2015年杭二中高一新生实验班选拔考试数学试卷

2015年杭二中高一新生实验班选拔考试
数学试卷
注意：（1）本试卷分三部分，17小题，满分150分，考试时间60分钟。

（2）请将解答写在答题卷相应题次上，做在试题卷上无效。

一、选择题。

（5分×6=30分）
1、如果a,b,c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b
+++++的值为（ ）。

（A ）6 (B) 7 (C) 9 (D) 10
2、小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币。

小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
3、若质数a,b 满足2940a b --=，则数据a,b,2,3的中位数是（ ）
（A ）4 (B)7 (C)4或7 (D)4.5或6.5
4、2612111012111010(2)x x a x a x a x x a --=++++…+a ，则12108642a a a a a a +++++=（ ）
（A ）-32 （B ） 0 （C ） 32 （D ） 64
5、若四个互不相等的正实数,,,a b c d 满足2012201220122012()()2012a c a d --=，2012201220122012()()2012b c b d --=，则20122012()()ab cd -的值为（ ）
（A ） -2012 （B ） -2011 （C ） 2012 （D ） 2011
二、填空题（6分×8=48分）
6、设下列三个一元二次方程：24430x ax a +-+=；22
(1)10x a x a +-++=；22230x ax a +-+=，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是 。

7、如图所示，把大正方形纸片剪成五个部分，在分别距离大正方形的四个顶点5厘米处沿450方向剪开，中间的部分正好是小正方形，那么小正方形的面积是 平方厘米。

7题图 10题图
8、点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过
点A 任作直线交抛物线223
y x =于P ，Q 两点.若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，则所有满足条件的直线PQ 的
函数解析式为： .
9、能使12009n n -+＞11005
成立的正整数n 的值的个数等于 。

10、如图，四边形ABCD 中，AB=BC=CD ，∠ABC=780，∠BCD=1620。

设AD,BC 延长线交于E ，则∠AEB= .
11、D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点， 使得ACB ADP ∠=∠，则：PD
PB 的值= .
三、解答题。

（12分×6=72分）
12、已和,,x y z 均为非负数，且满足142x y z y z =+-=--。

（1）用x 表示,y z ;
(2)求2
22u x y z =-+的最小值。

13、由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone 手机二6月售价比一月每台降价500元。

如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元。

（1）一月Iphone6手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s 手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s 每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金a 元，而Iphone6s 按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？
14、如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=900，D 、E 是边AB 上的两点，AD=3，BE=4，∠DCE=450，则△ABC 的面积是多少？
15、若直线:3l y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B 。

坐标原点O 关于直线l 的对称点O '在反比例函数k y x
=
的图象上。

（1）求反比例函数k y x
=的解析式； （2）将直线l 绕点A 逆时针旋转角θ（00＜θ＜450），得到直线l '，l '交y 轴于点P ，过
点P 作x 轴的平行线，与上述反比例函数k y x =的图象交于点Q ，当四边形APQ o '的面积为3392
-时，求θ的值。

16、已和关于x 的方程22
(1)3(31)180m x m x ---+=有两个正整数根（n 是整数）。

△ABC
的三边a 、b 、c 满足：222223,80,80c m a m a m b m b =+-=+-=。

求：（1）m 的值；（2）△ABC 的面积。

17、如图⊿ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是⊿ABD 和⊿ACD 的外接圆的直径，连结EF ，求证：BC
EF PAD =
∠tan
附加题（同分优先）：18、如图，已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．
参考答案
一、选择题
1-5 BDCAA
二、填空题
6、a ≥12 或a ≤32-
7、50
8、如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）.
设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐
标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由
223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
，， 得 2203x kx t --=，
于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-. 于是 222323
P P Q Q x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- （第13题）
又因为P Q x PC QD x =-，所以BC PC BD QD =. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，
故∠ABP =∠ABQ .
（2） 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知
∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，
所以 AC =32a -，AD =23b -.
因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .
于是PC AC DQ AD
=，即3223a a b b -=-， 所以3a b ab +=．
由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322
ab a b =+=，， 于是可求得2 3.a b ==
将32
b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）. 再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =-
所以直线PQ 的函数解析式为313
y x =-+. 9、1008015
10、21
0 11、点D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB=3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得∠ADP=∠ACB ，则的值为 ．
考点：
相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 分析：
连接AP ，由圆周角定理可得出∠APB=∠ACB ，进而可得出∠APB=∠ACB=∠ADP ，由相似三角形的判定定理可得出△APB ∽△ADP ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
解答：
解：连接AP ， ∵∠APB 与∠ACB 是所对的圆周角，
∴∠APB=∠ACB ，
∵∠ADP=∠ACB ，
∴∠APB=∠ACB=∠ADP ，
∵∠DAP=∠DAP ，
∴△APB ∽△ADP ， ∴==，
∴AP 2=AD •AB=AD •（3AD ）=3AD 2， ∴===
． 故答案为：
．
三、解答题。

12、（1）32y x =-，23z x =-+
（2）当32x =时，min 12
u =- 13、（1）一月Iphone4每台售价为4500元
（2）有5种进货方案
（3）当a=100时（2）中所有方案获利相同
14、36ABC S =
15、（1）9y x =-
（2）θ=150
16、（1）m=2
（2）19122ABC S
=+或
17、如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE 和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF．求证：．
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
专题：证明题．
分析：先连接DE、DF，利用直径所对的圆周角等于90°，可证D、E、F三点共线，再连接AE、AF，利用等腰三角形的性质、圆内接四边形外角的性质可得
∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD，易证△ABC∽△AEF，再做AH⊥DF，易证四边形APDH是矩形，于是AH=DP，而△ABC∽△AEF，那么EF：BC=AH：AP，等量代换易证
tan∠PAD=．
解答：证明：如图，连接ED，FD．
∵BE和CF都是直径，
∴ED⊥BC，FD⊥BC，
∴D，E，F三点共线，
连接AE，AF，则∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD，
∴△ABC∽△AEF，
作AH⊥EF，垂足为H，
又∵AP⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形APDH是矩形，
∴AH=PD，
∵△ABC∽△AEF，
∴，
∴，
∴．
18、已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．
考点：相切两圆的性质；射影定理．
专题：证明题．
分析：要证MP分别与⊙A和⊙B相切，如图示，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得
PA2=AC2=AE•AB，PB2=BD2=BF•AB．两式相减可得PA2﹣PB2=AB（AE﹣BF），又PA2﹣PB2=（PA+PB）（PA﹣PB）=AB（PA﹣PB），于是有AE﹣BF=PA﹣PB，即PA ﹣AE=PB﹣BF，所以PE=PF，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形CDEF的中位线，于是得MP⊥AB，进而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．
解答：证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F
∴CE∥DF，∠AEC=90°，∠BFD=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角，
∴△ACB∽△AEC，
∴AC：AB=AE：AC
即PA2=AC2=AE•AB，
同理PB2=BD2=BF•AB．
两式相减可得PA2﹣PB2=AB（AE﹣BF），
∴PA2﹣PB2=（PA+PB）（PA﹣PB）=AB（PA﹣PB），
∴AE﹣BF=PA﹣PB，即PA﹣AE=PB﹣BF，
∴PE=PF，
∴点P是线段EF的中点．
∵M是CD的中点，
∴MP是直角梯形CDEF的中位线，
∴MP⊥AB，
∴MP分别与⊙A和⊙B相切．
点评：这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，同学们应熟练掌握．。