一维P—Laplacian算子的非线性三点边值问题解的存在性
一维p-Laplacian方程多解的存在性
关键词 ： ａｌｃ ｎ Ｐ—Ｌｐａｉ 算子 ； ａ 奇异 ； ｅｇｔ—Ｍｉｉ ｓ Ｌｇｅ ｔ ｌａ 定理 ； ｌｍ 锥
中 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１５ ８ 文 献 标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １— ３ ５ ２ １ ）５— ６５— ３ １０ ８９ （ ００ ０ ０ ３ ０
Ｉ Ｖ Ｉ ｘ∈Ｐ ）又设 ０ ＜ｄ ＜ａ＜ｂ≤ ｃ满足 ： （ ｃ； ， （ ）｛ ∈Ｐ（ ａ ｂ ， ）＞ａ ， １ ，，） （ ｝≠ 当 ∈
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（ ）） （ｓ Ｊ （ｕ （ ｕ ｕｄ ２ Ａ （ ＝Ｉ ） ｓ ） ｕ ） ） ，（） ｕｔ Ｇ， （ Ｇ ，ａ ｄ ｓ
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ｔ ） Ｉ ｌ≤ ｝这里 ０ ＜ａ ＜ｂ易 知 Ｐ（ ａｂ ｏ ｘ ，ｌ ｌ ｂ ， （ ， ， ，） 是有 界 凸闭集． 下 面给 出本 文需 用到 的几 个 引理 ． 引理 １５（ ｅ ｇｔ —Ｍｉｉｍｓ 理 ） 设 ： ［ Ｌ ｇｅ ｔ ｌａ 定 ｌ
一
全连续 ， 且存在非负连续凹泛 函ｏ ｘ ， ｏ ｘ ｔ ）满足 ｔ ） （ （
２１ ０ ０年 ９月
四川师范大学学报（自然科学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｕｎＮ ｒ ｌ ｎｖｒｉ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ ｏ ｒ ｌ ｆ ｃ ａ ｏ ｉ ｓｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ） ｎ Ｓｈ ｍａ Ｕ ｅ ｔ ｕ ｅ
Ｓ ｐ ．， ０ ０ ｅ ｔ ２ １ Ｖ １３ Ｎｏ ５ ｏ ｜ ３． ．
第３ ３卷
第５ 期
一
维 Ｐ— ａｌ ｉ 方程 多解 的存在 性 Ｌｐ ｃ ｎ ａａ
袁红秋 ， 张绍康 ， 康道坤
（ 昭通师范高等专科学校 数学系， 云南 昭通 ６ ７０ ） ５ ００
一维奇异p-Laplacian三点边值问题正解的存在性
一维奇异p-Laplacian三点边值问题正解的存在性白杰;祖力【摘要】利用非线性Leray-Schauder抉择定理和锥不动点定理,在假设条件下证明一维非线性奇异p-Laplacian三点边值问题解的存在性.结果表明,在区间(O,1]上至少存在一个正解.%By means of nonlinear Leray-Schauder alternative theorem and fixed point theorem in cones, thernauthors proved the existence of the solutions for one-dimensional singular p-Laplacian three-point boundaryrnvalue problems under assumptive conditions. There is at least one positive value in the interval from zero tornone.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)004【总页数】7页(P621-627)【关键词】Leray-Schauder抉择定理;锥不动点定理;奇异边值问题;正解的存在性【作者】白杰;祖力【作者单位】东北师范大学人文学院信息技术学院,长春130117;长春大学理学院,长春130022;东北师范大学数学与统计学院,长春130024【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言关于一维p-Laplacian边值问题的研究目前已有许多结果[1-10]. 翁世有等[8]利用Schauder不动点原理和非线性Leray-Schauder抉择定理建立了一维p-Laplacian奇异边值问题解的一些存在性原则; Agarwal等[11-12]利用Leray-Schauder抉择定理得到了p=2时正解的存在性.考虑如下奇异边值问题:(1)其中: Φ(s)=s; p>1; q(t)在t=0处有奇性; 非线性项f可能在u=0 处有奇性. 本文应用文献[11-12]的方法, 证明p>1时问题(1)存在正解.1 预备知识假设：(H1) q(t): (0,1)→(0,∞)连续, 并且存在0≤α<p-1, 使得tαq(t)dt<∞成立;(H2) f(u)=g(u)+h(u), 其中: g>0在(0,∞)上连续且单调不增; h≥0在[0,∞)上连续; 且h/g在(0,∞)上单调不减;(H3) 存在一个常数r>0, 使得(2)成立, 其中Φ-1(u) ∶=sgn u是Φ(u)的反函数.例如, 当α∈(a-1,p-1)∩[0,p-1)时, 函数q(t)=t-a(0<t<1, 0≤a<p)满足条件(H1). 注1 容易验证条件(H1)表明若函数u(t)满足下列条件, 则u(t)是问题(1)的一个正解:1) u∈C[0,1]∩C1(0,1];2) 对任意的t∈(0,1], 有u(t)>0, 并且u(0)=0, u(1)=u(ξ), 0<ξ<1;3) Φ(u′(t))在(0,1)上一致绝对连续, 且(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1.定义1[13] 设X为实Banach空间, K是X中的闭凸子集, 若K满足下列条件, 则称K是X中的闭锥(简称锥):1) 若x∈K, λ≥0, 则λx∈K;2) 若x∈K, -x∈K, 则x=0.引理1(非线性Leray-Schauder抉择定理)[14] 假设K为Banach空间E的一个凸集, Ω为K的一个相对开子集, 0∈Ω, 映射为一个紧算子, 则下列条件必有一个成立:1) A在上有一个不动点;2) 存在x∈∂Ω和0<λ<1, 使得x=λA(x).定义C[0,1]中锥K为: K ∶={u∈C[0,1]: u(t)是非负的凹函数}.引理2 令h(t): (0,1)→(0,∞)连续, 且存在0≤α<p-1, 使得tαh(t)dt<∞, 则(3)存在唯一的正解V∈C[0,1]∩C1(0,1].证明：先证解的存在性.当0<t≤1时, 设显然, 由注1知, y(t)在(0,1]上连续严格增, 且y(ξ)<0<y(1). 因此, y(t)在(0,1)上只有一个零点. 令σ是y(t)在(0,1)上的唯一零点. 则令(4)则V在(0,1]上有定义, 且在(0,1]上V(t)>0. 进一步, 有(5)由(H2)知, 对0<t≤σ, 有则V(0)=0.类似可得V(1)=V(ξ). 因此, V(t)在[0,1]上连续, 且V(0)=0, V(1)=V(ξ); [Φ(V′(t))]′=-h(t), t∈(0,1).由比较原理易证唯一性. 证毕.令n≥4是一个固定的自然数. 对每个u∈K, 考虑如下问题:(6)其中F(u)=g*(u)+h(u), 满足注2 g*(u)≤g(u), ∀u∈(0,∞).由引理2, 可得:引理3 对每个固定的u∈K, 边值问题(6)存在唯一的解:w(t)=(Ψu)(t), w∈K,其中(7)σu∈(0,1)为如下方程在0≤τ≤1时的唯一解:对u∈K, 由w和Ψ的定义知:1)2) 在(0,1)中, (Φ(w′(t)))′=-q(t)F(u(t)), 且w(0)=1/n, w(1)=w(ξ);3) w=Ψu∈K, ‖w‖=w(σu).表明w(t)是问题(6)的一个解, 且为定义在[0,1]上的凹函数.类似文献[7]中引理2.6～引理2.9的证明方法, 可得下列引理.引理4 令wi(t)是F=Fi(i=1,2)时问题(6)的一个解. 如果F1≤F2, 则w1(t)≤w2(t).引理5 设[a,1]⊂(0,1]是一紧区间, 且令w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w′(t)≤C(a,M), a≤t≤1.其中: M是一个正常数; C(a,M)是一个与a,M有关的正常数.注3 设w(t)是F(u)≤M时问题(6)的一个解, 则w(t)≤1/n+VM(t), 即(Ψu)(t)≤1/n+VM(t).注4 设w(t)是F(u)≥m时问题(6)的一个解, 则w(t)≥1/n+Vm(t), 即(Ψu)(t)≥1/n+Vm(t).引理6 对任意有界闭子集Ω⊂K, 集合Ψ(Ω)在[0,1]上等度连续.引理7 对任意的有界闭子集Ω⊂K, 映射Ψ: Ω→K是连续的.综合引理3～引理7, 可得:引理8 Ψ: K→K是全连续的.2 主要结果定理1 假设条件(H1)～(H3)成立, 则在区间(0,1]上, 系统(1)至少存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 满足u>0, 且‖u‖<r.