第六章 二次型与二次曲面
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14
一. 正交变换法
定理1.2
则可作一个正交变换 X C Y，其中C 是正交矩阵，
2 把 f ( x1 , x2 ,, xn ) 化成标准形1 y12 n yn 。
设 f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 为实二次型，
X AX Y (C AC )Y y n y
5
2 2 例 写出二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 3x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵。 解 a11 1，a22 2，a33 3,
1 2 0 a12 a21 2，a13 a31 0， A 2 2 -3 。 0 -3 -3 a23 a32 3 。 1 2 0 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 3 x2 X T AX 0 3 3 x 3 2 2 例 写出二次型 g ( x1, x2 , x3 ) x12 2x2 3x3 的矩阵。 1 0 0 解 A = 0 2 0 ， 0 0 -3 1 0 0 x1
T
解 U ( x, y, z ) X AX a b c T ( x, y , z ) b d e ( x, y , z ) c e f 2 2 2 ax dy + fz + 2bxy + 2cxz + 2eyz
7
定义1.2
数域F 上由变量x1 , x2 ,, xn到变量y1 , y2 ,, yn
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 2n n ( x1 , x2 ,, xn ) 21 1 22 2 a x a x a x nn n n1 1 n 2 2 于是 a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2 n x2 f ( x1 , x2 ,, xn ) ( x1 , x2 ,, xn ) an1 an 2 ann xn
T T T 2 1 1
2 n
证 二次型f ( x1 , x2 ,, xn )的矩阵 A为实对称矩阵， 由第五章的定理3.6知，存在正交矩阵C，使 C AC C AC diag (1 , 2 ,, n )
1 T
15
其中 1 , 2 ,, n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征 值；正交矩阵C 的 n 个列向量是 A 的对应于特 征值1 , 2 ,, n 的n 个单位正交特征向量。
16
2 2 例 将二次型 f 17 x12 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
通过正交变换 X CY 化成标准形。
解：1.写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 -2 -2 A -2 14 -4 -2 -4 14
A = E T AE。 B = C T AC，则A = (C 1 )T BC 1。
T B = C1T AC1，C = C 2 BC 2，C1，C 2均可逆，则C1C 2
可逆且C = (C1C 2 )T A(C1C 2 )。 由对称性，A合同于B，B合同于A，可称为A与B合同。
11
定理1.1 原二次型f X T AX 经过非退化的线性变换 X CY 化成新二次型 g Y BY，则原二次型矩阵A
记C =(cij ) nn，X ( x1 , x2 ,, xn )T，Y ( y1, y2 ,, yn ) T 则(由X 到Y的)线性变换可写成 X CY。
8
若方阵C 可逆，称X CY 为非退化的线性替换。 二次型f ( x1 , x2 ,, xn )可经非退化线性变换
X CY 化为二次型g ( y1 , y2 ,, yn )。 二次型g ( y1 , y2 ,, yn )也可经非退化线性变 换Y C X 化为二次型f ( x1 , x2 ,, xn )。
T
合同于新二次型矩阵B。 证 f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX
(CY )T A(CY ) Y T (C T AC )Y
令B C T AC
=
Y T BY
g ( y1 , y2 , , yn ) 由于C 可逆且 B C T AC，则A与B合同。
实际上，由于C 可逆且 A A和AT A，则 B C T AC = diag (1 , , n ) (即实对称矩阵A 与对角矩阵 合同)。
对一般二次型f ( x1 , x2 ,, xn )，可由正交 变换X
C Y , 将其化为标准型，即
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX Y T (C T AC ) Y Y T diag (1 ,, n ) Y y n y
2 1 1 2 n
若C 是正交矩阵，称X CY 为正交变换。 C 1 C T，则Y C 1 X C T X。
1
9
例
二次型 f ( x1 , x2 ,, xn )经过非退化线性变换
X CY 化成只含平方项的二次型g ( y1 , y2 ,, yn )。
证
f ( x1 , x2 ,, xn )=来自百度文库 T AX
12
2. 化二次型为标准形
只含有平方项的二次型称为二次型的标准形。
2 2 如 f ( x1, x2 , x3 ) 3x12 2x2 6x3 。
一般二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX aij xi x j
i 1 j 1
n
n
