资本资产定价模型 CAPM 详细数学推导过程
资本资产定价模型计算公式
资本资产定价模型计算公式资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）是经济学中的一种模型，用于计算风险资产预期收益率的工具。
该模型提供了一个框架，通过衡量风险和预期收益率之间的关系，来评估资本市场中的资产定价。
CAPM最早是由美国学者威廉·夏普（William F. Sharpe）、约翰·林特纳（John Lintner）和雅克·图勒（Jan Mossin）在1960年代提出的。
CAPM的计算公式如下：E(R)=Rf+β(Rm-Rf)其中，E(R)代表资产或投资组合的预期收益率，Rf为无风险利率，β为该资产或投资组合相对于市场的β系数，Rm为市场收益率。
下面我将详细解释CAPM模型的计算公式：1.无风险利率（Rf）：该利率是指投资者放弃风险以获得确定利润的理论下限。
一般来说，公债利率（如国债利率）被视为无风险利率。
这是因为政府发行的公债被认为是无违约风险的，因此投资者可以放心地将其利率作为无风险投资的预期收益率。
2.β系数（β）：β系数衡量了一个资产或投资组合相对于整个市场的波动性。
它表示了一个资产价格相对于市场整体价格波动的敏感程度。
β系数越高，意味着资产或投资组合的价格波动与市场的价格波动关联度越大；β系数越低，表示资产或投资组合与市场的价格波动关联程度较小。
β系数可以通过回归分析计算。
3.市场收益率（Rm）：市场收益率是指所有证券的加权平均收益率，它代表了整个市场的风险和回报。
按照CAPM的假设，资本市场中的所有投资者都是风险厌恶者，他们在预期获得更高的收益时，愿意接受更高的风险。
因此，市场收益率是衡量风险资产预期收益率的参考指标。
根据CAPM的计算公式，我们可以计算资产或投资组合的预期收益率。
预期收益率的计算方法如下：E(R)=Rf+β(Rm-Rf)其中，E(R)为预期收益率，Rf为无风险利率，β为该资产或投资组合的β系数，Rm为市场收益率。
资本资产定价模型CAPM和公式
资本资产定价模型CAPM和公式资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是一种金融模型，用于估算资产价格与风险之间的关系。
CAPM模型假设投资者在资产配置的过程中决策基于风险和预期收益，通过计算其中一资产的预期收益率，可以确定该资产的合理价格。
下面将详细介绍CAPM模型的原理和公式。
CAPM模型的基本原理：CAPM模型是由美国学者Sharpe、Lintner和Mossin等人在1960年代提出的。
该模型基于以下几个假设：1.投资者的决策基于预期收益和风险。
投资者倾向于追求高收益且厌恶风险。
2.投资者会将资金分散投资在多个资产上，以降低整体风险。
3.资本市场的效率假设，即投资者可以自由买入或卖出任何资产，并且资产价格反映市场上所有信息的整体预期价值。
CAPM模型的公式：CAPM模型的核心公式是：E(Ri)=Rf+βi(E(Rm)-Rf)其中E(Ri)：表示资产i的预期收益率。
Rf：表示无风险资产的收益率。
βi：表示资产i的β系数，用于衡量资产i相对于市场整体风险的敏感程度。
E(Rm)：表示市场整体的预期收益率。
公式中的Rf是无风险利率，可以选择国债利率等稳定且无风险的投资收益。
资产i的β系数衡量资产i相对于市场整体风险的敏感程度，β系数越大表示资产i的风险越高，反之亦然。
市场整体的预期收益率E(Rm)可以通过历史数据或其他方法进行估算。
CAPM模型的应用：CAPM模型可以应用于多种情况，比如投资组合的优化、资产定价和投资决策等。
通过计算资产的预期收益率，我们可以判断该资产的价格是否被市场低估或高估。
如果资产的实际收益率高于其预期收益率，我们可以认为该资产被低估，反之亦然。
尽管CAPM模型在理论上存在一些假设和限制，但它仍然是衡量资产风险和收益之间关系的重要工具。
通过对CAPM模型的研究和应用，我们可以更准确地估算资产的风险和收益，从而做出更明智的投资决策。
对CAPM模型的详细总结
对CAPM模型的详细总结CAPM（Capital Asset Pricing Model，资本资产定价模型）是一种用于确定资本资产预期回报率的模型。
它的基本假设是，资产的回报率是由市场风险决定的，并且资本市场是完全有效的。
以下是CAPM模型的详细总结：1.基本假设：-市场风险是资产回报率波动的唯一因素。
-资本市场是完全有效的，投资者可以充分获得信息并进行理性决策。
- 所有投资者在风险上是相同的，对于风险的敏感程度可以通过beta系数来衡量。
-无风险利率是恒定且无风险的。
-所有投资者都是风险厌恶的，希望在承担相同风险的情况下获得更高的回报。
2.CAPM公式：- E(Ri) = Rf + beta(Rm - Rf)-E(Ri)表示资产i的预期回报率。
-Rf表示无风险利率。
- beta表示资产i的系统性风险，即资产相对于市场整体风险的敏感程度。
-Rm表示市场平均回报率。
