高二数学选修2-2试卷
人教版高中数学选修2-2试题四套(带答案)(整理)
2高中数学选修《2-2》复习试题一、选择题（共8题，每题5分）1.复数(2)z i i =+在复平面内的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 一质点做直线运动,由始点经过s t 后的距离为3216323s t t t =-+,则速度为0的时刻是（ ）A ．4s t= B ．8s t = C ．4s t =与8s t = D ．0s t =与4s t =3。
某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8,如果他连续射击5次，则这名射手恰有4次击中目标的概率是（ ）（A ）40.80.2⨯ （B)445C 0.8⨯ (C ）445C 0.80.2⨯⨯ (D ）45C 0.80.2⨯⨯ 4.已知14a b c =+==则a,b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>b>cB ．c>a 〉bC ．c 〉b 〉aD ．b>c 〉a5.曲线32y x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ） A．)+∞B. )+∞C. ()+∞ D 。
[)+∞ 6。
有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=,那么0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ）A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确7。
.在复平面内， 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点，=（ ) A 。
2 B 。
2 C 。
10 D. 48、函数2()1x f x x =-( ）A ．在(0,2)上单调递减B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增C ．在(0,2)上单调递增D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减二、填空题（共6题，30分) 9. .观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++< , … … ， 则可归纳出________________________________10. 复数11z i =-的共轭复数是________。
高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(4)
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1、函数2x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（ ） （A ）2 （B ）3 （B ）4 （D ）52曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（ ）（A ）38 （B ）37 （C ）35（D ）343、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ） （A ）e1 （B ）e1-（C ）e2 （D ）e2-4、设ai b bi a ++,,1是一等比数列的连续三项，则b a ,的值分别为（ ）（A ）21,23±=±=b a （B ）23,21=-=b a（C ）21,23=±=b a （D ）23,21-=-=b a5、方程)(04)4(2R a ai x i x ∈=++++有实根b ，且bi a z +=，则=z （ ）（A ）i 22- （B ）i 22+（C ）i 22+- （D ）i 22--6、已知三角形的三边分别为c b a ,,，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为a s (21=rc b )++；四面体的四个面的面积分别为4321,,,s s s s ，内切球的半径为R 。
类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）（A ）R s s s s V )(214321+++= （B ）Rs s s s V )(314321+++=（C ）Rs s s s V )(414321+++= （D ）R s s s s V )(4321+++=7、数列 ,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1的第50项是（ ）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）118、在证明12)(+=x x f 为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是小前提；④函数12)(+=x x f 满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）（A ）①② （B ）②④ （C ）①③ （D ）②③9、若R b a ∈,，则复数i b b a a )62()54(22-+-++-表示的点在（ ） （A ）在第一象限 （B ）在第二象限（C ）在第三象限 （D ）在第四象限 10、用数学归纳法证明不等式“)2(2413212111>>+++++n nn n ”时的过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ）（A ）增加了一项)1(21+k（B ）增加了两项)1(21121+++k k（C ）增加了两项)1(21121+++k k ，又减少了11+k ；（D ）增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k ；11、如图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致 图象，则2221x x +等于（ ） （A ）32 （B ）34 （C ）38 （D ）31212、对于函数233)(x x x f -=，给出下列四个命题：①)(x f 是增函数，无极值；②)(x f 是减函数，有极值；③)(x f 在区间]0,(-∞及),2[+∞上是增函数；④)(x f 有极大值为0，极小值4-；其中正确命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4班级： 姓名：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为：14、若i z 311-=，i z 862-=，且21111z z z =+，则z 的值为 ；15、用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 .16、物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为12-=t v （v 的单位是s m /，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为t v 81+=，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动。
高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析
高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －22．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是导学号 10510899( )4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32D ．945．(2016·宜春高二检测)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2015，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2016(x )＝导学号 10510901( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．17．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1 B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )29．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．137810．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．811．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.导学号 1051090914．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 1051091015．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值.导学号 1051091419．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝x ln x .导学号 10510916 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选修2-2综合测试试题答案解析1．[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2． [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3． [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．[答案] B[解析] 由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．[答案] A[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x )＝sin x ＋e x .6．[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7． [答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x)′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.9．[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32，切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，y ＝32a －12，令y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.11． [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．[答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6； 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 13． [答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.14．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， ∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .15． [答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16． [答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.17． [解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18． [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (3π2)＝3π2.19． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n . 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列．(2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0， ∴c n ＋1c n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)， 0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1， 又0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1， ∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12，f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e ， 又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .21． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立． 由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。
高二理科数学选修2-2测试题及答案
高二理科数学选修2-2测试题及答案高二选修2-2理科数学试卷第I卷选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.下列复数中，与5-2i共轭的是（）。
A。
5+2i B。
5-2i C。
-5+2i D。
-5-2i2.已知f(x)=3x·sinx，则f'(1)=（）。
A。
1/3+cos1 B。
11/3sin1+cos1 C。
3sin1-cos1 D。
sin1+cos13.设a∈R，函数f(x)=ex-ae-x的导函数为f'(x)，且f'(x)是奇函数，则a为（）。
A。
0 B。
1 C。
2 D。
-14.定积分∫1x(2x-e)dx的值为（）。
A。
2-e B。
-e C。
e D。
2+e5.利用数学归纳法证明不等式1+1/2+1/3+…+1/(2n-1)<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）项。
A。
1项 B。
k项 C。
2k-1项 D。
2k项6.由直线y=x-4，曲线y=2x以及x轴所围成的图形面积为（）。
A。
40/3 B。
13 C。
25/2 D。
157.函数f(x)=x^3-ax^2-bx+a^2在x=1处有极值10，则点(a,b)为（）。
A。
(3,-3) B。
(-4,11) C。
(3,-3)或(-4,11) D。
不存在8.函数f(x)=x^2-2lnx的单调减区间是（）。
A。
(0,1] B。
[1,+∞) C。
(-∞,-1]∪(0,1] D。
[-1,0)∪(0,1]9.已知f(x+1)=2f(x)/(f(x)+2)，f(1)=1（x∈N*），猜想f(x）的表达式是（）。
A。
f(x)=4/(2x+2) B。
f(x)=2^(12/(x+1)) C。
f(x)=(x+1)/2 D。
f(x)=(2x+1)/210.若f(x)=-1/(2x^2+bln(x+2))在(-1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是（）。
A。
[-1,+∞) B。
(-1,+∞) C。
高二数学选修2-2练习题.doc.docx
0.3
0.4
⑶P(2
x＜4)
P( x
2)
P( x
3)
0.20.3
0.5
B组答案
13—17. BABDD 18.
16
19. 15
21
22、解：（1）由题知，总得分X的概率分布列为：
2
3
21. 0.135
X-300-100100300
P
0.23
C320.220.8 C320.2 0.82
0.83
∴EX=3000.23( 100) C320.220.8100 C320.2 0.82300 0.83
X的数学期望EX
6
X
0
1
2
3
P
a
1
1
b
3
6
则a=_____
___．
9、一个袋中有
10个大小相同的小球，其中
6个红球，4个白球，现从中摸
3个，至少摸到2
个白球的概率是__________________.