若 i j 时，aij 0，则二次型f ( x1 , x2 , , xn )是标准形: f ( x1 , x2 , , xn ) a x a x a x aii xi2
f ( x1 , x2 ,, xn )=X T AX Y T (C T AC )Y
B C T AC 2 2 = Y T BY b11 y12 b22 y2 bnn yn
b11 0 0 b 22 由于C T AC B 0 0
0 0 是对角矩阵， bnn 故原二次型 f 的矩阵A合同于对角矩阵B。
g ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 0 2 0 x2 X T AX 0 0 3 x 3
6
例 写出实对称矩阵A对应的二次型U ( x, y, z ), 其中 a b c A b d e 。 c e f
(CY )T A(CY ) Y TC T ACY 令B C T AC (则B为对角矩阵)
f ( x1 , x2 ,, xn ) Y T (C T AC )Y Y T BY g ( y1 , y2 ,, yn )
则 g Y T BY 是只含平方项的二次型，即 f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX Y T BY g ( y1 , y2 ,, yn ) 其中，B C T AC 为对角矩阵。
令
故通过非退化线性变换可把一般二次型化为只有平 方项的二次型——非退化线性变换用于解决一般二 次型化平方和的问题(二次型的基本问题)。
10
定义1.3 若对n 阶方阵A，B存在可逆矩阵C，使 C T AC B, 称矩阵A合同于B。
具有合同关系的矩阵的性质： (1) 反身性：A合同于A。 (2) 对称性：若A合同于B，则B合同于A。 (3) 传递性：若A合同于B，B合同于C，则A合同于C。
的线性变换是指形如 x1 c11 y1 c1n yn x2 c21 y1 c2 n yn ，即 xn cn1 y1 cnn yn x1 c11 c12 c1n y1 x2 c21 c22 c2 n y2 xn cn1 cn 2 cnn yn 的一组表达式。其中cij (i, j 1, 2,, n)是F中的数。
+
n n
2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
3
二次型的矩阵表示：
f ( x1 , x2 ,, xn ) x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 a2 n xn ) xn (an1 x1 an 2 x2 ann xn )
4
二次型的矩阵表达式：f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 其中 X
( x1 , x2 ,, xn )T , A (aij ) nn 为实对称矩阵
( A A, AT A | aij 为实数,即 a ij =aij ,且 aij = a ji )。
二次型 f 与实对称矩阵 A 一一对应： A 是二次型 f 唯一确定的矩阵, A 称为二次型 f 的矩阵。 给定A，二次型 f 也唯一确定。二次型 f 称为矩 阵 A的二次型。 A的秩等于 f 的秩。
2 11 1 2 22 2 2 nn n i 1 n
a11 0 0 a22 此时，二次型f 的矩阵A = 0 0
0 0 是对角矩阵。 ann
13
一般二次型f ( x1 , x2 ,, xn )经过非退化的线性变换 X CY 化成标准形g ( y1 , y2 ,, yn )，即
2 1 2 2 2 3
都是实(复)二次型。 在二次型f ( x1 , x2 ,, xn )中，令 a ji aij (i j )
则 2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi，于是有f ( x1 , x2 ,, xn )的 多项式表示： 2 f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn
2 22 2
+
2 ann xn
称为关于数域F 的一个n 元二次型，简称二次型。F = 时的二次型称为实二次型。F = 时的二次型称为复二 次型。
2
例
f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x 4 x 5 x 4 x1 x3 g ( x1 , x2 ,, xn ) x1 x2 x2 x3 xn 1 xn 2 2 h( x1 , x2 ,, xn ) x12 x2 xn
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型及其标准形 §6.2 正定二次型 §6.3 曲面及其方程 §6.4 二次曲面
1
§6.1 二次型及其标准形
1. 二次型及其矩阵 定义1.1 含有n 个变量x1 , x2 ,, xn且系数属于数域F的
二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a1n x1xn a x +2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
一. 正交变换法
定理1.2
则可作一个正交变换 X C Y，其中C 是正交矩阵，
2 把 f ( x1 , x2 ,, xn ) 化成标准形1 y12 n yn 。
设 f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 为实二次型，
X AX Y (C AC )Y y n y
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2 2 例 写出二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 3x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵。 解 a11 1，a22 2，a33 3,
