小波时间序列综述

金融时间序列中小波方法的
研究综述
引言
近几年来，伴随着社会经济的快速发展，人们生活水平日益提高，手中存有的闲散资金也愈来愈多，这就为中国股票市场的蓬勃发展提供了前提条件。

中国从上世纪八十年代开始，经济法律体系愈来愈健全，市场体制也不断规范，这进一步促使股票市场成为中国社会经济生活中一个十分重要的元素。

然而，它对于社会经济发展的影响是有利有弊的：健康发展的股票市场能够有效吸收社会的闲散资金，实现社会资源的合理分配，从而推动社会经济的稳健和快速发展；但若在市场监管不力的情况下，它的混乱就会给经济发展带来不利的影响。

股票市场向来被称作经济发展的“晴雨表”，它的发展依靠实体经济的支撑并且较为真实得反应了社会大众对实体经济发展的预期，且它通过价格机制实现了对市场资源的合理配置。

这其中，股票价格反映了特定时刻股票市场中所有利益主体对股票价值的均衡定位，因而对其特点的研究和趋势的预测就成为人们参与市场的起点和归宿。

同样也正是因为此，包含股票价格等一系列金融时间序列的特性研究一直是金融投资领域中的热点问题。

一.小波分析理论简介
1.1小波分析历史
小波这一名称首先是由法国地质学家J.Morlet与A.GorSSmnan在分析地质数据时引进的，Y.Myeer，Mallat及I.DuabechieS等人对小波理论的发展都做了非常重要的贡献至上世纪90年代初期经典的小波理论己经基本成熟，目前国际上的重点已转向小波的推广和应用。

1882年，法国数学家Fuorier从热力学的角度提出一种新的理论即“热的解析理论”，即
被后人广泛应用和称誉的Fourier分析方法。

小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，一方面它包含了丰富的数学内容，可以看成调和分析近半个世纪来的工作结晶;另一方面由于小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，能自动调整时一频窗以适应实际分析的需要，从而可以聚焦到分析对象的任意细节，因而具有简单、随意、灵活的特点。

小波变换虽然是在傅里叶变换的基础上发展起来的，但是与传统的傅里叶变换相比，它是一种时间尺度的局域变换，能够同时在时域和频域进行局域化分析的方法。

小波分析的思想来源于伸缩和平移。

1910年，Haar给出了Haar小波的构造，但由于不光滑，理论上没有引起重视和发展。

1936年，Littlewood一Paely建立了L—P理论，即提出对频率进行二进制分划并证明其本质上不影响函数的形状和大小。

1981年，法国地质物理学家Moretl首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。

1986年，Myeer证明了一维小波基的存在，构造了第一个真正的小波基，国际上从此开始形成研究小波的热潮。

1988年，Mallat和Myeer合作提出了多分辨分析的框架。

同年，年轻的女数学家I.Daubechies在其发表在美国commPuer&Appl.Math的一篇论文中构造了具有紧支集的有限光滑小波函数，被视为小波分析的经典性纲领文献。

后来，信号分析专家Mallat提出了多分辨分析的理论，给出了构造正交小波基一般的方法，并以此为基础提出了著名的快速小波算法—Mallat算法，这是小波理论突破性的成就。

从此，小波分析就从理论研究走向宽广的应用研究。

1990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波。

1991年，Alpert和Rokhlni通过构造r(r>2)个尺度函数，形成了多小波的理论思想。

1994年Goodmna等人基于r重多分辨分析，建立了多小波的基本理论框架。

至此经典小波分析理论己基本成熟，近年来高维小波理论己逐步被人们所关注。

1.2小波分析在金融时间序列领域应用现状
金融时间序列都表现出较强的非平稳性和长记忆性，小波对非平稳序列的时频两域分析能力，使其能够广泛地应用于金融时间序列的建模和波
动分析中。

目前，小波分析对金融时间序列处理主要有以下几个方面：(1)将金融时间序列看做含噪信号，利用小波分析的多分辨分析能力识别并去除其中的噪声，以得到更能反映真实市场情况的金融时间序列。

