闭区间上连续函数性质证明
闭区间上连续函数性质的证明.
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直做下去，便得到一个 闭区间套{[an , bn ]}, f ( x )在其中 任何一个闭区间[a n , bn ]上都是无界的 . 根据闭区间套定 理, 存在唯一的实数属于所有的闭区间 [an , bn ], 并且
＝ lim an lim bn
n n
因为ξ [a, b]，而f(x)在点 ξ连续，
由连续函数的局部有界 性定理，
存在M 0, 0, 对于一切x O ( , ) [a , b], 成立
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f ( x) M .
由于 lim an lim bn , 我们又可知道对于充分 大的n
n n
[an , bn ] O( , ) [a, b],
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由于 x ( y )是严格单调增加 的, 因此要不等式 x0 x x0 成立 , 只需 f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 即f ( x0 ) f ( x0 ) y y0 f ( x0 ) f ( x0 )
证明： 不妨假设 y f ( x) 在 [a, b] 是严格单增且连续的 .
我们已经证明了反函数 的存在性和单调性，现 在只 需要证明：
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1)函数 y f ( x) 的值域是 [ , ] ； 2) 反函数 x ( y) 在 [ , ] 上连续 . 证明如下
x x0
和数列极限的关系可得
lim f ( xn ) lim f ( x) f ( x0 ) .
k
k
x x0
即证明了 f ( x)有最大值，同理可证 f ( x)有最小值 .
2.8 闭区间上连续函数的性质
例3 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F (b) f (b) b 0, 由零点定理,
其他(如振荡间断点)
例8
f
(
x)
1 x2
x
x2 4 x
x2
1且x 1且x
0 ,求间断点及类型。
2
解 函数的图形如图
y
-1 0 1 2
x
图2-19
在x 0处，f ( x)无定义，且lim f ( x) x0
所以x 0是第二类无穷间断点；
在x 1处，f ( x) 1，但f (1 ) f (1 ) lim x1
(1)可去间断点：f ( x0 ) f ( x0 )
例3 讨论函数 y x2 1 在x 1处的连续性 .
x1
y
解 y x2 1 在 x 1无意义，
2
x1
x 1为间断点。但是 lim x2 1 2， 1
x1 x 1
y x2 1 x1
即 lim f ( x) 2，极限存在 x1
若 f ( x) C[a, b],
则 1 ,2 [a, b],
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x), f (2 ) f ( x).
y
y f (x)
oa
2
1 b x
注意:
(1)把“闭区间”换成“开区间”，定理不真。如: f ( x)在(0,1)内无最值，f ( x) 1 在(0,1)无界。
高数同济110闭区间上连续函数的性质
求解最值问题方法与步骤
确定函数定义域
首先明确函数f(x)的定义域，确保在求解最值问题时不会超出定义域 范围。
求导数并判断单调性
对函数f(x)求导，得到f'(x)。通过分析f'(x)的符号变化，判断函数在不 同区间的单调性。
寻找可疑点并比较函数值
可疑点包括导数为零的点、导数不存在的点和定义域的端点。将这些 可疑点代入原函数，比较函数值大小，确定最大和最小值。
判定方法与技巧
1 2 3
利用已知函数的有界性
如果已知某个函数在某个区间上是有界的，那么 可以通过这个函数来判定其他函数在该区间上是 否有界。
利用函数的单调性
如果函数在闭区间上单调增加或减少，那么可以 通过比较区间端点处的函数值来确定函数在该区 间上是否有界。
利用函数的周期性
对于周期性函数，可以通过研究其在一个周期内 的性质来判定其在整个定义域上是否有界。
03 闭区间上连续函数最值问 题
最值定理及证明过程
要点一
最值定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大 值和最小值。
要点二
证明过程
利用闭区间套定理和连续函数的局部保号性进行证明。首先， 将闭区间[a,b]等分为n个小区间，取各小区间端点处的函数 值，比较大小后得到最大和最小值。然后，不断二分有最大 （小）值的小区间，得到一个闭区间套。最后，由闭区间套 定理知，存在一个点ξ属于所有闭区间套，且f(ξ)为最大（小） 值。
性质
连续函数在定义域内的每一点都连续，且连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍是连续函数。
闭区间上连续函数特点
有界性
闭区间上的连续函数一定在该区间上 有界。
闭区间上连续函数性质的证明
闭区间上连续函数性质的证明在数学中，闭区间上的连续函数是一种十分重要的概念。
在这里，我们将证明闭区间上连续函数的一些性质。
首先，我们来定义闭区间上的连续函数。
设[a,b]是一个闭区间，f(x)是定义在[a,b]上的函数。
我们称f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，如果对于任意ε>0，存在δ>0，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε成立。
接下来，我们将证明闭区间上的连续函数具有以下性质：性质1：闭区间上的连续函数在区间内部取得最大和最小值。
证明：设f(x)是闭区间[a, b]上的连续函数。
对于任意y∈(a, b)，由连续函数的定义可知，存在δ>0，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε成立。
取δ=min(y-a, b-y)，则当，x-y，<δ时，有x∈[a, b]。
即在(y-δ, y+δ)区间内，f(x)与f(y)的差的绝对值小于ε。
由于f(x)是闭区间[a,b]上的函数，所以在[a,b]上取最小值m和最大值M。
设m=f(x1)，M=f(x2)，其中x1∈(a,b)，x2∈(a,b)。
由于x1和x2在(a,b)内，根据前面证明的结果，对于任意ε>0，存在δ1>0和δ2>0，使得当，x1-y，<δ1和，x2-y，<δ2时，有，f(x1)-f(y)，<ε和，f(x2)-f(y)，<ε成立。
取δ=min(δ1, δ2)，则当，x1-y，<δ和，x2-y，<δ时，有f(x1)-ε<f(y)<f(x1)+ε和f(x2)-ε<f(y)<f(x2)+ε。
由此可见，在区间(y-δ, y+δ)内，f(y)的取值范围完全包含在[f(x1)-ε, f(x2)+ε]内，即m-ε<f(y)<M+ε。
由于ε是任意正数，所以当ε趋近于0时，可以得到m≤f(y)≤M。
1.062__闭区间上连续函数的性质
即 3 4 2 1 0,
方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
例2 设函数 f ( x )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b ) b. 证明 (a , b ), 使得 f ( ) .