证明: 先用引理1证明解的存在性. 选择ε>0, 且ε<r, 使得(9)选择n0∈{1,2,…}, 使得1/n0<ε. 令N+={n0,n0+1,…}.下面证明边值问题:(10)在(0,1]上有一个解: 且‖un‖<r.∀n∈N+, 为证式(10)有一个解, 需考虑如下边值问题:(11)其中F的定义见式(6).固定n∈N+. 定义为式(7), 式(7)中σu∈(0,1)为如下方程的唯一解:由引理8, 可得是全连续的.下面证明u≠λΨu, λ∈(0,1), u∈∂Ωr.(12)假设式(12)不成立, 即存在一个λ∈(0,1)和u∈∂Ωr, 使得u=λΨu, 则有(13)显然存在σn∈(0,1), 使得在(0,σn)上, u′(t)≥0; 在(σn,1)上, u′(t)≤0, 且u(σn)=‖u‖=r. 再注意到F(u(t))≤g(u(t))+h(u(t)), t∈(0,1),则当z∈(0,1)时,(14)对式(14)从t(0<t≤σn)到σn积分, 得(15)则有(16)再从0到σn积分得(17)即(18)因此(19)这与条件(9)矛盾, 于是式(12)成立.由引理1可知Ψ有一个不动点即1/n≤‖un‖≤r(注意到, 如果‖un‖=r, 则与式(14)～(19)的证明同理可得矛盾). 因为un≥1/n, 所以un(t)也是问题(10)的一个解. 由(H2), 当r>0时,g(un(t))≥g(r), f(un)=h(un)+g(un)≥g(r).则由注4, 可得(20)注5 注意到在区间(0,1]上, Vg(r)(t)>0, 则un(t)>0, t∈(0,1].下面证明{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续. 由式(14)(用un代替u), 可得(21)因为在[0,1]上, un(t)≥1/n, 则在(0,σn)上存在σn∈(0,1), 使得而在(σn,1)上, 且un(σn)=‖un‖≤r.对式(21)从t(0<t<σn)到σn积分得(22)下面证明存在a0>0, 使得a0<inf{σn: n∈N+}≤1.(23)如果式(23)不成立, 则存在N+的子列S, 使得当S中的n→∞时, σn→ 0. 对式(22)从0到σn积分得(24)其中n∈S. 因为当n→∞时, σn→ 0, 则由式(24)可得, 当n→∞时, un(σn)→ 0. 又因为un在[0,1]上σn处取得最大值, 所以当n→∞时, C[0,1]中的函数un→ 0. 这与式(20)矛盾. 表明(25)其中W(t)=q(z)dz. 由注2知, Φ-1(W)∈L1[0,1].对式(21)从σn(σn<t<1)到t积分得当σn≤t≤1时, 有(26)则式(25),(26)表明, 当t∈(0,1)时,(27)定义I: [0,∞)→[0,∞)为I(z) 注意到I: [0,∞)→[0,∞)是单调增的映射, 且I(∞)=∞, 这是因为g(u)>0在(0,∞)上单调不减, 且对任意的B>0, I在[0,B]上连续.{I(un)}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续, 其等度连续性可从下式得到(这里t,s∈[0,1]):由不等式(28)、 I-1的一致连续性及un(t)-un(s)=I-1(I(un(t)))-I(un(s))可知{un}n∈N+在[0,1]上一致有界且等度连续.由Arzela-Ascoli定理, N+存在一个子列N⊂N+, 使得当n∈N, n→∞时, 存在u∈C[0,1], 使得un在[0,1]上一致收敛于u. 则由式(20)知, 在[0,1]上,un(t)≥Vg(r)(t). 特别地, 在(0,1]上, u(t)>0.固定t∈(0,1], 有(29)由式(26), 有则有一个收敛子列; 为方便, 仍用表示该子列, 并且令r0∈R表示其极限. 则对上面固定的t∈(0,1], 在N上, 令n→∞(注意到q f在紧子区间[t,1]×(0,r]上一致连续)得(30)t取遍(0,1]可得因此r0=u′(1), 从而有(Φ(u′))′+q(t)f(u(t))=0, 0<t<1, u(0)=u(1)-u(ξ)=0.最后易证‖u‖<r(注意到如果‖u‖=r, 与式(14)～(19)的证明同理可推出矛盾). 从而证明了问题(1)至少有一个正解u(t)∈C[0,1]∩C1(0,1], 且‖u‖<r. 证毕.3 应用实例考虑奇异边值问题:(31)其中: 0≤m<p; σ>0; α>0; β>p-1.设则b0=σ1/(p-1)b1.应用定理1可知, 如果存在r>0满足(32)则问题(31)存在一个正解.设则选择r=x0, 则式(32)成立. 显然, 定理1中的(H1)～(H3)成立. 因此, 问题(31)存在一个解u∈C[0,1]∩C1(0,1], 使得在(0,1]上, u>0且‖u‖<r=x0.参考文献【相关文献】[1] XU Xian. Multiplicity Results for Positive Solutions of Some Semi-position Three-Point Boundary Value Problems [J]. J Math Anal Appl, 2004, 291(2): 673-689.[2] SUN Jing-xian, XU Xian, O’Regan D. Nodal Solutions for m-Point Boundary Value Problems Using Bifurcation Methods [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2008, 68(10): 3034-3046.[3] Gupta C P. Existence and Uniqueness Theorems for the Bending of an Elastic Beam Equations [J]. Appl Anal, 1988, 26(4): 289-304.[4] Gupta C P. Solvability of a Three-Point Nonlinear Boundary Value Problem for a Second Order Ordinary Differential Equation [J]. J Math Anal Appl, 1992, 168(2): 540-551.[5] KONG Ling-bin, WANG Jun-yu. Multiple Positive Solutions for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Nonlinear Anal: Theory, Method & Applications, 2000, 42(8): 1327-1333. [6] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Sin gular Dirichlet Problems [J]. J Math Anal Appl, 1999, 240(2): 433-445.[7] JIANG Da-qing, XU Xiao-jie. Multiple Positive Solutions to a Class of Singular Boundary Value Problems for the One-Dimensional p-Laplacian [J]. Comput Math Appl, 2004,47(4/5): 667-681.[8] WENG Shi-you, GAO Hai-yin, ZHANG Xiao-ying, et al. Existence Principles for Singular Boundary Value Prolems of One Dimension p-Laplacian [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2006, 44(3): 351-356. (翁世有, 高海音, 张晓颖, 等. 一维p-Laplacian奇异边值问题的存在性原则 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2006, 44(3): 351-356.)[9] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan, MENG Qing-yuan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions of Fourth-Order Nonlinear Singular Discrete Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Northeast Normal University: Natural Science Edition, 2010, 42(1): 5-9. (苑成军, 文香丹, 孟庆元. 奇异四阶p-Lapacian差分方程边值正解的存在唯一性 [J]. 