由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
推导自然数立方和公式两种方法
推导自然数立方和公式两种方法自然数立方和公式是指1³+2³+3³+.+n³的公式，下面我将介绍两种推导方法。
第一种方法是利用数学归纳法来证明。
第一步，当n=1时，1³=1，所以等式成立。
第二步，假设当n=k时，公式成立，即1³+2³+3³+.+k³=k²(k+1)²/4。
第三步，当n=k+1时，(k+1)³=k³+3k²+3k+1，所以(k+1)³+1³=(k+1)³-k³=3k²+4k+1=(k+1)²(k+2)/4。
因此当n=k+1时，公式也成立。
第四步，根据数学归纳法，我们可以得出1³+2³+3³+.+n³=n²(n+1)²/4对所有正整数n都成立。
第二种方法是利用排列组合的知识来证明。
第一步，考虑从n个不同的自然数中任取3个数的组合数。
这些组合数可以表示为C(n,3)，即从n个不同元素中取出3个元素的组合数。
第二步，根据排列组合的知识，C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。
因此，对于任意的n，我们有C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。
第三步，利用上述公式，我们可以得到1³+2³+3³+.+n³=C(1,3)+C(2,3)+C(3,3)+.+C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6 + n(n-1)(n-2)/6 + n(n-1)(n-2)/6 + . + n(n-1)(n-2)/6 =n²(n+1)²/4。
因此，我们得到了自然数立方和公式为1³+2³+3³+.+n³=n²(n+1)²/4，并且利用两种不同的方法证明了该公式的正确性。
推导自然数立方和公式两种方法
推导自然数立方和公式两种方法推导213)1(21+=∑=n n k n k 的两种方法通化市第一中学校刘天云邮编 134001方法一：拆项累加相消求和已知：)12)(1(6112++=∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++=++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=nk n k n k n k k k k k k k 11121323)]2)(1([)1(212)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21??+=n n 另外：∑=+++=++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(41)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n)(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(41643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / ……我们用两种方法研究前n 群的所有数的和.1、第n 群最末一个数是数列的第)1(21+n n 项，而且该项为 11)1(2122)1(21-+=-+?=+n n n n a n n那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(21+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21+-=-??+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(21n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=nk k 13.2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2)1(21+n n 因此：213)1(21+=∑=n n k n k。
由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6怎么推导？利用(n+1)³-n³=3n²+3n+1即可1³-0³=3×0²+3×0+12³-1³=3×1²+3×1+13³-2³=3×2²+3×2+14³-3³=3×3²+3×3+1……(n+1)³-n³=3n²+3n+1∴(n+1)³＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1)……Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6设S=1^2+2^2+....+n^2(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1........2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n 所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)方法1：由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,利用叠加法可得3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=（n+1）^3-1.由此等式可得1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.方法2:由组合数性质可得:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1),即2×1/2+3×2/2+4×3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1)/6整理得(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3,所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n)=...12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。
自然数的平方和公式的推导方法总结
自然数的平方和公式的推导方法总结
(1)把自然数的平方表示出来，
左右两边分别相加得．
S2(n)＝[S2(n)－n2]＋[2S1(n)－2n]＋n．
等式两边的S2(n)被消去了，无法从中求出S2(n)的值，尝试失败了！
(2)从失败中汲取有用信息进行新的尝试．
前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出S2(n)，
却求出了S1(n)的表达式，即S1(n)＝，它启示我们，既然能用上面的方法求出S1(n)，那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n)．
(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．
具体方法如下：
左右两边分别相加得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n．
∴S2(n)＝．终于导出了公式．。
自然数的和,平方和,立方和
=
⑤ 1 2 2 3 3 4 n(n 1) =
⑥ 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n(n 1)(n 2) =
n( n 1)( n 2)( n 3) 4
将以上等式两边相加得：
23 33 43 (n 1) 3 (13 23 33 n3 ) 3 (12 2 2 32 n 2 )
3 (1 2 3 n) 1 n
n(n 1) n 3 (12 2 2 32 n 2 ) = (n 1) 3 — 13 3 2
2 2 2 2
③自然数立方（三次方）的和，即： 1 2 3 n
3 3 3
3
求①式可用 (n 1) 2 来计算；求②式可用 (n 1) 3 来计算；求③式可用 (n 1) 4 来计算 ① ∵ (n 1) 2 n 2 2n 1 ∴
2 2 12 2 1 1
∴
12 2 2 32 n 2 =
n( n 1)( 2n 1) 6
③ 用同样的方法，可得：
13 2 3 33 n 3 =
n 2 (n 1) 2 n(n 1) = 4 2
2
