导数的几何意义练习题及答案

a _ ” a
或“W” )
【巩固练习】 一、选择题
1•一个物体的运动方程为 s 1 t t 2
其中s 的单位是米，t 的单位是秒,
那么物体在3秒末的瞬时速度是（
）
A 在点x x o 处的函数值
B 在点（x o , f （x o ））处的切线与x 轴所夹锐角的正切值
C 曲线y f （x ）在点（x 0, f （x 0））处的切线的斜率
D 点（X 0, f （X 0））与点（0, 0）连线的斜率•
4. （ 2015春 湖北校级期末）已知函数 y=3x 4
+a , y=4x 3
,若它们的图象有公共点，且在公共 点处的
切线重合，则切斜线率为（
）
A . 0
B . 12
C. 0 或 12 D . 4 或 1
5 •已知函数f （X ） x 3
的切线的斜率等于1，则其切线方程有（
）
A . 1条
B . 2条
C.多于2条 D .不确定
6. （2015 上饶三模）定义：如果函数
f （x ）在［a , b ］上存在 X 1, x 2 （av X 1V x ?< b ）满
足
A . 7米/秒
C. 5米/秒
B . 6米/秒 D . 8米/秒
2 •（ 2014东昌府区校级二模）若点
P 在曲线y x 3
3x 2
（3 、、3）x - 上移动，经
过
点P 的切线的倾斜角为
，则角
的取值范围是（
A. 0,- 2
B.
0^ U — 2 3
D.
2
0,— U —,2
2 2 3
3.函数 y f(x)在 x
X 。

处的导数fix 。

）的几何意义是（
f (X 1)
f(b) f(a)
(X 2)
匸0—血，则称函数 f （x ）在［a , b ］上的“双中值函
数”。

已知函数 f(x) X 3
x 2
a 是［0, a ］上的 “双中值函数”，则实数 a 的取值范围是 （ ）
1 1
A .（一，
一）
3 2
B . (|3
)
1
C
(2’1) 1 D .（3」）
7•曲线y f （x）在点（X）, f （X0））处的切线
3x+y+3=0,则f '(x0) 方程为
a _ ” a 或“W” )
&已知曲线1 3
尹2上一点p(1，p,则过点P的切线的倾斜角为
9.已知函数f(x)在x=x o处的导数为11,则lim f(x° x) f(X o)
x 0
10.在曲线y x3 3x2 6x 10的切线中，斜率最小的切线的方程为
11._____________ 若抛物线y=/—x+c上一点P的横坐标是一2，抛物线过点P的切线恰好
过坐标原点, 贝U c的值为。

三、解答题
1 2
12.已知s=—gt2，求t=3秒时的瞬时速度。

2a
13.如果曲线y=«+x— 3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程。

2
14 .曲线y x 4x 上有两点A ( 4, 0)、B (2, 4)。

求：
(1)割线AB的斜率k AB及AB所在直线的方程；
(2)在曲线上是否存在点C,使过C点的切线与AB所在直线平行若存在，求出C点的坐标
及切线方程；若不存在，请说明理由。

15 •已知函数f(x) = X3— 3x及尸f(x)上一点P(1 , - 2)，过点P作直线I.
(1)求使直线I和y= f(x)相切且以P为切点的直线方程；
⑵求使直线I和y= f(x)相切且切点异于点P的直线方程y= g(x).
【答案与解析】
1 •【答案】C
【解析】有定义可求得s'(t) 2t 1, s'(3) 2 3 15
2.【答案】 B
【解析】Q函数的导数y' 3x2 6x 3 •、3 3(x 1)2 .3 . 3 , tan 13，又0 ,
、2 ,
0 或，故选Bo
2 3
3.【答案】 C
【解析】依据定义既能做出正确判断。

4.【答案】C
【解析】设公共点为P( X o，y o)，则在函数y=3x4+a中，
y'l xx o 12x；，
3
则在P点处的切线方程为y y o 12x o(x X o)
4 3
即y (3x0 a) 12x0(x x0)
化简得：y 12x；x 9x：a
在函数y=4x3中，y'L勺12x2
则在P点处的切线方程为y y012x：(x x0)
3 2
即y 4X0 12x0(x X。