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
推论 2 零点存在定理 设函数f x 在闭区闭
a , b 上连续，且f a 与f b 异号，即 f a f b 0，那么在开区间 a , b 内至少有 函数f x 的一个零点，即至少有一点 a b ，使f 0
例如, y 1 sin x , 在[0, 2 ]上, ymax 2, ymin 0;
定理 1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定存在最大值和最小值.
即
若 f ( x ) Ca, b], 有 M f (1 ) f ( x ), m f ( 2 ) f ( x ).
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立.
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数f ( x )在[a, b]上连续, x [a , b],
有 m f ( x) M ,
取 K max{ m , M },
则有 f ( x ) K . 函数f ( x )在[a, b]上有界.
即方程 f ( x ) 0在 (a, b)内至少存在一个实根.
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点.
(整理)闭区间上连续函数的性质
§4.2 闭区间上连续函数的性质一、性质的证明定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数)(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到M >0.证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义，∈∀a [a,b]，取0ε=1，0δ∃>0,∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1即∈∀a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。
显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间{（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且∈∀x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈∀x [a,b]，∈∃i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）⋂[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。
高等数学闭区间上连续函数的性质
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得|f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ， 存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x kn =ξ. 由a ≤x kn ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x kn )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x kn )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界.最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值.证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，f 的值域f([a,b])有上确界，记为M.若对一切x ∈[a,b]都有f(x)<M. 令g(x)=f(x )-M 1, x ∈[a,b]， 则g 在[a,b]上连续且有上界. 设g 有上界G ，则 0<g(x)=f(x )-M 1<G, x ∈[a,b]，得f(x)<M-G1与M 为f([a,b])的上确界矛盾. ∴必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M ，即f 在[a,b]上有最大值.同理可证f 在[a,b]上有最小值.介值性定理：设函数f 在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=μ. 证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ, 则 g 在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.记E={x|g(x)>0, x ∈[a,b]}，则E 非空有界，E ⊂[a,b]且b ∈E ， 由确界原理，E 有下确界，记x 0=inf E.∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得 在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0， ∴x 0≠a, x 0≠b, 即x 0∈(a,b). 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，则又由局部保号性，存在U(x 0,η)⊂(a,b)， 使其内有g(x)>0，特别有g(x 0-2η)>0=>x 0-2η∈E 与x 0=inf E 矛盾， ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.证法二：(应用区间套原理)同证法一令g(x)=f(x)-μ.将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c 为所求.若g(c)>0，则记[a 1,b 1]=[a,c]，若g(c)<0，则记[a 1,b 1]=[c,b]，则g(a 1)<0,g(b 1)>0且[a 1,b 1]⊂[a,b]，b 1-a 1=21(b-a).从区间[a 1,b 1]出发，重复上述过程，得g(c 1)=0或g(a 2)<0,g(b 2)>0且[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，b 2-a 2=221(b-a). 不断重复以上过程，可得g(c n )=0或g(a n+1)<0,g(b n+1)>0且[a n+1,b n+1]⊂[a n ,b n ]，b n -a n =n 21(b-a), n=1,2,…. 即{[a n ,b n ]}是闭区间套，由区间套定理知，存在x 0∈[a n ,b n ], n=1,2,… 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，由局部保号性，存在U(x 0, δ)， 使其内有g(x)>0.又当n 充分大时，有[a n ,b n ]⊂U(x 0, δ)，∴g(a n )>0矛盾. ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.一致连续性定理：若函数f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续. 