第8章图论方法
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第8章-图论
第8章 图论
定义8.2―2 ：路径P中所含边的条数称为路径P的
长度。长度为0的路径定义为单独一个顶点。(但注意习惯上 不定义长度为0的回路。) 定义8.2―3：在图G=〈V,E〉中,从结点vi到vj最短路径的 长度叫从vi到vj的距离,记为d(vi,vj)。若从vi到vj不存在路径,则 d(vi,vj)=∞。 注意,在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi),但一般地满足 以下性质: (1) d(vi,vj)≥0; (2) d(vi,vi)=0; (3) d(vi,vj)+d(vj,vk)≥d(vi,vk)。
个图是混合图。
我们仅讨论有向图和无向图,且V(G)和E(G)限于有限集合。
第8章 图论
图 8.1―2
第8章 图论
【约定】：用〈a,b〉表示有向边，(a,b)表示无向边, 既表示有向边又表示无向边时用［a,b］。 于是,图8.1―1中的G和图8.1―2中的G′可分别简记为 G=〈V,E〉=〈{a,b,c,d},{(a,b),(a,c),(b,d),(b,c),(d,c),(a,d),(b,b)}〉
边的方向)和边的重数；
则这两个图是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不 同外实际上代表同样的组合结构。
第8章 图论
例8.1-2
(1) 图8.1―6所示的(a)、(b)两图是同构的。因为可 作映射:g(1)=v3,g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边 〈1,3〉,〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉, 〈v3,v1〉,〈v1,v2〉和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中 仅有的边。
在V上的函数，g是定义在E上的函数。
第8章 图论
图 8.1―4
第八章图论第13节
第44页
例： v1
a4
v5
a5
a6 a1
v4 a3
v2
a2
v3
(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1,a4,v5,a5,v4) 不 是 一 条 初 等 路 ， 但 是
一条简单路。
第45页
4. 圈和回路
在无向图 G = ( V, E ) 中，一个点、边交错序列
vi1 , ei1 , vi2 , ei2 ,...,vik1 , eik1 , vik ，如果满足
e7
v6
e8
v5 e9 v7
初等圈：(v1, v2, v3, v4, v1)
第10页
无向图
有向图
第11页
5. 无向图中顶点数、边数的表示方式
顶点数：p(G)，简记为p。 边 数：q(G)，简记为q。 6. 有向图中顶点数、弧数的表示方式 顶点数：p(D)，简记为p。 边 数：q(D)，简记为q。
第12页
二、图的引申概念
1. 端点、始点、终点
无向图 G = ( V, E ) 中，边 e = [ u, v ]∈ E，称 顶点 u 和 v 是边 e 的端点，也称顶点 u 和 v 是 相邻的。
u
e
第19页
有向图 D =( V, A ) 中，弧 a = (u, u) ，即弧的始 点和终点相同，称该弧为环。
u
e
第20页
5. 简单图 无向图中，一个无多重边、无环的无向图，称为 简单图。 有向图中，一个无多重弧、无环的有向图，称为
简单图。
第21页
6. 多重图 无向图中，一个有多重边，但无环的无向图，
第3页
A C
B
D
第4页
离散数学 教案 第八章 图论
西南科技大学
6
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 为方便起见，在无向图中往往用字母ei表示 边。例如，在上图中，用e1表示边(v2,v2)，e2 表示边(v1,v2)等。 对于一个确定的图，我们不关心顶点的位置， 边的长短与形状，因此，所画出的图的图形可 能不唯一。 定义 一个有向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
西南科技大学
4
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 定义 一个无向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
