9.6一阶电路的矩形脉冲响应
一阶系统单位脉冲响应曲线初始斜率
一、引言单位脉冲响应是系统对单位脉冲信号的响应，它是系统的特性之一，通过单位脉冲响应可以研究系统的动态行为和频率响应特性。
在一阶系统中，单位脉冲响应曲线的初始斜率对系统特性有着重要的影响。
本文将就一阶系统单位脉冲响应曲线初始斜率进行探讨和分析。
二、一阶系统单位脉冲响应的定义一阶系统的单位脉冲响应是指在输入信号为单位脉冲信号时，系统的输出响应曲线。
一般用h(t)表示单位脉冲响应，其定义为系统对单位脉冲信号的响应。
三、单位脉冲响应曲线的一般形式一阶系统单位脉冲响应曲线的一般形式可以表示为:h(t) = k*e^(-at) * u(t)其中，k为比例系数，a为系统的时间常数，u(t)为单位阶跃函数。
四、单位脉冲响应曲线初始斜率的含义单位脉冲响应曲线在t=0时刻的斜率称为初始斜率，通常用h'(0)表示。
初始斜率反映了系统的动态响应特性，也可以表征系统的快慢程度。
五、单位脉冲响应曲线初始斜率与系统特性的关系1. 当单位脉冲响应曲线初始斜率为正时，表示系统具有快速响应能力，响应速度较快。
2. 当单位脉冲响应曲线初始斜率为零时，表示系统处于临界状态，响应速度适中。
3. 当单位脉冲响应曲线初始斜率为负时，表示系统响应速度较慢，动态特性较差。
六、单位脉冲响应曲线初始斜率的计算对于一阶系统，单位脉冲响应曲线h(t)的表达式为：h(t) = k*e^(-at) * u(t)对h(t)对t求导可得：h'(t) = -ak*e^(-at)*u(t) + k*δ(t)其中，δ(t)为单位脉冲函数。
将t=0代入上式可得单位脉冲响应曲线在t=0时刻的斜率h'(0)为： h'(0) = -ak + k七、单位脉冲响应曲线初始斜率与时间常数的关系由单位脉冲响应曲线初始斜率的计算公式可知，初始斜率h'(0)与时间常数a有着密切的关系。
当a较小时，初始斜率h'(0)会较大，表示系统响应较快；当a较大时，初始斜率h'(0)会减小，表示系统响应较慢。
高二物理竞赛课件一阶电路的冲激响应的两种方法
15
2 [ (t) et (t)]A
15
思考题
• 请分析插头插入或拔出时的火花现象
例1. 已知uc(0) = U0 ，求开关 闭合后的uC(t)、iR(t)
解法一. 列写及求解微分方程
1）根据换路定则有： uC(0+)=uC(0) = U0
2）t≥0+有：
C
duC dt
uC R
Is
duC dt
t
t
uc (t ) U0e RC Is R(1 e RC ) t 0
续例2.
解： 1) iLf=1A 2) 求时间常数
L1s
R2
3)电感电流的阶跃响应为
gi (t) iL(t) （1 e2t） (t) A
其冲激响应为
hi (t )
dgi (t ) d （[ 1 e2t） (t)]
dt dt
2e2t (t ) （1 e2t） (t )
2e2t (t )A
一阶电路的冲激响应的两种方 法
• 一阶电路的冲激响应的两种方法：
首先确定在冲激函数作用下电容电压或电感电流的 初值（uC(0+)或iL(0+)）；然后求t>0后的零输入响应。
将电路中的冲激激励函数 (t)换为阶跃激励函数ε(t)，
求其阶跃响应，然后再将阶跃响应对时间求一阶导数 得到冲激响应。
用该方法必须注意：（1）阶跃响应的时间定义域必须
3
3
2 et (t)A
15
2) 当 us (t) (t) V
gu (t )
2（1 3
et） (t)
V
gi
(t)
2 15
et
(t )A
hu (t )
阶跃响应、冲激响应和卷积积分
清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。
+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。
例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。
清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。
解f (t ) 分成两段表示。
1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。
阶跃响应冲击响应与卷积积分法
补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。
