第二章 数学预备知识
上海市预备年级第一学期数学知识点汇总(word文档良心出品)
预备年级第一学期数学知识点汇总第一章:数的整除1.零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
2．整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a.÷=(其中a、b、c都为整数)称a能被b整除或b能整除a.（区分两种表述）用式子表示：如果a b c3．整除的条件:1）除数，被除数都为整数2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
4．整数a被整数b整除，a叫b的倍数(mutiple)，b叫a的因数(factor)(也称为约数) 因数和倍数是相互依存的。
重要结论：一个整数的因数的个数是的(填:无限或有限)，其中最小的因数是，最大的因数是。
一个整数的倍数的个数是的(填：有限或无限)，其中最小的倍数是。
一个整数最大的倍数。
5．能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除6. 能被2整除的整数叫做偶数(even number)，不能被2整除的整数叫奇数(odd number)奇数：1,3,5,7,9,11,13,……… 偶数：2,4,6,8,10,12,14,………7．奇数＋奇数＝偶数偶数＋偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数奇数－奇数＝偶数偶数－偶数＝偶数奇数－偶数＝奇数奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数8. 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数(prime number),也叫质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数(composite number)，合数总可以写成几个素数相乘的形式1既不是素数也不是合数正整数素数 1 合数100以内的素数熟记20以内的全部素数：9.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
数学第一章、第二章基本知识要点
第一章基本知识要点1.平方根的定义：若r ²= a,则r 是a 的一个平方根。
正数a 的平方根记为：a ±； 若r a ±=±（a ≥0），则 ()a r 2=±平方根的性质：① 正数的平方根有两个，它们互为相反数。
② 0的平方根只有一个，是它本身。
③ 负数没有平方根2.算术平方根的定义：把正数a 的正平方根叫作a 的算术平方根。
正数a 的算术平方根记为：a ；若r a =（a ≥0），则 a r2=算术平方根的性质： ① 正数只有一个算术平方根，是正数。
② 0只有一个算术平方根，是0。
③ 负数没有算术平方根。
3.开平方的定义：求一个非负数的平方根，叫作开平方。
4.立方根的定义：若b ³= a,则b 是a 的一个立方根。
5．数a 的立方根记为3a ； 若 r a 3=（a ∈R ），则 r ³= a立方根的性质：① 正数只有一个立方根，是正数 ② 0的立方根是它本身。
③ 负数只有一个立方根，是负数 。
④ 互为相反数的的两个数的立方根互为相互数。
6.平方算术平方根等于本身的是：1、0立方根等于本身的是: 01、± 7.=2a ︱a ︱（a 为任意实数）()=2a a （a ≥0）=33a a （a 为任意实数） ()=33a a （a 为任意实数）8.在平面直角坐标系中，第一象限内的点的坐标特征为（ ＋ ， ＋） 第二象限内的点的坐标特征为（ － ，＋ ） 第三象限内的点的坐标特征为（― ， ―） 第四象限内的点的坐标特征为（ ＋ ， －） 在x 轴上的点的坐标是（ x ，0 ）在y 轴上的点的坐标是（0 ，y ） 9.点的左右平移口诀是: 左右纵不变，左减右加 点的上下平移口诀是：上下横不变，上加下减10.点P( x, y )关于X 轴反射后的坐标为: （x,－y ） 点P( x, y )关于y 轴反射后的坐标为: ( －x, y) 11.点P( x, y )到X 轴的距离是∣y ∣ ；到y 轴的距离是∣x ∣ 12.有效数字：近似数中，从左边第一个不为0的数字直到右边最后一个数字为止。
大学力学数学知识补充
如图， 函数y=f(x)
y
yo+Δy
yo
y=f(x) Δy Δx
xo
xo+Δx
函数 y = f(x) 在 x0 到 x0+Δx
之间的平均变化率：y x
在x x0 处的导数值:
f
(x0 )
lim
x x0
y x
x0
x
导函数： 函数 y f (x) 在任意位置 x 处的导数值,简称“导数”
例如:
求不定积分
(1)
1
1
dx x
1
1
dx x
1
1
d x
(1
x)
1du u
ln u
C
ln1 x
C
令u 1 x
～不定积分～
8
§3 定积分
（一）定积分的概念
y
f(ξi)
1 0a
i x=ξi
n
x b
b
n
a
f (x)dx lim n
i 1
f (i )x
记作：f (x)，yx，ddyx
f (x) lim y x0 x
～函数、导数和微分～ 3
导数的基本公式
导数的基本运算法则
1. (c) 0 2. (xn ) nxn1 3. (sin x) cos x 4. (cos x) sin x
1. (u v) u v
方向：用方向余弦表示
o Ax
x
Ay
y
o
cos Ax ，cos Ay ，cos Az
A
A
A
第二章集合与不等式§2.1数集和集合
第二章集合与不等式数学是以数量的形式，来反映和表示客观现实世界的规律的，因此在第一章我们首先学习数的运算．现实世界中的平衡关系，在数学上表现为相等；不平衡关系，则表现为不等．客观现实世界是不断发展的，原来的平衡关系，在发展中会变为不平衡，因此可以说，平衡是相对的，而不平衡是绝对的．这就给数学提出了一个任务：除了研究相等关系外，还必须十分重视不等关系的研究．不等关系在数学上用不等式表示．本章学习的就是不等式的解法及其解集，这是数学和其它学科的基础．§2.1数集和集合预备知识∙基本数集∙一元一次不等式的解重点∙集合的基本概念∙集合的运算关系难点∙子集和真子集学习要求∙理解集合是一个一般的概念∙理解集合与元素、集合与集合之间的关系，掌握集合交、并、补运算在解不等式中，数集的概念是必不可少的，所谓解各类不等式，其实就是在求它们的解集，而解集就是一个数集．在本节中，先介绍一下集合的一般概念，然后把数集及其有关概念，作一个小结，并在此基础上，补充一些相关知识．1. 集合的基本知识(1)集合集合是一个一般的概念．一个集合，是有限或无限个具有某种属性的事物的总体；构成集合的每一个事物，称为元素．例如你所在的班级就是一个集合，班上每一位同学就是班级这个集合的元素；本校的所有班级也是一个集合，校内每个班级就是本校班级这个集合的元素．通常用一个大写的西文字母标识一个集合，例如你所在的班级的集合表示为A，本校班级的集合表示为B等等．集合内的元素通常用小写的西文字母表示，例如集合A的元素的通用标识是x，x既可以表示你，也可以表示你班的任何一位同学．一个事物若是集合内的元素，则说事物属于集合，“属于”用符号“∈”表示，例如学生王明是你班级的同学，则王明∈A；一个事物若不是集合内的元素，则说事物不属于集合，“不属于”用符号“∉”，例如学生赵伟不是你班级的同学，则赵伟∉A．(2)集合的表示说到一个集合，总是包含两方面的内容：第一，构成集合的事物，也就是元素x是什么(例如学生，班级)，第二，构成集合的事物具有怎样性质(例如你所在班级的学生，本校的班级)，也就是具有怎样属性的事物才属于集合．①集合构成的两个基本原则从描述集合元素属性来讲，可以用各种不同的方式来描述属于集合的元素的属性，但不论怎样，你的描述必须符合确定性原则，即根据属性能判定某事物是否是集合内的元素．象上面提到的集合A,B的属性表达是正确的：任何一个人x，只要是学生，且在你所在的班级，则x是A内的元素，否则就不是；任何一个团体x，只要是一个班级，且这个班级是本校的，则x是B内的元素，否则就不是．象下面这种说法，就不是构成集合的事物的属性描述：本校身高170cm左右的男学生；本校男生数与女生数大致相等的班级．