(1). V是一个非空的集合，称为G的顶点集， V中元素称为顶点或结点；
(2). E是无序积 的一个多重子集 (元素可重复 出现的集合为多重集)，称E为G的边集，E中元 素称为无向边或简称边。 在一个图G=<V,E>中，为了表示V和E分别 为G的顶点集和边集，常将V记成V(G)，而将E 记成E(G)。
由于2m，
为偶数，所以
也为偶数。
可是,vV1时，d(v)为奇数，偶数个奇数之和才能 为偶数，所以|V1|为偶数。结论得证。
西南科技大学
17
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 对有向图来说，还有下面的定理： 定理 设G=<V,E>为有向图， V={v1,v2,…,vn} ， |E|=m，则
(5).设E´ E且E´ ≠Φ ，以E´为边集，以E´中边
关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，则称G´是由 边集E´导出的G的子图。
西南科技大学
26
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 例如，在下图中，(2)，(3)均为(1)的子图；(3)是 生成子图；(2)是顶点子集{v1,v2}的导出子图，也
运筹学 第八章 图论 - 全
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时即可看出。
2017/7/13 11
图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的
2017/7/13
18
图与网络的基本知识
有向图 无向图
道路
回路
链
圈
道路(边的方向一致)
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图与网络的基本知识
连通图
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为 连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每 一个称为原图的一个分图（连通分支）。
连通图
2017/7/13
边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。
２、避圈法：每次增加一条边，且与已有边不构成圈，直至恰 有n-1条边为止。
2017/7/13
24
树
例１、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到 别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？ 试给出一个开门的方案。
三
七
Байду номын сангаас
三 八 一 四 二 五
七 八 九 六
无向图
2017/7/13
有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间边多于一条，称为多重边，如右
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
图中的e4和e5，对无环、无多重边的
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
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30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
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效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
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柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
第8章_有向图
图论及其应用
5
8.1 有向图——习题