在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。
本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。
§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。
本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。
单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。
若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。
单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。
例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。
一阶系统的脉冲响应与阶跃响应2
实验地点 教师签名 成 绩
1．熟悉一阶系统的无源和有源模拟电路； 2．研究一阶系统时间常数 T 的变化对系统性能的影响； 3．研究一阶系统的零点对系统的响应及频率特性的影响。
二、实验设备
1．TKSS-D 型 信号与系统实验箱 2．双踪慢扫描示波器 1 台
三、实验原理
1.无零点的一阶系统 无零点一阶系统的有源和无源模拟电路图如图 2－1 的(a)和(b)所示。它们的传递函数均为 1 G（S）＝ 0.2S 1
七、实验心得
答：进一步了解了一阶系统的无源和有源模拟电路。
3）有零点的一阶系统（│Z│>│P│） 图 2－3 (a)和(b)分别为有零点一阶系统的有源和无源模拟电路图，它们的传递函数为：
G（S）＝
0.1S 1 S 1
（a）
（b） 图 2－3 有零点(│Z│>│P│)一阶系统有源、无源电路图
四、实验内容与步骤
实验内容: 1．测试无零点时的单位阶跃响应（无源、有源）； 2．测试有零点时的单位阶跃响应； 实验步骤: 1. 利用实验箱上运放单元“1”、“2”中相关的元件组成图 2－1(a)（或“系统函数的频率特性测试”模块 中相关的元件组成图 2－1 (b)）所示的一阶系统模拟电路。“阶跃信号发生器”的输出端“B”点与电路 的输入端相连，电路的输出端接示波器。 2．将“阶跃信号发生器”的输出调到“正输出”，按下复位按钮，调节电位器“RP1”，使之输出电压幅值 为 1V。用示波器观测系统的阶跃响应，并由实测曲线确定一阶系统的时间常数 T。 3．调节“函数信号发生器”输出为频率 20Hz，幅度 1V 的方波信号。 4．将“函数信号发生器”的输出端接到电路的输入端，用示波器观察电路的输出波形，电路的输出端接示波 器，观察波形。
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
一阶电路的响应
已知：电感无初始储能t = 0 时合S1 , t =0.2s时合S2 ，求两次换路后的电感电流i(t)。 解 S1(t=0) 1Ω i + 1H i(0+ ) = i(0− ) = 0 5V τ1 = L / R = 1 / 5 = 0.2 s 4Ω
t > 0.2s i (0.2 − ) = 1 − e −5×0.2 = 0.63
•分段表示为： t
•分段表示为： t
−
− t
uC (t ) = US (1 − e τ )ε (t ) − US (1 − e τ )ε (t −τ )V
−
t −τ
0< t <τ
uC (t ) = US (1 − e τ )V
− t − t −τ
−
t
0< t <τ
uC (t ) = US (1 − e τ )V
uC (t ) = US (1 − e τ )ε (t ) − US (1 − e τ )ε (t −τ )V
− t − t −τ
0 τ t uS ( t ) = U S ε (t) − U S ε (t − τ)V
t −τ − uC (t ) = US (1 − e τ )ε (t ) − US (1 − e τ )ε (t −τ )V −
US 0
US
uS
改变电源作用时间
τ 2τ 3τ 4τ
t
充 电
放 电
− US
τ
t
τ 2τ 3τ 4τ
t
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•RC一阶电路时间常数的测量
US
0.632U S 0.368U S
一阶电路的冲激响应