(2)利用小波变换对非平稳时间序列进行分析与拟合。

(3)利用小波分析对信号突变点的灵敏性来检测时间序列中的奇异点，并对其进行定位。

(4)利用小波分析对金融时间序列高频数据进行探测与分析。

二. 金融时间序列分析基本理论与研究现状
2.1时间序列的基本理论
从直观意义上看，时间序列是指观测到的依时间次序排列的数据序列。

而从概率论的角度来看，时间序列可用随机过程来描述，即一簇随机变量，其中不同时刻的和有一定程度的相互依赖关系。

在实际问题中，时间序列分析的主要任务是根据观测数据的特点，为数据建立尽可能合理的统计模型，再利用模型去理解数据的统计规律，以期达到控制或预测的目的。

对于时间序列的建模一般分为三个步骤:模型识别、模型的参数估计和模型的检验。

相应的分析方法主要分为时域分析和频域分析两大类。

时域分析主要强调序列在不同时刻的相互依赖关系，统计方法侧重于时域内诸统计量的计算。

频域分析则强调分析时间序列的谱分解的特征，侧重于计算与频率或潜有关的诸量。

在一般的时域分析中，常用以下三个统计特征量:
(1)均值函数:，其中是的概率密度函数。

(2)自协方差函数:，易见。

特别的，当t=s时，称为时间序列的方差，记为
(3)自相关系数(uatoeorrelationufnetion，ACF):可以简单地看做是的标准化。

平稳序列的自协方差函数与谱分布函数具有等价的描述能力。

因而，对平稳序列的研究既可以研究自协方差函数，又可以研究其谱分布函数或谱密度，前者构成了时间序列分析的时域分析内容，后者构成了
频域分析的内容。

平稳时间序列虽然只是随机序列中的一类特殊类型，但由于其具有非常普遍的实际背景和相对比较完善的理论基础，因而具有很高的应用价值。

其中最简单而又应用最普遍的一类平稳序列是白噪声序列，记为。

白噪声这个概念在工程技术领域被普遍使用。

特别的，如果的分布均为正态分布，则称为正态白噪声。

许多重要的平稳序列都是由白噪声或正态白噪声变换产生的。

2.2金融时间序列相关理论及研究
金融时间序列是由位于不同时间点的数据组成的。

因为它们包含了有关金融市场的全部信息，所以如果能对其进行定量分析，那么对于金融市场的发展以及完善明显有着巨大的指导意义。

时间序列分析理论最早是由Andei Kolmogonor(1930)提出的，他在时间序列模型的参数估计和检测方面做出了卓越的贡献。

1968年，美国统计学家Box和英国的Jenkins提出了一整套随机时间序列理论，囊括了模型识别、参数估计以及模型检验在理论上的分析方法。

随后在1970年，他们出版了著名的《时间序列分析—预测与控制》一书，这对于时间序列分析理论的广泛应用起到了巨大的推进作用。

从此以后，研究者们在此基础上演变出了各种时间序列模型，使得时间序列分析理论日渐坚实与壮大。

大量的实证研究告诉我们，金融时间序列数据并不是稳定的随机序列，其分布多半不是正态分布，而且具有非线性、异方差性和自相关性等性质。

例如股票收益稳态分布的实证研究结果表明，股票收益序列具有厚尾特征的分布。

Peters(1989、1991、1994)，Mantegna和Stanley(1995)等一系列的文献都相继验证了美国股票市场的股票收益序列具有稳态的特性。

徐龙炳(2001)运用稳态分布的极大似然估计方法估计了稳态分布的所有参数，其研究结果也表明，中国股票市场波动呈现非线性，具有状态持续性特征；股票收益不服从正态分布，厚尾特征使得样本方差增大，处于高收益区域和高亏损区域的概率大于正态分布决定的概率，用正态分布很难对其进行拟合。