三．解答题：本大题共
3小题，共
41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
10、（本题
12分）有品，其中
21、已知Y～N（3，1），P（4＜Y＜5）=_____________．
六、解答 ：本大 共3小 ，共41分，解答 写出文字 明、 明 程或演算步 。
22、某考生参加一种 ，需回答三个 ， 定：每 回答正确得
100分，回答不正确得
-100
分。已知 考生每 回答正确的概率都是
0.8，且各 回答正确与否相互之 没有
∴所求概率P（A）=19
36
（2）由 分析知，X的可能取0,1,2,
高二理科数学选修2-2测试题及答案(最新整理)
1
B. sin1+cos1
3
1
C. sin1-cos1
3
D.sin1+cos1
3、设 a R ，函数 f x ex aex 的导函数为 f ' x ，且 f ' x 是奇函数，则 a 为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．-1
4、定积分
1
(2
x
e
x
)dx
的值为（
）
0
A． 2 e
B． e
C． e
2
3
3 27
为极大值，而 f (2) 2 c ，则 f (2) 2 c 为最大值，要使 f (x) c2 , x [1, 2]
恒成立，则只需要 c2 f (2) 2 c ，得 c 1,或c 2 …………12 分
21 解：（1） f (x) 6x2 6x, f (2) 12, f (2) 7, ………………………2 分
x
h x hx
0, x2
—
A
x2
0 极小值
x2,
＋
A
1
依题意，
1 8a2 1，即 a2 3 ，
4
∵ a 0 ，∴ a 3 ．
（2）解：对任意的 x1, x2 1，e 都有 f x1 ≥ g x2 成立等价于对任意的 x1, x2 1，e 都
有 f xmin ≥ g xmax ． 当 x ［1， e ］时， g x 1 1 0 ．
）
A．f（0）＋f（2） 2 f（1）
B．f（0）＋f（2） 2 f（1）
C．f（0）＋f（2）> 2 f（1）
D．f（0）＋f（2） 2 f（12）
0
高二数学选修2-2__第一章测试题
一选择题
1．设，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．设，则（ ）．
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．不存在
4．曲线在点处的切线方程为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知函数的图象与轴有三个不同交点，，且在，时取得极值，则的
值为（ ）
∴当时，在区间上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （8分）
又当时， ，
在上，有，即时，在区间上是增函数
当时，显然在区间上不是增函数
∴
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）
（18）解：（1），依题意，
，即 解得 ┅┅ （3分）
∴，∴
令，得
若，则
故在上是增函数；
若，则
故在上是减函数；
所以是极大值，是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
BCABBCABB A C D
二、填空题：
（13）、
（14）、
（15）、 （16）、
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤）
（17）解：由题意知：，则
∵在区间上是增函数，∴ 即在区间上是恒成立， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （5分） 设，则，于是有
则
所以
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （11分）
设，则， ①
令，则
当时，，所以在上单调递增。
故，从而 这与①矛盾，假设不成立，
∴在点处的切线与在点处的切线不平行。 ┅┅┅┅
（14分）
(21)直线分抛物线与轴所围成图形为面积相等的两个部分,求的值.
高二数学选修2-2全册综合测试题A
选修2-2综合测试题一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．数列1,4,7,10，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝4nB ．a n ＝3n －2C ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝4n ＋22．(2009·辽宁高考)已知复数z ＝1－2i ，那么1z 等于( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25i D.15－25i 3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( )A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2;B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2 4．设f (x )为可导函数，且满足条件lim x →0 f (x ＋1)－f (1)2x＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A.32B ．3C ．6D ．无法确定5．观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 6．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，函数y ＝f (x )的图象大致是图中的( )9．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>110．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2)11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的( ) A ．极大值为427，极小值为0； B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为52712．(2009·安徽高考)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)dx ＝________.14．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系x O y 中，点P 在曲线C ：y ＝x 2－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．15．由曲线y ＝(x －2)2＋1，横坐标轴及直线x ＝3，x ＝5围成的图形的面积等于________． 16．已知m ≥2，n ≥2且m 、n 为正整数，对m 的n 次幂进行如下图所示方式的“分裂”： 那么，以下几个关于“分裂”的叙述：①52的“分裂”中最大的数是9；②44的“分裂”中最小的数是13；③若m 3的“分裂”中最小的数是21，则m 的值为5.其正确的叙述的序号是________．(写出所有正确的叙述的序号)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋ax ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．18．(本小题满分12分)(2009·天津高考)设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．20．(本小题满分12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝1128000x3－380x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21．(本小题满分12分)(2009·安徽高考)已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ＝3，求f (x )在区间[1，e 2]上的值域，其中e ＝2.71828…是自然对数的底数．22．(本小题满分12分)已知{a n }是等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，a 1＝b 1，a 2＝b 2≠a 1，记S n 为数列{b n }的前n 项和．(1)若b k ＝a m (m ，k 是大于2的正整数)，求证：S k －1＝(m －1)a 1；(2)若b 3＝a i (i 是某个正整数)，求证：q 是整数，且数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项；(3)是否存在这样的正数q ，使等比数列{b n }中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．选修2-2综合测试题一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．数列1,4,7,10，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝4nB ．a n ＝3n －2C ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝4n ＋2解析：由4－1＝7－4＝10－7＝3，猜想数列为等差数列且公差为3， ∴数列的一个通项公式为a n ＝3n －2. 答案：B2．(2009·辽宁高考)已知复数z ＝1－2i ，那么1z 等于( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25i D.15－25i 解析：1z ＝11－2i ＝15＋25i.答案：C3．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( )A ．y ′＝3x sin x 2·sin2x 2;B ．y ′＝3(sin x 2)2C ．y ′＝3(sin x 2)2cos x 2D ．y ′＝6sin x 2cos x 2解析：y ′＝[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2·(sin x 2)′＝3(sin x 2)2·cos x 2·2x ＝3×2sin x 2·cos x 2·x ·sin x 2＝3x ·sin x 2·sin2x 2，故选A. 答案：A4．设f (x )为可导函数，且满足条件lim x →0 f (x ＋1)－f (1)2x＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A.32B ．3C ．6D ．无法确定解析：∵lim x →0 f (x ＋1)－f (1)2x ＝12lim x →0 f (x ＋1)－f (1)x ＝12f ′(1)＝3， ∴f ′(1)＝6.答案：C5．观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 答案：A6．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，函数y ＝f (x )的图象大致是图中的( )解析：由y＝xf′(x)的图象可得当x<－1时，f′(x)>0，所以当x<－1时f(x)为增函数；当－1<x<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,0)上为减函数；当0<x<1时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上减函数；当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上增函数，所以选择C.答案：C7．物体在地球上做自由落体运动时，下落距离s＝12·gt2，其中t为经历的时间，g＝9.8 m/s2，若v＝s(1＋Δt)－s(1)Δt＝9.8m/s，则下列说法正确的是()A．0～1 s时间段内的速度为9.8 m/sB．在1 s～(1＋Δt) s时间段内的速度为9.8 m/sC．在1 s末的速度为9.8 m/sD．若Δt>0，则9.8 m/s是1 s～(1＋Δt)s时间段的速度，若Δt<0，则9.8 m/s是(1＋Δt)s～1 s时间段的速度解析：由导数的定义和几何意义可知，v＝s(1＋Δt)－s(1)Δt＝s′(t)|t＝1＝9.8 m/s，即物体在t＝1时的瞬时速度，即在1 s末的速度．故选C.答案：C8．△ABC内有任意三点不共线的2010个点，加上A、B、C三个顶点，共2013个点，把这2013个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为()A．4021 B．4022C．4023 D．4027解析：由题设条件知三角形内一个点，比原来多出两个三角形，如下图所示，由观察分析知a n＋1－a n＝2(a n表示三角形内部有n个点时，组成不重叠的小三角形的个数)，∴数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列．∴a n＝2n＋1(n∈N*)．∴a2010＝2×2010＋1＝4021.故选A.答案：A9．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>1解析：f ′(x )＝1－ln xx 2，在(0，e)上f ′(x )>0，∴f (x )在(0，e)上为增函数． ∴f (a )<f (b )． 答案：C10．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：由题中图象知e f′(x )≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2，∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)． 答案：B11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为527解析：由题设条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f (13)是极大值．