1.2 质数与合数

注: 一般地，n个相邻的合数为
(n 1)! 2, (n 1)! 3, , (n 1)! n 1.
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 16
例5 设 m 1 ,且 m [(m 1)!1]，证明：m 一定是质数.
证明：（反证法）
设 m 为合数，则 m m1m2, 1 m1 m.
m1 [(m 1)!1]
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 11
例3 证明：对于任意非负整数 n， f (n) 198n 17 都为合数.
证明： (1) n 4k (k N) 当 k 0 时，n 0 ，f (n) 36 为合数. 当 k 0 时 ， f (n) 19(63 1)2k 17 19(63Q 1) 17 3(19 21Q 12) 此时 f (n) 为合数.
定理2
质数有无穷多个.
证明: 假设正整数中只有有限个质数, 设为p1, p2 , , pk , 令N p1 p2 pk 1, N 1, 若N是质数,结论显然成立; 若N不是质数,则N有一质因数p,这里p pi ,i 1, 2, , k, 否则p | p1 p2 pk , 又 p | N p1 p2 pk 1, 因此p |1,这与p是质数矛盾, 故p是上面k个质数以外的质数, 得证.
又因为 1 m1 m，所以 m1 (m 1)! .
m1 1. 这与 m1 1 矛盾.
第1章 随机事件与概率 17
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二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 13
例3 证明：对于任意非负整数 n， f (n) 198n 17 都为合数.
证明： (3) n 4k 2 (k N) 当 k 0 时，n 2 ，f (n) 32 137 为合数. 当 k 0 时 ，f (n) 19 (63 1)2k1 17 19(63Q 1) 17 3(19 21Q 12) 此时 f (n) 为合数.
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1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
整除 质数与合数 最大公约数与最小公倍数 算术基本定理 数的进位制 高斯函数 费马数 梅森数 完全数
第1章 随机事件与概率 1
目录/Contents
1.2
质数与合数
一、基本定义 二、性质
第1章 随机事件与概率 2
一、基本定义
显然q为3,5, , p中的某一个,则有q | 22 35 p, 又q | 22 35 p 1,得q |1,矛盾. 由于N为奇数, 显然N的所有素因数 只能是形如4n 1或4n -1的数, 而两个形如4n 1的数相乘仍是形如4n 1的数. 因此, N至少有一个形如4n -1的素因数, 记为q1,则q1 p,这与p是形如4n -1 的素数中最大一个矛盾. 故存在无穷多个形如4n -1的素数.
定理1 设a为大于1的整数，p为a的大于1的最小正约数，则p一定为质数.
并且若a为合数，则 p a.
推论
设a为大于1的整数，若所有不大于 a 的质数都不能整除a，则a为
质数.
（这是判别一个数是否为质数的重要方法，称为试除法）
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 5
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 6
2084k3 51084k 2 (65 1)2k 17 5 (484k3 10284k 26Q 3) 此时 f (n) 为合数.
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 15
例4
试找出2005个连续的合数.
解: 令N=2006!, 则 N+2, N+3, N+4, … , N+2006 均为合数.
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 14
例3 证明：对于任意非负整数 n， f (n) 198n 17 都为合数.
证明： (4) n 4k 3 (k N)
当 k 0 时，n 3 ，f (n) 51949 为合数. 当 k 0 时 ，f (n) 2084k3 (510 2) 84k 17
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 9
Baidu Nhomakorabea例2
设 n Z , f (n) n4 4 是质数还是合数？
解： f (n) (n2 2)2 (2n)2 (n2 2 2n)(n2 2 2n) 当 n2 2 2n 1 时，即 n 1 时，f (n) 5 为质数. 当 n2 2 2n 1 时，即 n 1 时， f (n) 为合数.
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 3
定义1
设 a 是大于1的整数，若 a 的正约数只有1和 a ，则称 a 为质数（素数）. 若 a 还有正的真约数，则称 a 为合数.
定义2 若质数 p 为 a 的约数，则称 p 为 a 的质约数.
注： 全体正整数可以分为三类：1、素数、合数.
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 4
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 10
练习
求 n Z , 使得 f (n) 32n1 22n1 6n 为合数.
解： f (n) 3 (3n )2 2 (2n )2 2n 3n (3n 2n )(3n1 2n1) 当 3n 2n 1 时，即 n 1 时，f (n) 13为质数. 当 3n 2n 1 时，即 n 1 时，f (n) 为合数.
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 7
二、性质 例1
证明：形如 4n 1 的质数有无穷多个.
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 8
证明: 用反证法. 假设形如4n -1的素数只有有限个, 则其中必有一个最大的, 将它设为p. 构造一数N 22 35 p 1,其中35 p 表示所有不超过p的奇素数的乘积. 因此N是形如4n -1的数,而且N p, 由p的假设知, N不是素数,但N的所有素因数 都大于p.否则,若有N的一个素因数q p, 由于N为奇数, 故q为奇素数,
二、性质
第第1一章章随整机数事的件整与除概性率 12
例3 证明：对于任意非负整数 n， f (n) 198n 17 都为合数.
证明： (2) n 4k 1 (k N) 当 k 0 时，n 1 ，f (n) 132 为合数. 当 k 0 时 ， f (n) 1384k1 (39 9) 84k 17 1384k1 3984k 9 (65 1)2k 17 13 (84k1 384k 45Q 2) 此时 f (n) 为合数.