东北师大学报: 自然科学版, 2010, 42(1): 5-9.)[10] YUAN Cheng-jun, WEN Xiang-dan. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for Fourth-Order Nonlinear Singular Continuous Boundary Value Problems with p-Lapacian Operator [J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 2009, 26(2): 190-193. (苑成军, 文香丹. 奇异四阶p-Lapacian微分方程边值正解的存在惟一性 [J]. 黑龙江大学自然科学学报， 2009, 26(2): 190-193.)[11] Agarwal R P, O’Regan D. Existence Theory for Single and Multiple Solutions to Singular Positone Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 2001, 175(2): 393-414.[12] Agarwal R P, O’Regan D. Twin Solutions to Singular Boundary Value Problems [J]. Proc Amer Math Soc, 2000, 128: 2085-2094.[13] 钟承奎, 范先令, 陈文源. 非线性泛函分析引论 [M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1998.[14] Agarwal R P, O’Regan D. Nonlinear Superlinear Singular and Nonsingular Second Order Boundary Value Problems [J]. J Differential Equations, 1998, 143(1): 60-95.。
含导数项的p-Laplacian算子多点边值问题三个正解的存在性
１ 问题 的提 出
考虑含有 Ｐ Ｌｐ ｃ ｎ — ａｌ ｉ 算子的微分方程 ｍ 点边 ａａ
值 问题
三 个正解 的存在 性 ．
厂：０ １ｘ ｏ ｏ） Ｒ一 ［ ＇∞） ［ ，］ ［ ， ｏ ｘ ＋ ０＋ 连续 ，
０ ＜ ｌ＜ ２＜ … ＜ 一 ２＜ １ 一２ 口 ＞ ０ ｂ ， ＞ ０， ｉ ＝ １， … ， ２，
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔｈ ｘｓｅ ｃ ｆｔｒ ｅｐ ｓｔ ｅｓｌｔ ｎ ｌｉｐ ｉｔ ｏ ｎ ａｙｖ ｌｅｐ ｏ ｌｍ ｆｄｆｅ— ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｈ ｅ ｏ ｉｉ ｏｕ ｉ ｓｉ ａｍｕｔ ｏｎ ｓｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂｅ ｏ ｉ ｒ ｖ ｏ ｎ — ｆ ｅ ｔａ ｅ ｕ ｔ ｎ ｗｉ Ｌ ｐａ ｉｎ ｏ ｅａｏ ｓｉｖ ｓｉａｅ ． Ａｎ ｅ ｔｎ ｉｎ ｏ ｈ ｅ ｇ ｔ — ｉｉ ｓ ｎ ｉｌ ｑ ａｉ ｔ ａ ｐ－ ａ ｌｃａ ｐ ｒ ｔｒｉ ｎ ｅｔ ｔｄ ｏ ｈ ｇ ｘ ｅ ｓ ｆｔ ｅ Ｌ ｇ ｅｔ Ｗ ｌａ ｏ ｌ ｍ ｆ ｅ ｏｎ ｈ ｏ ｍ ｔｌ ｅ ｎ ｕ ｆ ｉｎ ｏ ｄｔ ｎ ｆ ｒｔ ｅｅ ｉｔｎ ｅｏ ｈ ｅ ｓｔ ｅｓ ｌｔ ｎ ｓ ｉ ｄ ｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｉ ｕ ｉｚ ｄ ａ ｄ ａｓ ｆｉ ｅ ｔｃ ｎ ｉｉ ｏ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆｔ ｒｅｐ ｉ ｖ ｕ ｉ ｓ ｉ ｘ ｓ ｉ ｃ ｏ ｏ ｉ ｏ ｏ
文章编号 ：０ ７—６ ３ （０ ７ ０ —０ １ —０ １０ ７ ５ ２ ０ ）１ ０ ７ ５
含 导 数 项 的 ｐ Ｌ ｐａｉｎ算 子 多点 边值 － ａ ｌｃａ
问 三 个正 解 的存 在 性 题
李春岭 ， 刘锡 平 ， 贾 梅 ， 李高 尚， 李芳菲
（ 海 理 工 大学 理 学 院 ， 海 ２ ０ ９ ） 上 上 ０ ０ ３
一维奇异P-Laplacian三点边值问题正解的存在性
理 和非线性 ＬｒｙＳｈｕｅ 抉 择 定 理 建 立 了一 维 ｐＬｐａｉ ｅａ—ｃａｄｒ －ａｌｃ ｎ奇 异 边 值 问题 解 的 一 些 存 在 性 原 则 ； ａ Ａ ａｗ 等 ［ 利 用 ＬｒｙＳｈｕｅ 抉 择定 理得 到 了 Ｐ＝ ｇｒａ １ ｌ ｅ ．ｃａｄｒ ａ ２时正解 的存 在性 ．
白 杰 祖 ， 力
（ ．东北师范 大学人 文学院 信息技术学院 ，长春 １０ １ ； ．长春 大学 理学 院，长春 １０ ２ ； １ ３ １７ ２ ３０ ２ ３ ．东北师范大学 数学 与统计 学院 ， 长春 １０ ２ ） ３０ ４
摘要 ：利用 非 线性 ＬｒｙＳｈｕ ｅ 抉 择定 理 和锥 不 动 点 定理 ，在 假 设 条件 下 证 明一 维 非 线性 ｅａ—ｃａｄｒ 奇 异 ｐＬｐａｉ －ａｌ ａ 点边值 问题 解 的存在 性．结 果表 明 ，在 区间（ １ 上 至少 存在 一个 正解 ． ｃ ｎ三 ０，］ 关键 词 ： ｅａ．ｃａｄｒ 择定 理 ； 不 动点定 理 ；奇 异边值 问题 ；正解 的存 在性 ＬｒｙＳｈｕｅ 抉 锥
第５ ０卷
第 ４期
吉 林 大 学 学 报 （理 学 版 ）
Ｖｏ ． Ｎｏ． １５０ ４
ｎＵ ｉ ｒｉ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏｒａ ｏ ｌ ｎ ｅｓｙ（ ｃｅ ｅＥ ｉｏ ） Ｊｉ ｖ ｔ ｎ ｉ
Ｊ ｌ ２ １ ｕｙ ０ ２
一
维 奇 异 Ｐ Ｌ ｐａ ｉｎ三 点 边 值 问题 正 解 的 存 在 性 ． ａ ｌｃａ
Ｐ－ ｐ ａ ｉ ｎ Ｔｈ ｅ － ｉ ｔ Ｂｏ ｎ ａ ｙ Ｖａ ｕ ｏ ｌ ｍ ｓ Ｌａ ｌ ｃａ ｒ ｅ Ｐｏ ｎ ｕ ｄ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ
ＢＡ ｉ ＩＪｅ ，Ｚ ｉ， Ｕ Ｌ
一类p—laplace方程边值问题解的存在性
一类p—laplace方程边值问题解的存在性理解一类p-Laplace方程边值问题解的存在性：1. p—Laplace方程简介p—Laplace方程是一种常见的椭圆型偏微分方程，它在空间变换、热传导中也有广泛的应用。
它的解由p—Laplace方程决定：∂u/∂x+∂v/∂y=u^(p-2)f，其中p是大于等于1的任意常数，u，v是满足边界条件的函数，x，y是定义域内的坐标，f是常函数。
2. 一类p—Laplace方程边值问题的存在性一类p—Laplace方程的边值问题的存在性取决于其常数p的大小。
如果p大于1，那么该方程有唯一解；如果p小于1，那么该方程可能有无穷多解；如果p=1，则该方程常有唯一解，又有可能出现无穷多解。
3. p—Laplace方程边值问题解的存在性判定判定一类p—Laplace方程边值问题解的存在性，要仔细检查边界条件是否符合两个条件：（1）任意的边界函数都必须满足给定边界条件；（2）边界条件必须对所有满足方程组调和函数，如成反馈函数、空间变换函数等来施加有效制约。
缺一不可，边值问题解才能有存在性。
4. p＞1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p大于1时，p—Laplace方程边值问题解有唯一解。
这是因为二阶偏微分方程组只能有一个解， p大于1时，椭圆型经ene变换可以转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，二阶偏微分方程组必有唯一解，故这时候方程解有存在性。
5. p＜1时一类p-Laplace方程边值问题解的存在性当p小于1时，p—Laplace方程边值问题解可能有无穷多解。
这是因为当p＜1时，椭圆型经ene变换不能转化为二阶偏微分方程组，根据拓扑的余定理，任一条件的任何解，如满足给定的边界条件，都是经en变换回解法所得，因此这种情况下该方程解有无穷多解的存在性。
6. p=1时一类p—Laplace方程边值问题解的存在性当p等于1时，p—Laplace方程边值问题解存在性有两种情形：（1）如果边界条件符合两个条件（前面讲到），有唯一解；（2）另一种情形是，如果边界条件不完全符合两个条件，则可能出现无穷多解。
一类p-Laplacian算子边值问题三个正解的存在性
一类p-Laplacian算子边值问题三个正解的存在性
李志艳;李翠哲
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2004(0)S1
【摘要】本文利用一种新的不动点定理得到了一类具有p Laplacian算子的非线性边值问题三个正解的存在性 .