答案：A12．(2009·安徽高考)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：∵f ′(x )＝sin θx 2＋3cos θx .f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，∵θ∈[0，5π12]，∴θ＋π3∈[π3，3π4]．∴sin(θ＋π3)∈[22，1]．∴2sin(θ＋π3)∈[2，2]．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)dx ＝________.解析：∵⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)dx ＝x 3－12x 2＋x |a 0＝a 3－12a 2＋a . 答案：a 3－12a 2＋a14．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系x O y 中，点P 在曲线C ：y ＝x 2－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－10.设切点P (x 0，y 0)(x 0<0)，则点P 处切线斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2(x 0<0)． ∴P (－2,15)． 答案：(－2,15)15．由曲线y ＝(x －2)2＋1，横坐标轴及直线x ＝3，x ＝5围成的图形的面积等于________． 解析：S ＝⎠⎛35[(x －2)2＋1]dx ＝⎠⎛35(x 2－4x ＋5)dx ＝(x 33－2x 2＋5x )|53＝323. 答案：32316．已知m ≥2，n ≥2且m 、n 为正整数，对m 的n 次幂进行如下图所示方式的“分裂”： 那么，以下几个关于“分裂”的叙述：①52的“分裂”中最大的数是9；②44的“分裂”中最小的数是13；③若m 3的“分裂”中最小的数是21，则m 的值为5.其正确的叙述的序号是________．(写出所有正确的叙述的序号)解析：观察规律可知对m n 进行“分裂”，则m 表示可以分成几项，而右边“分裂”的数，都是相差为2的奇数．设a k 表示右边“分裂”后最小奇数，则有m n ＝ma k ＋(m －1)·m .所以52＝1＋3＋5＋7＋9；44＝4a k ＋12⇒a k ＝61.即44＝61＋63＋65＋67.m 3＝m ×21＋m (m －1)⇒m 2－m －20＝0⇒m ＝5或m ＝－4(舍)．故①③正确．答案：①③三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋ax ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3(1－i )2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝1－i ，将z ＝1－i 代入z 2＋a z ＋b ＝1＋i ，得(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝1＋i ，即(a ＋b)－(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)(2009·天津高考)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m >0.(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m ，或x ＝1＋m . 因为m >0，所以1＋m >1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.19．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．(1)求证：P A ⊥底面ABCD ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积；(3)对于向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，c ＝(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算： (a ×b )·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1.试计算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB →×AD →)·AP →的绝对值的几何意义．解：(1)∵AP →·AB →＝－2－2＋4＝0， ∴AP ⊥AB .又∵AP →·AD →＝－4＋4＋0＝0， ∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线， ∴AP ⊥底面ABCD .(2)设AB →与AD →的夹角为θ，则 cos θ＝AB →·AD→|AB →|·|AD →|＝8－24＋1＋16·16＋4＝3105.V ＝13|AB →|·|AD →|·sin θ·|AP →|＝23105·1－9105·1＋4＋1＝16. (3)|(AB →×AD →)·AP →|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P －ABCD 体积的3倍．猜测：|(AB →×AD →)·AP →|在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积)．20．(本小题满分12分)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油(1128000×403－380×40＋8)×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．(2)当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意，得h (x )＝(1128000x 3－380x ＋8)·100x ＝11280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； 当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∵当x ＝80时，h (x )取到极小值h (80)＝11.25. ∴h (x )在(0,120]上只有一个极值， ∵它是最小值，即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 21．(本小题满分12分)(2009·安徽高考)已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a ＝3，求f (x )在区间[1，e 2]上的值域，其中e ＝2.71828…是自然对数的底数．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根，x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.此时f (x )在(0)上单调递增．(2)当a ＝3时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝1，x 2＝2.由(1)知，在(1，e 2)内，当x ＝2时f (x )取得极值，f (1)＝0，f (2)＝2－3ln2， f (e 2)＝e 2－2e －2－5.因为f (2)<f (1)<f (e 2)，所以f (x )在区间[1，e 2]上的值域为[2－3ln2，e 2－2e －2－5]．22．(本小题满分12分)已知{a n }是等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，a 1＝b 1，a 2＝b 2≠a 1，记S n 为数列{b n }的前n 项和．(1)若b k ＝a m (m ，k 是大于2的正整数)，求证：S k －1＝(m －1)a 1；(2)若b 3＝a i (i 是某个正整数)，求证：q 是整数，且数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项；(3)是否存在这样的正数q ，使等比数列{b n }中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．解：(1)设{a n }的公差为d . 由a 2＝b 2得a 1＋d ＝a 1q ≠a 1， 知q ≠1且d ＝a 1(q －1)≠0. ∵{b n }为等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q.b k ＝a 1·q k －1＝a 1＋(m －1)d ＝a 1＋(m －1)·a 1(q －1)．∵a 1≠0，∴q k －1＝1＋(m －1)(q －1)． ∴S k －1＝a 1(1－q k －1)1－q ＝a 1(m －1)(1－q )1－q＝a 1(m －1)成立．(2)b 3＝a 1·q 2＝a 1＋(i －1)d ＝a 1＋(i －1)a 1(q －1)， ∴q 2＝1＋(i －1)(q －1)． ∵q ≠1，∴q ＋1＝i －1. ∴q ＝i －2. ∵i 为整数，∴i －2为整数，即q 为整数． 用数学归纳法证明：①由以上推理及题设知{b n }的前三项满足． 即n ＝1,2,3时结论成立． ②假设当n ＝k 时结论成立 即存在p ∈N *使b k ＝a p .。
高二数学联考数学试题(理)(选修2-2)
高二数学选修2-2综合测试（理科）试题第Ⅰ卷 （选择题 共55分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各数72+，227i ，0，85+i ，)31(-i ，618.0中，纯虚数的个数有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．复数i z +=31，i z -=12，则复数21z z ×在复平面内的对应点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用反证法证明：“a ，b 至少有一个为0”，应假设A ．a ，b 没有一个为0；B ．a ，b 只有一个为0；C ．a ，b 至多有一个为0 ；D ．a ，b 两个都为04．某个命题与正整数n 有关．如果当)(*N k k n Î=时该命题成立，那么可推得当1+=k n 时该命题也成立．现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得A ．当6=n 时该命题不成立B ．当4=n 时该命题不成立C ．当6=n 时该命题成立D ．当4=n 时该命题成立5．一个物体的运动方程为21t t s +-=，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒6．抛物线2x y =在点)41,21(M 处的切线的倾斜角是A ．030B ．045C ．060D ．0907．已知函数)(x f 在1=x 处的导数为3，则)(x f 的解析式可能为A ．)1(3)1(3-+-x xB ．2)1(2-xC ．)1(2-xD ．1-x 8．函数x x x f cos 21)(+=的一个单调递增区间为 A ．6,67(p p - B ．)65,6(p p C ．3,34(p p - D ．32,3(p p 9．已知函数x ax x x f 3)(23+-=，若)(x f 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．3£aB ．33££-aC ．3<aD ．33<<-a10．求值：=-ò-dx x 2224A ．p 2B ．p 4C ．p 8D ．p 1611．已知函数23bx ax y +=，当1=x 时，有极大值3，则=-b aA ．15B ．6-C ．3D ．15-第Ⅱ卷（非选择题 共95分）二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）12．复数iz -=11的共轭复数是 ． 13．设O 是原点，向量，对应的复数分别为i 32-，i 23+-，那么向量对应的复数是 ．14．过原点作曲线x y ln =的切线，则切线斜率为 ．15．)(131211)(*N n n n f Î++++=L ，经计算得：23)2(=f ，2)4(>f ，25)8(>f ，3)16(>f ，27)32(>f ，推测当2³n 时，有 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知ABC D 的三个内角C B A ,,成等差数列，求证：c b a c b b a ++=+++311．17．（本小题满分12分） 已知函数x x x f 12)(3+-=．（1）求函数)(x f 的单调区间； （2）当]1,3[-Îx 时，求函数)(x f 的最大值与最小值．18．（本小题满分12分）用数学归纳法证明 )12)(1(63212222++=++++n n n n L （*N n Î）．19．（本小题满分15分）已知函数xx ax x f +-++=11)1ln()(，其中0>a ，且),0[+¥Îx ． （1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；（3）若)(x f 的最小值为1，求a 的取值范围．20．（本小题满分10分）（2010全国）设函数2()1x f x e x ax =---(1)若0,()a f x =求的单调区间； （2）若当0()0,x f x a ³³时求的取值范围.21.（本小题满分14分）设()y f x ＝是二次函数，方程()0f x ＝ 有两个相等的实根，且()22f x x ¢＝＋ .(1)求()y f x ＝的表达式；(2)若直线01()x t t ＝－＜＜ 把()y f x ＝的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．。
期末高二数学选修2-2、2-3测试题(含答案)