从集合元素方面来讲，还有一个互异性原则，即相同的元素只能算做一个元素．例如A={本校三好生或优秀学生干部}，如果有一位学生既是三好生，又是优秀学生干部，在集合A内只能算是一个元素．②集合的表示法表示集合的最直接方法，是干脆把所有元素列出来，并且用一对“{}”引住，例如A={张三，李四，王五，.....}；B ={99届机械１班，99届机械2班，2000届计算机1班， 2000届秘书1班，....}．这种方法称为列举法．当然列举法仅适用于元素个数较少的集合．如果元素个数很多甚至无限个(集合元素个数仅有有限个，称为有限集，否则称为无限集)，通常采用描述法来表示一个集合，它的一般形式是 集合标识符={元素及其特征描述}， 或 集合标识符={元素含义｜元素特征描述}， 或 集合标识符={元素标识符｜元素特征描述}． 例如 A ={机械1班的全部学生}， A ={学生|学生∈机械1班}， A ={x |x 是机械1班学生}． 课内练习11. 用标识符A 表示元素是苹果、香蕉、梨、柑橘、西瓜的集合．2. 用标识符B 表示所有你校年龄不小于15周岁的男学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C ={x |x 是本校健康状况良好的学生}； (2)D ={经常出差的业务员}； (3)D ={职工｜在本校工作}； (4)E ={x |x ∈本校书法兴趣小组}； (5)F ={王强}．2. 数集如果集合的元素是数，则称为数集． (1)基本数集数集的概念你不应该感到陌生，在第一章中不就总结了你在初中阶段所接触到的一些数集了吗？如N 是自然数集，Z 是整数集，Q 是有理数集，最后R 是实数集等等．这些数集称为基本数集．用特征法表示这些数集，就是： N ={0, 1, 2, 3, 4, .... }； N ={0和所有正整数}；N ={x |x =0或x 是1的正整数倍}； Z ={... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }； Z ={自然数和它的相反数}； Z ={x |x =0或正整数或负整数}； Z ={x |x ∈N 或-x ∈N }； Q ={整数或循环小数}；Q ={x |x =q p , p , q ∈Z ; q ≠0; p , q 既约 }；还有一些是与基本数集相近的常用数集，如N ＋＝{1, 2, 3, 4, ... }={x |x 是1的正整数倍}； R +={x |x ∈R, x ≠0｝． (2)一般数集首先回忆一下求解一元一次不等式问题．求解不等式3x <15，得x <5，即小于5的一切实数都能满足不等式，这是由属性“x 是实数，且小于5”所限定的实数的一部分，它是一个数集，不妨记作A ，在实数轴上表示这个数集，是图2-1(1)的形式；求解不等式2x +3≥-9，得x ≥-6，即不小于-6的一切实数 都能满足不等式，这是由属性“x 是实数， 且不小于-6”所限定的实数的一部分，它也 是一个数集，不妨记作B ，在实数轴上表示 这个数集，是图2-1(2)的形式(注意两张图上 空心圆点和实心圆点含义的区别，实心表示 集合中含有该点，空心则表示集合中不含该点)．称集合A ,B 、即由满足不等式的全部值构成的集合，为不等式的解集．不等式的解集常常是某个基本数集的一部分，对这种非基本数集的元素的属性说明，应该由两部分构成：第一部分说明元素取自哪个基本数集，第二部分说明元素在基本数集中的的属性．例如C 是不大于1000、不小于-20的整数集合，则C ={x |x ∈Z ; -20≤x ≤1000}；D 是绝对值大于20的实数集合，则D ={x | x ∈R ; |x |>20}； A 是不等式3x <15的解集，则A ={x | x ∈R , x <5}； B 是不等式2x +3≥-9的解集，则B ={ x | x ∈R , x ≥-6}．在具体问题中，若基本数集是实数集，元素的基本数集属性可以不写，例如可以把D 写成D ={x | |x |>20}，A 写成A ={x | x <5}，B 写成B ={x |R , x ≥-6}．但如果实际问题不是在实数范围内求解，那元素的基本数集属性是不能随便缺省的．例如，若干人分100元，每人不少于3元，问可以分给多少人？用x 表示人数，这是一个简单的不等式问题 3x ≤100，解得x ≤3331，你不能答解集是(-∞,3331)吧？解集应该是{x |x ∈N,0<x ≤33}，这时，x 的基本数集属性x ∈N 怎么也不能缺省了． 课内练习21. 把下列描述的数集，用特征法表示 (1)数集B 是平方等于1的全体； (2)数集A 是大于0、不大于5的奇数；(3)方程2x 2-4x +3=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有 理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式0<3x +6≤12在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在图2-1(1)图2-1(2)有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ． 2. 求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来： (1)2x +3≤7；(2)-3x -2>6；(3)x +6≥3x +8；(4)5x +3<-2x -4．3. 集合的运算 (1)交集在初中，你也学习过解一元一次不等式组，例如解不等式组x +1≥6 (1) 2x -3≤15 (2) 解(1)得到解集A ={x |x ≥5}，解(2)得解集B ={x |x ≤9}．不等式组的解，应使(1),(2)同时满足，也即x 既要属于(1)的解集A ，也要属于(2)的解集B ，因此不等式组的解是A ,B 的公共部分，不难写出公共部分是C ={x |5≤x ≤9}，我们称由A ,B 的公共部分组成的C 为A , B 的交集．所谓“交”如果在数轴上表示数集A ,B ，那么“相交” 的意义再直观不过了(见图2-2)． 一般地，设A ,B 是两个集合，A ,B 的公共部分组成的集合C 称为A ,B 的交集，记作C =A ∩B ．根据交集的构成，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B } (2-1-1) 集合的交是一种运算，运算的对象是集合，“∩”是运算符，运算结果得到交集．集合的交运算可以形象地以图2-3表示． 例1 求下列集合的交集： (1)A ={2, 4, 7}，B ={-2, 1, 2, 4}； (2)A ={等腰三角形}，B ={直角三角形}, (3)A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >-4}． 解 (1) A ∩B ={2, 4} ▌ (2)A ∩B ={等腰直角三角形} (3)A ∩B ={x |-4<x ≤-1}(见图 2-4) ▌再来看一个例子．A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >2}，求交集A ∩B ．你能发 现，A ,B 根本没有公共元素(见图2-5)， 因此它们的交集没有元素，是空的．我们称没有元素的集合为空集；空集用一个特定的记号…∅‟表示，所以 A ∩B =∅． (2)并集对例1(1)，若把集合A 和集合B 的元素合并，得到一个新的集合D={-2, 1, 2, 4, 7}．集合D 的元素与交集C 不同，它不是由既属于A 、又属于B 的图2-3图2-2图2-4图2-5元素构成，而是属于A 或属于B 的元素构成．称这样构成的集合D 为集合A ,B 的并集，“并”的意思也就是“合并”．一般地，设A ,B 是两个集合，称由A ,B 的全部元素构成的集合D 为A ,B 的并集，记作D =A ∪B ．根据并集的构成，即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B } (2-1-2) 集合的并也是一种运算，运算的对象是集合， “∪”是运算符，运算结果得到并集．集合的并 运算可以形象地以图2-6表示． 