10.1.1. 一个简单图有多少个定向图？ 10.1.2. 证明： = = 。 10.1.3. 设有向图D中无有向圈，则 d (v ) d (v ) v V v (a) = 0V； (b) 存在一个顶点排序v1，……，v ，使对1 i ，每条 以vi为 头的弧其尾都在{v1，……，vi-1} 中。 10.1.4. 证明：D是双向连通的 D是连通的，且D的每个块 是双向连通的。 10.1.5. D的逆图 是把D中每弧的方向都改为其反向所得的 有向图。试用逆图慨念及习题10.1.3.(a) 来证明： 若有向图D中 无有向圈，则+ = D 。 0 10.1.6. 证明：严格有向图包含长 max{ ，+}的有向路。 10.1.7. 证明：严格有向图中若max{ ，+} = k 1，则 D包含长 k+1 的有向圈。
图论及其应用
第8章 有向图
8.1 有向图
有向图（directed graph；digraph） D =（V，A） V(D) —— 顶点集。 a u v A(D) —— 弧集。 弧a = (u,v)：其头为v，其尾为u； 弧a从u连到(join to)v。 有向子图（subdigraph） 有向图D的基础图（underlying graph） 对应于D的无向图G（称D为G的一个定向 （orientation）图）
8.1 有向图
易见，有向图D = (V, A)中顶点间的双向连通性是V上 的一个等价关系，它的等价类确定了V的一个划分 （V1，……，Vm）， 使顶点u与v双向连通 u与v 同属某等价类Vi 。 称每个导出子图D[V1]，……，D[Vm]为有向图D的一 个双向分支（dicomponent；strong component）。 当D只有一个双向分支时，称D为双向连通的。 易见，D的任二双向分支之间的弧都是同一个方向的。 例
离散数学第8章 图论
ij
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
图论讲义第8章-有向图
A = {< v1 , v2 >, < v2 , v3 >, < v2 , v3 >, < v3 , v4 >, < v3 , v5 >, < v1 , v5 >, < v1 , v5 >, < v5 , v5 >} 。
这便定义出一个有向图。 注： （1）相应地，前面所说的边不带有方向的图称为无向图。 （2）一个无向图 G 可以对应若干个有向图，它称为所对应的有向图的基础图或底图。 （3）将有向图的顶点可用平面上的一个点来表示，弧可用平面上的有向线段来表示（直 的或曲的） ，这样画出的平面图形称为图（有向图）的图示。 （4）对一条弧 e=<u, v>，其第二分量顶点 v（即箭头指向的顶点）称为它的首顶点，另一 顶点称为它的尾顶点。一条首尾顶点相同的弧称为环弧（如下图中 e8） ，两条具有相同首顶 点和相同尾顶点的弧称为并行弧（如下图中 e2 和 e3） 。既无环弧又无并行弧的有向图称为简 单有向图（或严格有向图） 。 例如，例 8.1.1 中有向图的一个图示为 e1 v2 e2 e3 v3 v1 e6 e5 e4 e7 v5 v4
§8.4 Euler 有向图和 Hamilton 有向图
定义 8.4.1 经过有向图 G 的所有弧恰一次的有向迹称为 G 的一条 Euler 有向迹。经过有向图
G 的所有弧恰一次的有向闭迹称为 G 的一条 Euler 有向闭迹。存在 Euler 有向迹的有向图称
为 Euler 有向图。经过有向图 G 的所有顶点恰一次的有向路称为 G 的一条 Hamilton 有向路； 经过有向图 G 的所有顶点恰一次的有向圈称为 G 的一个 Hamilton 有向圈。存在 Hamilton 有 向圈的有向图称为 Hamilton 有向图。 定理 8.4.1 非平凡弱连通有向图 G 是 Euler 有向图的充分必要条件是对任何 v ∈ V (G ) ，都 有 d (v ) = d (v ) 。
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
第8章图论方法
Page 12
【例题·计算题】某城市东到西的交通道路如下图所示，线 上标注的数字为两点间距离(单位：千米)。某公司现需从市 东紧急运送一批货物到市西。假设各条线路的交通状况相同， 请为该公司寻求一条最佳路线。
2 东3
4
3 1
7
2
5
7
3
3
4
4
7 5
6
4 6
7 3
7
西
8
【答案】
1-4-7-西 10 3
9
2
3
5
7
3.5
4
6
10
1
6
4
3
8
2
5
【答案】
2 5
4
6
1
3
5
3 3.5 4
2
Page 8
【解析】按照克鲁斯喀尔的算法很轻松得出答案。
1.（11年7月）已知连接5个城镇的公路交通图如图。为了沿公路架设5个城镇的
光缆线，并要求光缆线架设的总长度为最小，试以最小枝杈树方法求出Pa最ge优9 方 案并计算光缆线的总长度。
8.2 树和树的逐步生成法
Page 4
