向量组的秩和最大线性无关组

向量组的秩和最大线性无关组 引例：对于方程组

12312312

321221332x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩

容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）；

由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量是2个。

因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念： 最大线性无关组：在s ααα,,,21Λ中，存在ip i i ααα,,,21Λ满足：

（1）ip i i ααα,,,21Λ线性无关；

（2）在ip i i ααα,,,21Λ中再添加一个向量就线性相关。

则称ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组，

注：

Ⅰ、不难看出条件（2）等价的说法还有s ααα,,,21Λ中任一向量均可由ip i i ααα,,,21Λ线性表示；或者亦可以说成s ααα,,,21Λ中任意1p +个向量均线性相关；

Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即

有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的）；

Ⅲ、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成，也可以是第2、3两个方程构成（因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和），因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是不唯一的；

Ⅳ、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念：

向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组，则称

s ααα,,,21Λ的秩为p ，记为12(,,,)s R p ααα=L 。

例：求向量组123(3,6,4,2,1),(2,4,3,1,0),(1,2,1,2,3),T T T ααα=-=--=-- 4(1,2,1,3,1)T α=-的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无关组表示。

分析：容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出：

定理：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩.

略证：设A 的秩为r ，则在A 中存在r 阶子式0r D ≠，从而r D 所在的r 列线性无关，又A 中的所有的1r +阶子式10r D +=，因此A 中的任意1r +个列向量

都线性相关，因此r D 所在的r 列是A 的列向量组的最大线性无关组，所以列向量组的秩等于r 。

类似可证矩阵A 的行向量组的秩等于r 。

同时从证明的过程可以发现：若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式，则r D 所在的r 列即是A 的列向量组的一个最大线性无关组；同时r D 所在的r 行即是A 的行向量组的一个最大线性无关组。

我们现在求解上面的问题，把上面的4个向量看成某矩阵A 的4列进行求解。

解：

()123432*********

1642264220

141,,,431143110010212321230

000103132110000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以1234(,,,)()3R R A αααα==，

123,,ααα是1234,,,αααα的一个最大线性无关组。（当然易见124,,ααα亦是1234,,,αααα的一个最大线性无关组）

为了把4α用123,,ααα线性表示，把A 再变成行最简形矩阵

10010

10100100

0000000A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

易见412ααα=+。

（初等变换前后列向量组之间的线性表示形式是保持不变的）

同时可以验证上面的线性表示的结果是正确的。

感悟：由于我们现在教学正好讲到向量组的秩和最大线性无关组这一部分，作为其定义形式很难引入，通过此次培训，可以从方程组的“有效”（同解并是最少的）方程组的形式及个数（就像李老师所说的“打假”后剩下的方程组）来提出向量组的最大线性无关组以及向量组的秩的概念，避免了向量的抽象性，而且学生对方程组十分熟悉，进而很容易过渡到最大线性无关组以及向量组的秩的概念。学生听课效果以及接受情况相当不错！