3.解释CAPM公式：-公式中的第一项（Rf）表示无风险投资的回报率，它作为投资者对承担风险的最低回报率。
- 公式中的第二项（beta(Rm - Rf)）表示投资者预期从承担市场风险中获得的额外回报率。
- beta衡量资产i与整个市场的相关性和相对风险。
当beta大于1时，资产i的波动将比整个市场大。
当beta小于1时，资产i的波动将比整个市场小。
当beta等于1时，资产i的波动将与整个市场相同。
4.使用CAPM模型的步骤：-确定无风险利率（Rf）：通常使用国债利率作为无风险利率。
- 计算资产i的beta系数：通过回归分析，比较资产i与市场整体的波动性，计算出资产i的beta系数。
-确定市场平均回报率（Rm）：通过历史数据或经验方法确定市场平均回报率。
- 根据CAPM公式计算资产i的预期回报率（E(Ri)）：将无风险利率、beta系数和市场平均回报率带入公式计算。
5.CAPM模型的优点：-简化了资本资产定价的计算过程，通过一个简单的公式即可计算出资产的预期回报率。
资本资产定价模型CAPM
资本资产定价模型CAPM资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）是现代金融理论中的重要模型之一，用于评估投资组合的预期回报与风险之间的关系。
CAPM基于市场有效性假设，认为投资组合的回报与其系统性风险（即与市场风险有关的风险）成正比。
CAPM模型的数学表达式为：E(Ri) = Rf + βi * (E(Rm) - Rf)其中，E(Ri)代表投资组合i的预期回报，Rf代表无风险利率，βi代表投资组合i的系统性风险，E(Rm)代表市场的预期回报。
CAPM模型的核心思想是投资者对风险敏感度不同，不同风险的资产应该有不同的预期回报，而系统性风险是不可避免的风险，因为它与整个市场相关。
因此，投资者对系统性风险的敏感度可以通过βi来衡量。
CAPM模型的主要假设是投资者是风险厌恶的，他们希望得到最大的预期回报，同时承担最小的风险。
基于这个假设，投资者将会根据系统性风险来决策，即只承担与市场相关的风险，并且市场的平均回报被视为投资者的风险补偿。
CAPM模型的应用主要有两个方面：一是通过测量β值，可以评估一个投资组合相对于整个市场的风险敏感性；二是通过计算预期回报，可以衡量一个投资组合能否获得超额回报（即超过无风险利率的回报）。
然而，CAPM模型也有一些局限性。
首先，它基于一系列假设，包括市场有效性假设、风险厌恶假设等，而这些假设在现实中可能并不完全成立。
其次，CAPM模型只考虑了与整个市场相关的风险，而忽视了非系统性风险（即与特定投资组合相关的风险），这可能会导致对投资组合风险的不准确评估。
因此，当使用CAPM模型进行投资决策时，投资者应该认识到其局限性，并综合考虑其他因素，如公司基本面、行业前景等。
同时，市场中也存在其他多因子模型，可以更全面地评估投资组合的风险和回报关系。
CAPM模型是金融理论中，用于定价资本资产的一种重要工具。
该模型基于一系列假设，如市场有效性假设和投资者风险厌恶的假设，旨在帮助投资者评估投资组合的预期回报与风险之间的关系。
资本资产定价模型(CAPM)详细数学推导过程
ErP x E rM 1 x r f
P P E rM 1 M M
E rM
rf
P
M
P rf
rf
M
E rM r f
M
P rf
故： E rP
E ri E rM
1 1 2 2 2 x i 2x 1 M 2 4 x Covri , rM 2 2 2 2 2 x i (1 x) M 2 x(1 x)Covri , rM
2E ri E rM
E rM r f
M
P r
可见：CML 的斜率为
E rM r f
M
，它在纵轴上的截距为 r f 。
任何在资本市场线上资产组合， 都是具有均值方差效率的资产组合， 而单一证券和无效 率的证券组合必然位于该线的下方。处在均衡状态下的证券市场有两个特征： （1）资本市场线的截距被视为等待（时间）的报酬（无风险证券收益率） ； （2）资本市场线的斜率就是承受每一单位风险的所得到的报酬。 CML 也可以表示为：
即：
iM i E rM r f M
E ri r f
Er r
M f
M
iM
i
，可以这样理解： ）
对于上式右侧的风险补偿的第二个部分（
E r r
M f
M
iM
由于整个市场存在风险，那么对它给予的风险补偿应是 E rM r f ，注意到市场风险 的大小是用 M 来表征的， 于是
dE rP ）和 EF-Ⅰ在 M 点的导数相同，由前面 d P x 0
第3章02 资本资产定价模型CAPM
两种风险
系统性风险 指市场中无法通过分散投资来消除的风险,也被称做为市场风 险（market risk）。比如说：利率、经济衰退、战争，这些都 属于不可通过分散投资来消除的风险。
非系统性风险 也被称做为特殊风险（Unique risk 或 Unsystematic risk），这是 属于个别股票的自有风险，投资者可以通过变更股票投资组合 来消除的。从技术的角度来说，非系统性风险的回报是股票收 益的组成部分，但它所带来的风险是不随市场的变化而变化的。