高二数学选修2-2、2-3期末检测试题命题：伊宏斌 命题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．过函数x y sin =图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为 （ ） A ．x y = B ．0=y C ．1+=x y D ．1+-=x y 2．设()121222104321x a x a x a a x x x ++++=+++ ,则=0a ( )A ．256B ．0C ．1-D ．1 3．定义运算a cad bc b d=-，则ii 12(i 是虚数单位)为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12-i D ．22+i4．任何进制数均可转换为十进制数,如八进制()8507413转换成十进制数，是这样转换的：()1676913818487808550741323458=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,十六进制数1444706165164163162)6,5,4,3,2(23416=+⨯+⨯+⨯+⨯=,那么将二进制数()21101转换成十进制数，这个十进制数是 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为)(n f 部分，则2)1(1)(++=n n n f 。
”在证明第二步归纳递推的过程中，用到)()1(k f k f =++ 。
( ) A ．1-k B ．k C ．1+k D ．2)1(+k k6.记函数)()2(x fy =表示对函数)(x f y =连续两次求导,即先对)(x f y =求导得)('x f y =,再对)('x f y =求导得)()2(x fy =,下列函数中满足)()()2(x f x f=的是（ ）7．甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则)(b a 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是 ( )A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲< 8．如图，蚂蚁从A 沿着长方体的棱以 的方向行走至B ，不同的行走路线有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条9、等比数列{a }n 中，120143,9a a ==，122014(x)(x a )(x a )....(x )f x a =---，'(x)f 为函数(x)f 的导函数，则'(0)f =（ ）A 0B 10073C 20163D 3021310.设{}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=M ，由M 到M 上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是 ( )A .120B .240C .710 D .360B第8题图第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共25分） 11（15）如果5025001250(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，那么1349a a a +++= ．12．设复数z 满足条件1z =，那么z i +取最大值时的复数z 为 ． 13．已知数列{}a n 为等差数列，则有，02321=+-a a a 0334321=-+-a a a aa a a a a 123454640-+-+=类似上三行,第四行的结论为__________________________。
(完整版)高中数学选修2-2综合测试题(附答案)
高二数学选修2-2综合测试题一、选择题：1、i 是虚数单位。
已知复数413(1)3iZ i i+=++-，则复数Z 对应点落在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限2、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15 则第n 个三角形数为（ ） A ．n B ．2)1(+n n C ．12-n D ．2)1(-n n 3、求由曲线y x =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误．．的为（ ） A.4(2)x x dx -+⎰B.0xdx ⎰C.222(2)y y dy ---⎰ D.022(4)y dy --⎰4、设复数z 的共轭复数是z ,且1z =,又(1,0)A -与(0,1)B 为定点,则函数()f z =(1)z +()z i -︱取最大值时在复平面上以z ,A,B 三点为顶点的图形是A,等边三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形5、函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，'()2f x >,则()24f x x >+的解集为(A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (c)(-∞，-l) (D)(-∞,+∞)6、用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为Ａ．41412156325(35)k k k +++++·Ｂ．441223355k k ++··Ｃ．412135k k +++Ｄ．412125(35)k k +++7、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且(3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ） A. (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，+∞)D. (－∞，－3)∪(0，3) 8、已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A9、设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是 ( )A.13k <B.103k <≤C.103k ≤≤D.13k ≤10、函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为 （ ） A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]481,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3148,1,,32233⎛⎤⎡⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭11、 已知函数)(131)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=、在区间[-1,3]上是减函数，则b a +的最小值是A.32B.23C.2D. 312、函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．（-24,8） B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）高二数学选修2-2综合测试题（答题卡）一、选择题（60分）。
选修2-2综合
选修2-2综合练习姓名__________分数___________一、选择题(每小题5分，共6个小题)1、定义运算a b ad bc c d =- ，则符合条件1142i iz z -=+ 的复数z 为 （ ） Ａ．3i - Ｂ．13i + Ｃ．3i + Ｄ．13i -2、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是 （ ）Ａ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角3、曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为 （ ） Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．52 Ｄ．34、若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h →+--=（ ）A ．3-B ． 12-C ．9-D ． 5、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数A. 13(,)x xB. 24(,)x xC.46(,)x xD.56(,)x x6、用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++()*n N ∈，则从k 到1k +，左边要添加的项是（ ）A ．121k +B ．112224k k -++C ．112122k k -++D ．122k -+ 二、填空题(每小题5分，共5个小题)7、函数22ln y x x =-的单调减区间是8、=---⎰dx x x )2)1(1(102 9、i 是虚数单位，52i i-= 10、在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .11、设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为6-三、解答题（每小题15分，共3个小题）11、（12分）已知函数()32f x x ax bx =-++在区间()2,1-内，当1x =-时取得极小值，当23x =时取得极大值。
【高二数学】选修2-2综合测试含答案解析
选修2－2综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：1＋2i－2＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i[答案] B [解析]1＋2i －2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i－2i ＝＋2＝－1＋12i.2．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除[答案] B[解析] “至少有一个”的否定为“一个也没有”．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] [答案] B[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.4．已知函数f (x )＝1x ＋－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] B[解析] 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近于0时，y 趋近于－∞，排除C.故选B.5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9[答案] D[解析] 由等差数列的性质知，a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5，故D 成立．6．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1－e －x，则质点从x 1＝0，沿x 轴运动到x 2＝1处，力F (x )所做的功是( )A ．eB ．1e C ．2e D ．12e[答案] B[解析] 由W ＝⎠⎛01(1－e －x )d x ＝⎠⎛011d x －⎠⎛01e －x d x ＝x |10＋e －x |10＝1＋1e －1＝1e .7．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应向量的模为3，则y x的最大值是( ) A ．32B ．33C. 3 D ．12[答案] C[解析] 由|(x －2)＋y i|＝3，得(x －2)2＋y 2＝3， 此方程表示如图所示的圆C ，则y x的最大值为切线OP 的斜率． 由|CP |＝3，|OC |＝2，得∠COP ＝π3，∴切线OP 的斜率为3，故选C.8．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )[答案] C[解析] 本题考查导数的应用，函数的图象．由f (x )在x ＝－2处取极小值知f ′(－2)＝0且在－2的左侧f ′(x )<0，而－2的右侧f ′(x )>0，所以C 项合适．函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求．9.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形( )A ．28，n ＋n ＋2B ．14，n ＋n ＋2C ．28，n 2D ．12，n 2＋n2[答案] A [解析]根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n 个图形中有1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2.10.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1 D ．f (x )＝－x e －x[答案] D[解析] 若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ， 在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x e －x，则f ″(x )＝2e －x－x e －x＝(2－x )e －x. 在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．(2014·北京理，9)复数(1＋i 1－i )2＝________.[答案] －1 [解析] 复数1＋i1－i ＝＋2－＋＝2i2＝i ， 故(1＋i 1－i )2＝i 2＝－1. 12．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________． [答案] 34·34k ＋1＋52·52k ＋1[解析] n ＝k 时，34k ＋1＋52k ＋1能被14整除，因此，我们需要将n ＝k ＋1时的式子构造为能利用n ＝k 的假设的形式.34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34·34k ＋1＋52·52k ＋1＋34·52k ＋1－34·52k ＋1＝34(34k ＋1＋52k ＋1)＋(52－34)52k ＋1，便可得证．