【精品】PPT课件 垂径定理及其推论
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《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
《垂径定理》PPT课件
弦的距离(弦心距)为d，半径为r，弧的中点
到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量中知
任意两个可求其他两个．
(2)两关系：①
a 2
2
＋d2＝r2；②h＋d＝r.
注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来
构造直角三角形
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧，如图，CD是⊙O的直径，AB 是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE＝BE， 那么可用几何语言表述为：
AE BE
CD是直径
CD⊥AB
AD BD
AC
BC
要点精析：(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可 以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
知1－讲
例1 已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥ CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
知1－练
1 [中考·温州]如图，在⊙O中，OC垂直于弦AB 于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( ) A. 3 B. 5 C. 15 D. 17
知1－练
2 【中考·广元】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点 E，则下列结论中错误的是( ) A．CE＝DE B．AE＝OE
C. BC BD
D．△OCE≌△ODE
弦，AM＝BM，OM︰OC＝3︰5，
则AB的长为( )
A．8 cm B. 91 cm
C．6 cm D．2 cm
3 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝
60°，AB＝AC＝2，则弦BC
的长为( )
垂径定理优秀课件
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
27.3(2)-垂径定理及其推论PPT课件
④
⌒⌒
AM= MB
⌒⌒
AN= NB
8
推论3:
如果一条直线是弦的垂直平分线， 那么这条直线经过圆心,并且平分这条 弦所对的弧。
2021/7/23
9
M
垂径定理推论4
O
A
③ AC=BC ④ A⌒N= N⌒B
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C B
N
①直线MN过圆心O
② MN⊥AB
10
推论4: 如果一条直线平分弦和弦所对的一
5
M
垂径定理推论2
O
C A
N
1.直线MN过圆心
4.
⌒⌒
AN= NB
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B
③②MAA⌒CNM=⊥=BM⌒ACBB
6
推论2 如果圆的直径平分弦所对的一条弧
那么这条直径垂直平分这条弦。
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7
M
垂径定理推论3
O
A
② MN⊥AB ③ AC=BC
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C B
N
①直线MN过圆心O
14
填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。
A
C
M
M D
C B
AB被点D平分.
N
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条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂 直于这条弦。
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第3课--垂径定理及其推论幻灯片课件
第3课--垂径定理及其推论
1. 如图，直径CD⊥AB，AB＝6，OE＝4，求⊙O的半径． 5
方法总结：构造由____半__径______、_____半__弦_____、____弦__心__距____ 组成的直角三角形，用_____勾__股__定__理_____求解．
2. 如图，半径OD⊥AB，弦AB＝16，CD＝4，求⊙O的半径.
∵ C为弦AB的中点， ∴ 半径OD⊥AB. ∴ AC＝1 AB＝ 1 ×10＝5. 连接 OA2，设OA＝2 OD＝x， 在Rt△OAC中，CO＝x－1， ∵ OC 2＋AC 2＝OA 2， ∴ (x－1)2＋52＝x2. ∴ x＝13. ∴ ⊙O半径为13.
6. 如图，D为»A B 的中点，⊙O半径为10，CD＝4，求AB的长． 16
菱形 提示：∵AC垂直平分OB, ∴AC⊥OB，PO＝PB. ∴PA＝PC. ∴四边形OABC为平行四边形. ∵AC⊥OB, ∴四边形OABC为菱形.
四、拓展提升
13．如图，在⊙O中，AB∥A′B′.求证 ¼ AA' B¼B'.
过O作OE⊥AB交AB于C，交A′B′于D，交⊙O于E，
∵AB∥A′B′
二、垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________， ∴________________
________________ ________________.
5. (例1)如图，C为弦AB的中点，CD＝1，AB＝10，求⊙O半径．
最大深度． 18 cm 提示：过O作OC⊥AB，垂足为C, 延长CO交⊙O于D. 在Rt△OBC中，OB＝13 cm BC＝ 1 AB＝12 cm
1. 如图，直径CD⊥AB，AB＝6，OE＝4，求⊙O的半径． 5
方法总结：构造由____半__径______、_____半__弦_____、____弦__心__距____ 组成的直角三角形，用_____勾__股__定__理_____求解．
2. 如图，半径OD⊥AB，弦AB＝16，CD＝4，求⊙O的半径.