例2 求下列集合的并集： (1)A ={x |x ≥3}，B ={x |x ≤-3}；(2)A ={班内全体男生}，B ={班内全体女生}； (3)A ={x |x ≥3}，B ={x |0<x <5}．解 (1)A ∪B ={x | x ≤-3或x ≥3},(见图2-7(1)) ▌ (2)A ∪B ={全班学生} ▌ (3)A ∪B ={x |x >0},(见图2-7(2)) ▌课内练习31. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示出来：(1) 2x +5>7 (2)1<2x +4≤10； (3) x +6<1 x +1≤10； -2x +3>0．2. A ={x |x 是今年天下雨的日子}，B ={x |x 是今年天阴的日子}．求A ∪B ， A ∩B ．3. C ={某商场内单价不高于2500元的洗衣机}，D ={同一商场内单价在1000 元到2000元之间的洗衣机}．求A ∪B ，A ∩B ．4. 求下列两个数集的交集和并集，并在数轴上表示出来： (1) A ={x | x ≥1}, B ={x | x >21}； (2) C ={t | -1≤t <3}, D ={ t | t ≤5}； (3) E ={y | 4≥y ≥-1.5}, F ={y | y ≤1.5}；(4) A ={x | 2<x ≤5}, B ={x | 5≤x ≤6}； (5) A ={y | 2<y ≤4}, B ={y | 4.1≤y ≤6}．4. 集合的关系(1)数集的包含关系与子集根据数的含义，我们知道有这样关系：x 是自然数⇒x 是整数⇒ x 是有理数⇒ x 是实数，但所有的箭头反过来是不对的，例如，肯定有整数(负整数)不是自然数．从数集的角度来看，表示图2-6–3 –2 –1 0 1 2 3 4图2-7(1) –1 0 1 2 3 4 5图2-7(2)x ∈N ⇒ x ∈Z ，存在x ∈Z 但x ∉N (1) 这样的关系可以说成：自然数集是整数集的真子集，也可以说成：整数集真包含了自然数集．我们用符号表示为N Z，或Z N ， 符号“ ”或“ ”所表达的意思，就是(1)；采用这两个符号中的哪一个，全看你把真子集写在符号的哪一边．同理，因为x ∈Z ⇒ x ∈Q ，存在x ∈Q 但 x ∉Z所以 Z Q ，或Q Z ； 因为 x ∈Q ⇒ x ∈R ，存在x ∈R 但 x ∉Q所以 QR ，或R Q ． 连在一起，可以写成N Z Q R 或R Q Z N ．用我们曾经使用过的圆圈形象表示，就是第一章出现过的、如图2-8(1)的包含图．如果再算上N +,R +，那么还可以有N +N , R + R 或N N +, R R +． 对一般的两个数集或集合A ,B ，如果具有(1)那样的关系，即 x ∈A ⇒x ∈B ，且存在x ∈B 但x ∉A (2-1-3) 那么，称数集A 为数集B 的真子集，记作A B 或 B A ，用圆圈形象表示的图象是图2-8(2)． 空集是一切非空数集的真子集． 例3 讨论下列集合的包含关系：(1)A ={本年天阴的日子}，B ={本年天下雨的日子}；(2)A ={x |x ∈本班且所有各门课成绩都不低于90分}，B ={x |x ∈本班且仅有数学成绩不低于90分}；(3)A 是不等式2x +5≤ 2的解集，B 是不等式x +5<3的解集．解 (1)因为雨天必定是阴天，但阴天未必下雨，所以BA ▌ (2)因为x ∈A ⇒ x 的各门课成绩都不低于90分 ⇒ x 的数学成绩都不低于90分 ⇒ x ∈B ；但存在x ∈B ⇒ x 仅数学成绩不低于90分⇒x ∉A ．所以A B ▌(3)解不等式2x +5≤2，得A ={x |x ≤-1.5}； 解不等式x +5<3，得B ={x |x <-2}．当x ∈B ⇒ x <-2 ⇒ x ≤-1.5 ⇒ x ∈A ；当x =-1.6 ⇒ x ∈A 但x ∉B ．所以A B (见图2-9) ▌现在把例3(2)的集合B 改为B ={x |x ∈本班且数学成绩不低于90分}，就有两种可能：第一种，有数学成绩不低于90分而其它课程低于90分的学生，此时仍然有A B ；第二种，所有数学成绩不低于90分的学生，其它课程图2-8(1)图2-8(2)⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠–3 –2 –1 0图2-9⊂ ≠成绩也都不低于90分，此时就不存在属于B 而不属于A 的学生了．对于这种吃不准的情况，我们只能有把握说，若x ∈A 则x ∈B ，但不能有把握说，存在x ∈B 但x ∉A ．这是两个集合之间的另一种关系，称为包含． 两个集合(包括数集)A ,B ，若x ∈A ⇒ x ∈B (2-1-4) 则称A 为B 的子集，称B 包含A 或A 被B 包含，记作A ⊆B 或B ⊇A ． (2)集合的相等关系若构成两个集合A ,B 的元素完全相同，则称集合A ,B 相等，记作A =B ． 从包含关系来看，若A =B ，则A 包含B ，B 也包含A ，因此也可以说，若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A ,B 相等． 课内练习41. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A ={1, 2, 3, 4}，B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}；(2)A ={a , b , c | a , b , c ∈R }, B ={c , b , a | a , b , c ∈R }； (3)A ={x |1<x ≤2}, B ={x |1<x <2}；(4)C ={x |x 为无限循环小数}, D ={x |x =p ,q ∈N +, p ∈Z }；(5)A ={x |x ∈本校田径队}，B ={x |x ∈本校长跑队}；(6)C ={x |x ∈十一月份公休日}，D ={x |x ∈十一月份的星期六或星期天}； (7)A 1是不等式-5≤3x -2≤5在自然数集中的解集，B 1是不等式-6≤3x -2≤6中 的解集．(3)数集的互补关系在实数范围内，给出两个集合A ={x |x 是有理数}，B ={x |x 是无理数}，则容易验证A ⋃B =R , A ⋂B =∅．因为我们考虑的范围是实数，也就是说R 是全部，这样的两个A ,B 就有一个特殊性质：它们没有公共元素，而并正好就是全部，因此称A ,B 是互补的． 在一般情况下，若我们考虑的集合范 围是U ，则把U 也看作一个集合，称其为 全集；若集合A ,B 具有性质：A ⋃B =U , A ⋂B =∅，则称A 是B 关于U 的补集，B 是 A 关于U 的补集，即A ,B 关于U 是互补的，记作A =C U B , B =C U A ，用图象表示，可以表 示为图2-10那样．例如上面提到的有理数集A 和无理数集B ，就是关于实数集R 是互补的，即A =C R B , B =C R A ．怎样的集合才有资格称作全集，并无明确的规定，要看实际问题的含义．例如我们考虑的范围是本校，则本校全体学生就是全集，即全集是T ={x |x ∈本校}；若E ={x |x 是本校女生}，F ={x |x 是本校男生}，则E =C T F , F =C T E ．图2-10⊂ ≠ ⊃ ≠课内练习51. 填空：(1)A={x|x>0,x∈R}, C R A= ；(2)D={x|x≠0,x∈R}，C R D= ；(3)C N N+= ；(4)B={x|x∈Z,-100<x<100}，C Z B= ；(5)U={x|x=kπ,k∈Z}，A={x|x=2kπ,k∈Z}，C U A= ；(6)U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,4,7}，C U A= ；2. A={晚餐菜肴}，B={晚餐主食}，求一个集合U，使A,B关于U是互补的．课外习题A类1. 用标识符A表示元素是铅笔、纸张、钢笔、直尺、橡皮、圆珠笔的集合．2. 用标识符B表示所有你校年龄大于16周岁的女学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C={x|x是本班视力良好的学生}；(2)D={校内喜欢体育的学生}；(3)D={职工｜在本校工作}；(4)E={x|x∈本校美术兴趣小组或x∈本校篮球队}；(5)F={班内不叫王强的学生}．