小波时间序列综述

金融时间序列中小波方法的

研究综述

引言

近几年来，伴随着社会经济的快速发展，人们生活水平日益提高，手中存有的闲散资金也愈来愈多，这就为中国股票市场的蓬勃发展提供了前提条件。中国从上世纪八十年代开始，经济法律体系愈来愈健全，市场体制也不断规范，这进一步促使股票市场成为中国社会经济生活中一个十分重要的元素。然而，它对于社会经济发展的影响是有利有弊的：健康发展的股票市场能够有效吸收社会的闲散资金，实现社会资源的合理分配，从而推动社会经济的稳健和快速发展；但若在市场监管不力的情况下，它的混乱就会给经济发展带来不利的影响。股票市场向来被称作经济发展的“晴雨表”，它的发展依靠实体经济的支撑并且较为真实得反应了社会大众对实体经济发展的预期，且它通过价格机制实现了对市场资源的合理配置。这其中，股票价格反映了特定时刻股票市场中所有利益主体对股票价值的均衡定位，因而对其特点的研究和趋势的预测就成为人们参与市场的起点和归宿。同样也正是因为此，包含股票价格等一系列金融时间序列的特性研究一直是金融投资领域中的热点问题。

一.小波分析理论简介

1.1小波分析历史

小波这一名称首先是由法国地质学家J.Morlet与A.GorSSmnan在分析地质数据时引进的，Y.Myeer，Mallat及I.DuabechieS等人对小波理论的发展都做了非常重要的贡献至上世纪90年代初期经典的小波理论己经基本成熟，目前国际上的重点已转向小波的推广和应用。1882年，法国数学家Fuorier从热力学的角度提出一种新的理论即“热的解析理论”，即

被后人广泛应用和称誉的Fourier分析方法。小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，一方面它包含了丰富的数学内容，可以看成调和分析近半个世纪来的工作结晶;另一方面由于小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，能自动调整时一频窗以适应实际分析的需要，从而可以聚焦到分析对象的任意细节，因而具有简单、随意、灵活的特点。小波变换虽然是在傅里叶变换的基础上发展起来的，但是与传统的傅里叶变换相比，它是一种时间尺度的局域变换，能够同时在时域和频域进行局域化分析的方法。小波分析的思想来源于伸缩和平移。1910年，Haar给出了Haar小波的构造，但由于不光滑，理论上没有引起重视和发展。1936年，Littlewood一Paely建立了L—P理论，即提出对频率进行二进制分划并证明其本质上不影响函数的形状和大小。1981年，法国地质物理学家Moretl首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。1986年，Myeer证明了一维小波基的存在，构造了第一个真正的小波基，国际上从此开始形成研究小波的热潮。1988年，Mallat和Myeer合作提出了多分辨分析的框架。同年，年轻的女数学家I.Daubechies在其发表在美国commPuer&Appl.Math的一篇论文中构造了具有紧支集的有限光滑小波函数，被视为小波分析的经典性纲领文献。后来，信号分析专家Mallat提出了多分辨分析的理论，给出了构造正交小波基一般的方法，并以此为基础提出了著名的快速小波算法—Mallat算法，这是小波理论突破性的成就。从此，小波分析就从理论研究走向宽广的应用研究。1990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波。1991年，Alpert和Rokhlni通过构造r(r>2)个尺度函数，形成了多小波的理论思想。1994年Goodmna等人基于r重多分辨分析，建立了多小波的基本理论框架。至此经典小波分析理论己基本成熟，近年来高维小波理论己逐步被人们所关注。

1.2小波分析在金融时间序列领域应用现状

金融时间序列都表现出较强的非平稳性和长记忆性，小波对非平稳序列的时频两域分析能力，使其能够广泛地应用于金融时间序列的建模和波

动分析中。目前，小波分析对金融时间序列处理主要有以下几个方面：(1)将金融时间序列看做含噪信号，利用小波分析的多分辨分析能力识别并去除其中的噪声，以得到更能反映真实市场情况的金融时间序列。

