导数压轴题处理套路
QQ 群545423319
导数压轴题处理套路
专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理） ..................................................... - 2 - 专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则） .................................... - 4 - 专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 - 专题四隐零点问题整体代换 .............................................................................. - 13 - 专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 - 专题六导数处理数列求和不等式 ....................................................................... - 25 -
说明：题目全来自网络和群友分享，在此一并谢过
专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）例1.已知f(x)=(a+1)ln x+ax2+1
（1）讨论f(x)的单调性
（2）设
a≤ -2
，求证：
?x1,x2∈(0,+∞),f(x1)-f(x2)≥4x1-x2
例2.已知函数f(x)=1x2-ax+(a-1) ln x，a>1。
2
（2）证明：若a<5，则对任意 x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠ x 2，有f(x
1
)-f(x
2
) > -1。x1- x2
例3.设函数f(x)=ln x+m x,m∈R.
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f(x)的最小值；
x
（3）若对任意b>a>0,f(b)-f(a)
<1恒成立，求m的取值范围.
b - a
例4. 已知函数 f (x ) =
1 - ln x
x
（1）讨论函数 y = f (x ) 的单调性
（2）对任意的 x , x ∈ ? e 2
, +∞ f (x 1 ) - f (x 2 ) > k ，有
，求 k 的取值范围 12
? ) x 1 - x 2 x 1 x
2
例5. 已知函数 f (x ) = 12 x 2
- a ln x + ( a - 2)x ，是否存在 a ∈ R ，对任意 x 1 ，x 2 ∈ (0, +∞) ，
x 1 ≠ x 2 ， f ( x 1 ) - f ( x 2 )
> a 恒成立？若存在，求之；若不存在，说明理由。
x 1 - x 2
例6. 已知函数 f ( x ) = ax + x ln x 的图象在点 x = e （ e
为自然对数的底数）处的切线的斜率 为 3．
（1）求实数 a 的值；
（2）若 f ( x ) ≤ kx 2
对任意 x > 0 成立,求实数 k 的取值范围；
（3）当 n > m >1 ( m , n ∈ N *
) 时,证明： n m > m ．
n
m
n
专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）
例1. 已知函数f(x)= a ln x + b ，曲线 y =f ( x)在点(1，f (1))处的切线方程为 x +2 y -3=0.
x +1 x
（1）求a、b的值；
（2）如果当x>0，且x≠1时，f(x)> ln x + k
，求 k 的取值范围. x -1 x
例2.设函数f(x)=e x-1-x-ax2.
（1）若a=0，求f(x)的单调区间；
（2）当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
例3.已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2.
（1）若f(x)在x= -1时有极值，求函数f(x)的解析式；（2）当x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围.
（3）当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.
QQ 群 545423319 例4. 设函数f(x)=1-e-x.
（1）证明：当x> -1时，f(x)≥ x ；
x+1
（2）设当x≥0时，f(x)≤
x
，求 a 的取值范围. ax +1
sin x
例5.设函数f(x)=2+cos x．
（1）求f(x)的单调区间；
（2）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．
例6.已知函数f(x)=x
+ e -x -1
λx +1
（1）证明：当λ=0
时间，f(x)≥0
（2）若当x≥0
时，f(x)≥0，求实数
λ
的取值范围。
QQ 群545423319
例7.已知函数f(x)= ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R
（1）讨论函数f(x)的极值点个数，并说明理由
（2）若?x>0,f(x)≥0成立，求a取值范围。
? 1 1 ? 2 - ax.(a >0)
例8. 已知函数f(x)= ln + ax ? + x
? 2 2 ?
? 1?