4. 把下列描述的数集，用特征描述法表示：(1)数集B是平方不等于81的全部自然数；(2)数集A是小于0或大于10的奇数；(3)方程x2-5x+6=0在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D；(4)不等式2x+7≤1在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D，并把D表示在数轴上．6. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示非空解集：(1)3x+5>-1 (2)6<2x+4≤12；(3) x-6≥1x+1≤0；-2x+3<0．6. A={x|x是今年的法定假日}，B={x|x是今年星期天}．求A∪B，A∩B．7. C={一班身高不低于1.60m的女同学}，D={一班身高在1.55m到1.70m之间的女同学}．求C∪D，C∩D．8. A={x|x是出厂期不超过20天且单价在0.50元~0.70元的牛奶}，B={x|x 是出厂期在10天以内且单价在0.60元~0.80元的牛奶}．求A∪B，A∩B．⊃≠⊂≠9. 用“⊇”,“⊆”,“”,“”,“=”连接下列数集对：(1)A={-1, 0, 1, 2, 3, 4}，B={0, 1, 2, 3, 4}；(2)A ={10, 20, 30}, B ={30, 10, 20}；(3)A ={x |x >2或x <-2}, B ={ x |x ≥2或x <-2}；(4)C ={x |x 是1的正整数倍}，D =N +；(5)A 1是不等式2x -1≤ 5的解集，B 1是不等式3x -2<5的解集；10. 填空：(1)A ={x |x ≤0, x ∈R }, C R A = ；(2)D ={x |x =0}，C R D = ；(3)V ={x |x ∈Z ,x >0}，C Z V = ；(4)B ={x |x ∈Z ,-100<x <100}，C Z B = ；(5)U ={0, 1, 4, 5, 6, 7, 9},A ={0, 1, 4, 5, 7},C U A = ；11. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈本校运动队}，B ={x |x ∈本校体操队}；(2)C ={x |x ∈本班三好生}，D ={x |x ∈本班所有课程都及格的学生}；12. A ={含酒精的饮料}，B ={不含酒精的饮料}，求一个集合U ，使A ,B 关 于U 是互补的．B 类1. 把下列描述的数集，用特征描述法表示(1) B 是以341的整数倍为元素构成的数集； (2)数集A 是奇数，但不是3的整数倍； (3)方程2x 2-5x -875=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在 有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式-5≤x ≤5在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有理 数集内的解集C ，在实数集内的解集D ．2. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A 是不等式2x +1>3的解集，B 是不等式x +1≥ 2的解集；(2) x +1≥9 x +1≤9(3)C 是不等式1≤1+2x ≤5在自然数集内的解集，D 是不等式1≤1+2x ≤6在 自然数集内的解集．3. 写出数集A ={0,1,2,3}的所有的真子集．4. 设A ={x |x =2k -1,k ∈Z }，B ={x |x =5k ,k ∈Z }，求B ∩C N A .5. 设A ={x |x ≤3}，求A ∩R , A ∩∅, C R A , A ∩C R A , A ∪C R A ．6. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈乐器}，B ={x |x ∈钢琴}；(2)C ={x |x ∈笔盒内的笔}，D ={x |x ∈笔盒内的铅笔或钢笔或圆珠笔}； A 是不等式x +1>9的解集，B 是不等式 的解集； ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠7. A =C U D ，B =C U E ．若D E ，那么A 与B 有怎样的包含关系？C 组1. 如图，矩形表示的U 是全集，圆圈表示的 A ,B 是U 的两个子集，试用阴影表示出集合(1)C U A ∩C U B ，(2)C U A ∪C U B ．2. 若C U A ⊆ A ，求A ．3. 设A ,B 是非空集，证明C U A ∪C U B =C U (A ∩B )C U A ∩C UB =C U (A ∪B )．4. 设A ={本班级数学成绩和语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关于{本班级全体学生}的补集. 5. 设A ={本班级数学成绩或语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关 于{本班级全体学生}的补集.6. 设U ={本班级全体学生}，B =C U A ={本班级身高超过1.80m 且各门课程 成绩都不低于75分的男学生}，求A .第1题图 ⊂ ≠。
电动力学(数学基础)
散的度强的弱重程要 度性 ，在 当于div，A可 用0 表，征表空示间该各点点有矢散量发场通发量散
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的
负源；当div
A
0
，表示该点为无源场。
在直角坐标系中：
divA A Ax Ay Az x y z
例：设u是空间坐 标A(xu,)y,z的u函数dA，(u证) 明
Operator
设有一标量函数 r x, y, z
d dx dy dz
x y z
x
i
y
j
z
k
dxi dyj dzk
Gx,
y,
z dl
G
n dl
p
n
dn θ
p dl
p
l
0
方向导数：
l
G n el
G
c
os
n
e
G cos
G
l max
n
引进梯度(Gradient)概念：
６ 0, A 0
证明:
( )
(
)
ex
x
(
)
ey
y
(
)
ez
z
(
)
ex (
x
x
)
ey (
y
y
)
ez (
z
z
)
(ex
x
ey
y
ez
)
z
(ex x
ey y
ez
) z
§0-5 二阶微分算符
Second-order Differentiation Operator
数学必修4_第二章_平面向量知识点讲课讲稿
数学必修4第二章 平面向量知识点2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。
2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a uu r r的模分别记作|AB u u u r|和||a r 。
注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
3. 几类特殊向量(1)零向量：长度为0的向量，记为0r ，其方向是任意的，0r与任意向量平行，零向量a ＝0r ｜a｜＝0。
由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）(2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a为单位向量0||1a u u r。
将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a r 的单位向量为：||aa e a r r r (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b。
规定：0r与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
（4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。
记作a r 。