1、树：连通且不含圈（回路）的图称为树。 2、树的边数=结点数-1。
【选择题】以下叙述中，正确的是（ ） A．树的点数为线数加1 B．图的点数小于线数 C．图的点数大于线数 D．树可能含有圈 【答案】A 【解析】树的点数和边数差1，普通图的点数和边数谁多谁少不 确定。 【知识点】图和树的基本概念
Page 22
5.（09年7月）某网络如图，线上标注的数字是单位时间通过两节点的流量。
Page 23
试求单位时间由网络始点到网络终点的最大流量（单位：吨）。
第八章_图论
引例1：哥尼斯堡七桥问题（图论应用的开始）
边代表桥 每个点代表陆地
Company Logo
A
B D
C
问题转化成：图G中从某一结点出发找出一条路，它通过 每条边恰好一次后回到原出发结点。 欧拉在这篇论文中提出了一条简单准则，确定七桥问题是 不能解的。
引例2：环球旅行问题
费城 柏林 北京 巴黎 伦敦
i 1
分析 由定义知，结点v的度数等于以v为端点的边 数，而1条边有2个端点(环的2个端点相同)， 因此1条边贡献2度。 证明 因为每条边都有两个端点(环的两个端点相 同)，所以加上一条边就使得各结点的度数之 和增加2，因此结论成立。
Company Logo
图中结点的次数
正则图：所有结点均有相同次数d的图称为d次正 则图。
l
3
l
4
l
7
A l1 C l3 l2 l4 l5 l6 D
B
哥尼斯堡桥问题之图示
l7
问题的解决:欧拉图
B 欧拉图
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图的基本概念
定义8.1 图G是由非空结点集合V={v1,v2,…vn}以及边 集合E={l1,l2,…lm}所组成，其中每条边可用一 个结点对表示，亦即 li=(vi1,vi2) i=1,2,…m 这样的一个图 G可用G=<V,E>表示 。 说明： 1. li=(vi1,vi2) 既可表示有序节点对，也可表示无序结点 对。 2. 一个图的边与结点对相关联，有时一个结点对只与 一条边相关联；有时一个结点对可与多个边相关联。
几何图形是不同的。
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第八章 图论原理
1 2 3 4 5
图的基本概念 通路、回路与连通图
第8章 有向图
有向图 D
D 的双向分支
图论及其应用 4
8.1 有向图
− 入度（indegree）d D (v ) 。 入度 d+ 出度（outdegree） D (v ) 。 出度 记号 δ+，δ− ：最小出、入度； ∆+ ， ∆- ：最大出、入度。 称有向图D为严格的 严格的（strict） 严格的 ⇔ 无环、且不存在两弧其端点及方向相同。
定理10.1 (Roy,1967; Gallai,1968) 有向图 包含一 有向图D包含一 定理 长为 χ - 1 的有向路。 的有向路
证明：令D’ 为D的极大 极大无有向圈、有向生成子图（注：D’ 可由空生成子 极大 图作为开始，在保持无有向圈的条件下，通过逐步加弧而得） 。令k为D’ 中最长有向路的长。今用色1，2，……，k+1对D’ 进行顶点着色如下： 将v着以色i ⇔ D’ 中以v为起点的最长有向路的长为i 1。 来证这是D的正常(k+1)-顶点着色： 先证，D’ 中任一有向(u,v)-路P的起、终点u与v一定不同色：设v被着以色 i 。则由着色法知，在 D’ 中以v为起点的一最长有向路，设为，Q的长为i - 1 。由于D’ 中无有向圈，PQ为一有向路，起点为u，长 ≥ i 。从而u上的 色j > i。 只要再证，D中任一弧(u,v)的两端一定不同色：当 (u,v)为D’ 中的弧时， 它就是D’ 中的一有向(u,v)-路，从而u与v不同色。 9 图论及其应用
10.2 有向路
当 (u,v)不是D’ 中的弧时，由D′ 之极大性知 D’ + (u,v) 包含一有向圈C。于是， C - (u,v) 是 D’ 中的有向(v,u)-路，从而u与v也不同色。 由上述知，D为(k+1)-可着色的，因此 χ ≤ k+1 ，得k ≥ χ - 1 ， 故D中有长为χ - 1 的有向路。 #
离散数学第8章 图论
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图论原理 两个图同构的必要条件: 1.结点个数相等. 2.边数相等. 3.度数相同的结点数相等. 4.对应的结点的度数相等. 下面是同构的图:
a b c e d 3 5 1 4 2 b c d a f e 2 4 6 1 3 5
