初三培优二次函数辅导专题训练附详细答案

初三培优二次函数辅导专题训练附详细答案
一、二次函数
1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元
【解析】
【分析】
（1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即
()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可； （2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函
数的最值问题求解；
（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2
212032002400x --+=．然后检验即可.
【详解】
（1）()()()80802320w x y x x =-=--+，
2248025600x x =-+-，
w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-；
（2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+，
2080160x -<≤≤Q ，，
∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．
（3）当2400w =时，()2212032002400x --+=．
解得：12100140x x ，．
== ∵想卖得快， 2140x ∴=不符合题意，应舍去．
答：销售单价应定为100元．
2．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半
轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；
（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．
【详解】
（1）由题意得，
3 2
2
a b
b
a
+-
⎧
⎪
⎨
-⎪
⎩
＝
＝
，
解得
1
4
a
b-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，
设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）
∴x 2-4x=-5
∴点P 的坐标为（-1，-5），
又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1
所以BP 与x 轴交点为（
14，0） ∴S △PAB=
115531524
⨯⨯+= 【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
3．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-
x 2+bx+c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为172
m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16
-
x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在抛物线上 所以4171932
6c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b x a =-
=时，10t y =≦ 答：21246
y x x =-++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，2263y =
>，所以可以通过 （3）令8y =，即212486
x x -++=，可得212240x x -+=
，解得1266x x =+=-
12x x -=
答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用．
4．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m ，当其自变量的值为m 时，其函数值等于﹣m ，则称﹣m 为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n 为零．
例如，图中的函数有4，﹣1两个反向值，其反向距离n 等于5．
（1）分别判断函数y ＝﹣x +1，y ＝1x
-
，y ＝x 2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；
（2）对于函数y ＝x 2﹣b 2x ，
①若其反向距离为零，求b 的值；
②若﹣1≤b ≤3，求其反向距离n 的取值范围；
（3）若函数y＝
2
2
3()
3()
x x x m
x x x m
⎧-≥
⎨
--<
⎩
请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出
相应m的取值范围．
【答案】（1）y＝−1
x
有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2）
①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当m＞2或m≤﹣2时，n＝2，当﹣2＜m≤2时，n＝4．
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；
(2)①根据题意可以求得相应的b的值；
②根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；
(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题．
【详解】
(1)由题意可得，
当﹣m＝﹣m+1时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1没有反向值，
当﹣m＝
1
m
-时，m＝±1，∴n＝1﹣(﹣1)＝2，故y＝
1
x
-有反向值，反向距离为2，
当﹣m＝m2，得m＝0或m＝﹣1，∴n＝0﹣(﹣1)＝1，故y＝x2有反向值，反向距离是1；
(2)①令﹣m＝m2﹣b2m，
解得，m＝0或m＝b2﹣1，
∵反向距离为零，
∴|b2﹣1﹣0|＝0，
解得，b＝±1；
②令﹣m＝m2﹣b2m，
解得，m＝0或m＝b2﹣1，
∴n＝|b2﹣1﹣0|＝|b2﹣1|，
∵﹣1≤b≤3，
∴0≤n≤8；
(3)∵y＝
2
2
3()
3() x x x m
x x x m
⎧-≥
⎨
--<
⎩
，
∴当x≥m时，
﹣m＝m2﹣3m，得m＝0或m＝2，
∴n ＝2﹣0＝2，
∴m ＞2或m ≤﹣2；
当x ＜m 时，
﹣m ＝﹣m 2﹣3m ，
解得，m ＝0或m ＝﹣4，
∴n ＝0﹣(﹣4)＝4，
∴﹣2＜m ≤2，
由上可得，当m ＞2或m ≤﹣2时，n ＝2，
当﹣2＜m ≤2时，n ＝4．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题．
5．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.
（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；
（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；
（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点
关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或
【解析】
【分析】
（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．
（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．
【详解】
（1）证明：∵()()()22
2454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥
∴抛物线与x 轴总有交点.
（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，
方程的两根为：x = 即121
6x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+
1<?m 3∴<
(3)解：令 x = 0， y =6m -+
∴ M （0，6m -+）
由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），
它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），
由题意，可得：
6166m m m 或-+=-+=-
56m m ∴==或
【点睛】
本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．
6．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．
（1）求m 的值；
（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y 13
=
x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】
【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；
（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：
m ＝﹣3；
（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：
x ＝3，
所以点B 的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：
390b a b =-⎧⎨+=⎩
， 解得：13
3
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
所以二次函数的解析式为：y 13
=
x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：
①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，
则∠ODC ＝45°+15°＝60°，
∴OD ＝OC •tan30°3=
设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
， 解得：121203336
x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；
②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，
则∠OEC ＝45°-15°＝30°，
∴OE ＝OC •tan60°＝3
设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
解得：12120332
x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，， 所以M 2（3，﹣2）．
综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
7．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2
y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．
【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.
（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD 长度的最大值为
94
. 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．
②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】
解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0
=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.
∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=
⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=
⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴
3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，
∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：
3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩
，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.
∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).
又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).
∴()
22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-
∴线段QD 长度的最大值为94
.
8．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y （件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
【答案】（1）y 10000x 80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元
【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b ，
把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b 300006k b 20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k 10000b 80000=-⎧⎨=⎩。