关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a =a； ③()0a a v v v ； ④若a 、b 是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a+b =0 。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
记为b a。
相等向量经过平移后总可以重合。
2.2 平面向量的线性运算 1.向量加法（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC uuu r 。
数学第二章知识点梳理
第二部分：1、空间点、直线、平面的位置关系（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
应用： 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。
符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 异面直线性质:既不平行,又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
（3）求异面直线所成角步骤：A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。
B 、证明作出的角即为所求角C 、利用三角形来求角（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
（5）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a ⊂α a ∩α＝Aa ∥α（6）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β相交——有一条公共直线。
必修四数学第二章知识点
必修四数学第二章知识点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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数学分析第二章知识点总结
数学分析第二章知识点总结数学分析第二章知识点总结在我们平凡无奇的学生时代，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是小编为大家整理的数学分析第二章知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。
数学分析第二章知识点总结11.无理数⑴无理数：无限不循环小数⑵两个无理数的和还是无理数2.平方根⑴算术平方根、平方根一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
⑵开平方：求一个数的平方根的运算叫开平方被开方数3.立方根⑴立方根，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫a 的立方根.⑵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.⑶开立方、被开方数4.公园有多宽求根式、估算根式、根据面积求边长5.实数的运算运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律) 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从"左"到"右"(如5÷×5);C.(有括号时)由"小"到"中"到"大"。
6.实数的概念是每年中考的必考知识点，尤其是相反数、倒数和绝对值都是高频考点。
我们不仅需要会求一个数的相反数，求一个数的倒数，求一个数的绝对值;还要注意0是没有倒数的，倒数等于它本身的有±1，相反数等于它本身的只有0。
7.科学记数法可以说是是每年中考的必考题，在解决具体问题时，需要记清楚相关概念;另外注意单位换算。
对于近似数和精确度需要注意的是带计算单位的数的精确度，需要统一为以“个”为计算单位的数，再来确定。
8.科学记数法可以说是是每年中考的必考题，在解决具体问题时，需要记清楚相关概念;另外注意单位换算。
对于近似数和精确度需要注意的是带计算单位的数的精确度，需要统一为以“个”为计算单位的数，再来确定。
高等数学预备知识
高等数学预备知识(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高等数学 预备知识1．不同三角函数间的关系αααcos sin tan =αααsin cos cot = ααcos 1sec = ααsin 1csc = 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα2．加法公式（注意“±”与“ ”） βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± αββαβαcot cot 1cot cot )cot(±=±3．和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=±βαβαβαsin sin )sin(cot cot ±±=±βαβαβαsin cos )cos(cot tan ±=± （注意符号）4．积化和差)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=5．倍角公式ααααα2tan 1tan 2cos sin 22sin +== ααααααα222222tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos +-=-=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -= αααcot 21cos 2cot 2-=6．半角公式 2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot-=+=-+±= 7．降幂公式 )2cos 1(21sin 2αα-=)2cos 1(21cos 2αα+= 8．反三角函数（1）反三角函数的定义域与主值范围（2）图像（附加）三角函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx （3）反三角函数的相互关系21arctanarccos2)arcsin(arcsinxxxxx-=-=--=π21arctanarcsin2)arccos(arccosxxxxx-=-=--=ππ21arcsincot23)arctan(arctanxxxarcxx+=-=--=π21arccosarctan 2)cot(cot xx x x arc x arc +=-=--=ππ9．数列 （1）等差数列通项公式：d n a a n )1(1-+= 前n 项和：d n n na n a a S n n 2)1(2)(11-+=+= （2）等比数列通项公式：11-=n n q a a前n 项和：qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11 （3）某些数列的和)1(21321+=++++n n n )1(2642+=++++n n n2)12(531n n =-++++)12)(1(613212222++=++++n n n n 23333)321(321n n ++++=++++ 10．乘法与因式分解2222)(b ab a b a +±=± 3223333)(b ab b a a b a ++±=± ))((22b a b a b a +-=- ))((2233b ab a b a b a +±=±))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为正整数) ))((122321------+-+-+=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为偶数) ))((122321-----+--+-+=+n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为奇数) 11．