)
2 3
化简得，y 12x0 x0 8x()
又两个函数在公共点处的切线重合，
12x；12xo
4
8x；
9x0 a
X0 0 x。

1
或
a 0 a 1
切线斜率为0或12o
5 .【答案】B
【解析】由定义求得y/ =3x2,设切点为(x°,x0)，由3x0 1,得X。

-，即在点
3
11 ,
x
羽73 和点
鱼处有斜率为1的切线，故有两条。

3，9
3 '9
6.【答案】C
【解析】由题意可知，••• f(x) 3 X 2 2
x a , f '(x) 3x 2x 在区间［0, a ］存在 x i , X 2, (avx i vX 2V b ),
满足 f'(xj f'(x 2)
口0
^ a 2
a ,
a
T f (x)
x 3 x 2 a ,
••• f '(x) 3x 2
2x ,
•••方程3x 2
— 2x=a 2
— a 在区间(0, a )有两个不相等的解。

令 g(x) 3x 2
2x
2
a a , (0 v xv
a)
4 12( 2 a a) 0
则 g(0) 2 a a 0
g(a) 2a 2 a 0
解得：1
a 1。

2
一 1
•实数a 的取值范围是(一，1)
2
故选：C
7 •【答案】 V
【解析】 由题知f '(x o )就是切线方程的斜率，即 f'(X o ) 3，故f'(X o ) 0。

&【答案】45 °
10.【答案】 3x —y — 11=0
1
【解析y =^ x 2
— 2,• y '
2 1
lim( x § x)
iJ (x
x)2 2 (
2x2 2)
x
x
1 2
(x) x x lim 2—
x 0
•- y' x k 1= 1..・.点 P(1,
—3 )处的切线的斜率为1,则切线的倾斜角为 45 °
2
【答案】 -11 【解析】
f '(沧) lim f(x 。

x)
f(x
0)
x 0 lim 血
x 0
X) f(X 。

)
由导数的定义知 y/ =3x
2
+6x+6=3()?+2x+1)+3=3(x+l 2+3,所以
当X=— 1时，斜率有最小值为 3。

又因为当x=— 1时，y=—14, 所以切线方程为 y+14=3(x+1),艮卩y=3x — 11。

11.【答案】 4
6 c
【解析】 ••• y / =2x — 1,「. y'|x 2 5。

又 P (— 2 , 6+c ), ••• -- 5，二 c=4。

2
s
-随t 变化而变化,
t s t 越小，一越接近
t
(6+ t)=3g=(米 / 秒)。

13.【解析】 •••切线与直线y=3x+4平行，
•切线的斜率为3。

设切点坐标为(X 0 , y 0),贝y y' |x x 0
3。

当厶 XT 0 时，一y
2x 0
1 ,
X
•- 2x o +1=3 从而 X 0=1o
2
代入 y ° x ° x ° 3 得 y o =— 1。

•切点坐标为(1,— 1) o
切线方程为 y+1=3(x — 1),即卩 3x — y —4=0。

14.［解析】
4 0
(1
)■ k
A B
2 4
2
,
•割线AB 所在直线方程是y=—2(x — 4), 即 2x+y — 8=0。

(2)由导数定义可知 y/ =— 2x+4,— 2x+4=— 2,
• x=3, y=— 32+3X 4=3。

•••在曲线上存在点 C ,使过C 点的切线与AB 所在直线平行，C 点坐标为(3, 3), 所求切线方程为2x+y — 9=0。

于一个定值，由极限定义可知，这个值就是
0时，—§的极
限。

t V= lim
x 0
s
=
lim x 0
s(3
lim
x 0
03
t)2
1 2
劳
3
lim
x 0
【解析】
12.【解析】由题意可知某段时间内的平均速度
又 _y f(x) X) f(X °) (X g
X)2 (X 0
x) 3
2
X 0
X
0 3
(x)2 2x 0 x x
X
c 0
丿
x 2x 1 o
3 2 3
【解析】⑴ y' f'(x) lim & x) 3(x x) 3x 3x
x 0x 则过点P且以P(1 , - 2)为切点的直线的斜率
K f'(1) 0 ,
•••所求直线方程为y=—2.
3
(2)设切点坐标为(X o,X o 3x o),
则直线I的斜率k2 f '(x0) 3x2 3
•直线I的方程为y (x3 3x。

) (3x：3)(x沧)
又直线I过点P(1,—2),
3 2 (x o 3x o )(3xo 3)(1 X
o),
3 2
• X o 3x o 2 (3x o 3)(X o 1),
解得x o= 1(舍去)或x o 1 2 .
故所求直线斜率k 3妨 3
9
4
于是：y ( 2)
9(x 1), 即y
9 1
X
4 4
15. 3x2 3。