自然数的立方和等于自然数和的平方。 利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n) ∵1 2 3 n ∴
∴ ②
3 ∵ (n 1) = n 3n 3n 1
3 2
1 2 3 n
自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：====这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。
其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。
有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
自然数的平方和公式推导
自然数的平方和公式推导自然数的平方和，也叫特殊等差数列前n项和，是数学中经常用到的一种求和公式，它是指两两相邻的自然数的平方之和。
它被广泛的应用于很多领域，比如建筑物的图形推导、数学建模等。
本文将以自然数的平方和公式推导为标题，主要介绍它的推导过程及运用。
首先，自然数的平方和公式是指两两相邻的自然数的平方之和，即n (n+1) (2n+1) / 6.其中n为自然数，即1、2、3、4、5……由此可见，它是一种特殊的等差数列前n项和。
为了更好地认识自然数的平方和公式，我们可以通过推导来看一下。
以n=5为例，开始推导：5的平方和为1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2，即1 + 4 + 9 + 16 + 25，也就是55；继续使用公式，n (n+1) (2n+1) / 6，把n的值设置为5，那么此时公式为：5 (5+1) (2*5+1) / 6，即5*6*11/6，于是我们就得到了结果55，也就是我们自己推导出来的结果，验证了公式的正确性。
推导完毕之后，我们可以看一下自然数的平方和公式的实际应用。
自然数的平方和公式在数学建模中有着重要的作用，可以用于求解各种抽象问题，比如各种几何图形和函数的构成，或者研究建筑物图形推导时，它可以极大提高建筑物推导的准确性。
此外，它也可以在计算机程序的设计中用到，计算机程序就是通过自然数的平方和公式来计算结果，从而快速准确地完成任务。
最后，我们来总结一下自然数的平方和公式推导。
自然数的平方和公式是指两两相邻的自然数的平方之和，做推导时可以将n的值设置为对应的自然数，进行求和，从而得到结果。
此外，它的应用很广泛，在建筑物的图形推导、数学建模以及计算机程序设计等领域都有重要的作用。
总之，自然数的平方和公式是数学中重要的一种公式，它的推导和应用都很广泛，而且它极大地提高了建筑物推导、数学建模以及计算机程序设计等领域工作的准确性和效率。
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第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：
S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+ (2n-1)2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2
=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n
3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n=（n+1）^3-1.
由此等式可得1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
方法2:由组合数性质可得:C(2,2)+C(2,3)+C(2,4)+...C(2,n)=C(3,n+1),
即2×1/2+3×2/2+4×3/2+...+n(n-1)/2=(n+1)n(n-1)/6
把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n
所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = (1/6)n(n+1)(2n+1)
方法1：由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,利用叠加法可得
整理得(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)=(n+1)n(n-1)/3,
所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n+1)n(n-1)/3+(1+2+3+...+n)=...
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
移项得：13+33+53…+(2n-1)3=n2(2n+1)2-2n2(n+1)2
=n2(2n2-1)
结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。
=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n
∴(n+1)³＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1)
……
Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6
设S=1^2+2^2+....+n^2
(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
..
...
2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6
怎么推导？
利用(n+1)³-n³=3n²+3n+1即可
1³-0³=3×0²+3×0+1
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)
+
(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)
+
.
.
.
+
(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)
即2S=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n (n-n+1)] ………………...(3)
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+ (n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1 +2+…+ (n-1)] ……...(4)
由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：
以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。
由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)
有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...(2)
由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13
=(n+1)(n2-n+1)
+
由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：
2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)]
2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2
=n2(n+1)2/2
即S=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4
结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。
自然数偶数立方和公式推导
设S=23+43+63+…+(2n)3
有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1)2
设：S=12+22+32+…+n2
另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即