高三数学复习-基本不等式教案

高三数学复习-基本不等式教案
【教学目标】
1。

了解基本不等式的证明过程．
2。

会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
【重点难点】
1。

教学重点：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；
2。

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
等号成立的条件一致． 考点分项突破
考点一：利用基本不等式求最值 1．函数y ＝x 2
＋2x ＋2
x ＋1(x >－1)的图象最低
点的坐标是( )
A ．(1，2)
B ．(1，－2)
C ．(1，1)
D ．(0，2)
【解析】 由题意得y ＝x ＋12＋1
x ＋1＝
(x ＋1)＋1x ＋1
，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴y ≥2
x ＋1
×1x ＋1
＝2当且仅当x ＋1＝1
x ＋1
，即(x ＋1)2＝1(x >－1)时等号成立，此时x ＝0。

即函数图象的最低
点的坐标为(0，2)． 【答案】 D 2．已知x >0，则x x 2＋4
的最大值为________．
【解析】 x x 2＋4
＝1x ＋4x ，∵x >0，∴4
x >0，∴x x 2＋4＝1x ＋4x ≤12x ·
4x
＝1
4，当且仅当x ＝4x (x >0)，即x ＝2时等号成立，∴x x 2
＋4
的最大值为14。

【答案】 1
4
则1m ＋4n ＝15×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m
＋4m n ≥15(5＋4)＝9
5，当且仅当n ＝2m ＝10
3时，等号成立． 【答案】 (1)B (2)9
5
跟踪训练：
1．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥
m
a ＋3
b 恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24
【解析】 因为a >0，b >0，不等式3a ＋1b
≥
m a ＋3b
恒
成
立，所以
m ≤⎣
⎢
⎡⎦
⎥⎤a ＋3b
⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b min
，因为(a ＋3b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a ＋1b ＝6＋9b a ＋a b ≥6＋29b a ·a
b ＝12，当且仅当a ＝3b 时取等号，所以m 的最
大值为12。

【答案】 B
2．若点A (1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上，
其中mn >0，则1m ＋1
n 的最小值为
________．
【解析】 因为点A (1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上，
所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1，所以1m ＋
100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝
80
n ＋1。

若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．
①求出f (n )的表达式；
②求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？
【解析】 (1)设楼房设计为n 层时，平均每平方米建筑面积的成本费为y 元，依题意得 y
＝
2 000＋400n ＋40[1＋2＋3＋…＋n －1
n ＝2 000＋380n ＋20n 2n ＝20⎝ ⎛⎭⎪
⎫
100n ＋n ＋19≥20×(2×10＋19)＝780。

(当且仅当n ＝10时等号成立)． 【答案】 10
(2)①第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为
80
n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝
⎛
⎭
⎪⎫100－80n ＋1－
100n (n ∈N *)．
②由①知f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛
⎭⎪⎫100－80n ＋1－100 n ＝1 000－80⎝ ⎛
⎭⎪⎫n ＋1＋
9n ＋1≤520(万元)．当且仅当n ＋1＝
9
n ＋1
，即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．
所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．
跟踪训练：1。

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1|
|B 1C 1|＝
x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 【解】 (1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ，
致误
1。

已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________． [错误解法] z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋x y ＋y
x ＋1
xy
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ＋1xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2
xy ·1xy ＋2
y x ·x
y ＝2＋2＝4。

[错解分析] 分析上述解题过程指出错误所在并分析原因．提示：连续两次运用基本不等式．
错误原因：第一个等号成立的条件是xy ＝1，第二个等号成立的条件是x ＝y ，两个等号不能同时成立．
[自我纠正] z ＝⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝
⎛⎭
⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1
xy ＋
y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋
x ＋y 2－2xy xy
＝2
xy ＋xy －2。

令t ＝xy ，0<t ＝xy ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22＝14。

由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝1
4时，f (t )＝t ＋2t 有最小值33
4。

所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值25
4。