含参量反常积分的一致收敛性的判别方法

学号：***********

学年论文（本科）

学院数学与信息科学学院

专业数学与应用数学

年级2011级

姓名蒋丽

论文题目含参量反常积分的一致收敛性的判别方法

指导教师胡旺职称教授

成绩

2014年 3月14日

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

前言 (1)

1.定义 (3)

2.含参量反常积分一致收敛性的判别法 (3)

结束语 (7)

参考文献 (7)

含参量反常积分的一致收敛性的判别方法

学生姓名:蒋丽 学号：20115031005 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：胡旺 职称： 教授

摘 要: 本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,叙述

了含参量反常积分的一致收敛性的四种判别法,并且给出了一些例子.

关键词: 区域;收敛;一致收敛

The judgement methods of uniform convergence on

improper integrals with paramer

Abstract :This article summarizs four kinds of judgement methods of uniform convergence on

improper integrals with paramer according to the definitions of improper integrals with aramer and uniform convergence on improper integrals,and give some examples. Key Words : region; convergence; uniform convergence

前言

含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M 判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点.

1.定义

定义1 设函数()y x f ,定义在无界区域{}(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分

(),c

f x y dy +∞

⎰

(1)

都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(),c

I x f x y dy +∞

=

⎰

，[],x a b ∈, (2)

称式(1)为定义在[],a b 上的含参量x 的无穷反常积分,或简称含参量反常积分.

2.含参量反常积分一致收敛性的判别法

定义 2 若含参量反常积分(1)与函数()I x 对任给的正数ε,总存在某一实数

N c >,使得当M N >时,对一切[],x a b ∈,都有

()(),M

c

f x y dy I x ε-<⎰

,

即

(),M

f x y dy ε+∞

<⎰

,

则称含参量反常积分(1)在[],a b 上一致收敛于()I x .或简单的说含参量积分(1)在[]

,a b 上一致收敛.

定义3 设函数()y x f ,在区域[][),,R a b c d =⨯上有定义，若对x 的某些值, y d

=为函数()y x f ,的瑕点，则称

(),d

c

f x y dy ⎰ (3)

为含参量x 的无界函数反常积分，或简称含参量反常积分。若对每一个x ∈[],a b ，积分(3)都收敛，其积分值x 在[],a b 上一致收敛的定义是

定义 4 对任给正数ε,总存在某正数d c δ<-,使得当0ηδ<<时,对一切

[],x a b ∈,都有

(),d

d f x y dy η

ε-<⎰

,

则称含参量反常积分()1在[],a b 上一致收敛.

定理1（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分(1)在[],a b 一致收敛的充要条件是：对任给正数ε,总存在某一实数M c >,使得当12,A A M >时,对一切[],x a b ∈,都有

()2

1

,A A f x y dy ε<⎰

.

例1 证明含参量反常积分

sin xy

dy y

+∞

⎰

(4) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>),但在(0,)+∞内不一致收敛.

证 做变量代换u xy =,得

sin sin A

Ax xy

u dy du

y u +∞

+∞=⎰

⎰, (5)

其中0A >.由于0

sin u

du u

+∞

⎰

收敛,故对任给正数ε,总存在正数M ,使当A M >时,就有

'

sin A u

du u

ε+∞<⎰

. 取A M δ>,则当M

A δ

>

时,对一切0x δ≥>,由(5)式有

sin A

xy

dy y

ε+∞

<⎰

, 所以(4)在0x δ≥>上一致收敛.

现在证明(4)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义,只要证明存在某一正数0ε,使对任何实数()M c >,总相应地存在某个A M >及某个[],x a b ∈,使得

0sin A

xy

dy y

ε+∞

≥⎰

. 由于非正常积分

sin u

du u

+∞

⎰

收敛,故对任何正数0ε与M ,总存在某个(0)x >,使得 00sin sin Mx

u

u du du u u

ε+∞

+∞-<⎰

⎰.

即

000

0sin sin sin Mx u

u u du du du u u u

εε+∞

+∞+∞-<<+⎰

⎰⎰. (6)

现令001sin 2u

du u

ε+∞=

⎰,由(5)及不等式(6)的左端就有

000sin sin 2M

Mx xy

u dy du y u

εεε+∞

+∞=>-=⎰

⎰.

所以(4)在(0,)+∞内不一致收敛.