证法一：(应用有限覆盖定理)由f 在[a,b]上的连续性，任给ε>0， 对每一点x ∈[a,b]，都存在δx >0，使得当x 0∈U(x,δx )时有|f(x 0)-f(x)|<2ε. 令H={U(x,2δx )|x ∈[a,b]}，则H 是[a,b]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集H ’={U(x i ,2δi )|i=1,2,…,k}， H ’覆盖了[a,b]. 记δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2δmin i k i 1>0. 对任何x 1,x 2∈[a,b]，|x 2-x 1|<δ. x 1必属于H ’的某个开区间U(x i ,2δi )，即|x 1-x i |<2δi ，则有 |x 2-x i |≤|x 2-x 1|+|x 1-x i |<δ+2δi ≤2δi +2δi =δi ， 又|f(x 1)-f(x i )|<2ε, |f(x 2)-f(x i )|<2ε, 有|f(x 2)-f(x 1)|< ε.∴f 在[a,b]上一致连续.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上不一致连续，则存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x ’,x ”∈[a,b]， 尽管|x ”-x ’|<δ, 但有|f(x ”)-f(x ’)|≥ε0.令δ=n 1(n 为正整数)，与它相应的两点记为x ’n ,x ”n ∈[a,b]， 尽管|x ’n -x ”n |<n1, 但有|f(x ’n )-f(x ”n )|≥ε0.当n=1,2,…时，可得数列{x ’n }与{x ”n }⊂[a,b].由致密性定理，存在{x ’n }的收敛子列{x ’k n }，设x ’k n →x 0∈[a,b](k →∞)， 由|x ’k n -x ”k n |<kn 1=>| x ”k n -x 0|≤| x ”k n - x ’k n |+| x ”k n -x 0|→0(k →∞)，得 x ”kn →x 0(k →∞)，又由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得：0=|f(x 0)-f(x 0)|=∞→k lim |f(x ’k n )-f(x ”kn )|≥ε0，与ε0>0矛盾， ∴f 在[a,b]上一致连续.习题1、设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值. 证：设f 的周期为T ，∵f 在[0,T]上连续，∴有最大值f(M)和最小值f(m)， M,m ∈[0,T]. 任给x ∈R ，则存在某整数k ，使x ∈[kT,(k+1)T]， ∴x-kT ∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，∴f(M)=R x max ∈{f(x)}, f(m)=Rx min ∈{f(x)}，即 f 在R 上有最大值f(M)与最小值f(m).2、设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界，举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证：设区间I 的左右端点为a,b. ∵f 在I 上一致连续，∴对ε=1， 存在δ>0，不妨取δ<2a -b , 当|x ’-x ”|<δ(x ’,x ”∈I)时，有|f(x ’)-f(x ”)|<1. 令a 1=a+2δ, b 1=b-2δ, 则a<a 1<b 1<b.∵f 在[a 1,b 1]上连续，∴f 在[a 1,b 1]上有界，设|f(x)|≤M 1, x ∈[a 1,b 1]. 当x ∈[a,a 1)∩I 时，∵0<a 1-x<2δ<δ，∴|f(x)-f(a 1)|<1, 有|f(x)|<|f(a 1)|+1. 同理当x ∈(b 1,b]∩I 时，有|f(x)|<|f(b 1)|+1.令M=max{M 1,|f(a 1)|+1,|f(b 1)|+1}，则对一切x ∈I ，必有|f(x)|≤M. ∴f 在有限区间I 上有界.例证：y=x 2, x ∈R 一致连续，但∞→x lim x 2=+∞无界.3、证明：f(x)=x sinx 在(0,+∞)上一致连续. 证：∵∞→x lim xsinx =0，由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M 1>0，使 当x ’,x ”>M 1时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε. 又∵0x lim →xsinx =1，同理可知， 存在M 2>0，使当0<x ’,x ”<M 2时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε.将(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M 2],[2M 2,M 1+2M 2]和[M 1,+∞). ∵f 在[2M 2,M 1+2M 2]连续，∴f 在[2M 2,M 1+2M 2]一致连续. 从而必存在δ>0(δ<2M 2)，当x ’,x ”∈[2M 2,M 1+2M 2]且|x ’-x ”|<δ时，有 |f(x ’)-f(x ”)|<ε. 于是对一切x ’,x ”∈(0,+∞)，当|x ’-x ”|<δ时， x ’,x ”必属于上述区间之一，且都有|f(x ’)-f(x ”)|<ε，∴f 在(0,+∞)上一致连续.4、试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.证：设f在[a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，不妨设f(a)<0, f(b)>0.若在(a,b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a,b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a,b]，有f(x)≠0. 由f的连续性，对每一个x∈[a,b]，存在δx >0，使得f在U(x,δx)∩[a,b]上同号，而H={(x,δx)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖，由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域H’={(x j,δj)|x j∈[a,b], j=1,2,…,n}覆盖[a,b]，设a∈(x k,δn)(k为1,2,…,n中某一个值)，则f(x)<0, x∈(x k,δk n)∩[a,b].k又∵H’覆盖了[a,b]，∴恒有f(x)<0, x∈[a,b]，即f(b)<0矛盾.∴在(a,b)内f(x)=0至少有一个根. 根的存在性定理得证.5、证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证：[必要性]设f在[a,b]一致连续，则对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，则有当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值，同理可证f(b-0)存在且为有限值.[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴f在[a,b]一致连续.。