一、单位冲激函数单位冲激函数也是一种奇异函数，通常用符号δ(t)表示，因此单位冲激函数又被称为δ函数。
单位冲激函数的定义为所以单位冲激函数是宽度趋于0、高度趋于∞、面积为1的特殊函数。
单位冲激函数可以看作是单位脉冲的一种极限。
如图1是一个宽度为Δ、高度为的矩形脉冲，其面积当宽度Δ不断减小时，矩形脉冲的高度就不断增大，当脉冲宽度Δ趋近于0时，其高度趋近于∞，但其面积不变，仍然为1，该极限情况即为单位冲激函数。
由于故单位冲激函数与t轴所包围的面积的大小称为该函数的强度，所以单位冲激函数的强度为1。
单位冲激函数的波形如图2所示，用带箭头的线段表示，箭头旁边标注的是它的强度。
如果冲激函数为Kd(t)，则该冲激函数的强度为K，如图3所示。
图4所示波形则是一个延时的单位冲激函数，即需要说明的是单位冲激函数的积分上、下限也可以不是正、负无穷，只要积分的上、下限包围了函数存在的那一点，积分就等于1，故有下面两式成立二、单位冲激函数的主要特性当一个连续函数f（t）和单位冲激函数相乘时，由于t≠0时d(t)＝0，所以有f(t)d(t)=f(0)d(t)故上式被称为筛选特性或采样特性。
由此可推论得式（1）和式（2）的积分限可缩小，且有三、单位冲激函数与阶跃函数的关系四、电路中的冲激函数图5所示电路，电容上原无储能即u c(0-)=0，当电源电压加到电容元件上后，不难得电容电压为u c(t)=ε(t)，并且可知u c(0+)=1，即电容电压发生了跳变，此时电容不再遵守u c(0-)=u c(0+)的换路定则。
而电容电流即电容电流为冲激函数。
换句话说，电容电压的跳变是冲激电流作用的结果。
同理，当冲激电压作用于电感元件时，如图6所示电路，电感电流同样会发生跳变，且当电感元件的初始储能为零，即i L(0-)=0时，因此单位冲激电压使电感电流从0跳变到了1/L。
五、单位冲激响应单位冲激响应是零状态网络对单位冲激信号的响应。
单位冲激响应通常用h(t)表示。
一阶电路的冲激响应基础知识讲解
2. t > 0 零输入响应 (C放电)
uC
1 C
t
e RC
(t 0)
iC + R C uC
iC
uC R
1
t
e RC
RC
(t 0)
uC
(0
)
1 C
uC
1
C
全时间域表达式：
o
t
uC
1 C
t
e RC (t )
iC
iC
(t)
1 RC
e
t
RC (t )
(1) o 1
t
RC
例2.
+
(t)
1 L
i L (0
)
iL (0
)
1 L
0
0 uLd
1 L
2. t > 0 (L放电)
L
R
iL
1
e
t
L
t 0
uL
iLR
R L
t
e
t0
全时间域表达式：
iL
1
e
t
(t)
L
uL
(t)
R L
t
e (t)
R iL
+ L uL
iL(0 )
1 L
iL
1 L
o uL
(t)
o R
L
t t
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卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义
定义：设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
t
f1(t )* f2 (t ) 0 f1( ) f2 (t )d
二、卷积积分的性质
性质1 f1(t)* f2(t) f2(t)* f1(t)
一阶电路的响应
，如图5.5.3。这是因为在任意时间t = t1，电流i(t)的
变化率
di dt
t t1
d U t e dt R
t t1
i(t1 ) 1 U 1 e , R
t
uc (t )
p
0
t1
t2
t
图5.5.3 作图法求时间常数
di dt
常数τ。
3. 微分电路和积分电路是电容器充放电现象的一
种应用，其电路图如图5.5.4所示。
(a)微分电路
(b)积分电路 图5.5.4 微分电路和积分电路
微分电路中当时间常数很小时，输出电压uR正
比于输入电压 u 的微分，即 积分电路中当时间常数很大时，输出电压uc正
比于输入电压u的积分，即
1 1 uc ic dt udt c RC
1. 观察电容器充放电电流波形
2. 观察电容器充放电过程中电容器端电压波形 3. 微分电路 4. 积分电路
三、实验用仪器
示波器 1台
稳压电源
函数发生器 电阻、电容接线板 万用表
1台
1台 1块 1只
四、实验用详细电路图
iC
uR
U
uC
图 5.5.1
电容器充放电电路