（1）求证 0 2 ? ? ? 1? 2 （2）若对任意的a∈(1, 2)，总存在x0 ∈ ? , +∞?使不等式f(x0)>m(1 - a )成立，求实 2 ? ? 数 m 的取值范围 例9.已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.求a的取值范围； QQ 群545423319 例10.已知函数f(x)=(x+1) ln x-a(x-1). （1）当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；（2）若当x∈(1,+∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围. 专题三导数与零点问题（如何取点） 例1.已知函数f(x)=a e2x+(a-2)e x-x. （1）讨论f(x)单调性； （2）若f(x)有两个零点，求 a 的取值范围； 例2.已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.求a的取值范围； QQ 群545423319 例3.设函数f(x)=e2x-a ln x.讨论f(x)的导函数f'(x)的零点的个数； 例4.已知函数f(x)=(x-1)e x+ax2有两个零点.(2) 求a的取值范围例5.已知函数f(x)=e x-m2x2-m x-1.当m<0时，试讨论y=f(x)的零点的个数； 例6.设函数f(x)=l x n+x1-l n x+l n (x+1)，是否存在实数a，使得关于x的不等式f( x) ≥ a 的解集为（0，+∞）？若不存在，试说明理由。 例7.已知函数f(x)=a e2x-(2a x+1)e x+x2+2x.当0 例8.已知函数f(x)=a+ x l n x (a ∈ R) （1）求f(x)的单调区间 （2）求函数f(x)的零点个数，并证明你的结论 例9. 设常数λ>0,a>0，函数f(x)= x 2 - a l n x,对于任意给定的正数λ,a证明存在 x +λ 实数 x0，当 x > x0时，f(x)>0 例10.已知函数f(x)=x+a ln x. （1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （2）求f(x)的单调区间； （3）若函数f(x)没有零点，求a的取值范围. 例11.已知函数f(x)=(x+a)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）当a<1时，试确定函数g(x)=f(x-a)-x2的零点个数，并说明理由. 例12.已知函数f(x)=a ln x+1x(a≠0). （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若{x f(x)≤0}=[b,c](其中b 例13.已知函数f(x)=x2-(a-2)x+a ln x+2a+2，其中a≤2 （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若函数f(x)在(0, 2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围。 ax-a 已知关于x的函数f(x)= (a≠0)，e x （1）当a= -1时，求函数f(x)的极值； （2）若函数F(x)=f(x)+1没有零点，求实数a的取值范围。 例15.已知函数 （1）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b值；（2）若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围。 例16.已知函数f(x)=a+ x ln x ，( a ∈ R) （1）求函数f(x)的单调区间； （2）试求函数y=f(x)的零点个数，并证明。 专题四隐零点问题整体代换 例1.设函数f(x)=e x-ax-2 (1)求f(x)的单调区间 (2)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)-x+1>0，求k的最大值 例2.已知函数f(x)=ax+x ln x的图像在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3 (1)求实数a的值 (2)若k∈Z，且k x ( - x 1 ) 对任意x>1恒成立，求k的最大值 例3.若对于任意x>0，xe2x-kx-ln x-1≥0恒成立，求k的取值范围。 QQ 群 545423319 例4. 已知函数 f (x ) =e x - ln (x + m ). （1）设 x = 0 是 f (x )的极值点，求 m ,并讨论 f (x )的单调性； （2）当 m ≤ 2 时，证明 f (x ) > 0 . 例5. 已知函数 f (x ) = 23 x 3 + x 2 + ax +1在 (-1, 0) 上有两个极值点 x 1 、 x 2 ，且 x 1 < x 2 . （1）求实数 a 的取值范围； （2）证明： f (x 2 ) > 1211 . 例6. 已知 a ∈ R ，函数 f (x ) =e x + ax 2 ； g (x )是 f (x )的导函数. （1）当 a = - 1 2 时，求函数 f (x )的单调区间； （2）当 a > 0 时，求证：存在唯一的 x 0 ∈ ? - 1 , 0 ? ? ，使得 g (x 0 ) = 0 ； ? 2a ? （3）若存在实数 a , b ，使得 f (x ) ≥ b 恒成立，求 a -b 的最小值. QQ 群545423319 例7.已知函数f(x)满足满足f(x)=f'(1)e x-1-f(0)x+1x2. 2 （2）若f(x)≥1 2x2+ax+b，求(a+1)b的最大值. 例8.已知函数f(x)= -2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a，其中a>0. （1）设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性； （2）证明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立，且f(x)=0在区间(1, +∞)内有唯一解. 例9.已知函数f(x)=-2 ln x+x2-2ax+a2，其中a>0，设g(x)是f(x)的导函数. （1）讨论g(x)的单调性； （2）证明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. QQ 群545423319 例10.已知函数f(x)=a2x2-ln x+x+1，g(x)=ae x+a x+ax-2a-1，其中a∈R. （1）若a=2，求f(x)的极值点； （2）试讨论f(x)的单调性； （3）若a>0，?x∈(0,+∞)，恒有g(x)≥f'(x)，求a的最小值. 例11.已知函数f(x)= ln x-12ax2+x，a∈R. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，则求出a的取值范围；若不存在，请说明理由. 例12.