第三章之2 资本资产定价模型CAPM
马科威茨模型的均值方差模型提出的证券选择问题，解决了最优地持有有效证券组合， 即在同等收益水平之下风险最小的证券组合。夏普等人在该模型基础上发展了经济含义。 任何证券组合收益率与某个共同因素的关系，即资产定价模型（CAPM）。
资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model 简称CAPM）是由美国学者夏普（William Sharpe）、林特尔（John Lintner）、特里诺（Jack Treynor）和莫辛（Jan Mossin）等人在 资产组合理论的基础上发展起来的，是现代金融市场价格理论的支柱，广泛应用rm efficiency）：信息集包括任 何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市场 不仅反映了有关该证券过去的信息和公布于众 的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人信 息 强有效表明，即使是内线人（insider）也无法垄 断信息，研究者的成果与基金管理者对市场的 评估均已反映到市场价格中 一些学者用统计检验方法证明，对于半强有效， 在一些规范成熟的证券市场中成立 证券市场中许多异常现象（anormal phenomenon） 说明，市场不符合强有效 在实际证券市场中应用CAPM，还有很大障碍
CAPM的推导
CAPM 的推导均值方差分析 n 种风险资产1(,)n r r r =111212122211n n n n nn V σσσσσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求解：2in .. 1T p T p T M mize w Vw s t w r r w I σ===构造拉格朗日函数：12()( 1)T T T p w Vw w r r w I λλ+-+-解得：[]112112w V r λλ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令：111T T T a r V r b r V I c I V I---=== [][]112111T T TT T a b r V rr V I d ac b r I V rI b c r V II V I -----⎡⎤⎡⎤=-===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11221p r d λλ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是：[]1111p r w V r d --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21211111p p T p p p r cb r w Vw r d r b a ac b σ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎣⎦⎣⎦⎣⎦进一步:22221()(2)p p p p p c b a r r cr br a d c c dσ=-+=-+ 最小方差组合点：2220p g gb cr r σ∂=-+=∂推出：21g g b r c cσ==[][]111121111g g b c b c V r b a r V I w V r d ac b c ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎣⎦===⎢⎥-⎣⎦均方效率资产组合的特征定义效率曲线上，任意两种资产组合（期望收益）的协方差：[][][][]21111121211121121cov(,)11:cov(,)11Tr r r r w Vw r d V VV rI d I r V VV r I dI r so r r r d -------⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可以证明：除了最小方差资产组合点g w 外，对于均方效率曲线上任意一资产组合点p w ，总能够在最小方差曲线上找到另外唯一一点o w ，使得他们的协方差等于0，称他们为一对正交资产。
资本资产定价模型
推导资本资产定价模型---严格方法为了更严格地推导CAPM ，我们回到第六章的分析。
回忆第六章第一节，我们允许卖空及投资者可以以无风险利率无限借贷的条件下求出最优组合。
最优解就是找到组合的构成，使得纵轴上的无风险利率和组合本身的直线的斜率达到最大值。
如第六章所示，这包括最大化目标函数：P FPR R θσ-=，约束条件为11Nii X==∑；这是一个有约束条件下的最大化问题，对此我们利用下面的方法进行求解。
以2个变量为例，约束条件121X X +=。
