第二章 数学预备知识

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第二章 数学预备知识
2.8 递推关系(recurrence relations)
线性齐次递推式的求解（2.8.1）
非齐次递推关系的解（2.8.2）
分治递推关系的解（2.8.3）
logb(x)y= ylogbx
以2为底y的对数：log2y=logy 以e为底y的对数：logey=lny 换底公式： logax= logbx ·logab 公式：
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2.2 证明方法
符号
一个命题或断言就是一个陈述句，它或真或假，但不能二者都是。 • 否定符号： • 蕴含符号：→ • 当且仅当符号：
• 直接证明方法
• 间接证明方法
• 反证法 • 反例证明法 • ห้องสมุดไป่ตู้学归纳法
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c1r1n c2 r2n , r1 r2 ; 它的解为： f (n) n ( c c n ) r , r1 r2 r. 1 2
其中常数c1和c2利用初值来确定。
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2.1.2 关系(relations)
令A和B是两个集合。A和B的笛卡尔积为： A×B={(a,b)|a∈A且b∈B}. 设A和B是两个非空集合。一个从A到B的二元关系 R，就是A×B的一个子集，即R A×B。 集合A上的一个关系R，就是A到A上的二元关系。 R的定义域记为Dom(R)，值域记为Ran(R).
j 1
n
1 j n
a
j
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2.7.1 求和的积分近似
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2.2.5 数学归纳法(Mathematical induction)
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Pascal三角
Matlab中的Pascal三角：
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2.1 集合、关系和函数
2.1.1 集合(sets)
• 集合概念 〃元素〃有限集〃无限集〃 可数集〃不可数集 • 集合的描述 〃列举法〃描述法 • 集合元素的数目 〃基数|A| • 集合与元素的关系〃 属于〃不属于 • 集合之间发的关系 〃子集〃真子集〃包含〃 相等 • 集合的运算 〃交∩〃并∪〃补〃 差 • 集合的幂集〃 不相交
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算法设计与分析
Algorithms Design and Analysis
赵廷刚
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2013.3
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偏序(partial order)：自反的、反对称的、传递的关系。
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2.1.2.1 等价关系(equivalence relations) 等价关系：集合A上的一个关系R，若它是自反的、 对称的和传递的，则称R为A上的一个等价关系. 等价关系将集合A划分成若干等价类Ci(1≤i≤n)。这 些等价类中任意两个元素有R关系，即： （1）若x,y∈Ci(1≤i≤n)，则(x,y)∈R； （2）若x∈Ci,y∈Ck(1≤i＜k≤n)，则(x,y)∉R.
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2.3 对数(logarithms) 以b为底y的对数：logby 性质： logb(xy)= logbx+ logby
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设n为正整数。 阶乘n!表示：0!=1,n!=n(n-1)!=1·2……·n.
重要结论：
2.5 阶乘(factorial)和二项式(binormal)系数
二项式系数： 也记为 。 重要结论：
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展开递推式（2.8.3.1） 代入法（2.8.3.1） 更换变元 （2.8.3.1）
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2.1.3 函数(functions)
函数：一个从A到B的二元关系f,若对于每一个x∈A 且x∈Dom(f),恰有一个元素y∈B，使得(x,y)∈f,则 称此关系为一个函数。通常记为y=f(x)。
2.8.1线性齐次递推式的求解
常系数线性齐次递推式及它的次：
(2.19)
常系数线性齐次递推式的特征方程：
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2.4 底函数(floors)和顶函数(ceilings)
设a为实数。 底函数 表示：小于等于x的最大整数。 顶函数 表示：大于等于x的最小整数。
重要结论：
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应用例子
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一阶常系数线性齐次递推式
f(n) = a f (n-1)
它的解为： f(n) = a f(n-1) = …… = a n f (0) 二阶常系数线性齐次递推式 f(n) = a1 f (n-1) + a2 f(n-2)
它的特征方程为： x2 - a1 x - a2 =0 其根为 r1和r2.
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自反的(反自反的)、对称的(反对称的)、传递的（关系）
设R是A上的关系。 自反的(reflexive)：若对所有a∈A,都有(a,a)∈R. 反自反的(anti-reflexive) ：若对所有a∈A,都有(a,a)∉R. 对称的(symmetric)：如果(a,b)∈R,则必然(b, a)∈R. 反对称的(anti-symmetric) ：如果(a,b)∈R,则必然(b, a)∉R. 传递的(transitive)：如果(a,b)∈R,(b,c)∈R,则必然(a,c)∈R.
2.6 鸽笼原理
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2.7 和式(summations)
a1 a2 an a j
函数有三种类型：
单射（一对一的），
满射（到上的）， 双射（一一对应的）。
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