同济高等数学(第6版)习题答案7-4
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习题7-4
1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形:
(1)⎩⎨⎧==2
1y x ;
(2)⎩⎨⎧=---=0
422y x y x z ;
(3) ⎩⎨⎧=+=+222222a
z x a y x .
2. 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形:
(1)⎩
⎨⎧-=+=3215x y x y ; 解 在平面解析几何中, ⎩
⎨⎧-=+=3215x y x y 表示直线y =5x +1与y =2x -3的交点)317 ,34(--; 在空间解析几何中, ⎩
⎨⎧-=+=3215x y x y 表示平面y =5x +1与平面y =2x -3的交线, 它过点)0 ,3
17 ,34(--, 并且行于z 轴.
(2)⎪⎩⎪⎨⎧==+3
19422y y x . 解 在平面解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+3
19422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y =3的交点(0, 3); 在空间解析几何中, ⎪⎩⎪⎨⎧==+3
19422y y x 表示椭圆柱面19
422=+y x 与其切平面y =3的交线. 3. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线
⎩
⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 解 把方程组中的x 消去得方程3y 2-z 2=16, 这就是母线平行
于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0
162222222y z x z y x 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 2+2z 2=16, 这就是母线平行于
y 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0
162222222y z x z y x 的柱面方程. 4. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.
解 由x +z =1得z =1-x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 2-2x +y 2=8, 这是母线平行于z 轴, 准线为球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程, 于是所求的投影方程为
⎩
⎨⎧==+-082222z y x x . 5. 将下列曲线的一般方程化为参数方程:
(1)⎩⎨⎧==++x
y z y x 9222 ; 解 将y =x 代入x 2+y 2+z 2=9得2x 2+z 2
=9, 即13
)2
3(2222=+z x . 令t x cos 23=, 则z =3sin t . 故所求参数方程为
t x cos 23=, t y cos 2
3=, z =3sin t . (2)⎩⎨⎧==+++-0
4)1()1(222z z y x . 解 将z =0代入(x -1)2+y 2+(z +1)2=4得(x -1)2+y 2=3. 令t x cos 31+=, 则t y sin 3=. 于是所求参数方程为
t x cos 31+=, t y sin 3=, z =0.
6. 求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θ
θθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角
坐标方程.
解 由前两个方程得x 2+y 2=a 2, 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为
⎩
⎨⎧==+0222z a y x . 由第三个方程得b
z =θ代入第一个方程得 b
z a x cos =, 即a x b z arccos =, 于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为
⎪⎩⎪⎨⎧==0
arccos y a x b z . 由第三个方程得b
z =θ代入第二个方程得 b z a y sin =, 即a
y b z arcsin =, 于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为
⎪⎩
⎪⎨⎧==a y b z x arcsin 0.
7. 求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体x 2+y 2≤ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.
解 所围立体在xOy 面上的投影与圆柱体在xOy 面上的投影相同, 即为xOy 面上的圆盘
x 2+y 2-ax ≤0,
也就是 ⎩⎨⎧=≤+0
22z ax y x . 在zOx 面上的投影为4
1圆盘, 即 ⎩⎨⎧=≤+0
222y a z x .
8. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在三坐标面上的投影. 解 令z =4得x 2+y 2=4, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在xOy 面上的投影为x 2+y 2≤4.
令x =0得z =y 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在yOz 面上的投影为y 2≤z ≤4.
令y =0得z =x 2, 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0≤z ≤4)在zOx 面上的投影为x 2≤z ≤4.