首先：12121()F F F F F R R X X R X R X R ==+=+，将其带入目标函数得：211122112222222221122121222111()()()2iiFi F F i i ij i j i i j j i X R RX R R X R R X X X X X X X θσσσσσ====≠--+-==⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑最大化问题就是找到下面联立方程组的解：1200d dX d dX θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 现在对此方程组进行讨论。
若记222211122211221212()(),2F F F X R R X R R F X X X X σσσ=-+-=++ ，则1212F F θ-=⋅，那么有1112212212121111()dF dF d dF F F F dX dX dX dX θ---=⋅=⋅+⋅。
又因为：111F dF R R dX =-; 13332222222222111222111221111(22)()22dF dF F F X X F X X dX dX σσσσ----=-=-+=-+ 所以有:312221211122211()()F d F F X X F R R dX θσσ--=-⋅++⋅-3122212111222110()()0F d F F X X F R R dX θσσ--=⇒-⋅++⋅-= 上式两边同时乘以122F ，则有：1212111221()()0F F F X X R R σσ--⋅++-=定义112F F λ-=⋅，则相应于10d dX θ=，得到方程：2111221()()0F X X R R λσσ-++-= 根据12,X X 的对称性，我们知道： 相应于20d dX θ=，可以得到方程：2221212()()0F X X R R λσσ-++-= 即，可以得到方程组21112212221212()()0()()0F F X X R R X X R R λσσλσσ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩ 对于N 个变量的情况，最大化目标函数P FPR R θσ-=，对组合中所有证券求θ的导数，并令每一方程式等于0，那么可以得到下列一组联立方程形式：21122()k k k k Nk N k F X X X X R R λσσσσ+++++=-(1.1)这一方程对每一证券都成立，且对市场中每一证券都存在一个这样的方程。
资本资产定价模型CAPM详细数学推导过程
资本资产定价模型CAPM详细数学推导过程资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）是一种金融模型，用于描述资产预期回报率与其系统风险之间的关系。
CAPM是由美国经济学家Sharpe、Lintner和Mossin于1960年代提出的。
该模型假设投资者风险厌恶，并通过协方差矩阵来度量资产间的系统风险。
首先，我们将推导CAPM的数学模型。
设V为其中一资产的价值，R为该资产的回报率，市场上的资产组合的回报率为R_m，风险无关回报率（risk-free rate）为R_f，那么CAPM的数学表达式如下：E(R)=R_f+β(R_m-R_f)其中，E(R)表示资产的期望回报率，β为资产的系统风险系数，R_m-R_f为市场风险溢价。
我们要推导出这个等式。
根据市场均衡理论，投资者倾向于构建一种投资组合，该组合的风险与市场相同，因此回报率也与市场的回报率相同。
假设投资者以最小化方差的方式来构建投资组合，那么市场组合的回报率R_m可以表示为所有资产回报率的加权平均：R_m=w_1R_1+w_2R_2+...+w_nR_n其中，w_i表示投资者对第i个资产的权重，R_i表示第i个资产的回报率。
根据风险厌恶假设，我们知道投资者倾向于拥有最低方差的投资组合，因此投资者会以最小化下式的方式选择资产权重：min Var(R_m) = min w_1^2Var(R_1) + w_2^2Var(R_2) + ... +w_n^2Var(R_n) + 2w_1w_2Cov(R_1, R_2) + ...其中，Cov(R_i, R_j)表示第i个资产和第j个资产的协方差。
为了最小化这个方差，投资者需要通过拉格朗日乘数法来求解。
我们设L为拉格朗日函数，将方差的最小化问题转化为求解以下约束条件下的最大化问题：L = w_1^2Var(R_1) + w_2^2Var(R_2) + ... + w_n^2Var(R_n) +2w_1w_2Cov(R_1, R_2) + ... - λ(w_1 + w_2 + ... + w_n - 1)其中λ为拉格朗日乘数。
第7章-资本资产定价模型
• 需要注意的是，资本市场线代表有效组合预期收益 率和 标准差之间的均衡关系，它说明了有效投资组 合和回报率之间的关系及衡量其风险的适当方法， 但没有说明对于无效投资组合即单个证券的相应情 况。
