分形和分形维数及其在多孔介质研究中的应用

分形和分形维数及其在多孔介质研究中的应用

华北科技学院常浩宇

1 分形、分形几何学和分形维数

1.1 分形

分形是指自然界中的一些形体，它们具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次，也就是说适当的放大或缩小事物的几何尺寸，整个结构并不改变。

一些经典的分形如：

一、三分康托集

1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集，或称康托尔集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程

三分康托集的构造过程

构造出来的(如右图)。其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。

二、Koch 曲线

1904年，瑞典数学家柯赫构造了“Koch曲线”几何图形。Koch曲线大于一维，具有无限的长度，但是又小于二维。它和三分康托集一样，是一个典型的分形。根据分形的次数不同，生成的Koch 曲线也有很多种，比如三次 Koch 曲线，四次 Koch 曲线等。下面以三次 Koch 曲线为例，介绍 Koch 曲线的构造方法，其它的可依此类推。

Koch 曲线的生成过程

三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。其图例构造过程如右图所示(迭代了 5 次的图形)。

自然界中如生长得枝枝岔岔的树木,高低不平的山脉,弯弯曲曲的河流与海岸线。棉絮团状的云烟和冬天里美丽的雪花等都可以看成是分形结构。

1.2 分形几何学

研究分形的几何学称为分形几何学。

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”。

1.3 分形维数

fractal dimension主要描述分形最主要的参量。简称分维。通常欧几里德几何中，直线或曲线是1维的，平面或球面是2维的，具有长、宽、高的形体是3 维的；然而对于分形如海岸线、科赫曲线、射尔宾斯基海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述。科赫曲线第一次变换将1英尺的每边换成3个各长4英寸的线段，总长度变为 3×4×4/3=16 英寸；每一次变换使总长度变为乘以4/3，如此无限延续下去，曲线本身将是无限长的。这是一条连续的回线，永远不会自我相交，回线所围的面积是有限的，它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内，确实是占有空间的，它比1维要多，但不及2维图形，也就是说它的维数在1和2之间，维数是分数。同样，谢尔宾斯基海绵内部全是大大小小的空洞，表面积是无限大，而占有的 3 维空间是有限的，其维数在2和3之间。

维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。

分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。

当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，因为直线中

不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。

对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……

2 多孔介质

多孔介质是指由固体骨架(sofidmalrix)和相互连通的孔隙、裂缝或各种类型的毛细管所组成的材料。多孔介质广泛存在于自然界、工程材料和生物体内,常见的多孔介质有土壤、孔隙或裂隙岩石、陶瓷、纤维聚合物、过滤纸、砂过滤器、金属泡沫以及动物的脏器等。这些物体都具有若干可以把它们归结为多孔介质的共同特征,即:i)孔隙中含有一相或多相物质(液相或气相物质等);ii)多孔介质的每一单位体积内均有作为骨架的固体相物质,且具有较高的比表面积,多孔介质中的孔隙较小;ili)构成孔隙空间的某些孔洞应当是互相连通的,液体能在连通的孔隙中流动。

3 分形与多孔介质

3.1 研究多孔分形介质的意义

流体在多孔介质中的流动阻力的研究对石油开采，改良土壤的渗透率和研究农作物生长，以及航空材料的设计等都不可缺少的重要的参数。但在实际工程设计和理论计算时，为求解连续性方程、动量方程和能量方程，常把多孔介质看作为连续介质，忽略了多孔介质的微结构。方程中的物性参数的选用，往往采用经验公式，如厄根方程，这势必造成误差。因为即便在相同的孔隙率下，各种多孔介质的微结构不同，因而造成物性参数的很大差异。所以，对于多孔介质内流动阻力的研究，不仅有其应用价值，而且有着重要的理论价值。由于多孔介质的结构非常复杂，例如孔隙的界面和大小各异，迄今尚未有有效的方法将其精确地表示。所以几十年来人们主要用实验直接测量和数值模拟计算来近似确定多孔介质的渗透率，然而，上面的方法有其不足，例如所得结果往往综合成经验关系式，但这些经验关系式常包含有一个或多个没有明确物理意义的常数，如 25/12，3.5 等等。而实验测量常常是既花时间，又花经费。所以，研究和开发理论模型就成为具有挑战性的课题。

3.2 分形理论在多孔介质研究中的意义

流体在随机/天然多孔介质中流动时,流线通常是弯曲的,且具有分形特征,已有大量文献报道说，多孔介质具有分形特征，所以分形理论与方法有可能被用来分析多孔介质输运性质，华中科技大学的郁伯铭教授较全面地论述了多孔介质输运性质的分形分析的理论基础。