13．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：____________________________________________________________________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3ax ＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是________________．[答案] (－∞，0)∪(9，＋∞)[解析] 由题意得y ′＝3x 2－2ax ＋3a ＝0有两个不同的实根，故Δ＝(－2a )2－4×3×3a >0，解得a <0或a >9.15.如图为函数f (x )的图像，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )<0的解集为________．[答案] (－3，－1)∪(0,1)[解析] x ·f ′(x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x∵(－3，－1)是f (x )的递增区间， ∴f ′(x )>0的解集为(－3，－1)． ∵(0,1)是f (x )的递减区间， ∴f ′(x )<0的解集为(0,1)．故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．(2015·山东青岛)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|.(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．[解析] (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|i－1|3＝2 2. (2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆．而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)，所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆的半径)＝22＋1.17．设函数f (x )＝kx 3－3x 2＋1(k ≥0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的极小值大于0，求k 的取值范围． [解析] (1)当k ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)． 当k >0时，f ′(x )＝3kx 2－6x ＝3kx (x －2k)．∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2k，＋∞)，单调减区间为(0，2k)．(2)当k ＝0时，函数f (x )不存在极小值． 当k >0时，由(1)知f (x )的极小值为f (2k )＝8k 2－12k2＋1>0，即k 2>4， 又k >0，∴k 的取值范围为(2，＋∞)．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] 解法一： (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二： (1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.19.设a >0且a ≠1，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值点． [解析] (1)由已知得x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，f ′(3)＝23，所以曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x＝x 2－a ＋x ＋ax＝x －x －ax.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝A ． ①当0<a <1时，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 时f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点． ②当a >1时，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．综上，当0<a <1时，x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点；当a >1时，x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．20.(2014·广东理)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)a 1＝S 1＝2a 2－3×12－4×1＝2a 2－7①a 1＋a 2＝S 2＝4a 3－3×22－4×2＝4(S 3－a 1－a 2)－20＝4(15－a 1－a 2)－20，∴a 1＋a 2＝8②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3a 2＝5，∴a 3＝S 3－a 1－a 2＝15－8＝7，综上a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，以下用数学归纳法证明： ①由(1)知，当n ＝1时，a 1＝3＝2×1＋1，猜想成立； ②假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2k －12k a k ＋6k ＋12k＝2k －12k ·(2k ＋1)＋3＋12k＝4k 2－12k ＋3＋12k＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1这就是说n ＝k ＋1时，猜想也成立，从而对一切n ∈N *，a n ＝2n ＋1.21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.(1)设∠BAO ＝θrad ，将y 表示成θ的函数关系式； (2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最小．[解析] (1)延长PO 交AB 于点Q ，则PQ 垂直平分AB .若∠BAO ＝θrad ，则OA ＝AQcos ∠BAO ＝10cos θ，故OB ＝10cos θ. 又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP ＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ.故所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10(0≤θ≤π4)．(2)y ′＝－10cos θ·cos θ－－10sin θ－sinθcos 2θ＝θ－cos 2θ.令y ′＝0，得sin θ＝12.因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6.当θ∈[0，π6)时，y ′<0，则y 是关于θ的减函数；当θ∈(π6，π4]时，y ′>0，则y 是关于θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min ＝20－10×1232＋10＝(103＋10)．故当点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处时，三条排污管道的总长度最小．。
人A数学选修2-2 阶段测试 (3)
选修2－2综合测评 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知复数z ＝21－i，则z 2－z ·z 等于( ) A ．－2＋2i B ．2i C ．－2－2iD ．－2i解析：∵z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2－z ·z ＝(1＋i)2－(1＋i)(1－i)＝2i －2＝－2＋2i. 答案：A2．(2019·福建三明高二月考)某演绎推理的“三段”分解如下：①函数f (x )＝13x 是减函数；②指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数；③函数f (x )＝13x 是指数函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是( )A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①解析：按照演绎推理的三段论模式可得，已知指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，因为函数f (x )＝13x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<13<1是指数函数，所以函数f (x )＝13x 是减函数，即排序正确的是②→③→①，故选D.答案：D3．如图，曲线f (x )＝x 2和g (x )＝2x 围成几何图形的面积是( )A.12 B.23C.43D．4解析：由f(x)＝x2与g(x)＝2x得x2＝2x，得x＝0或x＝2，＝4－83＝43，故选C.答案：C4．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2－2t＋2)i，t∈R，则下列命题中正确的是() A．z对应的点Z在第一象限B．z对应的点Z在第四象限C．z不是纯虚数D．z是虚数解析：当t＝12或t＝－3时，2t2＋5t－3＝0，此时z为纯虚数，C不正确；当－3<t<12时，2t2＋5t－3<0，又t2－2t＋2>0，此时z对应的点Z在第二象限，当t<－3或t>12时，2t2＋5t－3>0，又t2－2t＋2>0，此时z对应的点Z在第一象限，A、B不正确；∵t2－2t＋2>0恒成立，∴z是虚数，D正确．故选D.答案：D5．(2019·蚌埠二中高二检测)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点解析：根据导函数的图象知，在x2处导函数由大于0变为小于0，此时原函数有极大值，在x3处导函数由小于0变为大于0，此时原函数有极小值，在x1，x4处导函数没有正负变化无极值点，故选A.答案：A6．设函数f(x)＝x cos x＋(a－2)x sin x＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝x B．y＝2xC．y＝4x D．y＝3x解析：∵函数f(x)＝x cos x＋(a－2)x sin x＋ax为奇函数，∴a＝2.∴f(x)＝x cos x＋2x，∴f′(x)＝cos x－x sin x＋2，∴f′(0)＝cos 0＋2＝3，∴曲线y＝f(x)在(0,0)处的切线方程为y＝3x.故选D.答案：D7．(2019·南阳一中高二月考)定积分|x|d x＝()A.52B．－52C.32D．－32解析：如图，|x |d x ＝12＋2＝52，故选A.答案：A8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则实数a ＝( ) A ．4或－3 B ．4或－11 C ．4D ．－3解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f (x )在x ＝1处取得极值10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时函数f (x )在R 上单调递增，无极值，不符合题意，当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11时函数f (x )在x ＝1处取得极小值10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，故选C. 答案：C9．设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是()A．[－5，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D．[－5，5]解析：f′(x)＝x2＋2ax＋5.由f′(x)≥0在[1,3]上恒成立，或f′(x)≤0在[1,3]上恒成立，得a≥－x2－52x或a≤－x2－52x，设g(x)＝－x2－52x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋52x，则g(x) 在[1,3]上的值域为[－3，－5]，∴a≤－3或a≥－ 5.答案：C10．给出下面三个推理：①由“若a、b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|”推广到复数中，则有“若z1、z2是复数，则|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|”；②由“在半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”．其中，推理得到的结论正确的个数有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由复数的几何意义知，①正确；设球的内接长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则a2＋b2＋c2＝(2R)2，由基本不等式a2＋b2＋c2≥33a2b2c2，即abc ≤，当且仅当a ＝b ＝c 时，等式成立，即正方体的体积最大，②正确；球的体积V ＝43πR 3，则V ′＝4πR 2，③正确，综上所述，三个推理均正确．故选D.答案：D11．(2019·哈尔滨师大附中月考)已知函数f (x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b >0)，则f (a )＋f (b )a ＋b的值为( ) A ．