设函数f(x)=e2x-a ln x. （1）讨论f(x)的导函数f'(x)的零点的个数； （2）证明：当a>0时f(x)≥2a+a ln a 2 . QQ 群545423319 例13.设函数f(x)=e x-ax-2. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，(x-k)f'(x)+x+1＞0，求k的最大值。 例14.设函数f(x)=e x-ln(x+m). （1）若x＝0是f(x)的极值点，求m＞0，并讨论f(x)的单调性； （2）当m≤2时，求证：f(x)＞0 . 例15.已知函数f(x)=e x+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2． （1）若曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为1，求实数m的值； （2）当m≥1时，证明：f(x)>g(x)-x3 . QQ 群545423319 例16.已知函数f(x)=ln x+1ax2+x+1. 2 （2）当a=0时，证明：对任意的x＞0，不等式xe x≥f(x)恒成立。 专题五极值点偏移 例1.已知函数f(x)=2 ln x+x2+x，若正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)=4， 求证: x1+x2≥2 例2.已知函数f(x)=ln x+x2+x，正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0，求证： x + x ≥ 5 -1 ． 12 2 QQ 群 545423319 例3. 已知函数 f (x ) = x e -x ． （1）求函数 f (x )的单调区间和极值； （2）已知函数 g (x )的图像与 f (x )的图像关于直线 x =1对称，证明：当 x >1时， f (x ) > g (x )； （3）如果 x 1 ≠ x 2 ，且 f (x 1 ) = f (x 2 )，证明： x 1 + x 2 > 2 ． 例4. 已知函数 f (x ) = ( x - 2 )e x + a (x -1)2 有两个零点． （1）求 a 的取值范围； （2）设 x 1 ， x 2 是 f (x )的两个零点，证明： x 1 + x 2 < 2 ． 例5. 已知函数 f (x ) = x ln x 的图像与直线 y = m 交于不同的两点 A ( x 1 , y 1 )， B (x 2 , y 2 ) ，求 证： x 1 x 2 < e 1 2 ． QQ 群545423319 例6.已知函数f(x)=ln x和g(x)=ax，若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，满足f(x1)= g (x1)， f (x2)= g (x2)， （1）求证：x1+x2>2e； （2）求证：x1x2>e2． 例7.已知函数f(x)=e x-ax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0． （1）求a的取值范围； （2）求证：x1+x2<2x0； （3）求证：x1+x2>2； （4）求证：x1x2<1． 导数压轴题处理套路 专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 - 微信公众号：中学数学研讨部落 说明：题目全来自网络和QQ群友分享，在此一并谢过 专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） 例1. 已知 （1）讨论的单调性 （2）设，求证： 例2. 已知函数，。 （1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有。 例3. 设函数 . （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m 导数压轴题处理专题讲解（上） 专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 - 专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） 例1. 已知（1）讨论的单调性 （2）设，求证：例2. 已知函数，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有 。 例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m 函数导数压轴题隐零点的处理技巧 些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的，不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论(如函数零点的存在性定理)或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1(2012年全国I卷)设函数f(x)=e x﹣ax﹣2． (1)求f(x)的单调区间； (2)若a=1，k为整数，且当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0，求k的最大值． 解析：(1)(略解)若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增； 若a＞0，则f(x)的单调减区间是(﹣∞，ln a)，增区间是(ln a，+∞)． (2)由于a=1，所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(e x﹣1)+x+1． 故当x＞0时，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0等价于k＜ 1 1 x x e + - +x(x＞0)(*)， 令g(x)= 1 1 x x e + - +x，则g′(x)= 2 (2) (1) x x x e e x e -- - ， 而函数f(x)=e x﹣x﹣2在(0，+∞)上单调递增，①f(1)＜0，f(2)＞0， 所以f(x)在(0，+∞)存在唯一的零点．故g′(x)在(0，+∞)存在唯一的零点． 设此零点为a，则a∈(1，2)．当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，+∞)时，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(a)． ③所以g(a)=a+1∈(2，3)．由于(*)式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2． 点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤： ①确定零点的存在范围(本题是由零点的存在性定理及单调性确定)； ②根据零点的意义进行代数式的替换； ③结合前两步，确定目标式的范围。导数压轴处理套路与大招(上)
导数压轴题处理专题讲解
函数导数压轴题隐零点的处理技巧
函数与导数压轴题方法归纳与总结