(2)利用小波变换对非平稳时间序列进行分析与拟合。

(3)利用小波分析对信号突变点的灵敏性来检测时间序列中的奇异点，并对其进行定位。

(4)利用小波分析对金融时间序列高频数据进行探测与分析。

二. 金融时间序列分析基本理论与研究现状

2.1时间序列的基本理论

从直观意义上看，时间序列是指观测到的依时间次序排列的数据序列。而从概率论的角度来看，时间序列可用随机过程来描述，即一簇随机变量，其中不同时刻的和有一定程度的相互依赖关系。在实际问题中，时间序列分析的主要任务是根据观测数据的特点，为数据建立尽可能合理的统计模型，再利用模型去理解数据的统计规律，以期达到控制或预测的目的。对于时间序列的建模一般分为三个步骤:模型识别、模型的参数估计和模型的检验。相应的分析方法主要分为时域分析和频域分析两大类。时域分析主要强调序列在不同时刻的相互依赖关系，统计方法侧重于时域内诸统计量的计算。频域分析则强调分析时间序列的谱分解的特征，侧重于计算与频率或潜有关的诸量。在一般的时域分析中，常用以下三个统计特征量:

(1)均值函数:，其中是的概率密度函数。

(2)自协方差函数:，易见。特别的，当t=s时，称为时间序列的方差，记为

(3)自相关系数(uatoeorrelationufnetion，ACF):可以简单地看做是的标准化。

平稳序列的自协方差函数与谱分布函数具有等价的描述能力。因而，对平稳序列的研究既可以研究自协方差函数，又可以研究其谱分布函数或谱密度，前者构成了时间序列分析的时域分析内容，后者构成了

频域分析的内容。

平稳时间序列虽然只是随机序列中的一类特殊类型，但由于其具有非常普遍的实际背景和相对比较完善的理论基础，因而具有很高的应用价值。其中最简单而又应用最普遍的一类平稳序列是白噪声序列，记为。白噪声这个概念在工程技术领域被普遍使用。特别的，如果的分布均为正态分布，则称为正态白噪声。许多重要的平稳序列都是由白噪声或正态白噪声变换产生的。

2.2金融时间序列相关理论及研究

金融时间序列是由位于不同时间点的数据组成的。因为它们包含了有关金融市场的全部信息，所以如果能对其进行定量分析，那么对于金融市场的发展以及完善明显有着巨大的指导意义。时间序列分析理论最早是由Andei Kolmogonor(1930)提出的，他在时间序列模型的参数估计和检测方面做出了卓越的贡献。1968年，美国统计学家Box和英国的Jenkins提出了一整套随机时间序列理论，囊括了模型识别、参数估计以及模型检验在理论上的分析方法。随后在1970年，他们出版了著名的《时间序列分析—预测与控制》一书，这对于时间序列分析理论的广泛应用起到了巨大的推进作用。从此以后，研究者们在此基础上演变出了各种时间序列模型，使得时间序列分析理论日渐坚实与壮大。大量的实证研究告诉我们，金融时间序列数据并不是稳定的随机序列，其分布多半不是正态分布，而且具有非线性、异方差性和自相关性等性质。例如股票收益稳态分布的实证研究结果表明，股票收益序列具有厚尾特征的分布。Peters(1989、1991、1994)，Mantegna和Stanley(1995)等一系列的文献都相继验证了美国股票市场的股票收益序列具有稳态的特性。徐龙炳(2001)运用稳态分布的极大似然估计方法估计了稳态分布的所有参数，其研究结果也表明，中国股票市场波动呈现非线性，具有状态持续性特征；股票收益不服从正态分布，厚尾特征使得样本方差增大，处于高收益区域和高亏损区域的概率大于正态分布决定的概率，用正态分布很难对其进行拟合。正因如此，传统的基于正态分布的方法，例如