【总页数】5页(P101-105)
【关键词】不动点定理;p-Laplacian算子;边值问题;正解
【作者】李志艳;李翠哲
【作者单位】北京理工大学应用数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177
【相关文献】
1.一类p-Laplacian算子分数阶q-差分系统边值问题正解的存在性 [J], 周蜜;李成福
2.一类带有p-Laplacian算子的分数阶q-差分边值问题的多重正解的存在性 [J], 林秋彤;葛琦
3.一类具p-Laplacian算子的分数阶边值问题正解的存在性 [J], 邵欣;王和香
4.一类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], 段佳艳;王文霞;郭晓珍
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具P-Laplacian的三阶边值问题正解的存在性
具P-Laplacian的三阶边值问题正解的存在性王峰;贾宝瑞;官飞【摘要】利用Guo-Krasnoselskii不动点定理,讨论了一类具P-Laplacian的边值问题正解的存在性,得到一些充分条件,扩充了以往文献的结果.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)002【总页数】5页(P125-129)【关键词】P-Laplacian;BVP;Guo-krasnoselskii不动点定理【作者】王峰;贾宝瑞;官飞【作者单位】安徽大学数学科学学院,合肥230039;安徽大学数学科学学院,合肥230039;安徽大学数学科学学院,合肥230039【正文语种】中文【中图分类】O175.8考虑如下BVP:正解的存在性.其中:具P-Laplacian算子的微分方程的边值问题在诸多领域如非牛顿力学、弹性理论等中有广泛的应用.近年来，许多学者对此类BVP正解的存在性与多重性做了一系列的研究，并取得了一些成果，参见文献［1－6］.文献［2］中，作者借助Guo-krasnoselskii不动点定理及Avery-Peterson不动点定理研究了BVP:至少一个、两个或三个正解的存在性.文献［3］与文献［4］中，作者利用Avery-Peterson不动点定理分别研究了:在多点边界条件:下多重正解的存在性.文献［5］中，在方程（3）自治的情况下研究了其在边界条件:下三个正解的存在性.显然，上述文献及相关文献中讨论的往往是二阶情况，而对三阶的情况文献还比较少，尤其是对于方程（1）中允许a（t），f（t，u，v）在t=0，t=1及u=0处奇异的情况还未有涉及.此处就是利用Guo-Krasnoselskii不动点定理讨论了式（1）（2）在上述情况下正解的存在性问题.文中总假设以下条件成立:1 预备知识定义1 设E是一个实Banach空间，如果P是E中某个非空凸闭子集，并且满足下面两个条件:（1）若x∈P，λ≥0，则λx∈P;（2）x∈P，－x∈P，则 x=0.则称P 是 E 中的一个锥.定理1 设X是一个Banach空间，P⊂X是一个锥.假设Ω1，Ω2是X中的两个有界开集，且是全连续算子，使得（i）‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω1，‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω2或（ii）‖Tu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω1，‖Tu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω2，则 T 在中至少有一个不动点.2 基本引理令Ε=C1（0，1），定义范数，则Ε按上述范数构成Banach空间.在Ε上定义锥Ρ={u（t）:u（t）≥0，u（t）在（0，1）上是凹的}.引理1 设u∈Ρ，且满足式（2），则存在常数γ＞0，使得引理 2 在条件（Η1）下，若 h（t）∈L1［0，1］，则 BVP:有唯一解其中:易知Ρ（t）为t的函数，q（s）为s的函数.引理3 设条件（Η1）－（Η3）成立，则u（t）∈C［0，1］∩C3（0，1）是式（1）（2）的一个解，当且仅当u（t）∈Ε是积分方程:的一个解.以上三个引理的证明从略.对任意u∈Ρ，定义算子Τ:Ρ→Ε引理4 设条件（Η1）－（Η3）满足，则Τ:Ρ→Ρ是一个全连续算子.证明对∀u∈Ρ，由条件（Η1）－（Η3）及式（8）可知Τu∈Ε，（Τu）（t）≥0，t∈［0，1］，且经过计算可知（Τu）″（t）≤0，故Τu在区间［0，1］上是凹函数，故Τ（Ρ）⊂Ρ.下证算子Τ:Ρ→Ρ是一个全连续算子.设D是Ρ的任一有界集，则∃Μ＞0，使得D⊂{u∈Ρ:u≤Μ}.则可取u，v），从而对∀u∈D，有:可知Τ（Ρ）是等度连续的，从而由Ascoli-Arzela定理可知Τ（Ρ）为列紧的.再由Lebesgue控制收敛定理知，Τ是连续的.因此Τ:Ρ→Ρ是全连续的.证毕.3 主要结论定理2 在条件（H1）－（H3）下，当f∞ ＞0，f0＜∞时，如果λ∈（a，b），那么式（1）（2）至少存在一个正解，其中:证明（I）由λ∈（a，b）可知，∃ε ＞0，使得aε≤λ≤bε，其中从而根据Guo-Krasnoselskii不动点定理，Τ至少存在一个不动点u*∈Ρ∩（\Ω1），且据（Τu*）″（t）≤0及定义的Ρ，Ω1，Ω2可知，u*（t）是式（1）（2）的一个正解.