∵ C为弦AB的中点， ∴ 半径OD⊥AB. ∴ AC＝1 AB＝ 1 ×10＝5. 连接 OA2，设OA＝2 OD＝x， 在Rt△OAC中，CO＝x－1， ∵ OC 2＋AC 2＝OA 2， ∴ (x－1)2＋52＝x2. ∴ x＝13. ∴ ⊙O半径为13.
6. 如图，D为»A B 的中点，⊙O半径为10，CD＝4，求AB的长． 16
菱形 提示：∵AC垂直平分OB, ∴AC⊥OB，PO＝PB. ∴PA＝PC. ∴四边形OABC为平行四边形. ∵AC⊥OB, ∴四边形OABC为菱形.
四、拓展提升
13．如图，在⊙O中，AB∥A′B′.求证 ¼ AA' B¼B'.
过O作OE⊥AB交AB于C，交A′B′于D，交⊙O于E，
∵AB∥A′B′
二、垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________， ∴________________
________________ ________________.
5. (例1)如图，C为弦AB的中点，CD＝1，AB＝10，求⊙O半径．
最大深度． 18 cm 提示：过O作OC⊥AB，垂足为C, 延长CO交⊙O于D. 在Rt△OBC中，OB＝13 cm BC＝ 1 AB＝12 cm
垂径定理推论ppt课件
垂径定理
C
.
O
E
A
B
D
;.
1
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径 CD平分？
C B
O
C
B O
A D
AD
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？
2
如图，AB是⊙垂O径的定一理条：弦垂，直作于直弦径的C直D，径使平C分D弦⊥，AB并，且垂足为E . （1）这个图形平是分轴弦对所称对图的形两吗条？弧如．果是，它的对称轴是什么？
C
D
B
11
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
（1）过圆心
｝
（2）垂直于弦
结论
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
12
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径,
⌒
⌒
④AC = BC,
② CD⊥AB,
⌒ ⑤ AD = BD.源自③ AM=BM, ⌒8
练一练：试 金 石
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆 心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
A
E B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
9
若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E,
Ramming foundation
C
.
O
E
A
B
D
;.
1
观察并回答
（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径 CD平分？
C B
O
C
B O
A D
AD
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？
2
如图，AB是⊙垂O径的定一理条：弦垂，直作于直弦径的C直D，径使平C分D弦⊥，AB并，且垂足为E . （1）这个图形平是分轴弦对所称对图的形两吗条？弧如．果是，它的对称轴是什么？
C
D
B
11
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
（1）过圆心
｝
（2）垂直于弦
结论
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
12
垂径定理的逆定理
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径,
⌒
⌒
④AC = BC,
② CD⊥AB,
⌒ ⑤ AD = BD.源自③ AM=BM, ⌒8
练一练：试 金 石
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆 心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
A
E B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
9
若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E,
Ramming foundation
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
垂径定理的推论PPT精品课件
【点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O 于点C，如图所示． ∵AB＝48 cm，∴BD＝12AB＝12×48＝24(cm)． ∵⊙O 的直径为 52 cm，∴OB＝OC＝26 cm. 在 Rt△ OBD 中，OD＝ OB2－BD2＝ 262－242＝10(cm)． ∴CD＝OC－OD＝26－10＝16(cm)．故选 C.
类型
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识 比较了解，已知该校学生总数为5 600人，请根据本 次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识 的学生人数．
解：5 600×204＋0060＝1 120(人)， 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为 1 120 人．
类型
(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可 能出现的结果．
【答案】 C
︵ 6．【2019·黄冈】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点 O
︵ 是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点 C 是AB的中点，点 D 是 AB 的中点，且 CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为 () A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m
【点拨】连接OD，由题意可知点O，D，C三点共线， ∵点D是AB的中点，∴OC⊥AB，AD＝DB＝20 m. 在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2， 设半径为r m，则r2＝(r－10)2＋202，解得r＝25， ∴这段弯路的半径为25 m.故选A.