不等式（1）有关绝对值的不等式||||||b a b a +≤± ||||||||||b a b a b a +≤-≤-||||||||k b a k b a +++≤±±± （（2）有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式)20(tan sin π<<<<x xx x )0(1sin cos π<<<<x xxx)0(1≠+>x x e x )0,1(11≠<-<x x xe x )0(1ln >-≤x x x )0,1(1)1ln(≠<-<--<x x xx x x)0,1(1)1(>>+>+x x x ααα（3）某些重要不等式 ① 222a b ab +≥，221()2ab a b ≤+；②1()2a b +≥12121()n n n a a a a a a n+++≥⋅⋅⋅；（0,0,0,1,2,,i a b a i n ≥≥≥=）③ ||||||||||a b a b a b -≤±≤+，11221122|()()()||||()||||()||||()|n n n n a f x a f x a f x a f x a f x a f x +++≤+++n a a a na a a n n2222121+++≤+++ na a a a a a nn n ++≤2121))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni ini i i b a b a （柯西不等式）12．阶乘、排列、组合 （1）阶乘n n ⋅⋅⋅⋅= 321! )12(531!2)!12(!)!12(+⋅⋅⋅⋅=+=+n n n n n （规定）1!0= 0!!0= )2(42!2!)!2(n n n n ⋅⋅⋅== （2）排列)1()2)(1()!(!+---=-=k n n n n k n n A kn123)2)(1(!⋅⋅--=== n n n n A P nn n（3）组合!)!(!!k k n n k A C kn kn-== （kn C 也记作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ） 13．二项式定理与多项式定理二项式定理：∑=-----=+++++=+nk kk n k n nnnn n nn nn nnnnb a C b C abCb aC b a C a C b a 011222110)( 多项式定理：s q p ns q p n k b a s q p n k b a ∑=++=+++!!!!)(14．指数运算nm nmaa a +=⋅ n m n ma aa -= mn n m a a =)( m m mb a ab =)( mm m b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ m n n m n ma a a )(== m m a a 1=- )0(10≠=a a 15．对数运算01log =a 1log =a a y x xy a a a log log log +=y x yxa a alog log log -= x b x a b a log log = 对数恒等式：x a x a =log x a x a =log 换底公式：ayy b b a log log log =1log log =⋅a b b a 数学中常见基本初等函数和初等函数：①基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数称为基本初等函数。
数学第二章知识点
数学第二章知识点数学第二章知识点在日常过程学习中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。
为了帮助大家掌握重要知识点，下面是店铺帮大家整理的数学第二章知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
数学第二章知识点1数轴的三要素：原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。
任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
(反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数)如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
(0的相反数是0)在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作|a|。
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的数;0的绝对值是0。
或绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数;互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等;任何数的绝对值总是非负数，即|a|0比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小的步骤如下：①先求出两个数负数的绝对值;②比较两个绝对值的大小;③根据两个负数，绝对值大的反而小做出正确的判断。
绝对值的性质：①对任何有理数a，都有|a|0②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然③若|a|=b，则a=b④对任何有理数a,都有|a|=|-a|有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加;②符号相同的数，可以先相加;③分母相同的数，可以先相加;④几个数相加能得到整数，可以先相加。
人教版六年级数学下册分章节预习复习重点知识
人教版六年级数学下册分章节预习复习重点知识第一单元负数1、负数的由来：为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出……），光有学过的0 1 3.4 2/5……是远远不够的。
所以出现了负数，以盈利为正、亏损为负；以收入为正、支出为负2、负数：小于0的数叫负数（不包括0），数轴上0左边的数叫做负数。
若一个数小于0，则称它是一个负数。
负数有无数个，其中有（负整数，负分数和负小数）负数的写法：数字前面加负号“-”号，不可以省略例如：-2，-5.33，-45，-2/5正数：大于0的数叫正数（不包括0），数轴上0右边的数叫做正数若一个数大于0，则称它是一个正数。
正数有无数个，其中有（正整数，正分数和正小数）正数的写法：数字前面可以加正号“+”号，也可以省略不写。
例如：+2，5.33，+45，2/54、0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限负数都小于0，正数都大于0，负数都比正数小，正数都比负数大5、数轴：6、比较两数的大小：①利用数轴：负数＜0＜正数或左边＜右边②利用正负数含义：正数之间比较大小，数字大的就大，数字小的就小。
负数之间比较大小，数字大的反而小，数字小的反而大1/3＞1/6 -1/3＜-1/6（一）、折扣和成数1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。
通称“打折”。
几折就是十分之几，也就是百分之几十。
例如：八折=8/10=80﹪，六折五=6.5/10=65/100=65﹪解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。
商品现在打八折：现在的售价是原价的80﹪商品现在打六折五：现在的售价是原价的65﹪2、成数：几成就是十分之几，也就是百分之几十。
例如：一成=1/10=10﹪八成五=8.5/10=85/100=80﹪解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。
七年级数学第二章知识点