第08讲 闭区间上连续函数的性质
a
,则对于 x1 , x2 (,) ,
总有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 故 f ( x) ax b在(,) 上一致连续．
1 例4 f ( x) 在(0,1]上连续 , 却不一致连续 x 1 证明 因为 f x 在 (0,1] 上为初等函数,故连续 x
从而二者矛盾 f ( x)在(0,1]上不一致 连续．
一致连续定理
a, b 上连续， 若 f x 在闭区间 则它在该区间上
必定一致连续．
证明(略)
小结：
理解应用最值定理,有界性定理
熟练应用介值定理,零点定理
了解一致连续的概念和有关定理
作业：
第91页习题1-11： 1，2，3，4
设 f ( x)在[a, b]上c.t.且f (a) f (b) 0 （即两端
点函数值异号）：则在(a, b) 内至少存在一点 ，
使得 f 0 （至少有一个零点）．
★注意：
条件为闭区间，结论为开区 间．
几何解释：
x 若曲线 y f ( x) 的两个端点位于 轴有两侧， x 轴至少有一交点 则该曲线与 （或者说方程f ( x) 0
结论： ●最值点不唯一 ●最大值与最小值可以相等 ●最值点可以是边界点，间断点等
如：
1． f ( x) 1 sin x 有最大值 2，最小值 0；
2． y sgn x 有最大值 1，最小值 1 ； （不唯一）
3 y x 3． 在区间 [0,2] 上有最大值 8，最小值 0；
（边界点） 1 sin 4． y x 2
则 F 0 f 0 f a ，
F a f a f 2a f a f 0
高数D110闭区间上连续函数的性质
注意事项
最大值和最小值定理同样仅适用于闭区间上的连续函数。
零点存在性定理（介值定理）
1 2
零点存在性定理（介值定理）
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异 号，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。
应用题
通过例题讲解如何利用闭区间上连续函数的性质解决 实际应用问题。
解题思路和方法总结
01
利用闭区间上连续函数的性质，结合函数的单调性、极值等知 识点进行解题。
02
善于利用反证法、构造法等数学方法进行证明。
注意将实际问题抽象为数学模型，再运用闭区间上连续函数的
03
性质进行求解。
易错点剖析及注意事项
利用已知结论
在证明过程中，可以引用已经证明过的结论或者定理来简化证明过程。但是需要注意引用的结论 必须是正确的，并且需要明确说明引用的来源和依据。
06 闭区间上连续函数相关练 习题解答与讨论
典型例题分类讲解
求最值问题
通过例题讲解如何利用闭区间上连续函数的性质求最 值。
证明题
通过例题讲解如何利用闭区间上连续函数的性质进行 证明。
在证明不等式时，反证法 常常是一种有效的手段， 通过假设不等式不成立， 推导得到矛盾。
应用举例
例如，证明闭区间上连续 函数的最大值和最小值定 理时，可以采用反证法。
归纳法在序列问题中运用
归纳法思想
通过证明某个命题在n=1时成立，并假设在n=k时成立， 进而证明在n=k+1时也成立，从而得到该命题对所有正整 数n都成立。
收益最大化
类似地，连续函数也可用于描述收益与销售量之间的关系。通过求解函数在闭区间上的最大值点，可 以确定最优销售策略，实现收益最大化。
闭区间上连续函数的性质
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如 函数f(x)x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
1
（六）初等函数的连续性 结论： 初等函数在其定义区间上是连续的。
二.闭区间上连续函数的性质 1.有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
[证 ]
构造辅助函数
令 g( x ) f ( x )
则 g( x ) C[a, b], g(a ) g(b) 0
运用零点定理, 知存在 x (a, b), 使满足
g(x ) 0
f (x )
[例] 设f ( x ) C[0,1], 且满足0 f ( x ) 1，
二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么 在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)0
定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于 f(a)与f(b)f(x)C >>>
5 7 16 lim f ( x ) lim ( ) x 1 x 1 x 1 x2 x3 5 7 16 lim f ( x ) lim ( ) x 2 x 2 x 1 x2 x3
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法一、新方法本文将利用关于函数连续性的库尔斯博引理证明闭区间上连续函数的有界性。
假设函数f在闭区间$[a,b]$上连续，要证明f在$[a,b]$上有最小$f_{min}$及最大$f_{max}$，使得$\forall x \in [a,b]$，都有$f_{min}\leqslant f(x)\leqslant f_{max}$。
证明：（1）首先，我们证明$\exists f_{min}$使得$\forall x \in [a,b]$，都有$f(x)\geqslant f_{min}$：根据库尔斯博引理，由于函数f在$[a,b]$上连续，则f在$[a,b]$上有最小值$f_{min}$。
为了证明每个$x \in [a,b]$，都有$f_{min}\leqslant f(x)$，即为：证明$\forall x \in [a,b]$，都有$f(x)\geqslant f_{min}$：令$M_1=f_{min}$，它是函数f在端点$a$及$b$上的取值，则有$M_1\leqslant f(x)$；由于函数f在闭区间$[a,b]$上连续，则可以定义函数$M(x)=M_1$，使得$M(x)\leqslant f(x)$，其中$x \in [a,b]$，即证明了$\forall x \in [a,b]$，都有$f(x)\geqslant f_{min}$；（2）其次，我们证明$\exists f_{max}$使得$\forall x \in [a,b]$，都有$f(x)\leqslant f_{max}$：同（1），根据库尔斯博引理，由于函数f在$[a,b]$上连续，则f在$[a,b]$上有最大值$f_{max}$；令$M_2=f_{max}$，它是函数f在端点$a$及$b$上的取值，则有$f(x)\leqslant M_2$；由于函数f在闭区间$[a,b]$上连续，则可以定义函数$M(x)=M_2$，使得$f(x)\leqslant M(x)$，其中$x \in [a,b]$，即证明了$\forall x \in [a,b]$。
10闭区间连续函数
m f ( x3 ) M 3m f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) 3 M
1 m [ f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 )] M 3
所以 在[ x1 , x3 ]内至少存在一点 , 使
3 2
即 3 4 2 1 0,
方程x 4 x 1 0在(0,1)内至少有一根 .