• 对于这样的一种情况，夏普（1964）在他的研究中 指出，分析可以通过一种相关但不相同的方法得到 扩展。
• 其中，
i
cov(ri , rM
2 M
)
Beta系数定理
假设在资产组合中包括无风险资产，那么，当市
场达到买卖交易均衡时，任意风险资产的风险溢
价E(ri)-rf与全市场组合的风险溢价E(rm)-rf成正 比，该比例系数即Beta系数，它用来测度某一资
产与市场一起变动时证券收益变动的程度。
上述β系数定理可以表示为：
投资者持有的最优资产组合中不包括某只股票 X。这就意味着市场中所
有投资者对该股票的需求都为零，因此，该股票的价格将会下跌，当股
价变得异常低廉时，它对投资者的吸引力就会相当大。最终，投资者会 将该股票吸纳到最优股票的资产组合中。因此，价格的动态调整保证了 所有股票都能进入最优资产组合中，问题只在于以什么价位进入。
E(ri)-rf＝βi[E(rM)-rf] 其中：
（7.3）
βi＝cov(ri,rM)/σM2
（7.4）
17
资本资产定价模型
将公式（7.4）的β系数代入公式（7.2），得
到：
E(ri)=rf+[E(rm-rf)]β
（7.5）
该式即是CAPM的经典形式——期望收益－β关
系。
18
CAPM模型的意义
市场组合的收益可以表示为组合中每个资产收益率的加权
E(ri)rf
E(rj)rf
金融数学公式总结精算5篇
金融数学公式总结精算5篇篇1一、引言金融数学是运用数学理论和方法对金融市场进行定量分析和研究的一门学科。
在金融数学中，众多数学模型和公式用于对金融风险、资产定价和投资策略等进行精准评估。
本文旨在总结和归纳金融数学中的一些核心公式和精算方法。
二、资产定价与回报模型1. 资本资产定价模型（CAPM）CAPM公式用以确定资产的合理预期回报率，其表达式为：\(E(R_i) = R_f + β_{i}(E(R_m) - R_f)\)其中\(E(R_i)\)为资产i的预期回报率，\(R_f\)为无风险利率，\(β_{i}\)为资产i的系统风险，\(E(R_m)\)为市场平均预期回报率。
2. 布莱克-舒尔斯期权定价模型（Black-Scholes Model）该模型提供了欧式期权理论价格的公式，公式如下：\(C = S \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-r(T-t)} \cdot N(d_2)\)其中C是期权价格，S是股票价格，K是行权价格，r是无风险利率，T是到期时间，t是当前时间，N表示正态分布函数中的变量。
具体N的计算基于标准正态分布累积函数和参数。
此公式广泛应用于金融衍生品定价。
三、风险评估与计量模型1. 在险价值（Value at Risk, VaR）与条件在险价值（Conditional Value at Risk, CVaR）VaR是衡量在一定概率水平下资产或投资组合可能遭受的最大潜在损失的计算方式。
例如，某一投资组合的VaR为一百万表示在某特定置信水平下投资组合的潜在损失不会超过一百万。
CVaR则是在给定的置信水平下，投资组合损失超过VaR部分的期望值。
二者的计算涉及历史模拟法、参数法和蒙特卡洛模拟等。
具体公式根据方法的不同有所区别。
四、投资组合优化模型现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory）与马科维茨投资组合优化篇2一、引言金融数学作为金融学与数学的交叉学科，利用数学工具来分析和解决金融问题。
CAPM模型的推导过程
CAPM模型的推导过程第一步：建立假设第二步：确定投资组合在CAPM模型中，投资者通过构建投资组合来平衡风险和回报。
假设有n个不同的资产，投资者可以在这些资产上进行投资。
为了简化分析，我们假设投资者只能在无风险资产和一个风险资产之间选择。
第三步：确定资产收益率设总资产回报的期望值为E(R_p)，其中R_p是投资者投资组合的收益率。
那么，资产i的收益率R_i可以用以下公式表示：R_i=R_f+β_i(E(R_m)-R_f)+ε_i其中，R_f是无风险利率，E(R_m)是市场组合的期望回报率，β_i是资产i的贝塔系数，ε_i是资产i的无系统风险。
第四步：确定市场组合的期望回报率市场组合的期望回报率E(R_m)可以通过对市场历史数据进行分析来估计。
第五步：确定资产i的贝塔系数贝塔系数β_i用来衡量资产i的系统风险相对于市场组合的敏感性。
它可以通过计算资产i与市场组合之间的协方差与市场组合方差之比来估计。
第六步：计算资产的预期回报率根据上述公式，可以计算出资产i的预期回报率，即E(R_i)=R_f+β_i(E(R_m)-R_f)。
第七步：计算资产的风险溢价资产i的风险溢价是指预期回报率与无风险利率之差，即E(R_i)-R_f。
第八步：验证模型在推导出CAPM模型后，需要对模型进行验证。
一种常用的方法是通过对大量历史数据进行回归分析，来检验模型的有效性。