1 2 0 a12 a21 2，a13 a31 0， A 2 2 -3 。 0 -3 -3 a23 a32 3 。 1 2 0 x1 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 3 x2 X T AX 0 3 3 x 3 2 2 例 写出二次型 g ( x1, x2 , x3 ) x12 2x2 3x3 的矩阵。 1 0 0 解 A = 0 2 0 ， 0 0 -3 1 0 0 x1
T
解 U ( x, y, z ) X AX a b c T ( x, y , z ) b d e ( x, y , z ) c e f 2 2 2 ax dy + fz + 2bxy + 2cxz + 2eyz
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定义1.2
数域F 上由变量x1 , x2 ,, xn到变量y1 , y2 ,, yn
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 2n n ( x1 , x2 ,, xn ) 21 1 22 2 a x a x a x nn n n1 1 n 2 2 于是 a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2 n x2 f ( x1 , x2 ,, xn ) ( x1 , x2 ,, xn ) an1 an 2 ann xn
T T T 2 1 1
2 n
证 二次型f ( x1 , x2 ,, xn )的矩阵 A为实对称矩阵， 由第五章的定理3.6知，存在正交矩阵C，使 C AC C AC diag (1 , 2 ,, n )
1 T
15
其中 1 , 2 ,, n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征 值；正交矩阵C 的 n 个列向量是 A 的对应于特 征值1 , 2 ,, n 的n 个单位正交特征向量。
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2 2 例 将二次型 f 17 x12 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
通过正交变换 X CY 化成标准形。
解：1.写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 -2 -2 A -2 14 -4 -2 -4 14
A = E T AE。 B = C T AC，则A = (C 1 )T BC 1。
T B = C1T AC1，C = C 2 BC 2，C1，C 2均可逆，则C1C 2
可逆且C = (C1C 2 )T A(C1C 2 )。 由对称性，A合同于B，B合同于A，可称为A与B合同。
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定理1.1 原二次型f X T AX 经过非退化的线性变换 X CY 化成新二次型 g Y BY，则原二次型矩阵A
记C =(cij ) nn，X ( x1 , x2 ,, xn )T，Y ( y1, y2 ,, yn ) T 则(由X 到Y的)线性变换可写成 X CY。
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若方阵C 可逆，称X CY 为非退化的线性替换。 二次型f ( x1 , x2 ,, xn )可经非退化线性变换
X CY 化为二次型g ( y1 , y2 ,, yn )。 二次型g ( y1 , y2 ,, yn )也可经非退化线性变 换Y C X 化为二次型f ( x1 , x2 ,, xn )。
T
合同于新二次型矩阵B。 证 f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX
(CY )T A(CY ) Y T (C T AC )Y
令B C T AC
=
Y T BY
g ( y1 , y2 , , yn ) 由于C 可逆且 B C T AC，则A与B合同。
实际上，由于C 可逆且 A A和AT A，则 B C T AC = diag (1 , , n ) (即实对称矩阵A 与对角矩阵 合同)。
对一般二次型f ( x1 , x2 ,, xn )，可由正交 变换X
C Y , 将其化为标准型，即
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX Y T (C T AC ) Y Y T diag (1 ,, n ) Y y n y
2 1 1 2 n
若C 是正交矩阵，称X CY 为正交变换。 C 1 C T，则Y C 1 X C T X。
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例
二次型 f ( x1 , x2 ,, xn )经过非退化线性变换
X CY 化成只含平方项的二次型g ( y1 , y2 ,, yn )。
证
f ( x1 , x2 ,, xn )=来自百度文库 T AX
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2. 化二次型为标准形
只含有平方项的二次型称为二次型的标准形。
2 2 如 f ( x1, x2 , x3 ) 3x12 2x2 6x3 。
一般二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX aij xi x j
i 1 j 1
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n
若 i j 时，aij 0，则二次型f ( x1 , x2 , , xn )是标准形: f ( x1 , x2 , , xn ) a x a x a x aii xi2
