数学物理方程定解问题

定解条件
ut a u xx f ( x, t )
2
utt a u xx f ( x, t )
2
得到这样两类方程，物理问题的解定下来了 吗？
数学物理定解问题
• 物理规律------偏微分方程（泛定方程）
– 解决这些问题，首先必须掌握所研究的物理量 在空间中的分布规律和在时间中的变化规律。
能量守恒定律
热传导问题
q x q x dx
u c dx t
u q k x
板书推导
三维热传导问题
u q k x
q x q x dx u c dx t
板书推导
utt a uxx 0
2
振动方程
ut a uxx 0
2
输运方程
7.2 节 定解条件
中外教材比较
我们
美国麻省源自文库工
大家想一想
质 点 运 动 分在 生 偶 布空 的 极 间电子 的场产
扩散和热传导
观看动画
7.1 节 数学物理方程的导出
数学物理方程
• 在以前的学习中，我们研究某个物理量（位移、 电流）怎样随时间而变化。研究以时间为自变数 的常微分方程（质点的运动方程、电路微分方程）
x dx x dx x
utt a uxx 0
2
ux
u dx
tt
均匀弦的微小横 振动
utt Tuxx 0
课堂作业（5分钟）
推导匀质糖葫芦形状杆的纵振动方程。
板书画图
均匀杆的纵振动
弹簧的运动我们怎样研究？
弹性杆就是很硬 的弹簧，即倔强 系数很大的弹簧。
均匀杆的纵振动

2 1
2
1, cos 2 1
3 1
sin 1 1

3!
1 t an1
对位置在 x 到 x+dx 之间的一小段弦进行受力 分析，列出牛顿力学方程 弦在x点的斜率 T T T
2 1
均匀弦的微小横振动
u x, t tan 1 ux x , x x tan 2 u x T ux
d 2x di 1 t Fx m 2 , Ri t L i d v t . dt dt C • 研究某个物理量（电场强度、电势、磁感应强度、 声压、杂质浓度）在空间的某个区域中的分布情 况，以及它怎样随时间而变化。 • 这些问题中的自变数同时包括时间和空间坐标。
– 研究问题不能割断历史，历史：即研究对象在 某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。
适当举例加以解释
课堂作业 笔记 P66页 (5 分钟)
• 求解两端固定质量不均匀细弦的微小横振 动，弦上不同位置的密度分布为 rou(x)
• 板书画图
数学物理方程的导出 ——均匀弦的微小横振动
均匀弦的微小横振动 ——基本物理问题描述
参考书
• 哈伯曼 (Haberman R). 《实用偏微分方程》 . 英文版 第4版. 北京：机械工业出版社, 2005.
• Boas M L. 《Mathematical methods in the physical sciences》. 2nd ed. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1983. • 这两本书都是英文的。我们图书馆都有。
•
板书画图
热传导问题
热传导问题
热传导定律：热量从高温区域向低温区域传 递，热流强度q与高低温度差的差值成正比， 温度变化越剧烈，热流越大。
u q k x
热传导定律
热传导问题
能量守恒定律：单位时间内流入单位体积内 的热量等于该体积内热能的增量。
q x q x dx
u c dx t
• 环境影响------边界条件（定解条件）
– 研究对象不能和环境割裂，“超距作用”不存 在，环境影响通过边界传给研究对象。
• 历史影响------初始条件（定解条件）
– 研究问题不能割断历史，历史：即研究对象在 某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。
适当举例加以解释
定解条件
• 绷紧的弦相邻小段之 间有拉力，这种拉力 叫做弦中张力。 • 张力沿着弦的切线方 向。 • 弦乐器的弦很轻，重 力相对于弦内张力很 小，受力分析时可以 忽略重力。
均匀弦的微小横振动 ——基本物理问题描述
• 沿着弦的方向称为 纵向。 • 垂直于弦的方向称为 横向。 • 讨论微小横振动问题， 即假设弦沿纵向没有 运动和位移；沿横向 有微小的运动和位移。
均匀杆的纵振动
板书推导
均匀杆的纵振动
Sdx utt YSu x
u x YS dx x utt Yu xx 0 utt a u xx 0
2
YSu x x dx
x
课堂作业（5分钟）
• 在柱坐标系下求解热传导方程。
1. 体元如何建立， 2. 热量流入体元通过的横截面怎样计算，
数学物理定解问题
• 物理规律------偏微分方程（泛定方程）
– 解决这些问题，首先必须掌握所研究的物理量 在空间中的分布规律和在时间中的变化规律。
• 环境影响------边界条件（定解条件）
– 研究对象不能和环境割裂，“超距作用”不存 在，环境影响通过边界传给研究对象。
• 历史影响------初始条件（定解条件）
期末考试题之一：求解爆炸问题
期末考试题之二： 逆向求解散热问题
期末考试题之三： 求解回形振动吸热板的吸热过程
数学物理方程
• 朱瑞 rzhu@scut.edu.cn 18号楼205
• 教材：《数学物理方法》梁昆淼 高等教育 出版社 （第三版）。 • 内容：教材第七章至第十二章。 • 答疑时间：随时在我办公室答疑，最好提 前预约。 • 总成绩：期末考试：70%；平时成绩： 30%. • 关于课堂作业
均匀弦的微小横振动
超越质点问题和 刚体问题，讨论 连续弹性体的运 动方程
板书推导并讲解
对位置在 x 到 x+dx 之间的一小段弦进行受力 分析，列出牛顿力学方程
均匀弦的微小横振动
ma F
T2 cos 2 T1 cos1 0 x dx T2 sin 2 T1 sin 1 dxu cos1 1