总结：通过以上步骤，可以得到CAPM模型的基本形式：E(R_i)=R_f+β_i(E(R_m)-R_f)其中，E(R_i)是资产i的预期回报率，R_f是无风险利率，β_i是资产i的贝塔系数，E(R_m)是市场组合的期望回报率。
CAPM模型的推导过程可以帮助投资者了解资本市场上的风险和回报之间的关系，从而做出更加明智的投资决策。
然而，需要注意的是，CAPM模型是基于一系列假设之上的简化模型，实际应用中可能存在一些局限性。
因此，在使用CAPM模型时，应该结合实际情况进行综合分析，以获取更准确的结果。
CAPM模型的推导过程
CAPM模型的推导过程第一步：假设：CAPM模型的推导过程首先需要一些基本假设。
我们假设市场是完全的，即投资者能够无限制地买卖任何资产，并且市场上的资产是完全可分的，没有重复的风险。
同时，我们假设投资者是理性的，目标是最大化自己的效用。
第二步：资本市场线：在CAPM模型中，我们假设投资者的资产组合分为两个部分：市场组合和无风险资产。
市场组合是由所有可交易的资产按市值加权组成的组合，无风险资产的收益率为常数。
通过线性组合，我们可以将所有的资产组合表示为市场组合与无风险资产的组合。
第三步：风险与回报的关系：假设投资者是理性的，并期望在给定的风险水平下，获得最大的期望收益。
根据这一假设，我们可以得到资本市场线与有效边界的切点。
在资本市场线上的每个点处，投资者的预期回报等于该点的资本市场线斜率，即该点的风险溢价。
第四步：风险溢价的计算：根据风险与回报的关系，我们可以得到投资者对于额外单位风险愿意支付的预期回报。
这一额外的回报称为风险溢价。
根据投资组合的标准差，我们可以度量风险的大小。
因此，风险溢价等于该资产的贝塔系数与市场风险溢价之间的乘积。
贝塔系数衡量资产相对于市场组合的波动性。
第五步：资本资产定价方程：通过对风险溢价进行进一步的数学推导，我们可以得到资本资产定价方程。
该方程表示，资产的期望收益率等于无风险利率加上该资产的贝塔系数与市场风险溢价之间的乘积。
第六步：测试和应用：最后一步是测试和应用CAPM模型。
我们可以通过回归分析的方法，以市场组合的回报率为因变量，以个别资产回报率与市场组合回报率之间的协方差为自变量，对CAPM模型进行估计。
同时，我们还可以应用CAPM模型来评估不同资产的风险和回报特征，并为投资决策提供参考。
总结：CAPM模型是通过一系列假设和数学推导得到的资产定价模型，用来估计资产的期望收益率。
其核心思想是风险与回报之间存在正比关系，投资者愿意为承担更高风险所支付的额外回报。
通过测试和应用CAPM模型，我们可以评估不同资产的风险和回报特征，并对投资决策提供支持。
capm推导过程
capm推导过程好嘞，下面咱就聊聊 CAPM 推导过程这事儿。
CAPM 全称是资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model），这玩意儿在金融领域那可是相当重要。
就好比是一把神奇的钥匙，能帮咱打开理解资产定价的神秘大门。
咱先来说说它的基础。
CAPM 建立在一些关键的假设之上。
比如说，投资者都超级理性，市场信息完美透明，没有啥交易成本，资产无限可分。
这是不是听起来有点像理想国？可别小看这些假设，就像盖房子得有坚实的地基一样，这些假设就是 CAPM 的根基。
那 CAPM 到底是咋推导出来的呢？这就好比是一场精彩的探险之旅。
咱先从投资者的期望收益说起。
投资者都想赚钱，对吧？那他们就得考虑风险和收益的平衡。
这就像是走钢丝，得小心翼翼保持平衡，不然就掉下去啦。
然后呢，引入了市场组合这个概念。
市场组合就像是一个超级大杂烩，包含了所有的资产，而且比例恰到好处。
这就像是一个完美的大拼图，把所有的小块都拼在了一起。
再来说说风险的分解。
风险可以分成系统性风险和非系统性风险。
系统性风险就像老天爷的脾气，咱没办法控制；非系统性风险呢，就像是自己不小心摔了一跤，能通过小心谨慎避免。
接下来，通过一系列复杂又精妙的数学运算和推理，就得出了CAPM 的公式。
这公式就像是一个神秘的密码，能告诉咱资产的合理定价。
你想想，如果没有 CAPM，金融市场不就像没头的苍蝇乱撞？大家都不知道该怎么给资产定价，那不是乱套了吗？CAPM 虽然有它的局限性，可就像人没有十全十美的，它在很多情况下还是能给咱提供有价值的参考。
总之，CAPM 的推导过程虽然有点复杂，但搞明白了，对咱理解金融市场那可是大有益处。
它就像一盏明灯，在资产定价的黑暗中为咱照亮前行的路。
资本资产定价模型(CAPM)
资本资产定价模型（CAPM）（一）资本资产定价模型的基本原理R=Rf+β×(Rm-Rf)R表示某资产的必要收益率；β表示该资产的系统风险系数；Rf表示无风险收益率，通常以短期国债的利率来近似替代；Rm表示市场组合收益率，通常用股票价格指数收益率的平均值或所有股票的平均收益率来代替；(Rm-Rf)称为市场风险溢酬。