例2 设函数 f ( x )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b ) b. 证明 (a , b ), 使得 f ( ) .
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
例如, y 1 sin x , 在[0,2]上, ymax 2, ymin 0;
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1; 在(0,)上, ymax ymin 1.
定理1(最大值和最小值定理)
f ( x )在[a, b]上 连续 ， 则f ( x )在[a, b]上 有界 且有 最 大、 最 值 小.
证明 在[ x1 , x3 ]内至少存在一点 ，使
证
1 f ( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 )] 3 f ( x )在[a, b]上连续， f ( x )在[ x1 , x3 ]上连续，
f ( x )在[ x1 , x3 ]上必有最大值 M与最小值m
直线 y C至少有一个交点 .
例1
证明方程 x 3 4 x 2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
证
令 f ( x ) x 3 4 x 2 1,
闭区间连续函数的性质
闭区间连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
1、有界性
所谓有界就是指，存有一个正数m，使对于任一x∈[a,b]，都存有|f(x)|≤m。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
2、最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。
最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反
向即可。
3、多值性
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值a、b异号时（此时存有0在a和
b之间），在开区间(a,b)上必存有至少一点ξ，并使f(ξ)=0。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
闭区间上的连续函数在该区间上一致已连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间i上任
意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在i上是一致连续的。
对于连续性，在自然界中存有bai许多现象，例如气温du的变化，植物的`生长等都
就是已连续地zhi变化着的。
这种现象在函dao数关系上的充分反映，就是函数的连续性。
直观地说道，如果一个函数的图像你可以一笔画出，整个过程不必抬笔，那么这个函数就
是已连续的。
高数闭区间上连续函数的性质
反证法
总结词
通过假设与已知条件矛盾的结论，推 导出矛盾，从而证明原命题。
详细描述
首先假设与已知条件矛盾的结论，即 假设函数在某点不连续。然后根据连 续函数的性质和已知条件，推导出与 假设矛盾的结论。最后得出原命题的 正确性。
归纳法
总结词
通过归纳推理的方法，将无限个特殊情 况归结为一个一般性的结论。
04
闭区间上连续函数的证明方法
定义证明法
总结词
通过直接使用连续函数的定义，对函数在闭区间上的 任意两点进行证明。
详细描述
首先明确连续函数的定义，即在闭区间上，对于任意一 点$x_0$，如果$x_0$是闭区间的内点，则对于任意小的 正数$epsilon$，存在相应的正数$delta$，使得当$|x x_0| < delta$时，有$|f(x) - f(x_0)| < epsilon$。然后 根据这个定义，选取闭区间内的任意两点$x_1$和$x_2$， 证明$f(x)$在$x_1$和$x_2$之间的连续性。
解方程的根时非常有用。
03
闭区间上连续函数的应用
利用连续函数求解微分方程
微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，而连续函数是微分方程的解的必要条件。通过利用闭区 间上连续函数的性质，我们可以求解各种微分方程，如线性微分方程、非线性微分方程和常微分方程 等。
例如，对于一阶线性微分方程，我们可以利用连续函数的积分性质和微分性质，通过求解方程的积分 形式来找到其解。
利用连续函数研究函数的极值问题
极值问题是数学中的一个重要问题，它涉及到函数在某一点 或某个区间上的最大值和最小值。利用闭区间上连续函数的 性质，我们可以研究函数的极值问题，并找到函数的最值。
例如，利用连续函数的极值定理，我们知道如果函数在某点的 导数为0，则该点可能是函数的极值点。然后，我们可以进一步 利用二阶导数性质来判断该点是否为极大值或极小值点，并求 出该点的函数值。
7.2闭区间上连续函数性质的证明
［证法二］（应用致密性定理）
用反证法． 倘若 f 在 [a, b]上不一致连续，
则存在某 0 0, 对任何 0,都存在相应的两点 x, x [a, b],
尽管 x x , 但有 f ( x) f ( x) 0 .
令
1（n
n
为正整数），与它相应的两点记为
考虑开区间集 H U( x; x ) x [a, b], 显然 H是 a,b 的
一个无限开覆盖,由有限覆盖定理,存在 H的一个有限子集
H U(xi;i ) xi [a,b],i 1,2,, k
覆盖了 a, b ,且存在正数 M1, M2 ,, Mk ,使得对一切
当 g(c) 0时,记[a1, b1] [a, c],当 g(c) 0 时，记 [a1, b1] [c, b],
于是有
g(a1)
0,
g(b1 )
0,
且
[a1, b1] [a, b], b1
a1
1 2
(b
a),
再从区间 [a1, b1]出发，重复上述过程，得到：
或者在[a1, b1]的中点 c1上有 g(c1 ) 0,
这个简化的情形称为根的存在性定理（定理4.7的推论）.
记 E x g( x) 0, x [a, b]，显然 E为非空有界数集（E [a,b]且b E）, ．
故由确界原理，E有下确界，记 x0 inf E.
因 ga 0, g(b) 0,由连续函数的局部保号性， 存在 0 使得在 a, a 内 g(x) 0, 在 b , b 内 g( x) 0.
同时由
xn xn
闭区间连续函数的性质
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
高数课件第一章第十节 闭区间连续函数的性质
证: 设
由定理 1 可知有 (有界性定理 )
M
?
max
x? [a, b ]
f
(x)
,m
?
min
x? [a , b]
f
(x)
y
M y ? f (x)
取 K ? max{ m , M }, 有 f (x) ? K .