R
C U ( f 5Hz)
iR
位为Ω ，C 的单位为F，则τ 的单位为s。
τ 越大，过渡过程就越长。一般经过 3～5的时
间 后，过渡过程趋于结束。
RC串联电路用作微分电路时的参数条件为：
（a）(一般τ＜0.2tp)，（b）从电阻两端输出；此时
的输出电压uR为正向和负向的尖脉冲。RC串联电路 用作积分电路时的参数条件为：（a）(一般τ>5tp ) ，（b）从电容两端输出，此时的输出电压uc为锯齿 波。
电工第9章暂态电路 (2)
Z ，
US
-jXC
UC
Z
R2
1
(C )2
,
arctan 1
RC
t =0
SR uS
i uC
C
R
XC
1
UC
jXC R jXC
US
jC
R 1
US
1
1
jRC
US
jC
1
U
U
, arctanRC
1 (RC)2
1 (RC)2
uC (t)
2U cos(t ) 1 (RC )2
全解：uC (t ) uC (t ) uC (t )
因为能量的存储和释放需要一个过程， 所以有电感或（和）电容的电路会存在 过渡过程。
思考：该电路存在暂态过程吗？
K t=0
+
U _
R UR
uS(t)
R
5V
+
_ uS(t)
uC
C
0
t (s)
研究暂态过程的意义
电路的暂态过程是一种自然现象，暂态过程的存在有 利有弊。
有利的方面：
在电子技术中常用它来产生各种特定波形的信号或 改善信号波形；比如产生锯齿波、三角波、尖脉冲等， 应用于电子电路。 不利的方面：
图中， 电路处于稳态，t=0 时开关S闭合，求iL(t)。
L
diL dt
iLR
US
L R
diL dt
iL
US R
iL
US R
Ae t
I Aet ，
t
0 时, iL(0 )
US R0
R
I0
L
R
t
时, iL()
实验九 一阶电路的研究
实验九 一阶电路的研究一、 实验目的1．研究一阶电路的零输入响应和阶跃响应。
2．利用RC 电路实现微分、积分运算及耦合电路、脉冲分压器等常用电路。
二、 实验原理含有一个独立贮能元件，可以用一阶微分方程来描述的电路，称为一阶电路，如图9—1所示的RC 一阶串联电路，输入为一个阶跃电压)(t u U s （u(t)为单位阶跃函数），电容电压的初始值为u c (0+)=U O ，则电路的全响应为：⎪⎩⎪⎨⎧==++0)0(U u U u dt du RC c s c c 解得：)1()(0RCt S RCt c eU e U t u ---+= t ≥图9—1 图9—21． 零输入响应：当U S =0时，电容的初始电压u c (0+)=U O 时，电路的响应称为零输入响应为：RCt c eU t u -=0)( t ≥0输出波形为单调下降的。
当t=τ=RC 时，u c (τ)=01U e=0.3680U ,τ称为该电路的时间常数。
如图9—2。
2．阶跃响应(零状态响应)：当u c (0+)=0时，而输入为一个阶跃电压S u =S U )(t u 时，电路的响应称为阶跃响应（零状态响应）：)()1()(t u eU t u RCt S c --=电容电压由零逐渐上升到U S ，电路时间常数τ=RC 决定上升的快慢，当t=τ时u c (t )=0.632U S ，如图9—3。
图9—33．微分电路：如图9—1的电路，设输入为一脉冲波形P(t)，脉冲宽度为t p ，当t p >>τ=RC 时，则u c (t)≈P(t),而)()(t p dtdRC dt du RCRi t u c C R ≈==，即：从电阻上输出电压)(t u R 为输入电压P(t)的微分形式乘以τ。
4．积分电路：如图9—1电路，设输入为一脉冲波形P(t)，脉冲宽度为t p ,当t p <<τ=RC 时，则有)(t u R ≈P(t),而dt t PRCdt i C t u tt C c ）（⎰⎰≈=011)(，即：从电容上输出电压)(t u c为输入波形P(t)的积分除以τ。
RC一阶电路的响应测试实验内容
实验五RC—阶电路的响应测试一、实验目的1.测定RC-阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应。
2.掌握有关微分电路和积分电路的概念。
3.学会时间常数T的测定方法。
4.进一步学会用示波器观测波形。
二、原理说明图5」所示的矩形脉冲电压波5可以看成是按照一定规律定时接通和关断的直流电压源U。
若将此电压5加在RC串联电路上（见图5.2）,则会产生一系列的电容连续充电和放电的动态过程，在5的上升沿为电容的充电过程，而在5 的下降沿为电容的放电过程。