证毕参考文献:【相关文献】［1］SUN B，GE W G.Existence and iteration of positive solutions for some p-Laplacian boundary value problems［J］.Nonlinear Analysis，2007（67）:1820-1830［2］WANG Z F，ZHANG J H.Positive solutions for one-dimensional p-Laplacianboundary valve problems with dependence on the first order derivative［J］.J Math Anal Appl，2006（314）:618-630［3］JI D H，GE W G.Multiple positive solutions for some p-Laplacian boundary valve problems［J］.Appl Math Compu，2007（187）:1315-1325［4］WANG Y Y，GE W G.Multiple positive solutions for multipoint boundary valve problems with one-dimensional p-Laplacian［J］.J Math Anal Appl，2007（327）:1381-1395［5］LI X F.Multiple positive solutions for some four-point boundary valve problems with P-Laplacian［J］.Appl Math Compu，2008（202）:413-426［6］郭大钧.非线性泛函分析［M］.济南:山东科学技术出版社，2001。
一类三阶P—Laplacian算子边值问题正解的存在性
０ 引言
常微分方 程 的边 值问题 是一个 重要 的研究 领 域 ， 线性 常微 分方程 的多 点 边值 问题 的 研 究 起 源 于 Ｉ’ ｌｉ Ｍ ｉ ｎ和 ｏ ． ｓｅ ，１ ｅｖ ［ ． 其后 Ｇ ｐａ研究 了非线性 三点 边值 问题 ，３ 后 ， ｕｔ ［此
为 方便起 见 ， 引入 以下记 号 ： Biblioteka 得到 了几 个新的结果 。
【 关键词】 Ｌｐａｉ Ｐ— ａｌ ａ ｃ ｎ算子； 不动点定理 ； 正解； 边值问题
【 中图分类号】 １５８ Ｏ ７．
【 文献标识码】 Ａ
【 文章编号】０ ８ ４ ８ （０８ ０ — ０５ ｏ １０ － ８６ ２０ ）２ ００ 一 ３
口 ｔ）＞ ； （０ ０ （ ） ＜１０＜ Ｈ３ ０＜ ， ≤卢＜１ｏ
许多 作 者 借 助 于 不 动 点 理 论 、 合 度 理 论 及 Ｌｒ 迭 ｅ ｙ— ａ Ｓｈｎｅ非线 性抉策 等 研 究 了更 一 般 的非 线 性 多点 边 值 ｃａｄｒ 问题 。 最 近 Ｍ 研究 了非线性 三点边 值 问题 ： ａ
ｒ ＋口 ￡ ｕ ０， ｕ （ ）＝ ０＜ｔ ＜１
Ｋ ａｎ ｓｌ ｓｉ不 动点定 理证 明了 当 是 ｒｓｏｅ’ｋｉ
超线性或 次线性 时 ， 非线性 三点 边 值 问题 （． ） ０ １ 至少 存 在
一
个正解 。 记 ｆｏ ｓ ｍａ ＝ ｕ ｐ ｆ ＝ｌ ｉｆｍ．ｉ ｏ ｍ ｎ ． 。 ｉ 。
～
ｌ ｍ ｉ ｕ ｍ ｐ
如果ｆ。 ０ ＝ 作如 下假设 ：
＝ ， 则称 是超 线性 的 ， 果ｆ ， 如 ｏ＝
厂 ＝ ， 称 是次线 性 的。对 函数 ａ ｔ 和 常数 Ｏ则 （）
（ ） ：０ １ × ０ ］ ０ ］连续 ； ｆ ［ ，］ ［ ， 一［ ，
一类p-Laplacian方程边值问题正解的存在性
１ ４
甘 肃 科 学 学 报
ｎ ｓ ｌ ｉ不 动点定 理乜 变分 方法［ 和一 些新 的三 ｏ ｅｓ ｉ ｋ Ｊ； ３ 函数不 动点 定理 ［ 等． 在证 明过 程 中 ， ４ 但 ］ 由于要 用 到
解 的 凹 性 ， 假 定 非 线 性 项 厂非 负 ， 给 Ｐ Ｌ ｐａ 都 这 — ａ ｌ—
是 （） 。 ｚ 的反函数 ， ｐ＋ 口一 １ 且÷ ，
（ （ （） ） ＋ 厂 （） ￡） （ ￡）＝ ０ ０＜ ｔ １ ， ＜
“ （ ）一 （ ）＝ ０， Ｏ １
（） １
（） ２
至少 有 ２个 正 解 的存在 性 ， 中 其
ｐ
（ ）一 Ｉ Ｘ， ｚ ｌ ｚ Ｐ＞ １ ｇｚ ， （ ）一 Ｉ ｚ ｌ ｚ
第 ｚ ２卷肃 科 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｓ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｏ Ｇａ ｓ ｃｅ ｃ ｓ
Ｖｏ ． ２ ＮＯ ２ 【２ ．
Ｊ ｎ Ｚ １ ｕ．００
一
类 Ｐ Ｌ ｐａ ｉｎ方 程 边值 问题 正 解 的存 在 性 — ａ ｌｃａ
ｆ （ （） ） ， “ ￡）一 ０ ０＜ ｔ １ （ ￡） ＋ （ （） ， ＜
Ｉ （ 一 （ 一０ ｏ １ ， ，） ）
ｗｈ ｒ ｐ ） Ｉ 一 Ｘ ｐ １ Ｂ ｓｎ ｈ ｉｅ ｏｎ ｄ ｘｔ ｅ ｒ ｏ ｅ ，ｕｆ ｉｎ ｏ ｄｔ ｎ ｒｔｅ ｅｅ （ 一 Ｉ ， ＞ ． ｙ ｕ ｉｇｔ ｅｆ ｄｐ ｉｔ ｎ ｅ ｈ ｏ ｙｉ ｃｎ ｓ ｓ ｆ ｃ ｔｃ ｎ ｉｏ ｓｆ ｈ ｚ’ ｘ ｉ ｎ ｉｅ ｉ ｏ
，∈ Ｃ ［ ， ∞ ） （ （０ ＋ ，一∞ ， 。 ） ． ＋ 。）
ｃａ ｉｎ方程 的实 际 应 用带 来 了一 定 的局 限性 ． 为解 决
一类具p-Laplacian算子的m点边值问题的三个正解
近来，许多学者应用 Leggett-Williams 不动点定 理，证明了一些非线性项中不含有导数项的二阶或高 阶常微分方程边值问题三个正解的存在性。但对于非 线性项包含导数的边值问题的研究结果并不多见 ( 例
Copyright © 2011 Hanspub
u t q t f t , x t , x t 0 , 0 t 1 ，
Pure Mathematics 理论数学, 2011, 1, 107-113
doi:10.4236/pm.2011.12022 Published Online July 2011 (/journal/pm/)
Three Positive Solutions for a Class of m-Point Boundary Value Problems with One-Dimensional p-Laplacian
ai 1 ；
(S3) 对 u P , b, c ，且 Tu d ，有 Tu b .
(H2) f C [0,1] [0, ) R, (0, ) ；
且 q 在 (0,1) 的 (H3) q L1[0,1] ，q 0 ，t (0,1) ， 任何子区间内不恒等于 0 ， 0 0 q t dt .