∴y 与x 之间的关系式为：y 10000x 80000=-+。

（2）设利润为W ，则
()()()()2
2W x 410000x 8000010000x 12x 3210000x 640000=--+=--+=--+，
∴当x=6时，W 取得最大值，最大值为40000元。

答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。

（1）利用待定系数法求得y 与x 之间的一次函数关系式。

（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W 与销售价格x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值。

9．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；
（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为
2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【答案】（1）2
23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；
（3）2213
(03)22
13(03)2
2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞
【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2
23
y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3
b c =-=-，∴抛物线解析式为
223y x x =--；
（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），
∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；
（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．
①当点P 在点M 上方时，即0
＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=
12
PM×QF=21(3)2t t -+=213
22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t
＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=
12PM×QF=12
（23t t -）=213
22t t -．
综上所述，S=2213
(03)22
{13 (03)22
t t t t t t t 或-+<<-．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
10．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;
(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()
2212,S cm S cm .
①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;
②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值
225
4
. 【解析】 【分析】
（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125
MH CM ==
得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】
(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程5
7.5v
= 在B 点相遇得到方程
15
2.5v
= ∴5
=7.515=2.5v
v
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
解得 23=5
v v ⎧=
⎪⎨⎪⎩
∵在边BC 上相遇，且不包含C 点 ∴
2
/6/3
cm s v cm s ≤＜ ②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形
()
()
515252575102
2
x x ⨯-⨯-=---
=15
过M 点做MH ⊥AC ，则125
MH CM ==
∴11
2152
S MH AP x =
⋅=-+ ∴22S x =
()122152S S x x ⋅=-+⋅ =2430x x -+ =2
15225444x ⎛
⎫--+ ⎪⎝
⎭
因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值
225
4
. 【点睛】
本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S 1和S 2
11．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．
①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或
41
2
或
5-41
②点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到
∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），
AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（1
2
，-
5
2
），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的
解析式为y=-1
5
x+b，把E（
1
2
，-
5
2
）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-
1
5
x-
12
5
，则
解方程组
5
112
55
y x
y x
-
⎧
⎪
⎨
--
⎪⎩
＝
＝
得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式
得到3=13
+
6
2
x
，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5）， 当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0）， 把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得
253005a c c ++=⎧⎨
=-⎩，解得1
5a b =-⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；
（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0）， ∵B （5，0），C （0，﹣5）， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM ⊥BC ，
∴△AMB 为等腰直角三角形， ∴AM=
2AB=2×4=22， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ， ∴PQ=AM=22，PQ ⊥BC ，
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，
∴222=4，
设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5）， 当P 点在直线BC 上方时，
PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4， 当P 点在直线BC 下方时，
PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 15+41，m 25-41
， 综上所述，P 点的横坐标为4或
5+412或5-41
2
； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1
2
，﹣
5
2
，
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b，
把E（1
2
，﹣
5
2
）代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
