2.2 代数式教案

2.2 代数式
学习目标
1． 会列代数式，能解释一些简单代数式的实际意义。

2． 掌握单项式的系数、次数，多项式的项、项数、次数等概念；会辨别单
项式、多项式。

3． 了解代数式、整式等概念。

4． 会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算
法，会利用代数式求值推断代数式所反映的规律。

教材解读 一、 温故
1． 不等号：＞、＜、≠、≥、≤。

2． 多位数用各位上的数字表示：如
310223+⨯=，41031002234+⨯+⨯=。

二、知新 1．代数式
⑴用加、减、乘（乘方）、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成
的式子，叫做代数式。

如：a 90，b a +，12-k ，4a ，a 2
，v s ，h
r 2
3
1π等都是代数式。

2．单项式
⑴由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个
字母也是单项式。

如 a 4，a 2
，3-，a ，h r 2
3
1π等都是单项式；
⑵单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

如 a 4，a 2
，3-，
a ，h r 231π的系数分别是4，1，3-，1，π3
1
；
⑶单项式中所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。

如 a 4，a 2
，
3-，a ，h r 23
1
π的次数分别是1，2，0，1，3。

3．多项式
⑴几个单项式的和叫做多项式。

如：b a +，12-k ，322
-+x x 等都是多项式；
⑵在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，多项式的每一项都包括它前面的符号。

其中不含字母的项，叫做常数项。

如9232
--y x 的项是：
23x 、y 2-、9-，其中常数项是9-，而不是9；
⑶一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式。

一个多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

如12342
-+-a ab b a 是三次四项式。

4．单项式与多项式统称为整式。

即单项式、多项式都是整式。

重点剖析
例1 下列代数式：x 2，b a +，10-，
213-x ，R
2
，432+-x x ,x 16-
,ab 2
3
,其中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
解： 单项式：x 2，10-， ab 2
3
； 多项式：b a +，
2
13-x ，432
+-x x ； 整式：x 2，b a +，10-，213-x ，432
+-x x ,ab 2
3。

注意：⑴整式是单项式与多项式的统称。

⑵分母中含有字母的代数式
一定不是整式，也就一定不是单项式，也不是多项式。

例2 说出下列多项式的项，并说明是几次几项式：
⑴523
4-+-x x x ；⑵14
133
2
2
2
3
--
+-b b a ab a 。

解：⑴5234-+-x x x 的项是4x 、3
2x -、x 、5-，它是四次四项式。

⑵141332
2
2
3
--
+-b b a ab a 的项是3a 、2ab -、223b a 、34
1
b -、1-，它是四次五项式。

注意：⑴多项式的项包括前面的符号；⑵在求多项式的次数之前要先
确定每一项的次数，其中次数最高项的次数就是这个多项式的次数；⑶常数项的次数为0。

例3 已知3
2=a ，4-=b ，求代数式b a b a -+-32
2的值。

解：当3
2
=
a ，4-=
b 时，
b a b a -+-322）（）（）（432343222--⨯+--= 421694++-=9
59-=。

注意：⑴将相应的字母换成数字，运算符号、原来的数字不变。

⑵如
果字母给出的数值是负数，代入时必须加括号。

⑶如果字母给出的数值是分数，作乘方运算时也必须添上括号。

⑷如果代数式中省略了乘号，代入数值后必须添上乘号。

例4 已知代数式32
++x x 的值为7，求代数式3222
-+x x 的值。

分析：若由条件先求出x 值，再代入3222
-+x x 中计算，则很麻烦，
并且到现在为止我们还不会解32
++x x 7=这个方程。

可由条件求得
x x +24=，再将要求值的代数式进行变形，然后整体代入求值。

解：∵32++x x 7=，∴x x +2
4=，
∴3222
-+x x ＝2（x x +2
）3-＝5342=-⨯。

注意：本题通过将代数式变形，然后“整体代入”来求代数式的值。

“整体代入”不是求出代数式里各个字母的值，而是把与这些字母有关的某个代数式的值整体代入，达到求解的目的。

错点反思
例5 指出下列单项式的系数和次数：⑴8；⑵a ；⑶3
23
22b a π-。

错解：⑴8的系数是8，次数是1； ⑵a 的系数和次数都是0；
⑶32322b a π-的系数是3
22
-，次数是6。

反思：⑴8的系数是8，其中不含字母所以次数不是1，而是0；⑵单
独一个字母a 的系数和次数都是1，次数不是0；⑶误认为π是字母，实际
上π是常数，不是字母，所以π3
22
-是系数，次数为5。