正因如此，传统的基于正态分布的方法，例如
CAPM 模型、APT 模型等，其用来预测未来股价的走势就会得到很大的偏差甚至完全背离实际的结论。

与此同时，人们在对金融时间序列做预测时，不仅关注的是经济随机变量的均值，而且也会关注它们的高阶矩。

例如，投资组合的选择就不仅取决于收益的均值，也同样取决于收益的方差。

在现代金融理论中，金融市场上收益的风险往往是用方差来描述和度量的。

传统的金融市场模型假设方差不变明显是与实际情况不相符合的。

早在20 世纪60 年代，Mandelbrot(1963)在对各种价格及其收益进行深入研究后就指出：“一个描述金融价格的随机变量可能具有趋向于无穷的方差。

”他还观察到，方差在变化过程中，会出现较大波动相对集中在某些时段里，较小的波动相对集中在另一些时段里，也就是波动聚集现象。

如果方差依赖于时间序列的过去值，那么在对其进行预测时，方差恒定的假定就会使我们丢失很多有用的信息，这于预测的准确性是相当不利的。

之后的McNees(1979)在文献中又指出，不同预测时期所隐含的不确定性或随机性会随时间不同而变化。

他同样也证实，大的误差和小的误差存在聚集效应。

种种这些研究都表明，传统的线性回归模型关于独立同方差的假设不适于描述金融价格与收益行为。

于是，许多金融学家和经济计量学家开始用二阶或更高阶矩随时间变化的模型来描述各种经济和金融行为。

在上世纪的八十年代，Engle提出了著名的自回归条件异方差模型，即ARCH 模型（Autoregressive Conditional Heterskedastic Model），它能够刻画随机变量的方差随时间的变化而变化的特殊性质。

因为很多金融时间序列都存在 ARCH 效应，ARCH模型被广泛运用于金融时间序列的建模、分析与预测中。

1986 年,Bollerslev（1986）在 ARCH 模型的基础上发展出了广义自回归条件异方差模型（Generalized ARCH Model），简称GARCH模型。

从那以后，研究者们运用这些模型对大量时间序列进行了分析，发表了大量相关文章为条件异方差模型的广泛应用起到了积极地推进作用。

例如 Baillie R.T.和 R.P. De Gennaro(1990)，Nelson D. (1991)分别基于ARCH 类模型对股票收益和资产收益的波动性特征进行
了分析。

Rezo G.A (1996)则提出了基于ARCH模型的针对非线性金融序列波动性的改进分析方法。

Michael Sabbatini和Oliver Lint(1996)也将ARCH类模型应用到对瑞士市场指数的波动性描述上。

在国内，也有很多学者在此方面做了深入的研究和大胆的尝试，例如苏岩和杨振海(2007)利用GARCH(1,1)模型对人民币/日元汇率做出了较好的拟合及预测。

刘妹伶等(2008)利用GARCH 模型对人民币/美元汇率进行了预测，也取得了满意的实证结果。

刘霁雯等(2010)则探讨了GARCH 族模型在中国旅游酒店板块指数的收益率波动分析上的适用性。

由上述内容我们已经知道，金融时间序列是多么庞杂的数据集合，单纯得运用传统时间序列理论对其进行分析，往往力不从心。

随着上世纪九十年代初Donohn等人将正交小波方法引进统计学以来，基于小波分析理论的时间序列分析逐渐走入研究者们的视线。

Hoffmann(1999)首次用小波估计量处理自回归问题。

邓凯旭和宋宝瑞(2006)将小波Mallat 算法与自回归线性模型很好地结合，以年均太阳黑子数序列这样典型的非平稳时间序列为对象，其实证结果表明这种综合方法的预测准确度优于单独使用自回归模型。

汤成友和缈韧(2007)运用小波Mallat 算法，选用Daubechies小波函数对水文时间序列进行了分解，并且表明可以在各分解层上运用各种确定性模型或随机模型来建立合适的时间序列模型。

史建平等(2007)应用结合小波方差的时间序列分析方法，对人民币汇率波动序列中存在的长记忆性进行了分析。

可见，基于小波分析的时间序列分析理论已在逐步的深入与完善之中，并得到了较为广泛的应用。

三.小波去噪方法在金融时间序列的研究与应用
3.1市场摆动滤波
市场摆动滤波分析法是1977年Arthur.A发表的。

摆动滤波和摆动交易在美国的历史已有近百年，它反映了投资人对市场分析与市场交易技术客观化的早期追求。

由于金融市场中存在有各种偶然因素，它们就会使得金融时间序列中包含许多噪声。

这些噪声往往掩盖了真实的市场动向与规律，严重影
响了对于序列数据中包含的有用信息的准确识别与提取。

因此，对金融时间序列去噪成为进一步对序列数据进行分析的关键步骤。

传统的经济信号噪声的分析方法主要有移动平均法、卡尔曼滤波方法、传统滤波方法和维纳滤波方法等。

这些方法的共同之处在于它们都是假设信号是光滑的，噪声是不平滑的，并基于此通过对噪声进行平滑来达到对原含噪信号去噪的目的。

我们已经知道，金融时间序列本身并不是光滑的，且常常具有非平稳性、非线性、异方差性等特点。

所以试图用传统的经济信号去噪方法，很容易会在对噪声平滑的过程中将其所包含的价值信息忽略掉了，或者导致有用信息歪曲，这也就会使得处理以后的时间序列包含的有用信息不全面或者有所扭曲。

