数学建模—大气污染预报问题

数学建模—大气污染预

报问题

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学

生数学建模竞赛第一次预选

赛

一、（必做题）

（1）油罐的体积（本题10分）

一平放的椭圆柱体形状的油罐，长度为L ，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，油的密度为ρ，问当油罐中油的高度为h 时油量是多少？

图 1.1

椭圆方程为⎩⎨

⎧==t b y t a x sin cos 如图2，设阴影部分面积为S/2，则油桶的底面积为S 。

图 2

下面将会利用mathematics 软件进行求解,求解的程序如下：Integrate[2*a*b*Cos[t]^2,{t,ArcSin[1-h/b],Pi/2}] 解得结果为： ))1arccos()()2((

2

b h

b h b b h h b a S -++--=

当b h >时，由椭圆对称性，A 中的h 用h b -2代替得到：

b X

Y

a

b-h

所以油液质量M 为：

（2）光的反射定律（本题10分）

费马原理：光总是沿用时最短的光程传播。试根据这一原理利用极值的有关知识证明光的反射定律：入射角等于反射角。

解：由于光在同一介质中的速度为常数，所以在同一介质中光总是沿直线传播。 如图3，现假设有两种介质1、2相接，光线在介质1中的传播速度为v,取两介质的分界线上的一条直线为X 轴，设有一束光线从介质1中的),0(a A 点经X 轴上的

)0,(x P 点反射，并沿直线方向行进到),(b d B 点。设直线AP 与X 轴法线的夹角为1θ，

PB 直线与X 轴法线的夹角为2θ，下面，根据最短时间效应来推导出光学中的反射定理。 P

图三

光线由A 点传到P 点所需的时间为: 光线由P 点传到B 点所需的时间为:

故光线由A 传到B 所需的总时间为：

根据费马定理，最短时间效应对应的优化问题为： 令

0])([12222=-+--+=x d b x d x a x v dx dt

于是可以得到：

2

2

2

2

)

(x d b x d x

a x -+-=

+

又由于

12

2sin θ=+x

a x

，

22

2

sin )

(θ=-+-x d b x d

所以有：

这就是光学中的反射定理。证毕

大气污染预报问题

摘要

本文通过对四个城市的空气质量的排名以及城市A 的空气质量，利用C 语言、Excel 、Mathematics 和MATLAB 等工具，分别建立了层次模型、多元线性回归预测模型进行了合理地分析。最后，我得到了以下一些比较满意的结果。

问题（1）：通过对问题（1）问题的分析，得出了这是一个比较典型的层次模型，目标层是空气质量的排名，因素是三种污染物的浓度情况，对象是题目给出的4个城市。查找资料后，我找到了一个非常关键的东西——空气污染指数的计算方法，于是利用C 语言的编程知识我很快求出了这些城市的污染情况，结合层次模型的相关知识，建立层次模型后很快得到了我们所期望的答案：总权重：,，，.于是城市环境排名也就解决了，由优到劣的排名情况：C 、B 、A 、D 。而且层次的模型的一次性检验也顺利通过。

问题（2）：问题（2）要求我们找出空气质量与气象因素之间的关系，一开始查阅了很多资料，本想借助灰色预测模型进行求解，可是灰色预测模型的使用条件和咱们这个题目的要求似乎没有什么关联，后来在网上浏览一片文章的时候，我找到了问题的突破口，便是利用多元回归预测模型进行求解。然后根据这个模型的所要的处理数据，利用MATLAB 、Excel 等工具，求解到本题的回归系数。得到了三种污染物与气象因子之间的关系：

SO2的浓度与气象因素的关系：v f t p c 0044.00004.00019.00015.00173.11--+-= NO2的浓度与气象因素的关系：v f t p c 0077.00001.00017.00003.02022.02-+++-= PM10的浓度与气象因素的关系：v f t p c 0019.00022.00033.00014.09329.03+-+-= 接着，我又利用了F 检验和复相关系数R 用来判别回归方程在统计上是否合理。结果还是很让人满意的，回归模型的拟合度还是很高的。 关键词：层次模型 多元线性回归预测模型 空气污染指数

问题提出

大气污染预报问题

大气是指包围在地球外围的空气层，是地球自然环境的重要组成部分之一。人类生活在大气里，洁净大气是人类赖于生存的必要条件。一个人在五个星期内不吃饭或5天内不喝水，尚能维持生命，但超过5分钟不呼吸空气，便会死亡。随着地球上人口的急剧增加，人类经济增长的急速增大，地球上的大气污染日趋严重，其影响也日趋深刻，如由于一些有害气体的大量排放，不仅造成局部地区大气的污染，而且影响到全球性的气候变化。因此，加强大气质量的监测和预报是非常必要。目前对大气质量的监测主要是监测大气中2SO 、2NO 、悬浮颗粒物（主要为PM10）等的浓度。

附件一给出了城市A 、B 、C 、D 从2009年6月1日至2009年7月25日测量的污染物含量及城市A 的气象参数的数据；附件二给出了城市A 从2009年7月26日至2009年7月30日测量的污染物含量及气象参数的数据。请解决下面两个问题：

（1）建立由污染物浓度评价空气质量的数学模型，然后利用附件一中的数据对四个城市的空气质量进行排序。

（2）分析城市A 的空气质量(指2SO 、2NO 、PM10的浓度)与气象参数之间的关系，并利用附件二中的数据进行检验。

二、基本假设

1、题目所给的四个城市的污染物含量及城市A 的气象参数等数据都准确可靠。

2、根据内地空气污染指数（API ）来划分为５个等级：API 值小于等于50，空气质量为优，相当于国家空气质量一级标准；API 值大于50且小于等于100，表明空气质量良好，相当于达到国家质量二级标准；API 值大于100且小于等于200，表明空气质量为轻度污染，相当于国家空气质量三级标准；API 值大于200表明空气质量差，称之为中度污染，为国家空气质量四级标准；API 大于300表明空气质量极差，已严重污染。

三、符号说明