它们与矩形脉冲电压5的脉冲宽度匕及RC串联电路的时间常数T有十分密切的关系。
当5不变时，适当选取不同的参数，改变时间常数T,会使电路特性发生质的变化。
图5.1矩形脉冲电压波形图5.2 RC串联电路图1 • RC 一阶电路的零状态响应所有储RC喚+ u - U °的电路％（t） = U 卢响应。
电路的微分方程为：RC dt +%-U叫其解为（• 忒八一丿，式中，T=RC为该电路的时间常数。
2.RC-阶电路的零输入响应电路在无激励情况下，由储能元件的初始状态引起的响应称为零输入响应。
电路达到'* ciu c- •'器经R放I V各响应为零输入响应。
电路的微分方程为：RC盂十％"其解为％（t）= U m e \RC —阶电路的零输入响应和零状态响应分别按指数规律衰减和增长（如图5.3 所示），其变化的快慢决定于电路的时间常数T。
3.时间常数T的测定方法方法一：在已知电路参数的条件下，时间常数可以直接由公式计出，T=RC。
方法二：对充电曲线（零状态响应），电容的端电压达到最大值的1二（约0.632）倍时所需要的时间即是时间常数T。
如图5.3 （a）所示，用示波器观测响应波形, 取上升曲线中波形幅值的0.632倍处所对应的时间轴的刻度，计算出电路的时间常数：丫 =扫描时间X 0P其中，扫描时间是示波器上x轴扫描速度开关“t/div”的大小。
9.7一阶电路的冲击响应
15 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
冲击函数的性质4
在图（a）中我们把真实的阶跃变化放缓，认为函 数从0到1经历了△时间，其一阶导数示于图（b）。 当△趋向于0时，变形的阶跃 函数将逼近于单位阶跃本身， 其一阶导数将逼近单位冲击 函数，于是可以得出结论： 单位冲击函数理解为单位阶 跃函数的一阶导数。
f
0
t
e
t
所以求冲击响应的关键是确定储能元件的初始储 能uC (0+ )或iL (0+ )，而后用求解零输入相应的方法 求响应的全过程。
18 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
9.7.2.1冲击电流在RC并联电路引起的响应
电路如图所示，激励源is = Qδ( t )，在零状态下欲 求t≥0+ 时的uC，按常规的方法是列出微分方程再通 过积分运算来求得uC (0+ )。那么根据KCL有
A
p tdt
1
1
13 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
冲击函数的性质3
可见对单位冲击函数的积分可以
理解为在单位脉冲强度Hale Waihona Puke ，当脉宽愈来愈小时，其幅度愈来
愈大将出现的极限。所以有
t
lim
0
p
t
即当pΔ的脉宽趋向0时的极限将
演变成冲击量。
14 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
冲击函数的性质4
[例=2]F图，示R 电=3路Ω中。u在1 (t0=−
电路实验：实验六一阶电路的暂态响应
实验六项目名称：一阶电路的暂态响应一、实验目的1．研究一阶RC 电路的充电和放电特性。
2．了解测定RC 电路时间常数的方法。
3．用示波器观察RC 电路的方波响应。
二、实验原理1．电路时间常数的测定方法RC 电路充放电时，其时间常数τ值的大小决定电容充电和放电的快慢。
当电路过渡过程持续时间t 为τ值的4~6倍时，可认为电路达到稳定状态，过渡过程基本结束。
实验测定τ的值，一般有以下几种方法：(1)充电时，由)1()(/τt S C eU t u --=可知，当t=τ时，S C U u 63.0=，于是在充电曲线)(t u C 上找出S C U u 63.0=的点所对应的时间即为τ值，如图6- 1(a)所示。
图6- 1 电路时间常数 τ值的测定(2)在电流曲线)(t i 上任取a 和b 两个点。
如图6-1 (b)所示。
由于a ，b 两点在曲线)(t i 上，所以a 、b 两点的坐标a[i 1，t 1]和b[i 2，t 2]满足方程τ/t S e RU i -=。
通过代换可得)/ln(2112i i t t -=τ(3)在电流曲线)(t i 上任取一点D ，过D 点作切线DF 和垂线DE ，如图6-1 (c)所示。
则次切距EF 的长度便是τ的值，即τα==tg DEEF 。