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图论原理
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图论原理
图的同构 设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是图,如果存在双射f:VV’ 且任何 vi,vj∈V,若边(vi,vj)∈E,当且仅当 边(f(vi),f(vj))∈E’, (则称G与G’同构,记作G≌G’. (同构图要保持边的“关联”关系) 例如:右边所示的两个图: a b 1 4 G=<V,E> G’=<V’,E’> c d 3 2 构造映射f:VV’ a 1 b 2 c 3 d 4 a 1 b 2 c 3 d 4
c
d
v2
v4 v6 G2
v3
v5
f g h G1
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图论原理
欧拉通路的判定方法： 定理：无向连通图G中结点a和b间存在欧拉通路的充分必要 条件是a与b的次数均为奇数而其他结点的次数均为偶数。 如果G有两个奇数度结点:就从一个奇数度结点出发,每当到 达一个偶数度结点,必然可以再经过另一条边离开此结点, 如此重复下去,经过所有边后到达另一个奇数度结点 如果G无奇数度结点,则可以从任何一个结点出发,去构造一 条欧拉路. a b 1 2 c d 4 3
v3
是一个结点,则称此路 是一个回路. 如果一条路中所有边都不同,则称此路为迹或简单通路. 如果一条回路中所有边都不同,则称此回路为闭迹或简 单回路. 如果一条路中所有结点都不同,则称此路为基本通路. 如果一条回路中所有结点都不同,则称此路为基本回路. 一条基本通路一定是简单通路，但是一条简单通路不 一定是基本通路
图论引导笔记第八章匹配与分解
图论引导笔记第⼋章匹配与分解8.1 匹配定义：1、（边的集合）独⽴的：G.E的⼀个⼦集，且该集合中的任意两条边不相邻接。
称边独⽴集。
2、匹配（matching）：图G的⼀个独⽴集。
3、匹配（match）：⼆部图的两个部集的点集之间的⼀种映射关系，该映射关系满⾜于所连接的边是⼀个匹配（matching）*以下考虑的是⼆部图G，他的两个集部是U和W，且|U|≤|W|，X是U的⾮空⼦集4、（⾮空点集的）邻域：集合中所有顶点邻域的并。
设集合为X，记作N（X）5、（集部是）友好的：对于集部U，他的任意⾮空⼦集X，都有|N(X)|≥|X|。
（翻译⼀下就是说，在这个部⾥任意取⼀部分点都能形成匹配）6、互异代表元系：有⼀串⾮空有限集合{S1,S2,…,Sn}，存在n个不同的元素{x1,x2,…,xn}使得xi∈Si,则这串{xi}称为互异代表元系。
（⽽不是指；仅仅这个集合有别的集合没有。
显然，|∪{Si}|≥n）7、（⼆分图）交错路：⼀条属于匹配的边和⼀条不属于匹配的边交错构成的路。
8、（任意分图）最⼤匹配：具有最⼤基数的匹配, 对于n阶⼆分图，最⼤匹配数不会超过floor(n/2)9、完美匹配：（此处讨论⼆分图）G的阶数为偶数，匹配基数等于n/2，G中任意顶点均能通过M匹配到G中另⼀个顶点。
完美匹配也必定是最⼤匹配。
使⽤：完美匹配要求图的⼀个集部是友好的和边有关的加<'>,和点有关的不加。
11、边独⽴数：G 中边独⽴集的最⼤基数。
记作β'(G)。
阶为n的图存在完美匹配当且仅当n为偶数且β'(G)=n/2.12、覆盖：顶点与其关联边，互为彼此的覆盖。
13、边覆盖：覆盖G所有点的边的集合，称为是G的⼀个边覆盖。
14、边覆盖数：G中所有边覆盖最⼩的基数，记作α'(G)，当且仅当G不包含孤⽴点的时候有定义。
15、最⼩边覆盖：具有最⼩边覆盖基数的边覆盖。
边覆盖/独⽴有关的⼀些性质：对于整数n≥3，1≤r≤s，边覆盖数有：α'(Cn)=α'(Kn)=ceiling(n/2); α'(K_r,s)=s边独⽴数有：β'(Cn)=β'(Kn)=floor(n/2); β'(K_r,s)=r所以：α'(Cn)+β'(Cn)= α'(Kn)+β'(Kn)=n; α'(K_r,s)+ β'(K_r,s)=r =s+r以上性质很显然可以看出来。
第8章几种特殊的图
35
实例
例 求图的一棵最小生成树
W(T)=1+2+3+3+4+7+18=38
36
例 求图的一棵最小生成树T及其权W(T)
a
5
5
1 b5 5e
f
3 6 42
c6 d (1)
W(T1)=15
a
5
5
1 b5 5e
f
3 6 42
c6 d (1)
W(T2)=15
G的最小生成树可能不唯一, 但G的不同最小生成树权的值一样.