因而传统的经济信号去噪方法是存在较多的不足之处的。

而小波分析理论能够同时对信号进行时频域上的的局部化多层次化分析，具有“自适应性”的特点，很适合于对非平稳、非线性的信号进行处理。

下面从总结市场摆动滤波不足的基础上，初步讨论小波滤波方法在金融时间序列分析中的应用。

第一步:确定滤波尺寸。

滤波尺寸的确定不是根据主观标准，而是根据客观标准，即滤波尺寸的大小要根据事先确定的统计标准。

例如在85%的情况下，使滤波过程能保留所需价格波动而去除波动噪音。

第二步:确定价格波动的转折点。

价格波动转折点的确定过程是一个不断使用固定尺度滤波的过程，即
①确定上折点、局部顶点或全局顶点:设定滤波尺寸:计算价格返转信号=价格新高/(1+滤波尺寸);市场价格小于价格返转信号时，即为价格上折点。

②确定下折点、局部低点或全局低点:设定滤波尺寸:计算价格返转信号二价格新低*(1+滤波尺寸);市场价格大于价格返转信号时，即为价格下折点。

第三步:确定合格的价格摆动。

当中段的价格波动距离小于左右两侧反向的价格波动距离时便构成一个合格的价格摆动;若不合格，则不构成价格摆动。

当增加滤波尺寸时，对价格摆动方向的判断点并不因此产生明显的时间滞后。

根据滤波摆动的规则，对价格摆动判断点并不是价格折点对应的时间区域，
该方向判断点必然滞后于价格折点。

价格摆动滤波是一种分析技术，操作程序简单，符合投资分析与投资操作的简化原则，但作为交易技术，存在两个缺陷:
①滤波尺寸是固定的。

市场通常存在均衡状态与失衡状态周期性交替现象，此时，滤波尺寸理应随之缩小和放大，如果该滤波器具有自动跟踪市场状态变化并自动随之缩放功能，则可为交易提供更为直接安全的保护;
②没有实现价格还原。

该分析技术通过滤波操作从市场数据中提取到市场信息之后，没有通过价格还原技术使市场价格重新承载以获得加工的市场信息。

这种现象是己大量发表的计算机指标分析技术中的通病。

3.2小波滤波思想
在经济金融领域中，经济现象的发展和变化不是独立的，而是受到多种因素和多种作用力的影响，它们往往包含在一系列的金融时间序列数据中。

各种偶然因素的存在使得金融时间序列中存在许多的噪声，这些微小且不规则的干扰往往会对序列数据的深入分析和研究带来较大的误差。

用传统的滤波去噪方法对金融时间序列进行处理时，往往难以全面准确得捕捉有效信息，这就会导致有用信息的丢失或者扭曲，从而使得分析结果偏离实际情况。

而基于小波分析的去噪方法，具有多分辨分析的特点，能够将金融时间序列分解到不同的分解层上，并有效区分有用信息和噪声，从而达到理想的去噪效果。

在刻画金融时间序列波动性方面，由于金融时间序列多半具有非线性、非平稳性以及异方差性等特点，传统的时间序列模型关于独立同方差的假定并不适用于对其进行刻画。

直到 Engle 提出 ARCH 模型之后，对于时变的波动率序列建模才有了新的突破。

而后由Bollerseler 提出GARCH 模型,它是在ARCH 模型的基础上建立起来的，是ARCH 模型的扩展。

由于其参数估计相对简
单，因而其在实证上得到了更为广泛的运用。

将小波分析与时间序列模型相结合，以个股收益率序列为研究对象，首先对其进行小波的分解与重构，然后对每一支重构信号进行时间序列建模分析，以期更好得描述收益率序列的波动特征并进行预测。