正解：⑴8的系数是8，次数是0；
⑵a 的系数和次数都是1；
⑶3
2322b a π-的系数是π322
-，次数是5。

注意：⑴π是常数，不是字母；⑵单项式的次数是所有字母的指数和，
不能加上系数中的指数；⑶若单项式是单独的一个数字，则它的系数是它本身，次数是0。

例6 用代数式表示：
⑴m 与n 的4倍的和；⑵a 与b 平方差；⑶比a 大20％的数。

错解：⑴)4n m +（
；⑵2
b a -；⑶a +20％。

反思：⑴混同了“m 与n 的和的4倍”；⑵混同了“a 与b 的平方的差”；
⑶错在将百分数等同于一般的数。

正解：⑴n m 4+；⑵2
2
b a -；⑶（1+20％）a 。

注意：列代数式时要弄清楚题中的数量关系，运算顺序，书写代数式时要规范。

方法总结
1．代数式的判定方法
不含等号，也不含不等号的式子就是代数式。

含等号，或含不等号的式子就不是代数式。

如a 5-，y x 73-都是代数式；a ＞2，43=-x 都不是代数式。

2．整式的判定方法
分母不是字母的代数式就是整式。

分母是字母的代数式就不是整式。

如b a -，y 8，
2x ，π2都是整式，a 2，y
x x +3都不是整式。

3．单项式和多项式的判定方法
不含加号或减号的整式就是单项式，含加号或减号的整式就是多项式。

4．单项式是由数字因数和字母因式两部分组成。

数字因数就是单项式
的系数。

单项式的系数应包括前面的符号，比如单项式
的系数是
“3-”而不是“3”。

单项式的系数是“1”或“1-”时，“1”通常省略不写，“1-”中的“1”也通常省略不写，但“－”号不能省略。

因此只含有字母因式的单项式不能认为它们没有系数，它们的系数是“1”或“1-”。

5．单项式次数仅与单项式中所有字母的指数有关，而与系数无关。

单项式中单独出现的字母，其指数“1”通常略去不写，但计算次数时不可丢
失。

如 z xy 23的次数是4121=++次，而不是2020=++次。

6．多项式的项及项的系数应包括它前面的符号，比如，多项式
52162--
x x 的第二项是 x 21-，而不是x 21
，第二项的系数是 21-，而不是 21。

7．求代数式的值的步骤
⑴代入，即用数值代替代数式里的字母。

⑵计算，即按照代数式指明的运算顺序，计算出结果。

注意：⑴书写格式，在把字母所取的数值代入代数式时，必须写上“当……时”，表示这个代数式的值是在这种情况下求得的。

⑵求某些代数式的值时，有时采取整体代入法来求。

知识巩固 一、填空题：
1．5
2ab π-是________次单项式，系数是________。

2．多项式1322
+-xy x 是 ________次________项式，其中最高次项是________，常数项 是________。

3．已知多项式534
1221
2--+-
+a ab b a m 是六次四项式，则m 是________。

4．将原价为a 元的药品降价30%出售，则降价后此药品售价为________元。

5．若522++b a 的值为7，则代数式4632
++b a 的值是________。

二、选择题：
6．下列式子符合代数式的书写格式的是（ ）。

A ．a ·40a
B ．)(4
1
b a - C ．m ÷3 D ．ab 3
12
7．下列说法正确的是（ ）。

A ． 单项式m 既没有系数，也没有次数
B ． 单项式5×105
的系数是5
C ． 2006-也是单项式
D ． 2
3x π-的系数是3-
8．代数式22
5b a -用语言叙述正确的是（ ）。

A ．a 与b 5的平方差
B ．a 的平方减5乘以b 的平方
C ．a 的平方与b 的平方的5倍的差
D ．a 与b 5的差的平方 三、解答题： 9．当53=x ，5
4-=y 时，求代数式y x y x --+2
2的值。

10．用代数式表示：⑴y 4的平方；⑵a 、b 平方和；⑶a 与b 和的平方；⑷x 与y 和的一半。

能力提高
1.一列单项式：x -，2
2x ，3
3x -，4
4x ，……，19
19x -，20
20x ，……
⑴你能说出排列有什么规律吗？ ⑵写出第99个，第2006个单项式； ⑶写出第n 个，第1+n 个单项式。

2．当21=-+b a b a 时，求代数式b
a b a b a b a -+-+-22的值。

3．当2=x 时，代数式13
--bx ax 的值为1000，求2-=x 时，代数式
13--bx ax 的值。

4．水泥厂以每年产量增长10%的速度发展，如果第一年的产量是a ，那么
第二年的产量是多少？第三年的产量是多少？
5.为了节约用水，某市自来水公司采取以下收费方法：每户每月用水不超过10t ，收费1.5元/t ；每户每月用水超过10t ，超过的部分按3元/t 收费。

现在已知小明家2月份用水x t x ＞10）,请用代数式表示小明家2月份应交水费多少元？如果x ＝16，那么小明家2月份应交水费多少元？。