G1
G G2
32
生成树的存在性
定理8.7 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树. 否则删去圈上的任一条边, 不破坏连通性, 重复进行直到 无圈为止, 得到图的一棵生成树.
ae
u
v
b d
c
推论 设n阶无向连通图有m条边, 则mn1.
33
最小生成树
图G的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e的权. 图G连 同附加在边上的权称作带权图, 记作G=<V,E,W>. 设H是G 的子图, H所有边的权的和称作H的权, 记作1)(2), 任意2个不相邻的顶点之间有一条惟 一的路径, 故在这2个顶点之间添加一条新边, 必得到一条 惟一的初级回路.
(5)(6) 首先, 任意2个不相邻的顶点之间都有一条通路, 否则在它们之间添加一条新边不可能构成回路, 故G连通. 其次, 若删去一条边G仍是连通的, 这条边必在一条回路
解 设有x片树叶, 树的顶点数为1+2+x=3+x, 树的边数为(3+x)-1=2+x, 2(2+x)=13+22+x 解得x=3, 故T有3片树叶.
实例
例 求图的一棵最小生成树
W(T)=1+2+3+3+4+7+18=38
36
例 求图的一棵最小生成树T及其权W(T)
a
5
5
1 b5 5e
f
3 6 42
c6 d (1)
W(T1)=15
a
5
5
1 b5 5e
f
3 6 42
c6 d (1)
W(T2)=15
G的最小生成树可能不唯一, 但G的不同最小生成树权的值一样.
G1
G G2
32
生成树的存在性
定理8.7 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树. 否则删去圈上的任一条边, 不破坏连通性, 重复进行直到 无圈为止, 得到图的一棵生成树.
ae
u
v
b d
c
推论 设n阶无向连通图有m条边, 则mn1.
33
最小生成树
图G的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e的权. 图G连 同附加在边上的权称作带权图, 记作G=<V,E,W>. 设H是G 的子图, H所有边的权的和称作H的权, 记作1)(2), 任意2个不相邻的顶点之间有一条惟 一的路径, 故在这2个顶点之间添加一条新边, 必得到一条 惟一的初级回路.
(5)(6) 首先, 任意2个不相邻的顶点之间都有一条通路, 否则在它们之间添加一条新边不可能构成回路, 故G连通. 其次, 若删去一条边G仍是连通的, 这条边必在一条回路
解 设有x片树叶, 树的顶点数为1+2+x=3+x, 树的边数为(3+x)-1=2+x, 2(2+x)=13+22+x 解得x=3, 故T有3片树叶.
《应用数学基础》(陈冲)教学课件 第八章 图 论
应用数学基础
第八章 图 论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本 概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计 算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的 所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的 手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每 个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起 点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出 的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理） 设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联； 由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．
第八章 图 论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本 概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计 算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的 所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的 手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每 个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起 点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出 的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理） 设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联； 由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．
《图论》第8章 网络模型
1=|W|=|MN|=|M|+|N|=1+|N|.