上有界 .
m
o a?1 ?2 b x
若 x0使f (x0 ) ? 0, 则称 x0 为 f (x) 的零点 .
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性
一、最值定理
定义：设 f (x) 在区间 I 上有定义，如果存在
x0 ? I, 使得 ? x ? I,都有
f (x) ? f (x0 ) (或 f (x) ? f (x0 ) )
则称 f ( x0 )为 f (x) 在 I 上的最大值（或最小值）
提示：
?? 1, x ? 0
? g(x) ? 1? x2 f ( x ) ? sgn x ? ??0, x ? 0
??1, x ? 0
? f [g(x)] ? sgn(1? x2 ) ? 1
f [g( x )] 在(?? ,?? )上处处连续
g[
f
(x)]
?
1?
?sgn
x?2?
? 2, ??1,
x?0 x?0
在[0, ? ? )上的最大值为1, 最小值为0.
而在(0, ? ? )上的最大值和最小值都为1.
? 最大值和最小值与所考虑的区间有关。
再如 y ? x ?1 , I ? (0 , 1)
y 2
在 ( 0 , 1 ) 上即无最大值，又无最小值 ? 函数在一个区间上不一定有
7.2闭区间上连续函数性质的证明
§7.2 闭区间上连续函数性质的证明教学目标：证明闭区间上的连续函数性质．教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性． 教学建议：(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明,对较好学生可布置这方面的习题． 教学过程：在本节中,将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章2中给出的闭区间上连续函数的基本性质.一、有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续,则f 在[]b a ,上有界证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107.证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.证明 如若不然,)(x f 在],[b a 上无界,∈∀n N ,],[b a x n ∈∃,使得n x f n >|)(|,对于序列}{n x ,它有上下界b x a n ≤≤,致密性定理告诉我们k n x ∃使得],[0b a x x k n ∈→,由)(x f 在0x 连续,及k n n x f k >|)(|有+∞==∞→|)(|lim |)(|0k n k x f x f ,矛盾.证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 参阅[1]P168—169证明 （应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（th4.2）对每一点[]b a x ,'∈都存在邻域()x x '',δ ⋃及正数'x M使()()[]b a x x M x f x x ,,'''⋂⋃∈≤δ考虑开区间集()(){}b a x x H x ,,'''∈⋃=δ虽然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖,由有限开覆盖定理,存在H 的一个有限点集()[]{}k i b a x x H i i i ,,2,1,, =∈⋃=*δ覆盖了[]b a ,,且存在正整数,,,21k M M M 使对一切()[]b a x x i i ,,⋂⋃∈δ有()k i M x f i ,,2,1, =≤,令ki iM M ≤≤=1m ax则对[]b a x ,∈∀,x 必属于某()()M M x f x i i i ≤≤⇒δ, ,即证f 在[]b a ,上有上界． 二、最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ )(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 令)}({sup x f M bx a ≤≤=,+∞<M , 如果)(x f 达不到M ,则恒有M x f <)(.考虑函数)(1)(x f M x -=ϕ,则],[)(b a C x ∈ϕ,因而有界,即)0()(>≤μμϕx , 从而MM x f <-≤μ1)(,这与M 是上确界矛盾,因此],[b a x ∈∃,使得M x f =)(.类似地可以证明达到下确界.三、介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 （零点存在定理或根的存在性定理）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续即]),([)(b a C x f ∈且)(a f 与)(b f 异号（)(a f 0)(<b f ）,则在),(b a 内存在一点0x 使得 0)(0=x f .即方程0)(=x f 在),(b a 内至少存在一个实根.证法 一 ( 用区间套定理 ) .设0)(<a f ,0)(>b f .将],[b a 二等分为],[c a 、],[b c ,若0)(=c f 则c x =0即为所求；若0)(≠c f ,当0)(>c f 时取],[c a 否则取],[b c 为],[11b a ,有0)(1<a f ，0)(1>b f .如此继续,如某一次中点i c 有0)(=i c f 终止（i c 即为所求）；否则得]},{[n n b a 满足：⑴⊃⊃⊃⊃],[],[],[11n n b a b a b a ；⑵ 02lim)(lim =-=-∞→∞→nn n n n ab a b ；⑶)(,0)(><n n b f a f由闭区间套定理知,∃唯一的],[10n n n b a x ∞=∈ ,且=∞→n n a lim 0lim x b n n =∞→由)(x f 在0x处的连续性及极限的保号性得)()(lim 0≤=∞→x f a f n n 、0lim ()()0n n f b f x →∞=≥0)(0=⇒x f #证二( 用确界原理 ) 不妨假设0)(<a f （从图1看,0x是使得0)(>x f 的x 的下确界）,令]},[,0)(|{b a x x f x E ∈>=,要证E x inf 0=（E inf 存在否？）.因为Φ≠⇒∈E E b ,],[b a E ⊂E ⇒有界,故E inf 存在.令 Ex inf 0=,下面证0)(0=x f如若不然,)(0≠x f 则)(0>x f （或)(0<x f ）（从图形上可清楚看出,此时必存在1x x <使0)(1>x f ）.首先ax ≠0,即],(0b a x ∈；f 在0x连续,由连续函数的局部保号性],[),(0b a x U ⊂∃⇒δ使得),(0δx U x ∈∀有0)(>x f ,特别应有0)2(0>-δx f 即 E x ∈-20δ,这与E x inf 0=矛盾,故必有0)(0=x f .证法 二 ( 用确界原理 ) 不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ, 有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取n x >ξ 且n x ) ( ,∞→→n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f , ⇒ 0)(l i m )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f , ⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf .证法 三 ( 用有限复盖定理 ).介值性定理 设f 在闭区间[]b a ,上连续,且()()()()b f a f b f a f 与为介于若μ≠之间的任何实数()()b f a f <<μ或()()b f a f >>μ,则存在()b a x ,∈ 使()μ= x f ．证明 (应用确界定理) 不妨设()()()()μμ-=<<x f x g b f a f 令 则g 也是[]b a ,上连续函数,()()0,0>>b g a g ,于是定理的结论转为:()()0,,=∈∃ x g b a x 使这个简化的情形称为根的存在性定理(th4.7的推论)记()[]{}b a x x g x E ,,0∈>=显然E 为非空有界数集[]()E b b a E ∈⊂且,故有确界定理, E 有下确界,记()()0,0inf ><=b g a g E x 因 有连续函数的局部保号性, 0>∃δ,使在),[δ+a a 内0)(<x g ,在),(δ-b b 内0)(>x g ．由此易见a x ≠ ,b x ≠ ,即()b a x ,∈ ．下证()0= x g ．倘若()0≠ x g ,不妨设()0> x g ,则又由局部保号性,存在()()()b a x ,,⊂η 使在其内)0(>x g ,特别有Ex x g ∈-⇒>⎪⎭⎫ ⎝⎛-202ηη =0,但此与E x inf = 矛盾,则必有0)(0=x g ．几何解释 直线c y =与曲线)(x f y =相交.把x 轴平移到c y =,则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数,把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？① 从几何上,c y y x x -='=',启示我们作c x f x F -=)()(； ② 从结果cx f =)(0着手.利用零点定理证：令c x f x F -=)()(,则]),([)(b a C x F ∈,往下即转化为零点存在问题. # 这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊,最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法,以后会经常用到.推论 如f 为区间I 上的连续函数,则值域)(I f J =也是一个区间（可以退化为一点）. 证 f 为常量函数,则)(I f J =退化为一点.f 非常量函数,则J 当然不是单点集.在J 中任取两点21y y <（只要证J y y ⊂],[21）,则在I 中必有两点1x ,2x 使得11)(y x f =,22)(y x f =.于是对21y y y <<∀,必存在x ,x 介于1x 与2x 之间,使y x f =)(,即J y ∈因而J y y ⊂],[21⇒J 是一个区间.二、一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 ) ],[)(b a C x f ∈, 则)(x f 在],[b a 上一致连续.证法 一 ( 用有限复盖定理 ) 参阅[1]P171[ 证法一 ]证明 (用有限覆盖定理) 由f 在闭区间[]b a ,上连续性,0>∀ε,对每一点[]b a x ,∈,都存在0>x δ,使当()x x x δ,'∈时,有()()2'ε<-x f x f考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x H x ,2,δ 显然H 是[]b a ,的一个开覆盖,由有限覆盖定理H ∃的一个有限子集[]02min ,,,2,12,>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*i i i b a k i x H δδδ记覆盖了对[]δ<-∈∀"'"',,x x b a x x ,x '必属于*H 中某开区间,设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,'i i x x δ ,即2'ii x x δ<-,此时有iiiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-+-≤-222''""故有（2）式同时有()()()()22"'εε<-<-i i x f x f x f x f 和由此得 ()()[]上一致连续在b a f x f x f i ,'∴<-ε.证法 二 ( 用致密性定理). 参阅[1]P171—172 [ 证法二 ]证明 如果不然,)(x f 在],[b a 上不一致连续,00>∃ε,0>∀δ,],[,b a x x ∈'''∃,δ<''-'||x x ,而0|)()(|ε≥''-'x f x f .取n 1=δ,],[,b a x x n n∈'''∃,n x x n n 1||<''-',而0|)()(|ε≥''-'n n x f x f ,由致密性定理,存在子序列],[0b a x x k n∈→',而由k n nn x x k k 1||<''-',也有0x x k n→''. 再由)(x f 在0x 连续,在0|)()(|ε≥''-'k k n n x f x f 中令∞→k ,得000|)()(|lim |)()(|0ε≥''-'=-=∞→k k n nk x f x f x f x f ,矛盾.所以)(x f 在],[b a 上一致连续.推广 ),()(b a C x f ∈,()f a +,()f b -∃⇒)(x f 在),(b a 上一致连续. 作业 [1]P172 1,2 3,4, 5*；P176 1,2,4.。
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§2 闭区间上连续函数性质的证明教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。
重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。
教学方法：讲练结合。
在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．证 [证法一](应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ 考虑开区间集 []{}b a x x U H x ,);(∈''='δ,显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有().,,2,1,k i M x f i =≤ 令 ,m a x 1i ki M M ≤≤=则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤⇒δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． [证法二](应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,⊂．由致密性定理，它含有收敛子列{}k n x ，记ξ=∞→k n k x lim 。