，解得b=﹣
12
5
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
得
13
6
17
6
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则M1（
13
6
，﹣
17
6
）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
，
∴M2（23
6，﹣
7
6
）.
综上所述，点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
12．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，
∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．
【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB=3，OC=，
∴tan∠BCO==，
∴∠BCO=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=30°，
∴=tan30°=，即=，解得AO=1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，
∴DH=DM，MH=DM，
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，
此时DM=×=，
即△DMH周长的最大值为．
考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想
13．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．
销售量p（件）P=50—x
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？ （2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式． （3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件（2）
()()21
x 15x 5001x 202y {26250
52521x 40x
-++≤≤=-≤≤（3）这40天中该网店第21天获得的利润最大？最
大利润是725元 【解析】 【分析】
（1）分别将q=35代入销售单价关于x 的函数关系式，求出x 即可． （2）应用利润=销售收入－销售成本列式即可．
（3）应用二次函数和反比例函数的性质，分别求出最大值比较即得所求． 【详解】
解：（1）当1≤x≤20时，令1
q 30x 352
=+=，解得；x 10=； 当21≤x≤40时，令525
q 2035x
=+
=，解得；x 35=． ∴第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件．
（2）当1≤x≤20时，()211y 30x 2050x x 15x 50022⎛⎫
=+--=-++ ⎪⎝⎭
； 当21≤x≤40时，()52526250y 202050x 525x x ⎛
⎫
=+
--=- ⎪⎝⎭
． ∴y 关于x 的函数关系式为()()21
x 15x 5001x 202
y {26250
52521x 40x
-++≤≤=-≤≤．
（3）当1≤x≤20时，()2
211y x 15x 500x 15612.522
=-++=--+， ∵1
02
-
<，∴当x=15时，y 有最大值y 1，且y 1=612.5．
当21≤x≤40时，∵26250＞0，∴
26250x 随着x 的增大而减小， ∴当x=21时，26250y 525x =
-有最大值y 2，且226250y 52572521
=-=． ∵y 1＜y 2， ∴这40天中该网店第21天获得的利润最大？最大利润是725元．
14．已知二次函数y=﹣
316x 2+bx+c 的图象经过A （0，3），B （﹣4，﹣92）两点． （1）求b ，c 的值．
（2）二次函数y=﹣
316
x 2+bx+c 的图象与x 轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况． 【答案】（1）983
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式求得b 、c 的值；
（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x 轴有交点，由题意得到方程﹣239168
x x ++3=0，通过解该方程求得x 的值即为抛物线与x 轴交点横坐标． 【详解】（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣92
）分别代入y=﹣316x 2+bx+c ， 得33916416
2c b c =⎧⎪⎨-⨯-+=-⎪⎩， 解得983
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣
316x 2+98x+3， △=（98）2﹣4×（﹣
316）×3=22564＞0， 所以二次函数y=﹣
316x 2+bx+c 的图象与x 轴有公共点， ∵﹣316x 2+98
x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8， ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解
析式与一元二次方程间的转化关系．
15．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ，顶点M 在直线BC 上．
（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；
（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析
（2）22y x 4x 85
=
-+ （3）详见解析
【解析】
【分析】 （1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．
（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标：
设P 22x,x 4x 85⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
, 当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线22y x 4x 85=
-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1y x 32
=+,二者联立可得P 1
（529,48
）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线22y x 4x 85=
-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线22y x 4x 85
=
-+联立可得P 2（﹣5，38）． 【详解】
（1）证明：∵A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），
∴AB=6+4=10
，AC 10==．∴AB=AC ．
由翻折可得，AB=BD ，AC=CD ．∴AB=BD=CD=AC ．∴四边形ABCD 是菱形．
∴CD ∥AB ．
∵C （0，8），∴点D 的坐标是（10，8）． （2）∵y=ax 2﹣10ax+c ，∴对称轴为直线10a x 52a
-=-
=． 设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ， ∴4k b 0b 8+=⎧⎨=⎩，解得k 2b 8=-⎧⎨=⎩
． ∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8．
∵点M 在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2．
∴M （5，，－2）.
又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ，
∴25a 50a c 2c 8-+=-⎧⎨=⎩，解得2a 5c 8
⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴抛物线的函数表达式为22y x 4x 85
=-+． （3）存在．点P 的坐标为P 1（
529,48），P 2（﹣5，38）。