（二）证劵市场线（SML）把资本资产定价模型公式中的β看作自变量（横坐标），必要收益率R作为因变量（纵坐标），无风险利率(Rf)和市场风险溢酬(Rm-Rf)作为已知系数，那么这个关系式在数学上就是一个直线方程，叫做证劵市场线(SML)，即下列关系式所代表的直线：R=Rf+β×(Rm-Rf)【例2-18】某年由MULTEX公布的美国通用汽车公司的β系数是1.170，短期国库券利率为4%，标准普尔股票价格指数的收益率是10%，那么，该年通用汽车股票的必要收益率应为：R=Rf+β×(Rm-Rf)=4%+1.17×(10%-4%)=11.02%。
（三）证券资产组合的必要收益率证券资产组合的必要收益率=Rf+βp×(Rm-Rf)此公式与前面的资本资产定价模型公式非常相似，它们的右侧唯一不同的是β系数的主体，前面的β系数是单项资产或个别公司的β系数；而这里的βp则是证券资产组合的β系数。
【例2-19】假设当前短期国债收益率为3%，股票价格指数平均收益率为12%，并利用【例2-17】中的有关信息和求出的β系数，计算A、B、C三只股票组合的必要收益率。
三只股票组合的必要收益率R=3%+1.09×(12%-3%)=12.81%。
（四）资本资产定价模型的有效性和局限性1.有效性（略）2.局限性：①某些资产或企业的β值难以估计，特别是对于一些缺乏历史数据的新兴行业；②由于经济环境的不确定性和不断变化，使得依据历史数据估算出来的β值对未来的指导作用必然打折扣；③资本资产定价模型是建立在一系列假设之上的，其中一些假设与实际情况有较大偏差，使得资本资产定价模型的有效性受到质疑。
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x 和 (1 x) ，无风险证券与市场组合组成的投资组合 P 的预期收益率期望为 ErP ，方差为
2 P
。那么这个新组合的预期收益率的期望和方差为：
ErP x ErM 1 x rf
P 2 x 2 M 2 (1 x)2 f 2 2x(1 x) Mf M f x 2 M 2
x2i2
(1
x)2
M
1 2
2x(1
x)Covri , rM
2x i2
2x
1 M
2
2
4xCovri , rM
2Eri
ErM
2x
2 i
x2 i2 (1 x)2 M 2 2x(1 x)Covri , rM 2x 1 M 2 2 4xCovri , rM
将 x 0 代入上式，可知：
。
任何在资本市场线上资产组合，都是具有均值方差效率的资产组合，而单一证券和无效
率的证券组合必然位于该线的下方。处在均衡状态下的证券市场有两个特征：
（1）资本市场线的截距被视为等待（时间）的报酬（无风险证券收益率）；
（2）资本市场线的斜率就是承受每一单位风险的所得到的报酬。
CML 也可以表示为：
ErP rf
市场风险”
ErM rf
M
与 证 券 i 的 市 场 风 险 iM i 相 乘 ， 那 么 他 们 的 乘 积
ErM rf
M
iM i 当然就是证券 i 的风险补偿了。
这样我们利用资本资产定价模型（ Eri rf i ErM rf ）就可以对任一证券的
预期收益率的作出期望（估计），但是这里的关键因素是要估算出 ，现实中，如果证券市
9.4 关于 的进一步讨论
图 9-3 证券市场线（SML）
系数的一个重要性质是具有线性可加性，即在一个包含 n 项证券（资产）的投资组
n
合里，各项证券（资产）的比重是i ， 系数是 i ，则组合的 系数为 i i 。 i 1
一项资产的风险补偿应当是它的 系数乘以有风险资产的市场组合的风险补偿。
这个方程表示的是证券 i 和市场组合 M 形成的特殊组合的投资可行集，它们所组成的
有效前沿是可行集的一个子集。
如图 9-2 所示：
EF-Ⅰ是包含全部风险证券的有效前沿，EF-Ⅱ是证券 i 和市场组合 M 形成的特殊组合
的有效前沿，因为， i 与 M 的组合的可行集是全部风险证券可行集的一个子集，那么 EF-
,
rM
2
那么，
dErP
dErP dx
d P
d P
dx
2Eri
ErM
2x i2
x2
2 i
(1
x)2
M
2
2x(1
x)Covri
,
2x 1 M 2 2 4xCovri , rM
rM
推导过程：
dErP
dErP dx
d P
d P
dx
1 2
x2 i2
(1 x)2 M 2
Eri ErM
定组合的预期收益率，但是此时，资本市场线并不能给我们提供每一个证券的预期收益率。 9.3 证券市场线（Security Market Line，简称 SML）
为了推导出最终的 CAPM 模型，我们还要再构造一个特殊的投资组合。这个投资组合
由某一个证券 i 和市场组合 M 形成的组合。这个证券 i 和市场组合 M 在这个特殊组合中的
CAPM 模型的标准形式要求市场中必须有利率为 rf 无风险证券，而且要求在一定的限
度内，人们可以自由地以 rf 这个利率借或贷资金。
但是，在实际生活上，这些是不存在的，其理由如下： （1）在全球性的通货膨胀中，即使对于政府发行的国库券，虽然利率是不变的，但这 个利率是名义利率，由于存在通货膨胀，其实际利率仍是变化的，因此也是有风险的。 （2）要求借款和贷款和利率是一样的，这在现实世界里不大可能实现。一般情况下借 款利率高于贷款利率，所以不存在一个无风险投资。
即：
P
xM
，可知： x P M