令 E C1[0,1] ， 在 范 数 u max u 0 , u 0 ，
u
0
max u t 下是一个Banach空间，定义 P 是 E 中
t[0,1]
u t a t f t , u t , u t 0 , 0 t 1 ，
Abstract: Multi-point boundary value problems of nonlinear differential equations arise in a variety of areas of applied mathematics, physics and variational problems of control theory. With the development of the ordinary differential equations, multi-point boundary value problem is at present one of the most active fields. It has become a new important branch of mathematics. In this paper, we study the following m-point boundary m2 value problem with p-Laplacian operator p u t q t f t , u t , u t 0 , 0 t 1, u 0 ai u i ,
带p-Laplacian算子的三阶微分方程边值问题正解的存在性
带p-Laplacian算子的三阶微分方程边值问题正解的存在性郭彦平;李春景;韩迎迎【摘要】许多不同应用数学和物理领域的研究都可归结为带有p-Laplacian算子的边值问题,因此对此问题的研究具有重要的理论意义和应用价值.本文讨论了带p-Laplacian算子三阶三点边值问题:｛(φp(u′))″(t)+a(t)f(t,u(t),u′(t))=0,0＜t＜1,u(0)=0,φp(u′)(1)=αφp(u′)(η),(φp(u′))′(0)=0的正解的存在性,其中φp(s)=｜s｜p-2 s,p＞1.应用Avery-Peterson不动点定理,当非线性项f满足一定的增长条件时,得到上述边值问题至少存在三个正解的充分条件.【期刊名称】《河北科技大学学报》【年(卷),期】2014(035)006【总页数】5页(P524-528)【关键词】p-Laplacian;边值问题;Avery-Peterson不动点定理【作者】郭彦平;李春景;韩迎迎【作者单位】河北科技大学理学院,河北石家庄050018;河北科技大学理学院,河北石家庄050018;河北科技大学理学院,河北石家庄050018【正文语种】中文【中图分类】O175.8的正解的存在性，其中φp(s)=|s|p-2s,p>1。
应用Avery-Peterson不动点定理，当非线性项f满足一定的增长条件时，得到上述边值问题至少存在三个正解的充分条件。
本文讨论带p-Laplacian算子的三阶三点边值问题：的正解的存在性，其中φp(s)=|s|p-2s，p>1。
近年来，许多学者都在关注三阶微分方程边值问题，并研究其正解的存在性[1-15]。
张立新等在文献[1]中研究了三阶三点边值问题：其中φp(s)=|s|p-2s,p>1，利用Avery-Peterson不动点定理证明了3个正解的存在性。
郭少聪等在文献[2]中讨论了三点边值问题：3个拟对称正解的存在性，其中α>0,0<η<1,φp(s)=|s|p-2s。
非线性分数阶P-Laplacian方程边值问题正解的存在性
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — １ ２ — １ ８ ； 修 回 日期 ： ２ ０ １ ４ — ０ ４ — ０ ５ 基金 项 目： 湖 南省 大学生研 究性学 习和创新性 实验计 划项 目（ 湘教 通 ［ ２ ０ １ ４ ］ ２ ４ ８号 ； 湘 南学院 大学生研 究性 学习和创新性 实验计 划项 目（ 湘 南学院院发 ［ ２ ０ １ ２ ］ １ ９ ２号 ）
ｌ ｕ （ ０ ）＋Ｉ Ｚ （ ０ ） ＝０ ， （ １ ）＋ （ １ ） ＝０ ， Ｄ ｏ ＋ ｕ （ ｆ ）Ｉ ： ｏ＝０ ，
１ １
、 。
其中， ０ ＜ｒ＜ １ ， １＜Ｏ ｔ 是 实数 ， Ｄ ＋ 表示 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ分数 导数 ， ： ［ ０ ， １ 】× ［ ０ ，＋∞） 一 ［ ０ ，＋∞）是连续 函数 ，
作者 简介 ： 蒋园园（ １ ９ ９ ２ 一 ） ， 女， 广 西 全 州人 ． 通信作者 ： 向红军（ １ ９ ６ ７ 一 ） ， 男， 湖 南洞 口人 ， 教授 ， 硕 士： 研 究方向 ： 微 分 方程 ．
其中 ， １＜Ｏ ｌ 是一个实数 ， Ｄ ； ＋ 是Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ 分数导数 ， ． 厂 ： 【 ０ ， １ ］ ×【 ０ ， ＋∞） 一 ［ Ｏ ， ＋∞ ）是连续 函数 ， 获得 了该
边值 问题 存在 多 重正解 的充分 条件 ．
文献 ［ ４ ］ 的作 者研 究 了非线 性分 数微 分方 程边 值 问题 ：
（ ｓ ） ＝ ｐ － ２ ｓ ， Ｐ＞１ ， 。 ） 一 ＝ ｑ ， ． ＝ １ ． ＋ １ ＝１ ． 运 用锥 上 的 Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ ｉ 不 动点 定理 和 Ｌ ｅ ｇ ｇ ｅ ｔ ｔ —Ｗｉ ｌ ｌ ｉ ａ ｍ ｓ 定
一类p-Laplacian奇异型方程组三阶三点边值问题正解的存在性
存在三个正解 的存在性． 文献 ［ ］ ８ 讨论了三点奇异边值问题
ｆ （ ） ） ０ （，（） （ ｕ ） ＋ （厂 ｔ ｔ）＝０ ０＜ｔ ， （ ） ｕ ， ＜１
【 （ ）＝ Ｍ １ ＝ＯＬ卵） “（ ）＝０ ０ （） Ｈ（ ， ”０ ，
得 到 了存在一 个或 两个 正解 的充 分 条 件． 文受 以上 文 献 的启 发 ， 本 讨
引理 ２ Ｔ — 是全 连续 的． ：
显然 ， 条 件 （ ２） 立 ， 么 存 在 常 数 ∈ 若 Ａ 成 那
（丢， ｏ ）得 ，使
０＜ Ｉ ａ（）ｔ ｉ ｄ ＜∞， ｉ ，． ＝１２ １ 预 备 知 识 与 引理
Ｐ ｅｉ ｎ ｒｅ ｎ ｅ ｒ ｌｍｉ ａ ｉｓ ａ ｄ ｌｍｍａ ｓ
证 明 Ｖ（ ，） ∈ Ｋ， Ｔ 的 定 义 及 （ ）和 ｕ 由 １ Ａ１
（２ Ａ ）知 Ｔ （ ，） ｔ ０， ［ １ ； ｕ （）≥ ｔ∈ ０，］ 而且
（） ３
Ｔ （ ，） （） ＝ “ ｔ
Ｇ（ １， ｆ
（） （
ｆ （） ＋－） “） （ ） ０ ∈ ｏ ） １ Ｍ ） 。 （（ ， ） ＝ ， （， ， ） ” （厂 ＂ １ （
【 （” ） （ ） ＋ａ （ ） Ｕ ， ｔ ＝０； ２ ｔｇ（ （） （））
ｆ （ ）＝ １ “ － ， Ｕ（ ）＝０ “ ０ （ ）＝ （） ｑ ｎ０ ，
中 图分 类 号 ０ ７ ． １５ ８ 文献 标 志码 Ａ
…
ｔ（ ）＝ （ ） ＝Ｏ 叼） ”０ ＝０ ｖ０ １ ／ （ ， （ ）
正解的存在性． 中 （ ） ｐＬｐ ｃ ｎ 其 ｓ 是 －ａｌ ｉ 算子 ， ａａ 即 。ｓ （）＝ ｆ ｆ ｓ ， ｓ
含有广义p—Laplace算子的非线性边值问题解的存在性的研究
Ｊ ｄ （（ａｕ ＋￡ ｌ ＝． ） ａ． ∈ ， － ｉａｇ ｄ） ｌ 一 ｖ ｒ ） 厂 ， ． （ ｅ Ｑ Ｉ （ ａｇ ｄ）∈ ） （ ， ａ． ∈ ． 一 （ ａｕ） （ ）一 ． ， ｒ （ ） ｅ Ｆ
在 第 四节将 证 明：对给 定 的 ｆ∈ 空 间中存在 解 ，其 中 ＋ １＝ １ ．
其 中 ： Ⅳ 一 ＲⅣ 为单 调 函数且存 在 正常数 觑 （＝ １２３ 满 足 Ｒ ｉ ，，）
（ ｚ ｌ ｋ Ｐ ）Ｊ（ ｚ ） ； （ ２ （） ） ｋ ； Ｐ ） ｛， ２ （３ ） （ ） ３ Ｉ 一ＩＪ 。 ， Ｐ ）『 一 ｌ Ｉ ∈ ｌ ， ｌ一 一 对 ， ∈Ｒ ． Ⅳ
，、
｛， （ 和 ｈｘ ∈ ｍ （）问题 （．） Ｑ） ｝ （） ａ｛， ｒ ， ） １２ 在 ，（） Ｑ
为研 究 问题 （． ， １ ）我们 采用构 造 以下辅 助 Ｄｒ ｈｅ ２ ｉｃｌ ｉ ｔ边值 问题 的技 巧
－
ｄｉ
：
ｖｇ 。 ＝ ： ∈ ｒ） ｌ２ ，’ ‘ Ｑ ａ） ｆ ｕ （ ’ ｄ＋“ １ ） 一
数学物理学报
２１，２ １： １２１ ０２ Ａ（ ２ — １ ａ ）０ ｈｔ： ａｔｍ ．ｉｍ． ． ｔｐ／ ｃ ｓ ｐ ａ ｅ ／ ａ ｗ ｅｎ
含有广义 ＰＬ ｐａｅ算子的非线性边值 问题解的 —ａ ｌｃ 存在性的研究
魏利
（ 北 经 贸 大 学数 学 与统 计 学学 院 石 家庄 ０ ０ ６ ） 河 ５ ０ １ Ｒａ ｉＰ ｇ ｒ ｌ ｖ Ａ ａ ｗａ
２２ ０
数
学
物
理
学
报
Ｖ １２ ｏ． Ａ ３
在文献 ［ 中，我们证明了问题 （ １ 在 Ｌ （） ６ ］ １） ． ＰＹ 中存在解 ， ￣ 其中 丽 ＜Ｐ＜＋ 。 在文献 ２ Ｎ 。． ［ 中证明了问题 （ １ 在 （） ５ ］ １） ． Ｑ 空间中存在解 ，其中 而 ＜Ｐ＜＋ 。且 Ｎ １最近，在文 ２ Ｎ 。 ． 献 ［ 中我们证 明了问题 （． 在 （） ７ ］ １） １ Ｑ 空间中存在解 ，其中 Ｎ ＜Ｐ ｓ ２ ＜＋ 且 Ｎ １ ∞ ． 然而，在问题 （． 和以往我们的研究工作中， １） １ 均要求边值 函数 是某个正则、凸、 下 半连 续函数 的次微 分 ．能否将 换成 更 一般 的单调 函数 ： — Ｒ Ｒ ？本文 ，我 们将 回答 这 个 问题 ．我 们将研 究 以下 非线性 边值 问题
非线性项带导数的p-Laplacian边值问题解的存在性
定理 １５ 设 Ｘ 和 ｚ为 两 个 Ｂ ｎ ｃ ｌ ａ ａｈ空间 ， 范数 为 ｌ ｌ 和 ｌ ｌ ， ＣＸ 为 非 空有 界 开集 ， ： 其 ｌ・ｌ ｌ・ｌ ２ Ｚ Ｍ Ｘ ｎｄ ｍ ｏ Ｍ—Ｚ为 一拟 线性 算子 ， — ｚ， Ｎ ： ∈［ ，］ Ｍ 一紧的． Ｏ １是 如果 ： Ｘ Ｊ ＝ ０为 同胚 映射 ， Ｚ一 ， （ ）＝ ＝ 且 满 足条 件 ：ｉＭｘ （） ≠Ｎ ｚＥａ ｏ Ｍ ， ｚ， ｎｄ ｍ Ｅ（ ， ） （ ） ｅ Ｊ Ｎ ， ｎ ｋ ｒ ， ） ０ 则 当 Ｎ—Ｎ 时 ， ０ １ ；ｉ ｄ ｇ｛ Ｑ ｅ ０ ≠ ． ｉ Ｍ 算子 方 程 Ｍｘ —Ｎｚ在 上存 在 至少 一个 解 ．
第 ２ ５卷 第 １ 期
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ １ １２ ．
徐 州 工 程 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎｌ ｆ ｏ ｒ ａ ｏ Ｘｕ ｈ ｕ ｎ ｔｔ ｔ ｏ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｚ ｏ Ｉ ｓ ｉｕ ｅ ｆ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｎａ ｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ Ｅｄ ｔ ｎ ｉｉ ） ｏ
一
设 Ｘ、 ｚ为 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， Ｃ Ｘ 为有 界 开集 ， ： 一 ｚ， ２ ∈［ ，］ 连续算 子 ， Ｏ １为 如果 存在 Ｚ的
个子空间 Ｚ ， 满足 ｄｍ Ｚ 一ｄｍ ｋ ｒ 和算 子 Ｒ ： ｉ ｉ ｅ Ｍ 力×Ｅ ， ］ ｏ １ 一Ｘ， 于 ∈［ ，］ 对 Ｏ １ 是连 续 紧的 ， 且有
受 文献 ［ ］ ２ 的启 发 ， 考虑 下 面的 ｐＬ ｐａｉ －ａｌ ａ ｃ ｎ边值 问题 ， 即
（ （ △（） ＋ 厂 ｔ “ ， △（ ） Ｕ Ｕ ｆ） （ ， （ ） “ ， △△（） … ， △ （ ） ＝ ０， Ｅ （ Ｔ） ， “ ￡） ｔ ０， Ｔ，
一维p-Laplacian方程边值问题多解的存在性
（ ） ｔ Ｈ１ ｆ（， ）∈ ｃ（ Ｏ １ ［ ， ］× Ｒ ， ； Ｒ ）
（ ｚ Ｈ ，ｌ ｉ ａ ｒ
—
。
幸 １于 ∈ｏ］致 成 ； 一 关 ｆ ［１ 地 立 － 一 ，
（ ）存在 常数 ＞ ０ 使 得 当 ≥ 时 ， （， ０ Ｈ。 ， ｆｔ ） （ ） ｔ“ 关 于 “是 奇 函数． Ｈ ｆ（， ）
第 １卷 第 ４ Ｏ 期 ２ ０ 年１ 月 ０ ８ ２
应 用 泛 函分 析 学 报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬＹＳＩ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ ＯＮＡＬＩ Ｓ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＡ
Ｖ ｏ ．１ １ ０
Ｎｏ．４
Ｄｅ ｅ ｌ．， ２０ ｃｒ １ ０８
文 章 编 号 ：１ ０ — ３ ７（ ０ ８ ４ ０ ４ — ６ ０ ９ １ ２ ２ ０ ）０ — ３ ６ ０
由于 户 Ｌ ｐａｉｎ边 值 问题有 着 广泛 的应用 背景 ， 如非 线 性偏 微分 方程 的径 向对称 解 、 一 ａ ｌｃ ａ 例 多
孔介 质 中 的气体 湍 流 问题 、 性理 论 问 题等 ， 年 来 引起 了人 们 广泛 的关 注． 弹 近 已有 大量 文献 （ 如 ［ —］ １６ 及其 中的参 考 文献 ） 究 了 一 ａ ｌｃ ｎ边 值 问题 一 个 正解 、 个 正 解 或三 个 正解 的存 在 研 Ｌ ｐａｉ ａ 二 性， 所使 用的方 法有拓 扑度 理论 、 不动 点定 理 、 动点指 数理 论 、 不 上下 解方 法． 比之下 ， 相 使用 临界
果．
本 文 的 目的是利用 Ｃ ａｋ临 界点定 理 ， ｌｒ 通过 构造 空 间
（ ，）的一个 特 殊 的线性 无关 组 ， Ｏ１
一维奇异非线性p-Laplacian方程多解的存在性
【 或 （ ）＝ （ ）＝ ０ Ｏ １ ， 并 利 用 Ｌ ｇ ｅｔ ｌａ 定 理 得 出 了三 个 正 解 的 存 在 性 定 理 ， 而 推 广 了 以往 文 献 的 一 些 结论 ． ｅｇ ｔ Ｗｉｉ — ｌ ｍｓ 从