故 1 1 。
又 |M| 1 ，|W| 1 故 |M| 1 1 |W|
当 |M|=|W|时，上述等号成立，即 |M| = 1 = 1 = |W|
G 中 M-非饱和顶点数=n2|M|=n21=n(1+1)=nn=0
即 M 是 G 的一个 完美匹配。
8.1 匹配的基本概念
[边覆盖] 一个图 G=(V, E) ，EE，若 G 的任一个顶点都与 E 中的边关联，则称 E 覆盖 G，或称 E 为 G 的一个边覆盖 （集）。 E 为 G 的一个边覆盖 EE (u)(uV(e)(e=(v,w)E(v=uw=u)))
[极小边覆盖] E 是 G 的一个极小边覆盖 E 为 G 的一个边覆盖(E1)(E1E E1不是 G 的边覆盖)
[例] 图中红边构成匹配Ｍ。
M-交互道
M-交互道
非M-可增广道
M-可增广道
12
8.2 最大匹配的基本定理
[定理8-2-1] 设G=(V, E)，M 为 G 中匹配，则 M 为 G 的最大匹 配当且仅当 G 中不存在 M可增广道。(Berge)
e s
r
e v
e
u e t
W1
8
8.1 匹配的基本概念
(3) M1 是 G 的一个匹配，故有：|M1|1。或 1 |M1| 由 (1)：|W|=n1 n|M1| 由 (2)：1=n|M1| 故 |W|1。 而 W 是 G 的一个覆盖， |W|1。 故 |W|=1，即 W 是 G 的一个最小覆盖。 考虑到 |W|=n1，故有 1=n1 即有 1+1=n 考虑到 1=n|M1| 即 |M1| = n1 故 |M1|= 1。即 M1 为 G 的一个最大匹配。
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4-7-西 7
1
4
4
2 东-1-4-7-西
12
2-5-7-西 15
7 5-7-西 10 7
东
3
5
2
7 3-6-8-西
14 4
3
3
5
6
6-8-西 11 4 6
Page 13
7-西 3
7 3
8-西
西
7 77
8
【解析】从终点逆向标到起点即可 说明：方框中的数字代表改点到终点最短距离；方框上的标 示从改点到终点最短路线的走法。
1000辆/小时计算），求从A到F的最大车流量及安排。
Page 21
解：A-B-D-F连线上最小流量为4，A-C-E-F连线上最小流量为2;A-C-D-E-F 连线上最小流量为1,A-B-C-D-E-F连线上最小流量为1，总流量是4+2+1+1=8 ，即8000辆/小时。最大流量问题，就是在一定条件下，要求流过网络的流 量为最大的问题，路线的选择顺序不唯一，单不管哪种选择最终的总流量是 相等的。
【答案】第一条路：1—2—4—6 流量为5吨 第二条路：1—3—4—6 流量为2吨 第三条路：1—3—5—6 流量为6吨
所以最大流量为5+2+6=13吨。 【解析】路线的选择顺序不唯一，但不管哪种选择最终的总 流量是相等的。
如下图所示为4座城市及其公路连接情况，线上数字是相邻城市 每个小时最多可以通行的车辆数，以1000辆为1个计量单位P，age试19 求出从第一个城市到第四个城市的最大流量及安排
Page 1
第八章 图论方法
复习建议
Page 2
本章在历年考试中，处于相当重要的地位，建议学员全面掌 握,重点复习。从题型来讲包括单项选择题、填空题、名词 解释和计算题题型都要加以练习。
重要考点：树、最小枝杈树、最短路线、最大流量等。
8.1图的基本概念
有向图
VPage 3
1、图的基本要素：结点、边。
2.（10年4月）某工程埋设电缆，将中央控制室W与6个控制点相连通，各控制 点位置及距离（公里）如图。如何埋设可使电缆总长最短？求出最短P距age离1。0
8.4 最短路线问题
Page 11
最短路线问题为当通过网络的各边所需要的时间、距 离或费用已知时，寻求两点间的距离最短或费用最少的路性 问题。 采用的方法为逆向推算法。
Page 6
4、克鲁斯喀尔法（又称避圈法） （1）每次选择剩余边中长度最小的 （2）后选的边与已经选好的边不能构成回路，若构成则舍弃 （3）重复（1）（2），直到把所有边选完。