2．RC 电路的方波响应(a) (b)图6-2 微分电路（a ） (b) 图6-3 积分电路(1) 图6-2(a)是微分电路，输入电压u i 为图6-2(b)所示的矩形脉冲电压，T 为脉冲电压的周期，τ>>T 。
由于τ=RC 与T 相比小得多，电容的充放电在远小于T 的时间内即可完成。
图6-2(b)画出了电压u C 和u 0的波形，其中过渡过程的时间宽度是放大画出的。
在大多数时间内，i C u u ≈，而dtduRC R dt du Cu i C ≈⋅=0，即输入电压i u 和输出电压0u 近似成微分关系。
(2) 图6-3(a)是积分电路，输入电压i u 是周期为T 的矩形脉冲电压，τ<<T 。
9.6一阶电路的矩形脉冲响应
现正跳变。由于电路的时间常数极小，电容充电 极快，电流衰减也极快，在脉冲的平顶期间（即 脉宽tp）的大部分时间电流为0，则输出电压为0。 这种波形印证了电路的微分特性。 即在脉冲的平顶时间其一阶导 数为0，只有在脉冲跳变时，其 一阶导数才存在。很显然时间 常数越小则微分关系越准确。
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寄生参数对矩形脉冲激励下响应的影响 Nhomakorabea这里再回顾一下第8章中的例题，RC电路受矩形波 激励，可是响应产生了失真。产生失真的原因用 时域分析的概念来理解就更直观了。这种现象带 来的问题是直接影响到电路的响应速度，即脉冲 信号的频率受到限制。可见脉冲的宽度和间隔都 不能小于5倍的时间常数τ。
中北大学国家级电工电子实验教学示范中心rc积分电路如图a所示因为在电容器上有电压的积分表达式所以在时间常数很大的情况下电路中的电流主要取决于电阻在零状态下有这就找到了输出电压与输入电压的一种近似的积分关系
§9．6一阶电路的矩形脉冲响应
核心提示： 进一步研究电路中的过渡过程，将会引导我们了 解更多的应用问题。在前面的讨论中一直用直流 电源激励，可是其意义远不止于此。在电子技术 中，数字电路的基本信号是矩形脉冲。如图所示， 在脉冲的前沿相当于电路接通直流电源，这种激 励堪称为阶跃激励；脉冲的后沿相当于又加一个 负的阶跃激励。值得注意 的问题是电路中电感电容对矩 形脉冲激励下的响应会产生什 么影响，这是需要研究的问题。
还应该看到电路参数的不同， 对响应产生的影响也能带来 有趣的应用途径。请看：
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9.6.2 RC微分电路
电路实验指导书 一阶RC电路的时域响应
式中， 既可代表电压，也可代表电流； 代表电压或电流的初始值； 代表电压或电流的稳态值； 为一阶电路的时间常数。对于RC电路， ，对于RL电路， 。
如图3-1所示RC电路，开关在位置1时电路已处于稳态， 。在 时将开关S接至位置2，此时为RC电路的零输入响应。随着时间t的增加，电容电压由初始值开始按指数规律衰减，电路工作在瞬态过程中，直到 ，瞬态过程结束，电路达到新的稳态。电容电压波形如图3-2中曲线 所示，表达式为 。
七、实验报告要求
1.根据实验观测结果，在坐标纸上画出各种响应的输入、输出波形。
2.在响应波形 中求出时间常数 ，并与计算值相比较，说明影响 的因素。
3.根据实验观测结果，总结积分电路和微分电路的形成条件，阐明波形变换的特征。
对零输入响应曲线画切线确定时间常数。
在工程上可以用示波器来观察RC电路 的变化曲线。可以证明， 的指数曲线上任意点的次切距长度ab乘以时间轴的比例尺均等于时间常数 ，如图3-3所示。
图3-3从 的曲线上估算
3.一阶电路的应用
（1）微分电路
在输入周期性矩形脉冲信号作用下，RC微分电路把矩形波变为尖脉冲必须满足两个条件： ； 从电阻两端取输出电压 。
3.示波器的辉度不应过亮，尤其是光点长期停留在荧光屏上不动的时，应将辉度调暗，以延长示波管的使用寿命。
六、思考题
1.当电容具有一定初始值时，RC电路在阶跃激励下是否一定会出现瞬态现象，为什么？
2.已知一阶RC电路， ， ，试计算时间常数 ，并根据 值的物理意义，拟订测量 的方案。
3.何为积分电路和微分电路？它们必须具备什么条件？它们在方波序列脉冲的激励下，输出信号波形的变化规律如何？这两种电路有何功用？
一阶RC电路的响应ppt课件
（3）调节示波器，使屏幕上呈现出一个稳 U OM
定的指数曲线，测得Uc=0.632UOM时对应
的时间
τ
t
图 2-4
