23a = 3分
当n≥2时，22
1144411n n n n n a S S a a --=-=+-+（）（） ，∴22112n n n n a a a a --+=-（） ，
()()1120n n n n a a a a --+--= ，
又{}n a 各项均为正数，
∴12n n a a --=．数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴21n a n =-． 6分 数列的性质
8、已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比212
b a a +值为
【答案】
310
【解析】
试题分析：等差数列的109121=+=+a a ，3,0,9912222=>=?=b b b ，则212b a a +10
3= 考点：等差数列和等比数列的性质； 下角标
9、已知等差数列}{n a 中，1475
4
a a a π++=，那么=+)cos(53a a ． 【答案】2
3- 【解析】
试题分析：由等差数列的性质得4
5444471π
=
++=++a a a a a a ，解得1254π=a ，所以
()()2
3
6cos 65cos
cos cos 4453-
=-==+=+ππa a a a ． 考点：1、等差数列的性质；2、诱导公式的应用．
10、数列｛a n ｝中，103,a a 是方程0532=--x x 的两根，若｛n a ｝是等差数列，则=+85a a ＝ .
【答案】3 【解析】
试题分析：由题意可得3103a a += ，因为数列{}n a 是等差数列，所以583103a a a a +=+= 考点：本题考查等差数列的性质
点评：解决本题的关键是掌握等差数列的性质，即若p+q=m+n ，则p q m n a a a a +=+ 11、设{}n a 是由正数组成的等比数列，且5681a a =，则3132310log log log a a a ++
+ 的
值是 A ．20 B ．10 C ．5 D ．2或4 【答案】A 【解析】
试题分析： 由题知：313231031210log log log log (...)a a a a a a ++
+=根据等比性质，得：
55121056...()81a a a a a ==，所以531323103log log log log 8120a a a ++
+==
考点：等比数列的性质
12、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若1
9
4
18,7a a a ，则10
S （ ）
A ．55
B ．81
C ．90
D ．100 【答案】D
试题分析：由等差数列的性质，根据题的条件19
4
18,7a a a 得5
9a ，
所以21n a n ，
再用公式求得2n
s n ，故10
100s ，所以答案为D ．
考点：等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式． 13、已知等差数列{}n a 的前13项之和为
134π
，
则678tan()a a a ++等于（ ） A ．-1 B ．3 C ．3
3
D ．1 【答案】A 【解析】
试题分析：根据等差数列()1131313132
4
a a S π
+=?=即：113722
a a a π
+==
所以：74
a π=
，又因为6787334
a a a a π
++==
，所以()6783tan tan 14a a a π++==-，所以答案为:A.
考点：1.等差数列的前n 项和；2.等差数列的性质；3.正切值.
14．等差数列{}n a 中，3a 和9a 是关于方程的两根，则该数
列的前11项和11S （ ）
A.58
B.88
C.143
D.176
【答案】B 【解析】
试题分析：由题根据韦达定理和等差中项性质不难得到6a ，然后求得数列的前11项和. 由题根据韦达定理得到39611616
8,118822
a a a S a +===∴==，故选B. 考点：等差数列性质 最值问题
15、在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则
d 的取值范围_________．
【答案】71,8?
?--
???
【解析】试题解析：7(1)n a n d =+- ∵当8n =时n S 取最大值
∴87701a d d =+>?>- ;977808
a d d =+
d -<<-
点评：解决本题的关键是利用项的性质判断n S 的最值 考点：本题考查等差数列性质
16、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于（ ）
A 、6
B 、7
C 、8
D 、9 【答案】A 【解析】
试题分析：由46526a a a +==- ，可得53a =- ，又111a =- ，得公差d=2，则
132n a n =-+，由0n
a ，可得13
2
n ≤
，所以此数列前6项为负值，从第7项起，后边都是正值，所以当6S 最小
考点：本题考查等差数列的性质和通项公式
点评：解决本题的关键是求出等差数列的通项公式，还可以求出前n 项和，利用二次函数求解 等距性
17、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且102012,17s s ==，则30s =（ ） A ．22 B ．15 C ．19 D ．13 【答案】B 【解析】
试题分析：因为n {a }是等差数列，所以1020
103020,,s s s s s --成等差数列，
所以()()20103020102s s s s s -=-+，即3020103331731215s s s =-=?-?=. 考点：等差数列的性质.