恒正 B ．恒等于0 C ．恒负D ．不确定解析：可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln(x 2＋1－x )＋(－x )3－ln(x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f (a )＋f (b )a ＋b ＝f (a )－f (－b )a －(－b )，所以f (a )＋f (b )a ＋b>0，所以选A.答案：A12．(2019·江西赣州十四县(市)期中联考)设f (x )＝e x (x 2＋2x )，令f 1(x )＝f ′(x )，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，若f n (x )＝e x (A n x 2＋B n x ＋C n )，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1C n 的前n 项和为S n ，当|S n－1|≤12 019时，n 的最小整数值为( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020解析：由题意得f 1(x )＝(2x ＋2)e x ＋(x 2＋2x )e x ＝(x 2＋4x ＋2)e x ， f 2(x )＝(2x ＋4)e x ＋(x 2＋4x ＋2)e x ＝(x 2＋6x ＋6)e x ， f 3(x )＝(2x ＋6)e x ＋(x 2＋6x ＋6)e x ＝(x 2＋8x ＋12)e x ，…由此可得C 1＝2，C 2＝6，C 3＝12，故可归纳得C n ＝n (n ＋1)，∴1C n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 由题意得|S n －1|＝1n ＋1≤12 019，解得n ≥2 018.∴n 的最小整数值为2 018.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若复数z ＝3－i|2－i|，则|z |＝________. 解析：z ＝3－i |2－i|＝3－i 5，∴|z |＝|3－i|5＝105＝ 2. 答案： 214．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋7…23＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19…根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝______.解析：由所给等式推测m ＝6，p ＝5，∴m ＋p ＝11. 答案：1115．已知z 1＝m 2－(m 2－3m )i ，z 2＝(m 2－4m ＋3)i ＋10(m ∈R )，若z 1<z 2，求实数m 的取值为________．解析：∵z 1<z 2，∴z 1与z 2均为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，∴m ＝3.答案：316．对于三次函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，根据这一发现可得：(1)函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为________． (2)计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫37＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫57＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫67＝________.解析：(1)依题意，f ′(x )＝x 2－x ＋3， ∴f ″(x )＝2x －1， 由2x －1＝0得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×18－12×14＋3×12－512＝1，∴函数f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)由f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫67＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫57＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫37＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47＝2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫37＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫57＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫67＝6. 答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (2)6三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 证法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.18．(12分)(1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解：(1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，x ，y ∈R ， ∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)∵关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，且a ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，10－x －2x 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，a ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，a ＝－715.19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，满足S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)，(1)求S 2，S 3，S 4；(2)根据(1)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)由a 1＝－23，及S n ＋1S n＋2＝a n (n ≥2)可算得S 1＝－23，S 2＝－34，S 3＝－45，S 4＝－56.(2)由此猜想S n 的表达式是S n ＝－n ＋1n ＋2.下面用数学归纳法证明：①由a 1＝S 1＝－23＝－1＋11＋2知，当n ＝1时，等式成立； ②当n ≥2时，假设n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2，那么，当n ＝k ＋1时，由S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)得 S k ＋1＋1S k ＋1＋2＝a k ＋1，得－1S k ＋1＝(S k ＋1－a k ＋1)＋2，而S k ＝S k ＋1－a k ＋1，∴－1S k ＋1＝S k ＋2＝－k ＋1k ＋2＋2＝k ＋3k ＋2， ∴S k ＋1＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 所以当n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②可知，对任意的正整数n ，有S n ＝－n ＋1n ＋2成立． 20．(12分)已知非零实数a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0，求证：1a ，1b ，1c 不可能是等差数列．证明：假设1a ，1b ，1c 成等差数列，则1a ＋1c ＝2b ，又∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，∴b ＝a ＋c 2，把b ＝a ＋c 2代入1a ＋1c ＝2b ，得(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴c －a ＝2d ＝0，这与公差d ≠0矛盾，∴1a ，1b ，1c 不可能是等差数列．21．(12分)(2019·乾安中学高三模拟)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2， 得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3， 得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋)．证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12k －k －1＋1k －k －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22．(12分)(2019·长庆高中高三阶段测试)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b e x －1x ，曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .所以g (x )≥－1e ≥h (x )，又因为等号无法同时取到，所以g (x )>h (x )，即f (x )>1.。
高中数学 第二章 推理与证明练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
第二章 推理与证明（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.证明：n ＋22＜1＋12＋13＋14＋…＋12n＜n ＋1（n ＞1），当n ＝2时，中间式子等于（ ） A.1 B.1＋12C.1＋12＋13D.1＋12＋13＋14解析：选D.n ＝2时中间式子的最后一项为14，所以中间式子为1＋12＋13＋14.2.用反证法证明命题：“若函数f （x ）＝x 2＋px ＋q ，那么|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是（ ）A.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都不小于12B.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12C.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有两个小于12D.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有一个小于12解析：选B.“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”的反设为“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12”.3.设x ＞0，则不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，推广到x ＋axn ≥n ＋1，则a＝（ ）A.2nB.2nC.n 2D.n n解析：选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x 的指数的指数次方，可得a ＝n n.4.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）>0恒成立.因为f （x ）＝x 3在（－1，1）内可导且单调递增，所以在（－1，1）内，f ′（x ）＝3x 2>0恒成立.以上推理中（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误解析：选A.f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）≥0恒成立，故大前提错误，故选A.5.用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是（ ）A.2k （k ＋2）B.1k （k ＋1）C.1（k ＋1）（k ＋2）D.2（k ＋1）（k ＋2）解析：选D.由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋（k ＋1）＝2（k ＋1）（k ＋2）.故选D.6.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac <3a ”索的因应是（ ）A.a －b >0B.a －c <0C.（a －b ）（a －c ）>0D.（a －b ）（a －c ）<0解析：选C.要证明 b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2，只需证（a ＋c ）2－ac <3a 2，只需证－2a 2＋ac ＋c 2<0，即证2a 2－ac －c 2>0，即证（a －c ）（2a ＋c ）>0，即证（a －c ）（a －b ）>0.7.若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是（ ）A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c.所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形.8.已知f （x ）＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＞0，a ＋c ＞0，b ＋c ＞0，则f （a ）＋f （b ）＋f （c ）的值一定（ ）A.大于0B.等于0C.小于0D.