f ( x1 , x2 ,, xn )=X T AX Y T (C T AC )Y
B C T AC 2 2 = Y T BY b11 y12 b22 y2 bnn yn
b11 0 0 b 22 由于C T AC B 0 0
0 0 是对角矩阵， bnn 故原二次型 f 的矩阵A合同于对角矩阵B。
g ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 0 2 0 x2 X T AX 0 0 3 x 3
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例 写出实对称矩阵A对应的二次型U ( x, y, z ), 其中 a b c A b d e 。 c e f
(CY )T A(CY ) Y TC T ACY 令B C T AC (则B为对角矩阵)
f ( x1 , x2 ,, xn ) Y T (C T AC )Y Y T BY g ( y1 , y2 ,, yn )
则 g Y T BY 是只含平方项的二次型，即 f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX Y T BY g ( y1 , y2 ,, yn ) 其中，B C T AC 为对角矩阵。
令
故通过非退化线性变换可把一般二次型化为只有平 方项的二次型——非退化线性变换用于解决一般二 次型化平方和的问题(二次型的基本问题)。
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定义1.3 若对n 阶方阵A，B存在可逆矩阵C，使 C T AC B, 称矩阵A合同于B。
具有合同关系的矩阵的性质： (1) 反身性：A合同于A。 (2) 对称性：若A合同于B，则B合同于A。 (3) 传递性：若A合同于B，B合同于C，则A合同于C。
的线性变换是指形如 x1 c11 y1 c1n yn x2 c21 y1 c2 n yn ，即 xn cn1 y1 cnn yn x1 c11 c12 c1n y1 x2 c21 c22 c2 n y2 xn cn1 cn 2 cnn yn 的一组表达式。其中cij (i, j 1, 2,, n)是F中的数。
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n n
2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
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二次型的矩阵表示：
f ( x1 , x2 ,, xn ) x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 a2 n xn ) xn (an1 x1 an 2 x2 ann xn )
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二次型的矩阵表达式：f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 其中 X
( x1 , x2 ,, xn )T , A (aij ) nn 为实对称矩阵
( A A, AT A | aij 为实数,即 a ij =aij ,且 aij = a ji )。
二次型 f 与实对称矩阵 A 一一对应： A 是二次型 f 唯一确定的矩阵, A 称为二次型 f 的矩阵。 给定A，二次型 f 也唯一确定。二次型 f 称为矩 阵 A的二次型。 A的秩等于 f 的秩。
2 11 1 2 22 2 2 nn n i 1 n
a11 0 0 a22 此时，二次型f 的矩阵A = 0 0
0 0 是对角矩阵。 ann
13
一般二次型f ( x1 , x2 ,, xn )经过非退化的线性变换 X CY 化成标准形g ( y1 , y2 ,, yn )，即
2 1 2 2 2 3
都是实(复)二次型。 在二次型f ( x1 , x2 ,, xn )中，令 a ji aij (i j )
则 2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi，于是有f ( x1 , x2 ,, xn )的 多项式表示： 2 f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn
2 22 2
+
2 ann xn
称为关于数域F 的一个n 元二次型，简称二次型。F = 时的二次型称为实二次型。F = 时的二次型称为复二 次型。
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例
f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x 4 x 5 x 4 x1 x3 g ( x1 , x2 ,, xn ) x1 x2 x2 x3 xn 1 xn 2 2 h( x1 , x2 ,, xn ) x12 x2 xn
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型及其标准形 §6.2 正定二次型 §6.3 曲面及其方程 §6.4 二次曲面
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§6.1 二次型及其标准形
1. 二次型及其矩阵 定义1.1 含有n 个变量x1 , x2 ,, xn且系数属于数域F的
二次齐次多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a1n x1xn a x +2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn