高等数学课后题答案(西工大版)第4章

第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念

1.填空

(1)若1cos 2sin

+=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛′x x f ,则)1(2)(2

x x f −=′,C x x x f +−=3322)(. (2)设)()(x f x F =′,)(x f 为可导函数,且1)0(=f ,又2

)()(x x xf x F +=,则)(x f ′ 2−=,12)(+−=x x f .

(3)在积分曲线族∫=x x y d 4,与直线12+=x y 相切的曲线过点⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛2,21,其方程为

2

322+

=x y . (4)一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是s m t /32

,那么, a)在3秒后物体离开出发点的距离是m 27; b)物体走完m 360所需时间为s 11.7. 解 (1)⎟⎠⎞⎜⎝

⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝

⎛′2sin 122sin

2x x f ,所以)1(2)(2x x f −=′ C x x x x x x f x f +−=−=′=∫∫323

2

2d )1(2d )()(.

(2)x x f x x f x F x f 2)()()()(+′+=′= 02)(=+′∴x x f x , 2)(−=′x f

∫+−=′=C x x x f x f 2d )()(.

又 1,1)0(=∴=C f ,故12)(+−=x x f .

(3)C x x x y +==∫

2

2d 4,由24==′x y ,得21=

x .切点为⎟⎠

⎞⎜⎝⎛2,21,又 2

2122⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛⋅=C +,

得23=C ，所以,曲线方程为 2

322

+=x y .

(4)依题意 2

3)(t t s v =′=,且0)0(=s .

C t t t t v t s +===∫∫32d 3d )(,且3,0t s C ==,所以,3秒后的距离是

(m)2733==s .

3360t =,)(11.73603s t ≈=.

2.把下列函数与它的原函数用线连接起来.

2sin )1(2

x (a)x 2cos 2

1− 2

21)2(x

x + (b)x x

sh e x x cos sin )3( 32cos 4

1

)(+−x c

x x x sh ch e )4(− (d)x

2e 2

1

(e))sin (2

1

x x −

(f)4arctan +−x x

3.计算下列不定积分

(1)

x x

x x d 3

2∫

+

解 原式=C x x x x ++=+∫67

6

17

6

d )1(.

(2)x x x x d )

1(212

22

∫++ 解 原式=C x x x x x

+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∫1arctan d 111

22. (3)x x

d 2cos 11

∫+

解 原式=C x

x x +=∫2tan cos d 212

. (4)x x

x

x d 32532∫

×−× 解 原式=C x x x x

+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−

=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∫3ln 2ln 3252d 3252.

(5)∫

−x x x x d )tan (sec sec

解 原式=∫

+−=−C x x x x x x sec tan d )tan sec (sec 2

.

(6)∫x x x

22cos sin d

解 原式=C x x x x

x x x x

x x x +−=+=+∫∫∫cot tan sin d cos d d cos sin cos sin 222222.

第二节 不定积分的换元积分法

1.填入适当的系数,使下列等式成立

⎟⎠⎞⎜⎝⎛=x x x 32sin d 23d 32cos )1(； )3d(arctan 31

91d )2(2

x x

x =+ )1d(11d )3(22

x x x

x −−=−； )sin 2d(21d cos sin )4(2x x x x +=

2.[][][]⎪⎩

⎪⎨⎧−≠++−=+==′+∫∫.1,)(11,

1)(ln )(d )(d )()(1

μμμμμμ

C x f C x f x f x f x x f x f ， 3.

∫+=C x F x x f )(d )(,则C x g F +=)]([)3(.

∫x x g f d )]([)1(, x x g x g f d )()]([)2(∫, x x g x g f d )()]([)3(′∫.

4.计算下列不定积分

x x

x

d sin )1(∫

解 原式C x x x +−==∫cos 2d sin 2.

x x

x d 1)2(6

2

∫

−

解 原式=C x x x +=−∫363arcsin 31

1d 31.

x x x d cos 1

tan 11)3(2∫+ 解 原式=C x x x

++=++∫

tan 12)tan 1d(tan 11

. x x

x

d 110)4(2

arccos 2∫− 解 原式=C x x x

+−

=−∫10

ln 210arccos d 10arccos 2arccos 2. x x

x

x d sin cos )ln(sin 1)5(∫

解 原式=C x x x x x x +==∫∫

)ln(sin ln )ln(sin d )ln(sin 1

sin sin d )ln(sin 1. x x x x x

d )

e 1(1

)6(∫++ 解 原式=C x x C u u u u u

x x x x x x u x x

x x x

++=++=+=++∫∫=1

e e ln 1ln )1(d d )e 1(e )1(e e 令. 注意 被积函数)e 1(x

x x +形式较复杂,是同学积分时的困难之处,但易发现

=′)e (x x )1(e +x x ,

故若分子分母同乘x e ,就可利用代换u x x

=e ,将其化为可积分的简单形式.

x x x x

d )ln (ln 1)7(2

∫

+