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
US向R放电，若T≈10τ，在T/2～T时间范围内C上电荷可放完，
这段时间范围即为零输入响应。第二周期重复第一周期，如 图4(c)所示，如此周而复始。如果电路的时间常数并不远小 于周期，则电路将处于不完全充放电的情况，因此电路就属 于非零状态响应和非零输入响应。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
uc
0
响应为 ：u c(t)u c(0 )eU S e
零输入响应曲线如图2(b)所示。
（a）
（b）
图 2 一阶RC电路及零状态响应曲线
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（2）按图8接线，取R=5kΩ，C=0.1μF，
在示波器的屏幕 上观察电容两端电压Uc(t) 图 9
的变化曲线。并记录观察到的波形。
uC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
电路原理实验,RC一阶电路的响应测试
3、时间常数τ的测定方法：用示波器测量零输入响应的波形如图9-1(a)所示。
根据一阶微分方程的求解得知。
当t=τ时，UC (τ)=0.368Um。
此时所对应的时间就等于τ。
亦可用零状态响应波形增加到0.632Um所对应的时间测得，如图9-1(c)所示。
1、在一阶电路单元上选择R、C元件，令R1=10KΩ，C=3300PF，组成如图9-1(b)所示的RC充放电电路。
US为脉冲信号发生器输出的Um=3V，f=1KHz的方波电压信号，并通过两根同轴电缆线，将激励源US 和响应UC的信号分别连至示波器的两个输入口YA和YB，这时可在示波器的屏幕上观察到激励与响应的变化规律，测算出时间常数τ，并用方格纸按1:1的比例描绘波形。
少量改变电容值或电阻值，定性观察对响应的影响，记录观察到的现象。
2、令R=10KΩ，C=0.1µF，组成如图9-2(a)所示的微分电路。
在同样的方波激励信号（Um=3V，f=1KHz）作用下，观测并描绘激励与响应的波形。
4．微分电路和积分电路是RC过渡过程中较为典型的电路，它对电路元件的参数和输入信号的周期都有特定的要求。
对于一个简单的RC串联电路，在方波脉冲的重复激励下，当满足T＝RC《T/2时（T为方波脉冲的重复周期），且由R两端的电压作为响应输出时，则该电路就是一个微分电路，因为此时电路的输出信号电压与输入信号电压的微分成正此，如图2(a)所示。
利用微分电路可以将方波变成尖脉冲。
图２微分电路及积分电路的实验电路在图2(a)中，根据基尔霍夫电压定律及元件特性，有u i＝u c(t)＋u R(t)，而u R＝Ri(t)，i(t)= .如果电路元件R与C的参数选择满足关系u c(t)》u R(t),u i(t)≈u c(t)那么即输出电压u R(t)与输入电压u i(t)成近似微分关系。
若将图2(a)中的R与C位置调换，如图2(b)所示，由C两端的电压作为响应输出，且当电路的参数满足t＝RC》T/2，则该RC电路称为积分电路，因为此时电路的输出信号电压与输入信号电压的积分成正比。
高二物理竞赛课件一阶电路的全响应
t
y(t)= [y(0+) - y()]e τ + y()
例2 求响应iL和uL
+ 2k + 1k
10V
-
-uL 1H 1k
iL
iL(0–)=5mA iL(0+)=5mA uL(0+)=5V iL()=5+5=10mA
+ 2k + 2k
- 10mA 10V
-uL 5mA
uL()=0 =10–3S
(t=0+)
三要素： y(0+)， y()， τ
（1） y() — 归结为求解电阻网络（电容元件相当于开路， 电感元件相当于短路）
一阶电路
一阶电路的全响应
3、求解一阶电路的三要素法
t
y(t)= [y(0+) - y()]e τ + y()
（2）τ — 与输入无关，归结为求由电容元件或电感元件观
察的入端电阻Req τ=ReqCeq
u0=(0.625 – –t)1(t)
a、b间开路 (t = ) a、b间短路 (t = 0+)
u(0+) u()
t = 0+ a、b间开路 t = a、b间短路
u()
u(0+)
例5
已知两电源共同作用下的全响应：
uC=[100 – 60e-0.1t +40 2 sin(t+45o)] V (1) 求零输入响应；
iL=10 –5e–1000t mA uL=5e–1000t V