七年级数学第二章知识点第二章是七年级数学学习中的重要章节，掌握其中的知识点对于学生打下数学基础、扎实提高学习能力具有非常重要的作用。
本文将从基本概念、知识点分类、练习题等多个方面介绍第二章的知识点。
一、基本概念1.十进制小数在数字中，小数点右边的数字表示小数部分。
十进制小数是以10为基数来计数的，小数点后的第一位是十分位，第二位是百分位，以此类推。
例如，数值1.23中的1是整数部分，23是小数部分，表示为1+0.2+0.03。
2.百分数百分数表示为百分数基数和百分号“%”的组合。
百分数的基数是一个正数，百分号表示这个数是基数的百分之几。
例如，50%表示50/100，等同于0.5。
3.分数分数是指一个数被分成若干等分，取其中的一部分表示的数。
分数由分子和分母两部分组成，分母表示分数的总份数，分子表示取其中的一部分。
例如，1/4表示将一个数分成4等分，取其中的1等分，等同于0.25。
二、知识点分类1.小数和分数小数可以通过分数的方式表示，例如0.8可以表示为8/10或4/5。
分数也可以转换为小数，例如1/5可以表示为0.2。
2.百分数百分数也可以转换为小数和分数，例如50%可以表示为0.5，也可以表示为1/2。
3.数据的四则运算在四则运算中，需要注意小数点的位置和数值的大小关系。
特别是在除法中，需要将除数和被除数都转换为小数或分数形式，并且需要特别注意分母不能为0的情况。
4.用图形表示分数用图形表示分数，例如将一个正方形分成若干等份，取其中的一部分表示为分数。
这种方法可以帮助学生直观地理解分数的含义和运算规律。
三、练习题1.小数、分数、百分数的互相转换练习。
例如：将0.6表示为百分数，将3/5表示为小数等。
2.数据的四则运算练习。
例如：12.5+3.6-5.2×2÷4等。
3.用图形表示分数练习。
例如：将一个圆形分成8份，取其中的3份表示为什么分数等。
总之，学好第二章的知识点，是七年级数学学习中的重要一步。
八年级数学第二章知识点总结
八年级数学第二章知识点总结总结是事后对某一阶段的工作或某项工作的完成情况，包括取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训加以回顾和分析，为今后的工作提供帮助和借鉴的一种书面材料。
下面是小编整理的八年级数学第二章知识点总结，欢迎大家分享。
八年级数学第二章知识点总结11.无理数⑴无理数：无限不循环小数⑵两个无理数的和还是无理数2.平方根⑴算术平方根、平方根一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
⑵开平方：求一个数的平方根的运算叫开平方被开方数3.立方根⑴立方根，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫a 的立方根.⑵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.⑶开立方、被开方数4.公园有多宽求根式、估算根式、根据面积求边长5.实数的运算运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律) 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从"左"到"右"(如5÷×5);C.(有括号时)由"小"到"中"到"大"。
6.实数的概念是每年中考的必考知识点，尤其是相反数、倒数和绝对值都是高频考点。
我们不仅需要会求一个数的相反数，求一个数的倒数，求一个数的绝对值;还要注意0是没有倒数的，倒数等于它本身的有±1，相反数等于它本身的只有0。
7.科学记数法可以说是是每年中考的必考题，在解决具体问题时，需要记清楚相关概念;另外注意单位换算。
对于近似数和精确度需要注意的是带计算单位的数的精确度，需要统一为以“个”为计算单位的数，再来确定。
8.科学记数法可以说是是每年中考的必考题，在解决具体问题时，需要记清楚相关概念;另外注意单位换算。
对于近似数和精确度需要注意的是带计算单位的数的精确度，需要统一为以“个”为计算单位的数，再来确定。
有限元法的预备知识
V = P ⋅u ( x)
x =l
P 2l = EA
P 2l Π = U −V = − 2 EA
（二）2D问题
一受分布荷载的简支梁，由于简支梁厚度较薄，外载沿高度方 向无变化，该问题可以认为是一平面问题。 (1)基本变量 位移v(x)（中性层的挠度） 应变εx (εx为主要应变，直线假定，中性层） 应力σx (σx为主要应力，其它分量不考虑） (2)基本方程 ①平衡方程
写成矩阵形式：
Lσ + pv = 0
几何变形方程：
∂u ∂v ∂w εx = , εy = , εz = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂w ∂v ∂w ∂u γ xy = + , γ yz = + , γ zx = + ∂y ∂x ∂y ∂ z ∂x ∂ z
写成矩阵形式：
ε=L u
T
E σx = ε x + μ ( ε y + ε z )) ( 2 材料物理方程： 1− μ E σy = ε + μ ( ε x + ε z )) 2 ( y 1− μ E σz = ε + μ ( ε x + ε y )) 2 ( z 1− μ E τ xy = γ xy 2(1 + μ) E τ yz = γ yz 2(1 + μ) E τ zx = γ zx 2(1 + μ)
外力功
V = ∫ q ( x ) ⋅ v ( x ) dx
l
势能
1 d 2v 2 Π = U − V = ∫ EI ( 2 ) dx − ∫ q ( x ) ⋅ v ( x ) dx 2l dx l
2.2.2 弹性问题近似求解的加权残值法WRM 原理 设有一组满足所有边界条件的试函数，其线性组合为：
数据结构与程序设计考试大纲
《数据结构与程序设计》考试大纲一．考试大纲的性质数据结构与程序设计课程是计算机相关学科的专业基础课程，主要包括数据结构与算法分析和计算机语言程序设计的内容。
为帮助考生明确本课程的考试复习范围和有关要求，特制定本考试大纲。
本考试大纲主要根据指定参考书《数据结构与算法分析（C++ 版）（第二版）》（（美）Clifford A. Shaffer著，张铭刘晓丹等译，北京：电子工业出版社，2010）、《C++面向对象程序设计》(谭浩强编著, 清华大学出版社，2006)编制而成。
适用于报考中国林业科学院硕士学位研究生的考生。
二．考试内容（一）数据结构考试内容第一部分基础知识和概念第1章数据结构和算法第2章数学预备知识第3章算法分析第二部分基本数据结构第4章线性表、栈和队列第5章二叉树第6章树第三部分排序和检索第7章内排序第8章文件管理和外排序第9章检索第10章索引技术第四部分应用与高级话题第11章图第12章线性表和数组高级技术第13章高级树形结构第14章分析技术第15章计算的限制（二）程序设计内容第1章C++的初步知识1.1 从C到C++1.2 最简单的C++程序1.3 C++对C的扩充1.4 C++程序的编写和实现1.5 关于C++上机实践第2章类和对象第3章关于类和对象的进一步讨论第4章运算符重载第5章继承与派生第6章多态性与虚函数第7章输入输出流第8章C++工具三．考试要求数据结构与程序设计作为计算机相关专业的基础和公共课程，要求考生掌握数据结构和算法分析的基本概念、掌握常用数据结构及其分析算法，了解常用面向对象的编程语言的特点和编程规范，能熟练应用C++程序语言编写和实现简单应用程序（如数据结构与算法等）。
了解数据结构算法与计算机程序设计的关系，具有综合运用所学知识分析和解决问题的能力。
四．试卷结构数据结构与程序设计各占50％。
1. 名词解释（30%）2. 简答题（40%）3. 论述题（30%）五．考试方式和时间考试方式：笔试考试时间：3小时主要参考书1.《数据结构与算法分析（C++ 版）（第二版）》，（美）Clifford A. Shaffer 著，张铭刘晓丹等译，北京：电子工业出版社，20102.《C++面向对象程序设计》，谭浩强编著, 清华大学出版社，20062。
初中数学预备知识有哪些？
初中数学预备知识有哪些？初中数学预备知识有哪些？在初中数学的学习中，中学生需要掌握一些数学预备知识，这些知识包括基本的数学符号和运算规则、基础的几何知识、基本的代数和函数知识等。
以下将详细介绍初中数学预备知识有哪些。