由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得()()+∞<=∞→ξf x f k n k lim另一方面，由n x 的选取方法又有()()+∞=⇒+∞→≥>∞→k k n k k n x f k n x f lim与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界. 最大、最小值定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值．证 (应用确界原理) 已证f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ．倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f <．令()],[,)(1b a x x f M x g ∈-=易见g 在[]b a ,连续,故g 在[]b a ,有上界.设G 是g 的一个上界,则()],[,)(10b a x x f M x g ∈-=<从而推得()],[,1b a x GM x f ∈-≤ 但这与M 为[]()b a f ,的上确界矛盾.故必存在[]b a ,∈ξ,使()M f =ξ,即f 在[]b a ,上有最大值,同理可证f 在[]b a ,上有最小值.介值性定理 设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()()b f a f ≠.若μ为介于()()b f a f 与之间的任何实数,则存在()b a x ,0∈，使得()μ=0x f证[证法一](应用确界原理) 不妨设 ()()b f a f <<μ．令 ()x g = ()μ-x f ，则g 也是 []b a ,上的连续函数，且(),0<a g ().0>b g 于是定理的结论转化为：存在()b a x ,0∈，使得()00=x g ．这个简化的情形称为根的存在性定理．记()[]{}b a x x g ,,0∈>=E ．显然E 为非空有界数集([]b a ,⊂E 且E ∈b )，故由确界原理，E 有下确界，记E =inf 0x ．因()()0,0><b g a g ，由连续函数的局部保号性，存在0>δ，使得在[)δ+a a ,内()0<x g ，在(]b b ,δ-内()0>x g ，由此易见b x a x ≠≠00,，即()b a x ,0∈．下证()00=x g ．倘若()00≠x g ，不妨设()00>x g ，则又由局部保号性，存在()()()b a x U ,;0⊂η，使在其内()0>x g ，特别有E ∈-⇒>⎪⎭⎫⎝⎛-20200ηηx x g ．但这与E =inf 0x 正相矛盾，故必有()00=x g ．[证法二](应用区间套定理) 同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数g 在[]b a ,上连续，()()0,0><b g a g ，则存在()b a x ,0∈，使得()00=x g ．将[]b a ,等分为两个子区间[]c a ,与[]c b ,．若()0=c g ，则c 即为所求；若()0≠c g ，则当()0>c g 时记[][]c a b a ,,11=，当()0<c g 时记[][]b c b a ,,11=。
于是有()()0,011><b g a g ，且[][]()a b ab b a b a -=-⊂21,,,1111． 再从区间[]11,b a 出发，重复上述过程，得到：或者在[]11,b a 的中点1c 上有()01=c g ，或者有闭区间[]22,b a ，满足()()0,022><b g a g ，且[][]()a b a b b a b a -=-⊂222112221,,, 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形： (1) 在某一区间的中点i c 上有()0=i c g ，则i c 即为所求；(2) 在任一区间的中点i c 上均有()0≠i c g ，则得到闭区间列[]{},,n n b a 满足()()0,0><n n b g a g ，且[][]() ,2,1,21,,,11=-=-⊂++n a b a b b a b a n n n n n n n . 由区间套定理，存在点[].,2,1,,0 =∈n b a x n n 下证．()00=x g ，倘若()00≠x g ，不妨设()00>x g ，则由局部保号性，存在(),;0δx U 使在其内有()0>x g ．而由定理7.1的推论，当n 充分大时有[]()δ;,0x U b a n n ⊂，因而有()0>n a g ．但这与[]n n b a ,选取时应满足的()0<n a g 相矛盾，故必有()00=x g一致连续性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续．证[证法一](应用有限覆盖定理) 由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对每一点[]b a x ,∈，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有 ()()2ε<-'x f x f . (2)考虑开区间集合 []⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=H b a x x U x ,2,δ显然H 是[]b a ,的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛=H k i x U i i ,,2,12,*δ 覆盖了[]b a ,．记02min 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i k i δδ 对任何x ',[]b a x ,∈'',δ<''-'x x ,x '必属于*H 中某开区间,设⎪⎭⎫⎝⎛∈'2;i i x U x δ即2i i x x δ<-'.此时有i iiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-'+'-''≤-''222故由(2)式同时有()()2ε<-'i x f x f 和 ()()2ε<-''i x f x f由此得()()ε<''-'x f x f .所以f 在[]b a ,上一致连续.[证法二](应用致密性定理) 用反证法.倘若f 在[]b a ,上不一致连续,则存在某00>ε,对任何0>δ,都存在相应的两点x ',[]b a x ,∈'',尽管δ<''-'x x ,但有()()0ε≥''-'x f x f . 令n1=δ (n 为正整数)，与它相应的两点记为[]b a x x n n,,∈'''，尽管n x x 1<''-',但有 ()()0ε≥''-'n nx f x f . (3) 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}[]b a x n ,⊂''．由致密性定理，存在{}n x '的收敛子列{}k n x '，设[]()∞→∈→'k b a x x k n,0．同时由 ()∞→→-'+'-''≤-''⇒<''-'k x x x x x x n x x k k k k k k n n n nkn n0100又得()∞→→''k x x k n0。
最后，由(3)式有 ()()0ε≥''-'k k n nx f x f ， 在上式中令 +∞→k ，由 f 的连续性及数列极限的保不等式性，得到()()∞→=-=k x f x f l i m 000()()0ε≥''-'k k n nx f x f ， 这与00>ε相矛盾．所以f 在[]b a ,上一致连续．。