Page 7
【例题·计算题】某自来水公司欲在某地区各高层住宅楼间 敷设自来水管道并与主管道相连。其位置如下图，节点代表 各住宅楼和主管道位置，线上数字代表两节点间距离（单位： 百米）。如何敷设才能使所用管道最少？
V4
2、有向图：所有边都带方向。
1
V
V
3、无向图：所有边都没有方向。
3
2
4、连通图：所有结点都连接起来，没有孤
立点的图。
5、不连通图：有孤立点的图。
6、权：赋给结点或边的信息。
7、回路（圈）：从一点出发，还能回到原 点的一条路。
8.2 树和树的逐步生成法
Page 4
1、树：连通且不含圈（回路）的图称为树。 2、树的边数=结点数-1。
9
2
3
7
3.5
4
6
10
1
6
4
3
8
2
5
【答案】
2 5
4
6
1
3
5
3 3.5 4
2
Page 8
【解析】按照克鲁斯喀尔的算法很轻松得出答案。
1.（11年7月）已知连接5个城镇的公路交通图如图。为了沿公路架设5个城镇的
光缆线，并要求光缆线架设的总长度为最小，试以最小枝杈树方法求出Pa最ge优9 方 案并计算光缆线的总长度。
解：从1到4总共有3条可行方案，分别是1-2-4，1-3-4,1-2-3-4， 每条路线的流量分别为6000辆/小时、 12 000辆/小时、 2 000辆/ 小时，因此1到4总安排为6000+12000+2000=20 000辆/小时。
Page 20
下图是六个城市之间的公路连接情况，线旁的数字表示公路的车流量（以
路的交通状况相同，请为该公司寻求一条最佳路线。
8.5 最大流量问题
Page 17
最大流量问题，就是在一定条件下，要求流过网络的流
量为最大的问题。
【例题·计算题】某网络如图，线上标注的数字是单位时间
通过两节点的流量。试求单位时间由网络始点到网络终点的
最大流量（单位：吨）。
2
4
1
6
3
5
Page 18
3.（11年4月）电信公司准备在甲、乙两地之间沿公路架设光缆 ，图给出了两地间的公路交通图，其中，V1表示甲地，VP7a表ge 示14 乙地，点与点之间的连线（边）表示公路，边上的数值表示两 地间公路长度（km）。问如何选择架设线路可使光缆架设距离 为最短？最短距离是多少？
Page 15
4.（07年4月）城市A到城市B的交通道路如题图所示，线上标注的数字为两点 间距离(单位：万米)。某公司现需从A市紧急运送一批货物到B市。假设Pa各ge 条16线
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【例题·计算题】某城市东到西的交通道路如下图所示，线 上标注的数字为两点间距离(单位：千米)。某公司现需从市 东紧急运送一批货物到市西。假设各条线路的交通状况相同， 请为该公司寻求一条最佳路线。
2 东3
4
3 1
7
2
5
7
3
3
4
4
7 5
6
4 6
7 3
7
西
8
【答案】
1-4-7-西 10 3
Page 22
5.（09年7月）某网络如图，线上标注的数字是单位时间通过两节点的流量。
Page 23
试求单位时间由网络始点到网络终点的最大流量（单位：吨）。
Page 24
Page 25
6.（08年7月）如题图所示，圆圈代表网络节点，节点间的连线表示它们间有网线
【选择题】以下叙述中，正确的是（ ） A．树的点数为线数加1 B．图的点数小于线数 C．图的点数大于线数 D．树可能含有圈 【答案】A 【解析】树的点数和边数差1，普通图的点数和边数谁多谁少不 确定。 【知识点】图和树的基本概念
8.3 最小枝杈树问题
Page 5
1、最小枝杈树问题是关于在一个网络中，从一个起点出 发到所有点，找出一条或几条路线，以使在这样一些线 路中所采用的全部支线的总长度是最小的。 2、常用方法：普莱姆法或克鲁斯喀尔法。 教材中介绍的是普莱姆法，在做题过程中不如克鲁斯喀 尔法简单，因此我们重点讲解克鲁斯喀尔法。 3、最小枝杈树问题主要应用于管道、电话线、电线、网 线等线路铺设中。