+
-10V
一阶电路 一阶电路的全响应 3、求解一阶电路的三要素法
t
y(t)= [y(0+) - y()]e τ + y()
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寄生参数对矩形脉冲激励下响应的影响
这里再回顾一下第8章中的例题，RC电路受矩形波 激励，可是响应产生了失真。产生失真的原因用 时域分析的概念来理解就更直观了。这种现象带 来的问题是直接影响到电路的响应速度，即脉冲 信号的频率受到限制。可见脉冲的宽度和间隔都 不能小于5倍的时间常数τ。
RC微分电路
在下图中，显示出tp = 5τ的波形图，此时电路已不 存在微分特性了。这里体现出事物从量变到质变 的规律。
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9.6.3 RC积分电路
RC积分电路如图（a）所示，
因为在电容器上有电压的积
分表达式，所以在时间常数
很大的情况下，电路中的电
流主要取决于电阻，在零状
此时有
u2
Ri
RC
du1 dt
即输出电压正比于输入电压的
微分，这种电路叫做微分电路。
如果激励源是矩形脉冲，如图(b)，则输出电压是 尖脉冲，如图(c)的波形图。
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RC微分电路
用时域分析的概念来解释，当输入电压正跳变时
电流是最大值，即i(0+)=Um/R，此时输出电压也出
还应该看到电路参数的不同， 对响应产生的影响也能带来 有趣的应用途径。请看：
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9.6.2 RC微分电路
因为电容器上电流正比于电压的微分，如果电路 中引入一个小小的电阻，用该电阻把电流转换成 输出电压，电路如图（a）所示。这里必须保证该 小电阻对电流不产生大的影响，
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§9．6一阶电路的矩形脉冲响应
核心提示： 进一步研究电路中的过渡过程，将会引导我们了 解更多的应用问题。在前面的讨论中一直用直流 电源激励，可是其意义远不止于此。在电子技术 中，数字电路的基本信号是矩形脉冲。如图所示， 在脉冲的前沿相当于电路接通直流电源，这种激 励堪称为阶跃激励；脉冲的后沿相当于又加一个 负的阶跃激励。值得注意 的问题是电路中电感电容对矩 形脉冲激励下的响应会产生什 么影响，这是需要研究的
t
idt
1
0
C
t u1dt 1
R 0
RC
t
0 u1dt
这就找到了输出电压与输入电压的一种近似的积分 关系。这种电路叫做积分电路。
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RC积分电路
如图（b）所示，输入电压是矩形波，由于时间常数比较 大，在脉宽tp期间，u2只出现在指数曲线的起始段，在下 降阶段也如此。不过这种波形还不足以体现出所述的积分 特性。当时间常数很大很大时，输出电压u2越来越处在指 数曲线的起始段，所以u2的上升、下降越来越接近直线， 输出电压愈来愈接近三角波，即输出电压愈来愈接近比例 于输入电压的积分。当然幅度愈来愈小。
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9.6.1寄生参数对矩形脉冲激励下响应的影响
在信号的传输过程中，往往希望响应与激励的波 形保持一致而失真很小。问题是电路中存在电感 和电容，它们带来了十分不利的影响。就拿电容 来说，如图所示的晶体三极管，客观上存在有极 间电容Cbe、Ccb、Cce。在两条导线间自然也存在 着除杂此散之电外容还C有0，引我线们电把感这，些这电些容统称为寄生电容。 都是回避不了的问题。当电路 受到阶跃激励时，三极管输入 端的电压出现跃变是十分困难 的，自然也影响到输出信号。
现正跳变。由于电路的时间常数极小，电容充电 极快，电流衰减也极快，在脉冲的平顶期间（即 脉宽tp）的大部分时间电流为0，则输出电压为0。 这种波形印证了电路的微分特性。 即在脉冲的平顶时间其一阶导 数为0，只有在脉冲跳变时，其 一阶导数才存在。很显然时间 常数越小则微分关系越准确。
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