3．如图，△ABC 中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以 A 为圆心 AB 为半径作⊙A，延长 BC 交⊙A 于点 D，则 CD 的长为( ) A．5 B．4 C.92 D．2 5
【点拨】如图，取BD的中点E，连接AD，AE，
∴AD＝AB＝5，DE＝BE.
垂径定理》PPT课件
A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
5 3 OO
A
4 PP B
D
练习册
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且AE=BE.
求证：CD⊥AB，且⌒ AD=BD,
⌒
A
A⌒C =⌒BC
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
A
C
·O
E B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
图形语言
C
●O
A E└
B
D
符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
《垂径定理》PPT教学课件
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
《垂径定理》课件1
通过计算或观察图像，确定函数的最值。
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度
垂径定理及其推论52331ppt课件
最新课件
6
垂径定理的推论1
② 垂直于弦 ③ 平分弦
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平 分弦所对的两条弧．
最新课件
7
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
C
O
E
A
B
D
最新课件
21
3．垂径定理的推论
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
B
D
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
最新课件
5
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ⑤ 平分弦所对的劣弧
C
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D＝B⌒D 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒C＝BC⌒
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
27.1.2 第2课时 垂径定理(课件)九年级数学下册(华东师大版)
于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线. 其实质是：过
圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或半圆，不要
漏掉了优弧 .
辨析 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请
说明为什么？
C
C
A
O
A
E
D
是
C
B
O
B
不是，因为
没有垂直
O E
O
A
E
是
B
A
B
D
不是，因为
CD 没有过圆心
归纳总结
所对的弧.
C
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
A
O
·
：
圆的两条直径是互相平分的
.
B
D
例1 如图27.1-12，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
)
D. 5
分析： 构造垂径定理的基本图形
解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、
解：如图27.1-16，连结AB，BC，分别作
AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线
的交点O即为所求圆的圆心.
垂径定理的实际应用
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
结论吗？
推导过程：
① CD 是直径
③ AE = BE
② CD⊥AB，垂足为 E
④ AC BC，AD BD
圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或半圆，不要
漏掉了优弧 .
辨析 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请
说明为什么？
C
C
A
O
A
E
D
是
C
B
O
B
不是，因为
没有垂直
O E
O
A
E
是
B
A
B
D
不是，因为
CD 没有过圆心
归纳总结
所对的弧.
C
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
A
O
·
：
圆的两条直径是互相平分的
.
B
D
例1 如图27.1-12，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
)
D. 5
分析： 构造垂径定理的基本图形
解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、
解：如图27.1-16，连结AB，BC，分别作
AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线
的交点O即为所求圆的圆心.
垂径定理的实际应用
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 AB
于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
结论吗？
推导过程：
① CD 是直径
③ AE = BE
② CD⊥AB，垂足为 E
④ AC BC，AD BD
垂径定理课件
其对称轴是 什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
新课讲授
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
AE BE
CD是直径
CD
AB于点E
AD
BD
AC BC
新课讲授
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，
则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④
OE＝BE.其中，一定正确的有( C)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
命题．
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P， 则OP的长为( C ) A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩 ，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平 地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与 水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇 圆弧形门的最高点离地面的距离是( B ) A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m
新课讲授
解：如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝
1 2
AB＝
1 2
×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
系？说一说你的理由.
新课讲授
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
AE BE
CD是直径
CD
AB于点E
AD
BD
AC BC
新课讲授
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，
则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④
OE＝BE.其中，一定正确的有( C)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
命题．
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P， 则OP的长为( C ) A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩 ，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平 地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与 水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇 圆弧形门的最高点离地面的距离是( B ) A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m
新课讲授
解：如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝
1 2
AB＝
1 2
×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.