一、基本的数学符号和运算规则1、加法和减法：在数字间加上加号“+”或减号“-”表示相加或相减。
例如：2+3=5或5-2=3。
2、乘法和除法：在数字间加上乘号“×”或斜线“/”表示相乘或相除。
例如：2×3=6或6/2=3。
3、括号：在数字间加上小括号“( )”，表示括起来的数字要先计算。
例如：(2+3)×4=20。
4、百分号和分数符号：百分号“%”表示百分之几，分数线“/”表示分数。
例如：50%可以表示为50/100或1/2。
二、基础的几何知识1、点、线、面：点可以用笔画一个小点来表示，在点上画出另一个点就可以画出一条线，如果把两条相交的线延长，就可以画出一个面。
2、角度和直角：角度是两条线段之间的夹角，直角是90度的角。
3、图形：常见的几何图形有正方形、矩形、三角形、圆形等。
三、基本的代数和函数知识1、变量和常量：变量表示可以改变的量，常量表示不会改变的量。
例如：在算式 3x + 4 中，x 是变量，3 和 4 是常量。
2、平方和开方：平方是对一个数字进行两次乘方的运算，开方是将一个数字的平方根提取出来。
例如：2²=4，√4=2。
3、函数：函数是一种数学关系，从一个变量的值到另一个变量的值之间的一种映射关系。
例如：f(x) = 2x，代表函数 f 将输入值 x 乘以 2，得出输出值。
以上就是初中数学预备知识的基本内容，掌握好这些基础知识，可以帮助中学生更好地学习数学知识。
四、其他数学预备知识1、整数、分数和小数的换算2、分数、百分数和小数的换算3、方程和不等式的基本概念4、平面向量的概念与表示5、初中数学中常用的函数，如一次函数、二次函数、幂函数等除此之外，中学生还需要了解积分、微分、极限等高中数学的基础知识，以便更好地迎接数学学科的深入学习。
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第二章 数学预备知识
2.2.5 数学归纳法(Mathematical induction)
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2.2 证明方法
符号
一个命题或断言就是一个陈述句，它或真或假，但不能二者都是。 • 否定符号： • 蕴含符号：→ • 当且仅当符号：
• 直接证明方法
• 间接证明方法
• 反证法 • 反例证明法 • 数学归纳法
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第二章 数学预备知识
设n为正整数。 阶乘n!表示：0!=1,n!=n(n-1)!=1·2……·n.
重要结论：
2.5 阶乘(factorial)和二项式(binormal)系数
二项式系数： 也记为 。 重要结论：
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第二章 数学预备知识
Pascal三角
Matlab中的Pascal三角：
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2.8.1线性齐次递推式的求解
常系数线性齐次递推式及它的次：
(2.19)
常系数线性齐次递推式的特征方程：
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展开递推式（2.8.3.1） 代入法（2.8.3.1） 更换变元 （2.8.3.1）
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第二章 数学预备知识
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2.3 对数(logarithms) 以b为底y的对数：logby 性质： logb(xy)= logbx+ logby
c1r1n c2 r2n , r1 r2 ; 它的解为： f (n) n ( c c n ) r , r1 r2 r. 1 2
其中常数c1和c2利用初值来确定。
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j 1
n
1 j n
a
j
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2.7.1 求和的积分近似
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2.4 底函数(floors)和顶函数(ceilings)
设a为实数。 底函数 表示：小于等于x的最大整数。 顶函数 表示：大于等于x的最小整数。
重要结论：
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第二章 数学预备知识
算法设计与分析
Algorithms Design and Analysis
赵廷刚
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2013.3
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第二章 数学预备知识
一阶常系数线性齐次递推式
f(n) = a f (n-1)
它的解为： f(n) = a f(n-1) = …… = a n f (0) 二阶常系数线性齐次递推式 f(n) = a1 f (n-1) + a2 f(n-2)
它的特征方程为： x2 - a1 x - a2 =0 其根为 r1和r2.
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第二章 数学预备知识
2.8 递推关系(recurrence relations)
线性齐次递推式的求解（2.8.1）
非齐次递推关系的解（2.8.2）
分治递推关系的解（2.8.3）
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第二章 数学预备知识
自反的(反自反的)、对称的(反对称的)、传递的（关系）
设R是A上的关系。 自反的(reflexive)：若对所有a∈A,都有(a,a)∈R. 反自反的(anti-reflexive) ：若对所有a∈A,都有(a,a)∉R. 对称的(symmetric)：如果(a,b)∈R,则必然(b, a)∈R. 反对称的(anti-symmetric) ：如果(a,b)∈R,则必然(b, a)∉R. 传递的(transitive)：如果(a,b)∈R,(b,c)∈R,则必然(a,c)∈R.
logb(x)y= ylogbx
以2为底y的对数：log2y=logy 以e为底y的对数：logey=lny 换底公式： logax= logbx ·logab 公式：
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应用例子
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2.1 集合、关系和函数
2.1.1 集合(sets)
• 集合概念 〃元素〃有限集〃无限集〃 可数集〃不可数集 • 集合的描述 〃列举法〃描述法 • 集合元素的数目 〃基数|A| • 集合与元素的关系〃 属于〃不属于 • 集合之间发的关系 〃子集〃真子集〃包含〃 相等 • 集合的运算 〃交∩〃并∪〃补〃 差 • 集合的幂集〃 不相交
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2.1.3 函数(functions)
函数：一个从A到B的二元关系f,若对于每一个x∈A 且x∈Dom(f),恰有一个元素y∈B，使得(x,y)∈f,则 称此关系为一个函数。通常记为y=f(x)。
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函数有三种类型：
单射（一对一的），
满射（到上的）， 双射（一一对应的）。
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第二章 数学预备知识
2.6 鸽笼原理
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