实证结果表明，结合小波的时间序列分析方法是可行的，具有一定的实用价值。

由时间序列的小波分解及重构模型，通过若干次小波变换可将原信号逐层分解到不同频率的通道上，使得趋势项、周期项和随机项分离。

因为实际数据中的偶然因素不造成广泛的影响，考虑消去这些偶然因素必能大大减小计算量，而且在给定的精度下不会产生很大的误差。

小波变换的多尺度和时频局部化分析特性，能够突出主要因素引起的数据变化和宏观突变点。

因此小波域滤波是优于其它滤波与自适应滤波等方法的一种滤波方法。

信号中，噪声往往对应高频成分表现出一定的奇异性。

噪声的小波变换的模值将随尺度的增大而递减川。

在小尺度上，原信号的小波变换几乎被淹灭;随着尺度的增大，原信号的小波变换幅值相应增大，小波逼近逐渐显露出来:当尺度足够大时，噪声的影响几乎完全消失，表现为信号的趋势部分，这就是小波滤波的原理所在。

小波域滤波是根据信号和噪声在不同尺度上小波变换的不同性态表现构造相应的规则，对信号和噪声的小波变换进行处理，其实质是减小以至于完全剔除由噪声控制的小波系数，同时最大限度地保留有效信号对应的小波系数，再由处理后的小波系数重构原信号。

3.3小波去噪的几种常用方法
对噪声小波系数的处理，一般有如下三种较为有效的去噪方法：一是由Mallat提出的基于小波变换模极大值原理的去噪方法。

即根据信号和噪声在小波变换各个尺度上的不同传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，保留信号所对应的模极大值点，然后利用剩余模极大值点重构小波系数，进而恢复原信号。

二是基于小波变换域内系数相关性的滤波算法。

即对含噪信号作小波变换后，计算相邻尺度间各点小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，
然后直接重构信号。

三是Donoho提出的阈值去噪方法。

该方法认为有效信号对应的小波系数含有信号的重要信息，幅值较大但数目较少，而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数较多但幅值小。

因此，将低于某一闭值的小波系数置为0，高于这一阈值的小波系数予以保留或进行收缩，而得到估计小波系数，再进行重构。

在精度要求不高，对重构的边缘无太大要求的情况下，可采用一种简单去噪法，只滤去波动部分而重构信号则能较多地反映原信号的大体趋势，算法如下:
①用Mallat分解算法，求含噪信号在尺度j(j=1,2,3,…,,≦4)的小波变换:
②计算，其中M为上的小波变换的最大幅值，C是一常数;
③在尺度上，将处的值置0，否则转下一步;
③由在各尺度上的平均求得x点的李普西兹指数,若或-0.5，令;
④将j=1，2,…,上的小波变换置0;
⑤由尺度J的变换系数，用构造的小波变换系数；
⑥重构信号:
时间序列的细微波动很难预测，可预测的只是序列的大体变动趋势。

因此在进行市场预测分析时，可采用这种去噪方法，去除变化中的细微波动。

虽然重构精度不如前几种方法，但它的计算量要远远小得多。

3.4结合小波方法的时间序列预测分析
ARMA模型是一类常见的随机时序模型.它由美国统计学家博克斯(Gergco Box)和英国统计学家詹金斯 (Cwilyrn Jenkins)在20世纪70年代提出来的。

亦称B—J方法。

这是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本思想是:某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变量，构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性.可以用相应的数学模型来近似的描述。

ARMA模型可以表示为:
若q=0，则ARMA模型变为自回归模型AR(p));若p=0，则ARMA模型变为移动平均模型MA(q)。

建立ARMA模型的前提条件是.所要分析的时间
序列必须是一个平稳的时间序列。

因此在利用ARMA模型预测之前，对上述各分解重构信号进行平稳性检验，结果如表所示:
各分解重构信号的平稳性检验结果
由检验可知，各分解重构信号均是平稳过程，满足ARMA模型建模研究。

建立ARMA模型，通常是利用序列的自相关函数和偏自相关函数对序列适合的模型类型进行识别，以确定适宜的阶数p、q。

MA(q)序列的特征是:其自相关函数在q阶之后全部为0,即表现为q阶截尾性;其偏自相关函数随着滞后期的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0，即表现为拖尾性。

AR序列的特征是，其偏自相关函数在p阶之后全部为0,即表现为p阶截尾性;其自相关函数则随着滞后期的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0,即体现为拖尾性。

而ARMA（p,q）序列的自相关和偏自相关函数均表现为拖尾性，故不能用自相关或偏自相关函数来定阶，目前较为常用的方法是AIC或SC信息准则法，即选取使AIC值或SC 值达到最小的那一组阶数为理想阶数。

根据上述规则，用Eviews5.0对经。