正负都可能解析：选A.f （x ）为奇函数，也是增函数，因此由a ＋b ＞0可得a ＞－b ，所以f （a ）＞f （－b ），即f （a ）＞－f （b ），于是f （a ）＋f （b ）＞0，同理，f （a ）＋f （c ）＞0，f （b ）＋f （c ）＞0，所以f （a ）＋f （b ）＋f （c ）＞0.9.我们把平面中的结论“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间中为“到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A （－1，0，0），B （1，0，0），则点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹描述正确的是（ ）A.以A ，B 为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以A ，B 为焦点的椭球体C.以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对解析：选C.在平面中，点集{P （x ，y ）||PA |－|PB |＝1}是以A ，B 为焦点的双曲线的一支，点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面，故选C.10.我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”是高，“幂”是截面积.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，区域①是一个形状不规则的封闭图形，区域②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t 取[0，3]上的任意值时，直线y ＝t 被区域①和区域②所截得的两线段长总相等，则区域①的面积为（ ）A.4B.92 C.5D.112解析：选B.根据题意，由祖暅原理分析可得①的面积等于②的面积，又②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，所以①的面积为（1＋2）×32＝92.11.已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个“整数对”是（ ）A.（7，5）B.（5，7）C.（2，10）D.（10，2）解析：选B.依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，因此第60个“整数对”是（5，7）.12.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（ ） A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos （90°－∠A 2）， 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以（90°－∠A 2）＋（90°－∠B 2）＋（90°－∠C 2）＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立.若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在（0，π）内无解.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.补充下列证明过程： 要证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac （a ，b ，c ∈R ），即证，即证Ｗ. 因为a ，b ，c 为实数，上式显然成立，故命题结论成立. 答案：2（a 2＋b 2＋c 2）≥2ab ＋2bc ＋2ac （a －b ）2＋（b －c ）2＋（a －c ）2≥014.已知a ＝5－12，函数f （x ）＝a x，若实数m ，n 满足f （m ）>f （n ），则m ，n 的大小关系为Ｗ.解析：因为当0<a <1时，函数f （x ）＝a x为减函数，a ＝5－12∈（0，1），所以函数f （x ）＝（5－12）x为减函数.故由f （m ）>f （n ）得m <n .答案：m <n15.有三X 卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是Ｗ.解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一X ，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .答案：1和316.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n （n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数（从左往右数）为Ｗ. 11 1212 131613 14112112141512013012015…解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142.同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.答案：1140三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）定义在[－1，1]上的奇函数f （x ），当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0.证明：函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.证明：假设函数f （x ）的图象上存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直，则A ，B 两点的纵坐标相同.设它们的横坐标分别为x 1和x 2，x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[－1，1]，则f （x 1）＝f （x 2）. 又f （x ）是奇函数，所以f （x 1）－f （x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）[x 1＋（－x 2）].又由题意，得f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）＞0，且x 1＋（－x 2）＜0，所以f （x 1）＋f （－x 2）＜0，即f （x 1）－f （x 2）＜0， 这与f （x 1）＝f （x 2）矛盾，故假设不成立，即函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直. 18.（本小题满分12分）已知：A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2.求证：A ＋B ＝45°.证明：因为（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2， 展开化简为tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . 因为A ＋B ≠90°，tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1.又因为A ，B 都是锐角，所以0°＜A ＋B ＜180°.所以A ＋B ＝45°.19.（本小题满分12分）已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 即证|a －c |＜c 2－ab ，只需证（a －c ）2＜（c 2－ab ）2， 只需证a 2－2ac ＋c 2＜c 2－ab ，即证2ac ＞a 2＋ab ，因为a ＞0，所以只需证2c ＞a ＋b .因为2c ＞a ＋b 已知， 所以原不等式成立.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F为B 1C 1的中点.求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F ∥平面ADE .证明：（1）因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 因为AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.（2）因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， 所以A 1F ⊥B 1C 1，因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. 由（1）知AD ⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1F ∥AD .因为AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE .21.（本小题满分12分）设函数f （x ）＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1].证明：（1）f （x ）≥1－x ＋x 2；（2）34<f （x ）≤32.证明：（1）因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f （x ）≥1－x ＋x 2.（2）由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f （x ）＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f （x ）≤32.由第一问得f （x ）≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f （12）＝1924>34，所以f （x ）>34.综上，34<f （x ）≤32.22.（本小题满分12分）在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .（1）求a 1，a 2，a 3；（2）由（1）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 解：（1）易求得a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－ 2. （2）猜想a n ＝n －n －1（n ∈N *）证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立. ②假设n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1ak＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以，a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k .即n ＝k ＋1时，命题成立. 由①②知，n ∈N *时，a n ＝n －n －1.。
高中数学 模块综合评价(二)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(1＋i)16－(1－i)16＝() A ．－256B ．256i C ．0 D ．256解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0. 答案：C2．已知函数f (x )＝ln x －x ，则函数f (x )的单调递减区间是() A ．(－∞，1) B ．(0，1)C ．(－∞，0)，(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx，x >0.令f ′(x )<0，解得x >1.答案：D3．设f (x )＝10x＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．若函数f (x )满足f (x )＝e xln x ＋3xf ′(1)－1，则f ′(1)＝() A ．－e 2B ．－e3C ．－eD ．e解析：由已知可得f ′(x )＝e xln x ＋exx＋3f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝0＋e ＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：A5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”． 答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10B ．14C ．13D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.答案：D8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．答案：D10．证明不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即 k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝ k 2＋3k ＋2≤k 2＋3k ＋2＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1时验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2， 设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0， 所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|0－2＝43.答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值X 围为()A ．(－1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2，1) 解析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)， 即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝____________.