关 键 词 ：－ａｌ ｉ 算子 ； ｅｇｔＷｉｉ ｓ ｐＬｐ ｃ ｎ ａａ Ｌ ｇｅ— ｌ ｍ 定理 ； ｔ ｌ ａ 锥
中图分 类号 ： １５ １ Ｏ ７．４
文献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：０ １ ３７２０）２ ０４０ １０— ３（０７０— ２—５ ５ ０
１ 引
言
近年 来 ， 于 户 Ｌ ｐａ ｉ 关 一 ａ ｌｃ ｎ边值 问题 正解 的存在 性 问题 引起 了广 大数学研 究 者 的兴 趣并 取得 了很多研 究 ａ 成果 ． 究 — ａ ｌｃ ｎ方程 一般 是利用 Ｋｒｓ ｏ ｅｓ ｉ不 动点 定 理 ， 扑度 理 论 ， ｃ ａ ｄ ｒ不 动点 理论 、 研 Ｌ ｐａｉ ａ ａ ｎ ｓｌ ｉ ｋ 拓 Ｓｈ ｕ ｅ
一
维奇异非线性 ＰＬ ｐａｉｎ方程多解的存在性 — ａ ｌｃ ａ
胡利 利 ， 田 凯 ， 刘立 山
（ 曲阜 师 范 大学 数 学 科 学 学 院 ， ７ １５ ２ ３ ６ ，山 东省 曲阜 市 ）
摘要： 本文研究了一类奇异非线性 ｐＬｐ ｃｎ －ａｌ ｉ 边值问题 ａａ
ｆ （ ） ｈ ｔ ｆ ｔ ）一 ０ ０＜ ￡ １ （ ） ＋ （） （ ， ， ， ＜ ，
维普资讯
第３ ３卷
第 ２ 期
曲 阜
师 范 大
学
学
报
Ｖｏ ． ３ ＮＯ ２ １３ ．
Ａｐ ｉ ２ ０ ｒｌ ０ ７
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满足 两点边 界条件 （ ）＝ “ １ 一Ｂ时解 的存在 性． 丽芳 研究 了一 维 Ｐ Ｌ ｐａｉ Ｏ ：Ａ， （ ） ＝ 李 —ａ ｌ ａ ｃ ｎ算子 的非 线性 三点
边值 问题
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第２ ８卷第 １ 期
２１ ０ ０年 ３月
徐州师范大学学报（ 自然 科 学 版 ）
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Ｍ ａ ．， ０１ ｒ ２ ０
一
维 Ｐ Ｌ ｐａｉｎ算 子 的非 线性 — ａ ｌｃａ 三点 边值 问题解 的存 在 性
董艳艳
（ 州 高等 幼 儿 师 范 学 校 ， 苏 苏 州 ２ ５ ０ ） 苏 江 １０ ８
摘 要 ： 用 Ｌ ｒｙＳ ｈｕ ｅ 不 动 点 定理 ， 究 了含 有 一 维 ＰＬ ｐａｉ 运 ｅａ－ｃ ａｄ ｒ 研 —ａｌ ａ ｃ ｎ算 子 的 非 线 性 三 点 边 值 问 题 解 的存 在 性 ． 结 果 表 明 ： 果 非 线 性 项 在 其 定 义 域 的 某个 有 界 子集 的“ 度 ” 适 当 的 ， 么该 问题 必 存 在 解 或 正 解 ． 如 高 是 那 关 键 词 ： 维 Ｐ Ｌ ｐａｉ 一 —ａｌ ａ ｃ ｎ算 子 ； 点 边 值 问题 ； ｅａ— ｃａ ｄｒ 动 点定 理 三 Ｌ ｒｙＳｈ ｕ ｅ 不 中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１５ ８ 文献标识码 ： Ａ 文 章编 号 ：１ ０—５ ３ ２ １ ） １ ０ １０ ０ ７６７ （０ ００ — ４ —４ ０
解 的存 在性 ， 中 １ ＝ Ｅ Ｒ， ∈（ ， ）ｆＥＣ（０ １ ×Ｒ， ． 其 ： ａ 刀 Ｏ １ ， ［ ，］ ／ Ｒ）
受 文献 ［ —２ 的启 发 ， 运用 Ｌ ｒｙＳ ｈ ｕ ｅ 不动点 定 理 ， 究一 维 Ｐ Ｌ ｐａｉ １ ］ 本 ｅａ— ｃ ａ ｄ ｒ 研 — ａ ｌｃ ｎ算子 的非 线性 三点 ａ
ｐｏｎｔｔ ｏｒ ｍ ｉ ｈｅ ｅ
０ 引言
近年来 ， ｐ Ｌ ｐａｉｎ算子 的边值 问题 解 的存 在 性受 到 了学者 们 的广 泛关 注 ． 景 保 等 讨 论 了 带 — ａ ｌｃ ａ 卜 杨
方 程 （ （） ｆ ｔ ￡ ， （） ￡） ＋ （ ， ） ｆ ）一 ０ ｔ （ ，） （ ， ∈ Ｏ １
边 值 问题
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Ａｂ ｔａ ｔ ｎ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｓｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ａ ｅ ，ｗｅａ ｅ ｃ ｎ ｅ ｎ ｄ ｗｉ ｈ ｏ ｌ ｅ ｒ ｔ ｒ ｅ ｐ ｉ ｔｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｒ ｂ ｅ ｔ ｎ － ｉ ｎ ｒ ｏ ｃ ｒ ｅ ｔ ｔ ｅ ｎ ｎ ｉ ａ ｈ ｅ － ｏ ｎ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍｓ ｗｉ ｏ ｅ ｄ ｍｅ — ｈ ｎ ｈ ｓｏ ａ — ａ ｌ ｃ ｎ ｏ ｅ ａ ｏ ． ｓｎ ｒ ｙ Ｓ ｈ ｕ ｅ ｉ ｅ ｏ ｎ ｈ ｏ ｅ ，ｔ ｅｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｉ ｓａ ｌ ｈ ｄ ｆ ｒ ｉ ｎ ｌ Ｌ ｐ ａ ｉ ｐ ｒ ｔ ｒ Ｂｙ ｕ ｉ ｇ Ｌｅ ａ － ｃ ａ ｄ ｒｆ ｄ ｐ ｉ ｔ ｅ ｒ ｍ Ｐ ａ ｘ ｔ ｈ ｘ ｓ ｅ ｃ ｆ ｌ ｔ ｓｅ ｔ ｂ ｉ ｅ ｏ ｓ ｏ ｓ ｔ ｅ ｃａ ｓｏ ｑ ａ ｉ ｎ ．Ｔｈ ｉ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔ ｈ ｌ ｓ ｆ ｑ ａ ｉ ｎ ａ ｔｌａ ｔ ｎ ｏｕ ｉ ｎ ｏ ｏ ｉ ｖ ｏ ｕ ｉｎ ｈ ｌｓ ｆ ｕ ｔ ｓ ｅ ｏ ｅｍａ ｎ ｒ ｓ ｌ ｓ ｏ ｔ ａ ｅｃａ ｓ ｏ ｕ ｔ ｓｈ ｓａ ｓ ｅ ｓ ｌ ｔ ｒｐ ｓ ｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｓ ｔ ｅ ｏ ｅ ｏ ｏ ｉ ｏ ｉ ｔ ｅ“ ｅｇ ｔ ｆｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｔ ｒ ｉ ａ ｐ ｏ ｒ ｔ ｎ ａ ｂ ｕ ｄ ｄ ｓ ｂ ｅ ｆｉｓ ｄ ｍａ ｎ ｆ ｈ ｈ ｉ ｈ ”ｏ ｏ ｌ ａ ｅ ｍ ｓ ｐ ｒ ｐ ｉ ｅｏ ｏ ｎ ｅ ｕ ｓ ｔｏ ｔ ｏ ｉ ． ｎ ａ Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｅ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ Ｐ Ｌａ ｌｃａ ｏ ｅ ａ ｏ ； ｔ ｒ ｅ ｐ ｉ ｔ ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｌ ｅ ｒ ｂ ｅ ； Ｌｅ ａ － ｃ ａ ｄ ｒ ｆｘ ｄ ｙ ｗｏ ｄ ： ｎ — ｉ ｎ ｉ ｎ ｌ — ｐ ａ ｉｎ ｐ ｒ ｔ ｒ ｈ ｅ — ｏｎ ｂ ｕ ｄ ｒ ａｕ ｐ ｏ ｌｍ ｒ ｙ Ｓ ｈ ｕ ｅ ｉｅ