，代入新组合 P 的期望公式，得到：
ErP x ErM 1 x rf
P M
ErM
1
P M
rf
ErM
M
P
rf
rf M
P
ErM rf
M
P
rf
故： ErP
ErM rf
M
P
r
可见：CML 的斜率为 ErM rf
M
，它在纵轴上的截距为 rf
基于上述的理由，如果市场中没有这样的无风险证券呢，情况又会怎样呢？布莱克
（Black，1972）在没有风险资产的条件下给出了更一般形式的 CAPM 模型，称为零 资本
资产定价模型。在这一模型中，任意资产 i 的期望超额收益可以通过它的 系数表示为市场
组合收益和关于市场组合的零 资产组合（与市场组合不相关的资产组合）收益的线性函
数，即：
Eri Er0M iM ErM Er0M
这就是我们千呼万唤的 CAPM 模型。它有时候也可以表示成为：
Eri rf i ErM rf
CML
EF-Ⅰ
EF-Ⅱ
图 9-2 资本市场线（CML） 从 CAPM 模型，我们可以看到，任一证券的期望收益率可分成两部分：一部分是无风险 利率 ，另一部分是由于风险存在而增加的利率补偿 ，风险越大，则第二部分也就越大，亦 即对该证券的期望收益率就越大，这是与我们的生活常理相符合的。
dErP
d P x0
Eri ErM Covri , rM
2 M
M
ErM rf
M
化简这个公式：
Eri rf
Covri , rM
2 M
ErM rf
设 i
Covri , rM
2 M
，那么：
任何一个证券 i 的预期收益率的期望可以表达为：
Eri rf i ErM rf
权重分别为 x 和1 x ，其中， 0 x 1 中，可以知道： 当 x 0 时，证券市场是均衡的（因为 i 证券可以代表市场中的任何一只证券，如果
对任何一个证券都不存在过度需求，那此时证券市场是均衡的。）；
当 x 0 时，证券市场是不均衡的，也就是说市场上存在着对于这个 i 证券的过度需
投资者总是持有无风险证券和市场组合（市场组合又是风险被充分分散化后的组合或者说市
场组合仅仅含有不可分散风险而不再包含可分散风险了），因此，资本市场线告诉我们：
（1）持有充分分散的市场组合时，我们可以用 P 表示其风险水平，否则用 P 表示组
合的风险不一定适当； （2）仅仅当投资者持有市场组合和无风险证券的某种组合时，才能用资本市场线来确
以上给出的关于 CAPM 的推导过程其实就是 Sharpe 的推导方法，事实上有另外一个叫作 Linter 的学者和 Sharpe 一样在上个世纪的六十年代给出了和 Sharpe 完全不一样的思路的 关于 CAPM 的证明。 9.5 放弃部分假设的 CAPM 模型
在前面的分析中，我们给出了 CAPM 模型的八个假设，事实上呢，有一些假设的提出是 为了分析的方便，而并不符合实际情况，现在我们来试图放弃一些假设，看看 CAPM 模型能 否继续存在。 9.4.1 不存在无风险证券的情形
Ⅱ肯定位于 EF-Ⅰ的右下方，当且仅当 x 0 时， i 和 M 的组合过 M 点，即 EF-Ⅱ过 M 点，
那么 EF-Ⅱ必然与 EF-Ⅰ相切，且切点为 M 。
那么， EF-Ⅱ在 M 点切线的导数（ dErP ）和 EF-Ⅰ在 M 点的导数相同，由前面
d P x0
的讨论我们知道 EF-Ⅰ在 M 点的导数即是 CML 的斜率 ErM rf ，那么：
M
iM i
对于上式右侧的风险补偿的第二个部分（ ErM rf M
iM ），可以这样理解：
由于整个市场存在风险，那么对它给予的风险补偿应是 ErM rf ，注意到市场风险
的大小是用
M
来表征的，于是
ErM
M
rf
就可理解为“平均单位市场风险”给予的补偿，
现在证券 i 的风险为 i ，将它“折算”成市场风险，则其折算值即是 iM i ，将“平均单位
i 1 ，很显然，我们同样得到 Eri ErM 。
我们知道： i
Cov ri , rM
2 M
iM i M iM i ，于是，我们可以把 CAPM 模型改
2 M
M
写成：
Eri rf i ErM rf
rf
iM i M
ErM rf
即：
Eri rf
ErM rf
2x(1
x)Covri , rM
1 1 2
2x i2
2x 1 M 2
2 4xCovri , rM
Eri ErM
1
2
x 2 i 2
(1 x)2 M 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2x(1 x)Covri , rM
1 2
2x i 2
2x 1 M 2
2 4xCovri , rM
1 2
Eri ErM
风险的市场均衡价格乘以组合的风险水平，就是组合的风险溢价，即是：
ErP rf
ErM rf
M
P
其实这也是刚才所说的 CML 的另外一种表述。它把组合收益、组合风险水平、风险的市
场均衡价格之间的关系准备地揭示出来。
风险的市场均衡价格是追求高收益、低风险的投资者，通过完善的资本市场交易最终形
成的结果，但是，对于每一个投资者而言，他是这个价格的接受者（假设 4）。我们也假设
第 9 章 资本市场均衡模型：资本资产定价模型