解析：f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1.又f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，所以a ＝3.答案：316．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫π0π－x 2d x ＝π24.解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c <3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z |＝1，则由|z －i|≤|z |＋|－i|＝2，可得|z －i|的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫π0π－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3. －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数， 所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2）， 因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1， 所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)， 所以复数z 对应点的轨迹是一条射线， 其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b＋2＋1b a＋2≤23， 只需证明b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证(a －b )2≥0，这显然成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23.(2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，所以2a ≤b ＋2，2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4， 这与a ＋b >4矛盾，所以af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ex ＋2(x 2－3)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的极值． 解：(1)函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)，则f ′(x )＝ex ＋2(x 2＋2x －3)＝ex ＋2(x ＋3)(x －1)，故f ′(0)＝－3e 2，又f (0)＝－3e 2，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2＝－3e 2(x －0)，即3e 2x ＋y ＋3e 2＝0.(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3， 如下表：↗↘↗所以当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝e ，当x ＝1时，函数取极小值，极小值为f (1)＝－2e 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值，最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3图象的下方．解：(1)由f (x )＝12x 2＋ln x 有f ′(x )＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，所以f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.f (x )min ＝f (1)＝12.(2)设F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x，当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x )<0，且F (1)＝－16<0故x ∈[1，＋∞)时F (x )<0，所以12x 2＋ln x <23x 3，得证．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )； (3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋（1－a ）x －ax＝（x ＋1）（x －a ）x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－ [12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln(a －x )]＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．所以g ′(x )＝2－a a ＋x －aa －x ＝2x2x 2－a 2.当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数． 而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0.故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点， 故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)， 从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a .由(1)知，f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式． 解：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1. 所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1， 所以a k ＋1＝2（k ＋2）（k ＋1），所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2＝2（k ＋1）（k ＋1）＋1.所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立． 由S n ＝n 2a n ，得2n n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＝2n （n ＋1）.。
高中数学选修2-2《函数的极值》
【解析】f′(x)=
又f′(1)=0,∴ 3-a =0,∴a=3.
4
答案：3
5.若x=1和x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点，则 b-a=_____. 【解析】∵f′(x)= a +2bx+1,
x
∴f′(1)=f′(2)=0,
答案：1
2
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.（2010·浙江高考改编）已知a是给定的实常数，设函数 f(x)=(x-a)2(x+b)ex,b∈R,x=a是f(x)的一个极大值点.求b的 取值范围.
处不可导，但由图像结合极小值定义知f(x)=|x|在x=0处取极
小值.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.若函数y=f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x0)=0是x0为 函数y=f(x)的极值点的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
1.同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？
提示：不一定.极值是一个局部的概念，和最值有质的区别.例
如函数y=2x+
8 x
在x=-2时取y极大值=-8，而当x=2时取y极小值=8.
另外，在函数的定义区间内可能有多个极大值点或极小值点，
且极大值不一定比极小值大.
2.导数不存在的点有可能是极值点吗？
提示：导数不存在的点也有可能是极值点，如f(x)=|x|在x=0
值，则( )
(A)0<b<1
(B)b<1
(C)b>0
(D)b< 1
2
【解析】选A.f′(x)=3x2-3b=3(x2-b)
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2015-2016学年度高二数学下学期第一次阶段测试题
(理科)
一、选择题：
1、函数2x y =在区间]2,1[上的平均变化率为（ ）
A. 2
B. 3 B. 4 D. 5
2． 函数x x x y +=sin 的导数是( )
A.x x x x y 21cos sin /++=
B. x
x x x y 21cos sin /+-= C. x x x x y 21cos sin /-+= D. x
x x x y 21
cos sin /--= 3．已知32()32f x ax x =++且(1)4f '-=，则实数a 的值等于（ ）
A ．193
B ．163
C ．133
D ．10
3
4．已知函数()ln f x x x =+，则有（ ）
A.)3()()2(f e f f <<
B.)3()2()(f f e f <<
C.)2()()3(f e f f <<
D.)2()3()(f f e f <<
5．在复平面内，复数1i
i
+对应的点位于（ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
6．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）
7．有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数
3()f x x =在0x =处的导数值
(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推
理中（ ）
A ．大前提错误
B ． 小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确 8．命题“关于x 的方程ax=b （a ≠0）的解是唯一的”结论的否定是 （ ）
A. 无解
B. 两解
C. 至少有两解
D. 无解或至少有两解 9．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5，-16
10．求曲线0=-y x ，x x y 22
-=所围成图形的面积 （ ） A ．1 B ．29 C ．9 D ．2
5
11. 用数学归纳法证明不等式“11113(2)12
224
n n n n
+++>>++”时的过程中，由n k =到
1n k =+时，不等式的左边（ ）
Ａ．增加了一项1
2(1)k +
Ｂ．增加了两项11
212(1)k k +
++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +
++，又减少了一项1
1k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项1
1
k +
12.定积分11
01dx x
+⎰的值为（ ） A ．1 B.ln2 C.
2122- D.11ln 222
- 13. 曲线3
32y x x =-+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）
A ．3[
,)3+∞ B. 3
(,)3
+∞ C. (3,)-+∞ D. [3,)-+∞ 14. 已知函数=y )(x f 是定义在R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时不等式0)()('<+x xf x f 成
立， 若)3(3
3.03
.0f a =，),3(log )3(log ππf b = )9
1
(log )91(log 33f c =，则c b a ,,的大小关系是
A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
姓名 班级 座位号 座位号 装 订 线
二、填空题
13. 曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是_____________________ 14.“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，
现给出一组数：12 ,12 ,38 ,14 ,5
32
,它的第8个数是
15. 若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是___ ______ 16. 复数
2
1i
+的实部为
，虚部为
.
三、解答题： 17.复数212
(
)(616)88
m z m i m i m m +=++--
++.(i 为虚数单位) (1)若复数z 为纯虚数，求实数m 的值;
(2)若复数z 对应的点在第三象限或第四象限，求实数m 的取值范围.
18.用总长14.9m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少?
19. 20()(28)(0)x
F x t t dt x =+->⎰．
（1）求()F x 的单调区间；（2）求函数()F x 在[13]，
上的最值．
20..已知数列{}n a ，首项11a =，前n 项和n S 满足
()2*n
n
S n n N a =∈. (1)求出1234,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.
21. 已知函数32()3f x x ax x =--。
（1）若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
（2）若函数f(x)在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.。